6.5.2 平面与平面垂直 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

第六章 立体几何初步 6.5.2 平面与平面垂直 互动设计课程 1 学 习 目 标 1 2 3 理解二面角及其平面角的概念，能识别和作出二面角的平面角。知道直二面角与两个平面互相垂直的关系。 掌握平面与平面垂直的判定定理，能运用定理证明两个平面垂直。掌握平面与平面垂直的判定定理，能运用定理证明两个平面垂直。掌握平面与平面垂直的性质定理，能利用性质进行线面垂直的判定和计算。 经历直观感知、操作确认、思辨论证的过程，发展空间想象能力和逻辑推理能力。 新课引入 实际场景 建筑工地上，工人用铅垂线检查墙与地面的关系 教室中墙面与地板的交线， 书本翻开直立于桌面。 问题 为什么铅垂线与地面垂直，就能保证墙与地面垂直？ 本书打开放在桌面上，怎样放置才能使书页所在的两个平面“垂直”？ 我们已学过异面直线所成的角、直线与平面所成的角，那么两个平面“倾斜”程度又该如何刻画？ 互动探究 活动1：感知二面角 平面与平面垂直 每位同学打开课本，观察封面和封底所夹的“空间部分”。同桌相互指出棱和两个半平面，感受二面角的变化。 棱 半平面 半平面 提问：能否用某一个平面内的角来度量这个二面角的大小？怎么作出这个角？ 小组合作：在硬纸板上画出一个二面角模型。用直角三角板从棱上一点出发，分别在两个面内作垂直于棱的射线，测量夹角。 讨论：二面角的平面角与选取点的位置有关吗？二面角范围是多少？ 互动探究 活动2：折纸探索判定定理 平面与平面垂直 每人一张矩形纸片（模拟平面），将其一部分折起，使其一边竖立在桌面上。 思考：折起的直立部分所在的平面，与桌面所在平面是否一定垂直？如何让它们一定垂直？ 发现：只要折叠部分过桌面的一条垂线，则两面垂直。 这是面面垂直判定定理的雏形，希望同学们能用符号语言表达。 讲解知识 二面角与直二面角 平面与平面垂直 1. 二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角。这条直线叫棱，两个半平面叫面。 记作：α-l-β（或二面角 P-l-Q）。 2. 二面角的平面角 在棱 l 上任取一点 O，分别在两个面内作垂直于棱的射线 OA、OB，则 ∠AOB 叫作二面角的平面角。 平面角的大小与点 O 在棱上的位置无关。 二面角的大小用平面角来度量，范围是 。 讲解知识 二面角与直二面角 平面与平面垂直 3.直二面角与面面垂直 平面角是直角的二面角叫作直二面角。 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。记作 α⟂β。 讲解知识 平面与平面垂直的判定定理 平面与平面垂直 1.定理 定理（线面垂直→面面垂直） 如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 符号语言： 若 a⊂α，a⟂β，则 α⟂β。 (1)两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况. 例如长方体中任意相邻两个面都是互相垂直的. (2)两个平面垂直和两条直线互相垂直的共同点：都是通过所成的角是直角定义的. (3)通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直. 证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决. 2.解读 讲解知识 平面与平面垂直的判定定理 平面与平面垂直 体验 1.在二面角 α-l-β 的棱 l 上任选一点 O，若∠AOB 是二面角 α-l-β 的平面角，则必须具有的条件是( ) A.AO⟂BO，AO⊂α，BO⊂β B. AO⟂l，BO⟂l C.AB⟂l，AO⊂α，BO⊂β D.AO⟂l，BO⟂l，且AO⊂α，BO⊂β 由二面角平面角定义知，选D. 讲解知识 平面与平面垂直的判定定理 平面与平面垂直 体验 2. 如图所示，在三棱锥 P-ABC 中，若 PA⟂PB，PB⟂PC，PC⟂PA，则在三棱锥 P-ABC 的四个面中，互相垂直的面有 对． 【解析】平面 PAB⟂ 平面 PAC，平面 PAB⟂ 平面 PBC，平面 PAC⟂ 平面 PBC. 答案：3 讲解知识 平面与平面垂直的判定定理 平面与平面垂直 体验 2. 如图所示，在三棱锥 P-ABC 中，若 PA⟂PB，PB⟂PC，PC⟂PA，则在三棱锥 P-ABC 的四个面中，互相垂直的面有 对． 【解析】平面 PAB⟂ 平面 PAC，平面 PAB⟂ 平面 PBC，平面 PAC⟂ 平面 PBC. 答案：3 典例分析 题型1 二面角的有关概念 1.如图，AC⟂ 平面 BCD，BD⟂CD，AC= AD，求二面角 A-BD-C 的大小。 【解析】因为 AC⟂ 平面 BCD，BD⊂ 平面 BCD， 所以 BD⟂AC.又因为 BD⟂CD，AC∩CD=C， 所以 BD⟂ 平面 ACD.因为 AD⊂ 平面 ACD，所以 AD⟂BD，所以 ∠ADC 即为二面角 A-BD-C 的平面角. 定角 定量 在 Rt△ACD 中 AC= AD，所以 ∠ADC=. 答案： 典例分析 题型1 二面角的有关概念 2.如图，在正方体 ABCD- 中，求二面角 B- 的正切值。 取 的中点 O，连接 ，BO。 由题意知 ， 又 ，O 为 的中点，所以 BO⟂， 所以 ∠BO 即是二面角 的平面角。 定角 定量 因为 平面 ， 平面 ， 所以 。设正方体的棱长为 ，则 ， 在 典例分析 题型1 二面角的有关概念 求二面角大小的步骤 作：作出平面角 证：证明所作的角满足定义，即为所求二面角的平面角 求：将作出的角放在三角形中，计算出平面角的大小 简称为“一作二证三求”。 微提醒：找二面角的平面角可以从与二面角的棱垂直的边入手，根据定义确定平面角。 典例分析 题型2 面面垂直判定 3.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，∠BAD=∠CDA=，PA⟂ 平面 ABCD，PA=AD=DC=1，AB=2。证明：平面 PAC⟂ 平面 PBC。 线面垂直 【证明】由已知得 ， ，， 所以 ，所以 。 因为 平面 ， 平面 ， 所以 ，又 ， 所以 平面 。 面面垂直 因为 BC⊂ 平面 PBC，所以平面 PAC⟂ 平面 PBC。 典例分析 题型2 面面垂直判定 3.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，∠BAD=∠CDA=，PA⟂ 平面 ABCD，PA=AD=DC=1，AB=2。证明：平面 PAC⟂ 平面 PBC。 线面垂直 【证明】由已知得 ， ，， 所以 ，所以 。 因为 平面 ， 平面 ， 所以 ，又 ， 所以 平面 。 面面垂直 因为 BC⊂ 平面 PBC，所以平面 PAC⟂ 平面 PBC。 典例分析 题型2 面面垂直判定 4.如图，在正三棱柱 ABC- 中，点 D 在棱 B 上，点 E 为 的中点。证明：平面 ⟂ 平面 BC。 线面垂直 【证明】因为三棱柱 是直三棱柱， 所以 平面 ， 又 平面 ， 所以 。因为 是正三角形， 所以 也是正三角形， 又点 为 的中点， 所以 。 又 ， 所以 平面 。 面面垂直 又 ⊂ 平面 ， 所以平面 DE⟂ 平面 BC。 典例分析 题型2 面面垂直判定 5.如图，已知 ∠BSC=，∠BSA=∠CSA=，又 SA=SB=SC，求证：平面 ABC⟂ 平面 SBC。 作二面角的平面角 【证明】 因为 ∠𝐵𝑆𝐴=∠𝐶𝑆𝐴=，𝑆𝐴=𝑆𝐵=𝑆𝐶， 所以 △𝐴𝑆𝐵 和 △𝐴𝑆𝐶 都是等边三角形， 则有 𝑆𝐴=𝑆𝐵=𝑆𝐶=𝐴𝐵=𝐴𝐶，令其值为 𝑎， 则 △𝐴𝐵𝐶 和 △𝑆𝐵𝐶 为共底边 𝐵𝐶 的等腰三角形， 取 𝐵𝐶 的中点 𝐷，连接 𝐴𝐷，𝑆𝐷， 则 𝐴𝐷⟂𝐵𝐶，𝑆𝐷⟂𝐵𝐶， 所以 ∠𝐴𝐷𝑆 为二面角 𝐴−𝐵𝐶−𝑆 的平面角 计算角为直角 在 Rt△BSC 中，因为 SB=SC=， 所以 SD=，BD==， 在 Rt△ADB 中，AD=， 因为 ， 所以 ∠ADS=。 即二面角 A-BC-S 为直二面角， 典例分析 题型2 面面垂直判定 一、利用定义证面面垂直 找到或作二面角的平面角，计算出它为直二面角，即证明面面垂直 二、利用判定定理证面面垂直（重点） 利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直．即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是： 定思路：分析题意，根据题目条件选择证明哪个平面的垂线 证线面：恰当选择方法证明线面垂直 证面面：根据面面垂直的判定定理证明 典例分析 题型3 面面垂直性质应用 6.在三棱锥 P-ABC 中，平面 PAB⟂ 平面 ABC，平面 PAB∩ 平面 ABC=AB，PA=PB，CA=CB。求证：AB⟂PC。 先面面垂直 证明： 取 AB 中点 O，连接 PO,CO。 ∵ PA=PB，∴ PO⟂AB ∵ CA=CB，∴ CO⟂AB ∵ PO⊂ 平面 PAB，平面 PAB⟂ 平面 ABC 再线线垂直 由性质定理，PO⟂ 平面 ABC ∴ PO⟂CO，又 AB⟂PO，AB⟂CO ∴ AB⟂ 平面 POC，故 AB⟂PC 典例分析 题型3 面面垂直性质应用 7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AC∩BD=O． (1)若AC⊥PD，求证：AC⊥平面PBD； (2)若平面PAC⊥平面ABCD，求证：PB=PD． （1）线面垂直证明 证明：(1)因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD． 又因为AC⊥PD，PD∩BD=D， 所以AC⊥平面PBD （2）用性质得线线垂直 (2)由(1)知AC⊥BD． 因为平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC， BD⊂平面ABCD， 所以BD⊥平面PAC． 因为PO⊂平面PAC， 所以BD⊥PO． 利用平几知识证明B=PD 因为底面ABCD是菱形，所以BO=DO，所以PB=PD． 练习 1.已知 m,n 是两条不同的直线，α,β 是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若 m⟂n，m⟂α，则 n∥α B. 若 m∥α，α⟂β，则 m⟂β C. 若 m⟂α，n⟂β，α⟂β，则 m⟂n D. 若 m⊂α，n⊂β，α⟂β，则 m⟂n 答案：C 解析：C 中，m⟂α，n⟂β，α⟂β，则 m 平行于 β 内垂直于交线的直线，而 n 也垂直于该方向，故 m⟂n。 练习 2.如图，在直三棱柱 ABC- 中，∠ACB=，AC=BC==1。求证：平面 BC⟂ 平面 AB。 证 平面 即可。 ∵ ，∴ 又直三棱柱中 ∴ 平面 ，而 平面 ∴ 平面 平面 练习 3.已知平面 α⟂ 平面 β，α∩β=l，点 A∈α，A∉l，直线 AB∥l，直线 AC⟂l，直线 m∥α，m∥β。下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ） A. AB∥m B. AC⟂m C. AB∥β D. AC⟂β 答案：D 解析：由 AC⟂l 及面面垂直性质，AC⟂β 需 AC⊂α，但 AC 不一定在 α 内垂直于交线（题目只说 AC⟂l，未限定 C 的位置）。 练习 4. 如图,AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点， 求证：平面PAC⊥平面PBC. 证明：∵PA⊥平面ABC，BC ⊂平面ABC ，∵PA⊥BC，∵点C是圆周上不同于A，B的任意一点， AB为⊙O的直径，∴∠BCA＝90°， 即BC⊥CA. 又 PA∩AC=A，PA ⊂ 平面PAC，AC ⊂ 平面PAC， ∴ BC⊥平面PAC，又BC ⊂平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC. 练习 5.如图，棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B. 证明：平面AB1C⊥平面A1BC1 证明：∵四边形BCC1B1为梯形，∴BC1⊥B1C,又已知B1C⊥A1B, A1B∩BC1=B，∴B1C⊥平面A1BC1,又∵B1C在平面AB1C内， ∴平面AB1C⊥A1BC1 练习 5.如图，棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B. 证明：平面AB1C⊥平面A1BC1 证明：∵四边形BCC1B1为梯形，∴BC1⊥B1C,又已知B1C⊥A1B, A1B∩BC1=B，∴B1C⊥平面A1BC1,又∵B1C在平面AB1C内， ∴平面AB1C⊥A1BC1 练习 6.如图，在多面体EF-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD， AD=DC=CB=2，∠ABC=60°°，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形 ACEF是菱形，∠CAF=60°．求证：BF⊥AE； 证明：在等腰梯形ABCD中，由DC=AD=BC=2，可得AB=4， 则=22+42-2×2×4×cos60°=12， ∴AC2+BC2=AB2，即BC⊥AC，∵平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD=AC， ∴BC⊥平面ACEF，而AE⊂平面ACEF，∴AE⊥BC，连接CF，∵四边形ACEF是菱形，∴AE⊥FC，则AE⊥面BFC，∵BF⊂面BCF，∴BF⊥AE； 学海拾贝 知识小结 维度 要点 知识网络 二面角 → 面面垂直定义 → 判定定理（线面⇒面面） → 性质定理（面面⇒线面） 思想方法 转化与化归：空间问题平面化；面面关系转化为线面关系，再转化为线线关系 易错警示 ① 面面垂直 ≠ 一个平面内所有直线垂直于另一平面；② 应用性质定理时必须强调”垂直于交线”；③ 作二面角的平面角时务必保证”垂直于棱” 生活联系 建筑检验、家具设计、机械加工中的垂直关系 感谢聆听! 北师版2019 $