数学（内蒙古卷）学易金卷：2026年中考考前最后一卷

**基本信息** 2026年中考数学模拟卷，以粮食安全、榫卯文化、消防安全等现实情境为载体，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查抽象能力、推理意识与模型观念，适配中考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|数轴、科学记数法、几何应用、三视图|以榫卯构件考三视图，体现文化传承| |填空题|4/12|概率、因式分解、几何中点、解直角三角形|志愿者服务概率题，渗透应用意识| |解答题|7/64|二次函数（篮球轨迹）、圆的切线证明、方程应用|篮球投篮情境构建二次函数模型，消防安全统计分析数据意识|

2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂1【W1I/小 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题3分，共24分） 1[AIIBIICIIDI 5.1AIIBIICIIDI 2.IAIIBIICIIDI 6.IAlIBIICIIDI 3.IAIIBIICIIDI 7.AIIBIICIIDI 4.1AIIBIICIIDI 8AIIBIICIIDI 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共12分） 9 10. 11 2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共6个小题，共64分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) &0分0(-2*+r 14.(7分) (1)①a= ,b= ②在扇形统计图中，“A”所对应的扇形圆心角的度数为 °，并补全条形统计图. (2)估计全校1700名学生中最感兴趣的内容是灭火方法和逃生技巧”的学生人数， (3)小吴认为七年级和八年级竞赛成绩的平均数相同，因此两个年级的成绩一样好，你认为小吴的说法 是否合理，请结合上表中的数据说明理由（写出一条即可）. 最感兴趣的内容条形统计图 人数/人 80 57 60 40 20 15 9 0 A B C D内容 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(10分) 16(12分) D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(12分) Ci 0 D R 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(13分) D D A E B A E B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 2．为保障粮食安全，我国力争将粮食产量稳定在1.4万亿斤左右，彰显端牢中国饭碗、守护天下粮安的大国担当和坚定决心．数据1.4万亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．如图1是某小区安装的上肢牵引器，图2是小林绘制的该牵引器在使用过程中某个瞬间的示意图，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，已知，和始终垂直于地面，若与水平地面平行，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（  ） A． B． C． D． 5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．若点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“<”连接的结果为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点F，分别以点 F，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点E，连接．若，，则的长为（   ） A．5 B． C．15 D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 9．每年的3月5日，既是缅怀雷锋同志的学雷锋纪念日，也是青年学子践行志愿精神的中国青年志愿者服务日．今年学雷锋纪念日某校团委号召团员积极参与志愿者服务活动，小明和小亮准备从图书馆、博物馆、养老院三个志愿服务点随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一志愿服务点的概率是________． 10．因式分解：a3－a=______． 11．如图，在中，，，点为的中点，连接并延长到点，连接．若，则线段的长为________． 12．如图1是一个水杯杯架，水杯不盛水时如图1放置在桌面上，这样可以快速晾干杯底，干净透气，其挂水杯后的示意图如图2所示，水杯可看作矩形，此时杯口最低点C与杯架底端在同一条直线上，且杯口与杯架底端的夹角为，杯架底端与桌面之间的距离为，点 A 到桌面的距离为，交于点 E，交于点 P．若，则点A 到桌面的距离的长约为________．（结果精确到．参考数据： ） 三、解答题（本大题共7个小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13．（10分）(1)； (2)． 14．（7分）安全教育无小事．某校在春季学期开学之初，开展了多场“消防安全”专题讲座并组织每班的安全标兵参加了“消防安全”知识竞赛．信息一：在“消防安全”讲座结束后，校方对学生最感兴趣的内容进行了问卷调查（调查问卷如图所示）．所有问卷全部收回且有效，并对调查结果进行抽样汇总，得到了下面的统计图．信息二：七、八年级各11名安全标兵参加“消防安全”知识竞赛的成绩（单位：分，满分100分）如下：七年级安全标兵竞赛成绩：86，88，93，79，93，87，93，90，93，99，100．八年级安全标兵竞赛成绩：87，95，91，90，92，90，94，91，91，89，91．请根据信息回答问题． “消防安全”讲座 最感兴趣的内容调查问卷在讲座中，你最感兴趣的内容是（    ）（单选） A．相关法律法规 B．灭火方法和逃生技巧 C．生活中的安全隐患及预防办法 D．其他 平均数/分 中位数/分 众数/分 七年级 91 93 八年级 91 91 (1)①__________，__________． ②在扇形统计图中，“A”所对应的扇形圆心角的度数为__________，并补全条形统计图． (2)估计全校1700名学生中最感兴趣的内容是“灭火方法和逃生技巧”的学生人数． (3)小吴认为七年级和八年级竞赛成绩的平均数相同，因此两个年级的成绩一样好．你认为小吴的说法是否合理，请结合上表中的数据说明理由（写出一条即可）． 15．（10分）根据表中素材，探索并完成任务． 背景 某学校在春节组织学生开展文艺表演活动时，去礼品店购买、两种款式的沙漏作为奖品． 素材 若买10件款沙漏，30件款沙漏，共需1150元；若买30件型沙漏，20件型沙漏，共需1350元． 素材 为了满足顾客的需求，礼品店推出每件5元的加礼盒包装服务，顾客在选完款式后可以自主选择加包装一份或者不加包装． 问题解决： (1)款沙漏和款沙漏的销售单价各是多少元？ (2)在不加礼盒包装的情况下，购买、两种款式的沙漏（两种都要），刚好花600元，请问有哪几种购买方案？ (3)根据素材2，学校恰好用了950元购买、两款沙漏，每款都有加包装和不加包装的沙漏，其中款不加包装的件数是总件数的，则其中型加包装的沙漏买了多少件？ 16．（12分）如图，在中，，为的直径，与相交于点D，过点D作于点E，延长线交于点F． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 17．（12分）综合与实践 【问题背景】近年，省教育厅明确将“坚持健康第一的教育理念”纳入中考体育方案，部署“六大行动”，要求把“健康第一”从口号转变为硬任务．某校九年级以“强体魄，迎中考”为主题，针对中考球类项目举办校园篮球定点投篮赛． 素材1 学校组织九年级5个班级各抽5名学生进行定点投篮赛，采用抽签的形式决定参赛顺序，以参赛学生个人得分总和为班级得分． 素材2 说明：经赛前进行投篮实践检测，得到如下结论． （1）篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足时，篮球即可命中篮筐． （2）投篮后，如果篮球（P）不接触篮板、篮筐，且运动轨迹恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”． （3）篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，某一个同学在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 素材3 如图所示，本次比赛中某同学初次投篮时的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 他篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米（国际标准高度为米，为了计算方便取3米），篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 【问题解决】认真阅读以上素材内容，完成下列问题； (1)任务一：这个同学投篮时，篮球运动轨迹所成抛物线的顶点坐标为______； (2)任务二：该同学初次投篮时能否命中篮筐，请说明理由； (3)任务三：该班数学兴趣小组同学对该同学的初次投篮数据进行研究后，让该同学在原来位置向前走了d米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求d的值（保留根号）． 18．（13分）菱形中，点F是射线上一点，且满足，连接、，以点F为圆心，长为半径画弧，交直线于点E． (1)如图1，当是直角时，判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； (2)如图2，当是锐角时，求证：； (3)若，，请直接写出菱形的面积． / 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 2．为保障粮食安全，我国力争将粮食产量稳定在1.4万亿斤左右，彰显端牢中国饭碗、守护天下粮安的大国担当和坚定决心．数据1.4万亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．如图1是某小区安装的上肢牵引器，图2是小林绘制的该牵引器在使用过程中某个瞬间的示意图，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，已知，和始终垂直于地面，若与水平地面平行，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（  ） A． B． C． D． 5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．若点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“<”连接的结果为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点F，分别以点 F，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点E，连接．若，，则的长为（   ） A．5 B． C．15 D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 9．每年的3月5日，既是缅怀雷锋同志的学雷锋纪念日，也是青年学子践行志愿精神的中国青年志愿者服务日．今年学雷锋纪念日某校团委号召团员积极参与志愿者服务活动，小明和小亮准备从图书馆、博物馆、养老院三个志愿服务点随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一志愿服务点的概率是________． 10．因式分解：a3－a=______． 11．如图，在中，，，点为的中点，连接并延长到点，连接．若，则线段的长为________． 12．如图1是一个水杯杯架，水杯不盛水时如图1放置在桌面上，这样可以快速晾干杯底，干净透气，其挂水杯后的示意图如图2所示，水杯可看作矩形，此时杯口最低点C与杯架底端在同一条直线上，且杯口与杯架底端的夹角为，杯架底端与桌面之间的距离为，点 A 到桌面的距离为，交于点 E，交于点 P．若，则点A 到桌面的距离的长约为________．（结果精确到．参考数据： ） 三、解答题（本大题共7个小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13．（10分）(1)； (2)． 14．（7分）安全教育无小事．某校在春季学期开学之初，开展了多场“消防安全”专题讲座并组织每班的安全标兵参加了“消防安全”知识竞赛．信息一：在“消防安全”讲座结束后，校方对学生最感兴趣的内容进行了问卷调查（调查问卷如图所示）．所有问卷全部收回且有效，并对调查结果进行抽样汇总，得到了下面的统计图．信息二：七、八年级各11名安全标兵参加“消防安全”知识竞赛的成绩（单位：分，满分100分）如下：七年级安全标兵竞赛成绩：86，88，93，79，93，87，93，90，93，99，100．八年级安全标兵竞赛成绩：87，95，91，90，92，90，94，91，91，89，91．请根据信息回答问题． “消防安全”讲座 最感兴趣的内容调查问卷在讲座中，你最感兴趣的内容是（    ）（单选） A．相关法律法规 B．灭火方法和逃生技巧 C．生活中的安全隐患及预防办法 D．其他 平均数/分 中位数/分 众数/分 七年级 91 93 八年级 91 91 (1)①__________，__________． ②在扇形统计图中，“A”所对应的扇形圆心角的度数为__________，并补全条形统计图． (2)估计全校1700名学生中最感兴趣的内容是“灭火方法和逃生技巧”的学生人数． (3)小吴认为七年级和八年级竞赛成绩的平均数相同，因此两个年级的成绩一样好．你认为小吴的说法是否合理，请结合上表中的数据说明理由（写出一条即可）． 15．（10分）根据表中素材，探索并完成任务． 背景 某学校在春节组织学生开展文艺表演活动时，去礼品店购买、两种款式的沙漏作为奖品． 素材 若买10件款沙漏，30件款沙漏，共需1150元；若买30件型沙漏，20件型沙漏，共需1350元． 素材 为了满足顾客的需求，礼品店推出每件5元的加礼盒包装服务，顾客在选完款式后可以自主选择加包装一份或者不加包装． 问题解决： (1)款沙漏和款沙漏的销售单价各是多少元？ (2)在不加礼盒包装的情况下，购买、两种款式的沙漏（两种都要），刚好花600元，请问有哪几种购买方案？ (3)根据素材2，学校恰好用了950元购买、两款沙漏，每款都有加包装和不加包装的沙漏，其中款不加包装的件数是总件数的，则其中型加包装的沙漏买了多少件？ 16．（12分）如图，在中，，为的直径，与相交于点D，过点D作于点E，延长线交于点F． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 17．（12分）综合与实践 【问题背景】近年，省教育厅明确将“坚持健康第一的教育理念”纳入中考体育方案，部署“六大行动”，要求把“健康第一”从口号转变为硬任务．某校九年级以“强体魄，迎中考”为主题，针对中考球类项目举办校园篮球定点投篮赛． 素材1 学校组织九年级5个班级各抽5名学生进行定点投篮赛，采用抽签的形式决定参赛顺序，以参赛学生个人得分总和为班级得分． 素材2 说明：经赛前进行投篮实践检测，得到如下结论． （1）篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足时，篮球即可命中篮筐． （2）投篮后，如果篮球（P）不接触篮板、篮筐，且运动轨迹恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”． （3）篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，某一个同学在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 素材3 如图所示，本次比赛中某同学初次投篮时的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 他篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米（国际标准高度为米，为了计算方便取3米），篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 【问题解决】认真阅读以上素材内容，完成下列问题； (1)任务一：这个同学投篮时，篮球运动轨迹所成抛物线的顶点坐标为______； (2)任务二：该同学初次投篮时能否命中篮筐，请说明理由； (3)任务三：该班数学兴趣小组同学对该同学的初次投篮数据进行研究后，让该同学在原来位置向前走了d米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求d的值（保留根号）． 18．（13分）菱形中，点F是射线上一点，且满足，连接、，以点F为圆心，长为半径画弧，交直线于点E． (1)如图1，当是直角时，判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； (2)如图2，当是锐角时，求证：； (3)若，，请直接写出菱形的面积． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，设点表示的数为，根据点在数轴上的位置，判断出的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可． 【详解】解：设点表示的数为，由图可知：， ∵，即：，故选项A不符合题意； ∵，即：，故选项B不符合题意； ∵，即：，故选项C符合题意； ∵，即：，故选项D不符合题意； 故选C． 2．为保障粮食安全，我国力争将粮食产量稳定在1.4万亿斤左右，彰显端牢中国饭碗、守护天下粮安的大国担当和坚定决心．数据1.4万亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【分析】先将1.4万亿换算为标准形式，再根据科学记数法的定义确定结果，科学记数法的表示形式为，要求，为整数． 【详解】解：∵1万亿 ， ∴1.4万亿 ，因此答案选B． 3．如图1是某小区安装的上肢牵引器，图2是小林绘制的该牵引器在使用过程中某个瞬间的示意图，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，已知，和始终垂直于地面，若与水平地面平行，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【分析】过点B作，推导出，得到求出，，则，即可解答． 【详解】解：过点B作，如图 ∴， ∵和始终垂直于地面，与水平地面平行， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 4．在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（  ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了俯视图，熟记俯视图的概念是解题关键． 根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得． 【详解】解：榫的俯视图是： 故选：D． 5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】求出不等式组的解集，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解： 解不等式①得； 解不等式②得； ∴该不等式组的解集为， 在数轴上表示解集为． 6．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】运用合并同类项法则和幂的乘方法则，逐一判断即可得到正确结果． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，该项错误； B．根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，可得，该项错误； C．与不是同类项，不能合并，该项错误； D．根据合并同类项法则，系数相加，字母和指数不变，可得，该项正确． 【答案】D 7．若点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“<”连接的结果为（   ） A． B． C． D． 【分析】根据判断反比例函数的图象所在象限和单调性，再根据各点横坐标的符号判断点所在象限，结合单调性比较函数值大小即可． 【详解】解：∵反比例函数为， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵点，，都在该反比例函数图象上，且， ∴点，在第三象限，点在第一象限， ∴，，， 又∵在第三象限内随的增大而减小，， ∴． 【答案】A 8．如图，在中，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点F，分别以点 F，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点E，连接．若，，则的长为（   ） A．5 B． C．15 D． 【分析】连接，设交于点H，由作图可得，，平分，根据菱形的判定证明四边形是菱形，则，，，在中利用勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，设交于点H． 由作图可得，，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形． ∴，，． 在中，根据勾股定理，得 ， ∴． 【答案】B 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 9．每年的3月5日，既是缅怀雷锋同志的学雷锋纪念日，也是青年学子践行志愿精神的中国青年志愿者服务日．今年学雷锋纪念日某校团委号召团员积极参与志愿者服务活动，小明和小亮准备从图书馆、博物馆、养老院三个志愿服务点随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一志愿服务点的概率是________． 【分析】根据题意画出树状图，得到小明和小亮选择志愿服务点的所有情况，找出符合题意的情况，利用概率公式求解即可． 【详解】解：令志愿服务点图书馆、博物馆、养老院分别为A、B、C， 小明和小亮选择志愿服务点的所有情况，画树状图如下： 则小明和小亮选择志愿服务点有9种情况，其中两人恰好选择同一志愿服务点有3种情况， 因此，两人恰好选择同一志愿服务点的概率是． 10．因式分解：a3－a=______． 【答案】a（a－1）（a + 1） 【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解：a3-a =a（a2-1） =a（a+1）（a-1） 故答案为：a（a－1）（a + 1）． 11．如图，在中，，，点为的中点，连接并延长到点，连接．若，则线段的长为________． 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理及勾股定理的综合应用，解题关键是通过作辅助线构造等腰三角形的高，利用角的关系证明平行线与全等三角形，再结合中位线定理与勾股定理求解．先由等腰三角形三线合一得到平分，结合推出，进而证得；再利用证明，得到线段等量关系，结合三角形中位线定理求出相关线段长度，最后通过勾股定理计算出的长，进而求得的长度． 【详解】解：， 为等腰三角形， 过点作， 平分，， ， ， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ，， ，为中点， 为的中位线， ，为中点， 在中，， ，， 在中，， ， ， ． 故答案为：． 12．如图1是一个水杯杯架，水杯不盛水时如图1放置在桌面上，这样可以快速晾干杯底，干净透气，其挂水杯后的示意图如图2所示，水杯可看作矩形，此时杯口最低点C与杯架底端在同一条直线上，且杯口与杯架底端的夹角为，杯架底端与桌面之间的距离为，点 A 到桌面的距离为，交于点 E，交于点 P．若，则点A 到桌面的距离的长约为________．（结果精确到．参考数据： ） 【答案】13 【分析】可证明，解求出的长，则可求出的长，再解求出的长即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 在中， ∴， ， ∴； 在中，∵ ∴． 根据题意，得， ∴． 三、解答题（本大题共6个小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13．（10分）计算： (1)； (2)． 【解析】（1）解： (4分) ；(5分) （2）解： ( 6分) (7分) (8分) (9分) (10分) 14．（7分）安全教育无小事．某校在春季学期开学之初，开展了多场“消防安全”专题讲座并组织每班的安全标兵参加了“消防安全”知识竞赛．信息一：在“消防安全”讲座结束后，校方对学生最感兴趣的内容进行了问卷调查（调查问卷如图所示）．所有问卷全部收回且有效，并对调查结果进行抽样汇总，得到了下面的统计图．信息二：七、八年级各11名安全标兵参加“消防安全”知识竞赛的成绩（单位：分，满分100分）如下：七年级安全标兵竞赛成绩：86，88，93，79，93，87，93，90，93，99，100．八年级安全标兵竞赛成绩：87，95，91，90，92，90，94，91，91，89，91．请根据信息回答问题． “消防安全”讲座 最感兴趣的内容调查问卷在讲座中，你最感兴趣的内容是（    ）（单选） A．相关法律法规 B．灭火方法和逃生技巧 C．生活中的安全隐患及预防办法 D．其他 平均数/分 中位数/分 众数/分 七年级 91 93 八年级 91 91 (1)①__________，__________． ②在扇形统计图中，“A”所对应的扇形圆心角的度数为__________，并补全条形统计图． (2)估计全校1700名学生中最感兴趣的内容是“灭火方法和逃生技巧”的学生人数． (3)小吴认为七年级和八年级竞赛成绩的平均数相同，因此两个年级的成绩一样好．你认为小吴的说法是否合理，请结合上表中的数据说明理由（写出一条即可）． （1）解：①七年级的中位数为排序后的第6位数，即；（1分） 八年级中91出现的次数最多， ∴众数；（2分） ②总数为（人）， “A”所对应的扇形圆心角的度数为；（3分） 选项B的人数为（人）， 补全条形统计图如答图所示． （4分） （2）解：（人）， 答：全校最感兴趣的内容是“灭火方法和逃生技巧”的学生约为782人；（5分） （3）解：不合理．理由如下：（6分） 答案不唯一，例如：①从中位数的角度看，七年级竞赛成绩的中位数为93分，高于八年级竞赛成绩的中位数91分，因此七年级的成绩更好．（7分） ②从众数的角度看，七年级竞赛成绩的众数为93分，高于八年级竞赛成绩的众数91分，因此七年级的成绩更好．（7分） 15．（10分）根据表中素材，探索并完成任务． 背景 某学校在春节组织学生开展文艺表演活动时，去礼品店购买、两种款式的沙漏作为奖品． 素材 若买10件款沙漏，30件款沙漏，共需1150元；若买30件型沙漏，20件型沙漏，共需1350元． 素材 为了满足顾客的需求，礼品店推出每件5元的加礼盒包装服务，顾客在选完款式后可以自主选择加包装一份或者不加包装． 问题解决： (1)款沙漏和款沙漏的销售单价各是多少元？ (2)在不加礼盒包装的情况下，购买、两种款式的沙漏（两种都要），刚好花600元，请问有哪几种购买方案？ (3)根据素材2，学校恰好用了950元购买、两款沙漏，每款都有加包装和不加包装的沙漏，其中款不加包装的件数是总件数的，则其中型加包装的沙漏买了多少件？ 【详解】（1）解：设款沙漏和款沙漏的销售单价分别为元、元． 由题意得：，（2分）解得： 答：款沙漏和款沙漏的销售单价分别为25元，30元；（3分） （2）解：设购买种款式的沙漏与种款式的沙漏分别为件，件， 由题意得：，（4分） 整理得：， 、均为正整数， 或或，（5分） 有3种购买方案；分别是 件，件；件，件；件，件．（6分） （3）解：设款不加包装的沙漏买了件，款加包装的沙漏和款不加包装的沙漏买了件，则款加包装的沙漏买了件，即件， 由题意得：，（7分） 整理得：，（8分） 、、均为正整数， （9分） ， 答：款加包装的沙漏买了3件．(10分) 16．（12分）如图，在中，，为的直径，与相交于点D，过点D作于点E，延长线交于点F． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴，（1分） ∵， ∴，（2分） ∴， ∴，（3分） ∵， ∴，（4分） ∵是的半径， ∴是的切线；（5分） （2）解：如图，过点作于点H，则，（6分） ∴四边形是矩形， ∴，，（7分） ∵， ∴，（8分） ∴，（9分） ∴，，（10分） ∴， ∴，（11分） ∴．（12分） 17．（12分）综合与实践 【问题背景】近年，省教育厅明确将“坚持健康第一的教育理念”纳入中考体育方案，部署“六大行动”，要求把“健康第一”从口号转变为硬任务．某校九年级以“强体魄，迎中考”为主题，针对中考球类项目举办校园篮球定点投篮赛． 素材1 学校组织九年级5个班级各抽5名学生进行定点投篮赛，采用抽签的形式决定参赛顺序，以参赛学生个人得分总和为班级得分． 素材2 说明：经赛前进行投篮实践检测，得到如下结论． （1）篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足时，篮球即可命中篮筐． （2）投篮后，如果篮球（P）不接触篮板、篮筐，且运动轨迹恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”． （3）篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，某一个同学在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 素材3 如图所示，本次比赛中某同学初次投篮时的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 他篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米（国际标准高度为米，为了计算方便取3米），篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 【问题解决】认真阅读以上素材内容，完成下列问题； (1)任务一：这个同学投篮时，篮球运动轨迹所成抛物线的顶点坐标为______； (2)任务二：该同学初次投篮时能否命中篮筐，请说明理由； (3)任务三：该班数学兴趣小组同学对该同学的初次投篮数据进行研究后，让该同学在原来位置向前走了d米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求d的值（保留根号）． 【解析】（1）解：由题意可知，篮球最大高度为米，（1分） 顶点C的水平坐标为米，（2分） 因此顶点坐标为；（3分） （2）解：该同学初次投篮时不能命中篮筐． 理由：由题意得：点，抛物线顶点， 设抛物线的解析式为，（4分） ， 解得：，（5分） ． 当时，，（6分） ∵时，篮球可命中篮筐， ∴该同学初次投篮时不能命中篮筐；（7分） （3）解：新的抛物线解析式为：，（8分） 根据题意得抛物线过点， ∴，（9分） 解得：或，（10分） 当时，抛物线的顶点坐标为，此时，不符合题意，舍去，（11分） 答：的值为．（12分） 18．（13分）菱形中，点F是射线上一点，且满足，连接、，以点F为圆心，长为半径画弧，交直线于点E． (1)如图1，当是直角时，判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； (2)如图2，当是锐角时，求证：； (3)若，，请直接写出菱形的面积． 【解析】（1），且，理由如下： ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形，（1分） ∴，对角线平分，即， 又∵， ∴，（2分） ∴，． ∵以为圆心、为半径画弧交于， ∴， ∴．（3分） ∵，， ∴在中，， ∴，． ∵， ∴，（4分） ∴在中，， ∴， ∴；（5分） （2）证明：∵四边形是菱形， ∴，，平分， ∴，（6分） ∵， ∴，， ∵， ∴，（7分） 由图可得，， ∴．（8分） 在和中， ， ∴， ∴；（9分） （3）解：当在线段上时，连接交于点，如图， ∵，，且， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形是菱形，（10分） ∴，， 在中，， ∴， ∴；（11分） 当点在的延长线上时，连接交于点，如图， ∵，且， ∴， ∴，（12分） ∵四边形是菱形， ∴，， 在中，， ∴， ∴．（13分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 C B C D A D A B 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 9． 10．a（a－1）（a + 1） 11． 12．13 三、解答题（本大题共6个小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13．（10分） 【解析】（1）解： (4分) ；(5分) （2）解： ( 6分) (7分) (8分) (9分) (10分) 14．（7分） （1）解：①七年级的中位数为排序后的第6位数，即；（1分） 八年级中91出现的次数最多， ∴众数；（2分） ②总数为（人）， “A”所对应的扇形圆心角的度数为；（3分） 选项B的人数为（人）， 补全条形统计图如答图所示． （4分） （2）解：（人）， 答：全校最感兴趣的内容是“灭火方法和逃生技巧”的学生约为782人；（5分） （3）解：不合理．理由如下：（6分） 答案不唯一，例如：①从中位数的角度看，七年级竞赛成绩的中位数为93分，高于八年级竞赛成绩的中位数91分，因此七年级的成绩更好．（7分） ②从众数的角度看，七年级竞赛成绩的众数为93分，高于八年级竞赛成绩的众数91分，因此七年级的成绩更好．（7分） 15．（10分） 【详解】（1）解：设款沙漏和款沙漏的销售单价分别为元、元． 由题意得：，（2分）解得： 答：款沙漏和款沙漏的销售单价分别为25元，30元；（3分） （2）解：设购买种款式的沙漏与种款式的沙漏分别为件，件， 由题意得：，（4分） 整理得：， 、均为正整数， 或或，（5分） 有3种购买方案；分别是 件，件；件，件；件，件．（6分） （3）解：设款不加包装的沙漏买了件，款加包装的沙漏和款不加包装的沙漏买了件，则款加包装的沙漏买了件，即件， 由题意得：，（7分） 整理得：，（8分） 、、均为正整数， （9分） ， 答：款加包装的沙漏买了3件．(10分) 16．（12分） 【详解】（1）证明：∵， ∴，（1分） ∵， ∴，（2分） ∴， ∴，（3分） ∵， ∴，（4分） ∵是的半径， ∴是的切线；（5分） （2）解：如图，过点作于点H，则，（6分） ∴四边形是矩形， ∴，，（7分） ∵， ∴，（8分） ∴，（9分） ∴，，（10分） ∴， ∴，（11分） ∴．（12分） 17．（12分） 【解析】（1）解：由题意可知，篮球最大高度为米，（1分） 顶点C的水平坐标为米，（2分） 因此顶点坐标为；（3分） （2）解：该同学初次投篮时不能命中篮筐． 理由：由题意得：点，抛物线顶点， 设抛物线的解析式为，（4分） ， 解得：，（5分） ． 当时，，（6分） ∵时，篮球可命中篮筐， ∴该同学初次投篮时不能命中篮筐；（7分） （3）解：新的抛物线解析式为：，（8分） 根据题意得抛物线过点， ∴，（9分） 解得：或，（10分） 当时，抛物线的顶点坐标为，此时，不符合题意，舍去，（11分） 答：的值为．（12分） 18．（13分） 【解析】（1），且，理由如下： ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形，（1分） ∴，对角线平分，即， 又∵， ∴，（2分） ∴，． ∵以为圆心、为半径画弧交于， ∴， ∴．（3分） ∵，， ∴在中，， ∴，． ∵， ∴，（4分） ∴在中，， ∴， ∴；（5分） （2）证明：∵四边形是菱形， ∴，，平分， ∴，（6分） ∵， ∴，， ∵， ∴，（7分） 由图可得，， ∴．（8分） 在和中， ， ∴， ∴；（9分） （3）解：当在线段上时，连接交于点，如图， ∵，，且， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形是菱形，（10分） ∴，， 在中，， ∴， ∴；（11分） 当点在的延长线上时，连接交于点，如图， ∵，且， ∴， ∴，（12分） ∵四边形是菱形， ∴，， 在中，， ∴， ∴．（13分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共12分） 9．_________________ 10．___________________ 11．__________________ 12．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共6个小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13．（10分）(1)； (2)． 14. （7分） (1)①__________，__________． ②在扇形统计图中，“A”所对应的扇形圆心角的度数为__________，并补全条形统计图． (2)估计全校1700名学生中最感兴趣的内容是“灭火方法和逃生技巧”的学生人数． (3)小吴认为七年级和八年级竞赛成绩的平均数相同，因此两个年级的成绩一样好．你认为小吴的说法是否合理，请结合上表中的数据说明理由（写出一条即可）． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15. （10分） 16（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $