精品解析：安徽芜湖市2026届高中毕业班教学质量统测数学试题

2026届芜湖市高中毕业班教学质量统测 数学试题卷 本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卷和试题卷上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卷上对应题目的答案选项涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案选项.作答非选择题时，将答案写在答题卷上对应区域，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卷交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数 满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 在平行四边形中，，设，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机变量 服从正态分布，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 有公共焦点的抛物线与椭圆相交于两点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角 中，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，且，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 关于 的方程，下列说法正确的是（ ） A. 当时，方程有两个根 B. 当方程有两个根时， C. 当时，方程有三个根 D. 当方程在区间上有三个根时， 11. 在棱长为的正四面体中，分别为棱的中点，在空间中，，记点的轨迹为曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 若线段的中点为 ，则 B. 曲线是一个圆 C. 曲线上不存在点，使得平面 D. 曲线上点到平面距离的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 等比数列的前项和为，满足，，则公比__________. 13. 已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，则__________. 14. 已知集合共有个三元子集.任意一个三元子集，定义.则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知图象的最高点为. （1）求的解析式； （2）的正零点从小到大记为，求的值. 16. 某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动， 天的人园游客量统计数据如下： 活动开展第 天 人园游客量 （百人） （1）由数据看出，可用线性回归模型拟合 与 的关系，请计算相关系数 （保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱； （2）求经验回归方程以及表中第 个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差） （3）该景区在活动期间设置 个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客人园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率. 附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，； 参考数据：，，，. 17. 在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点. （1）求该正方体被平面所截得的截面面积； （2）求证：平面； （3）点在线段上运动，设平面与平面所成夹角为，求的最大值. 18. 已知. （1）当时，求在 处的切线方程； （2）若有极值点，求的取值范围； （3）若恒成立，求的取值范围. 19. 已知直线与，直线 与、分别交于 、 两点， 为坐标原点，的面积为. （1）当直线 为的切线时，求的最小值； （2）若，点为线段的中点， （i）求动点的轨迹的方程； （ii）当直线 与轨迹仅有三个公共点、、时，是否存在最大值？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届芜湖市高中毕业班教学质量统测 数学试题卷 本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卷和试题卷上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卷上对应题目的答案选项涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案选项.作答非选择题时，将答案写在答题卷上对应区域，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卷交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数 满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得，则. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由表示所有偶数组成的集合，而， 则. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式进行求解. 【详解】由诱导公式得. 故选：C 4. 在平行四边形中，，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，. 5. 已知，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为函数在上均为增函数， 则在上为增函数， 由，得，即， 则不等式的解集为. 6. 已知随机变量 服从正态分布，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据随机变量期望及方差的性质计算求解 【详解】因为随机变量 服从正态分布，所以，， 由随机变量期望与方差的性质得， 7. 有公共焦点的抛物线与椭圆相交于两点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出的位置关系，利用已知条件求出相应的点，代入方程中建立关于的方程，解齐次方程，再由椭圆的离心率范围求解即可. 【详解】因为为抛物线与椭圆的公共焦点，且抛物线与椭圆相交于两点， 由抛物线和椭圆对称性以及可知，轴， 设点 在第一象限，如图所示： 令，此时有， 又抛物线的焦点为，所以， 所以抛物线方程为， 因为点 在抛物线上，所以，所以， 即点，又点 在椭圆上， 所以， 又，所以，所以 即，又，所以， 令 ，则，解得（舍去）或， 即， 又，所以. 8. 在锐角 中，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理结合三角形的性质可判断A；结合和差化积公式判断BCD. 【详解】在锐角 中，，则， 即，. 对于A，由，根据正弦定理可得，故A错误； 对于B，，故B正确， 对于C， ， 其中，由于的大小关系不定，的符号不定，从而导致不等式不恒成立，故C错误； 对于D，， 其中，由于的大小关系不定，的符号不定，从而导致不等式不恒成立，故D错误. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，且，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】假设，因为，所以，则， 与矛盾，假设不成立，所以，选项A正确； 注意到，当，，满足条件，选项B错误； 假设，因为，所以，则， 与矛盾，假设不成立，所以， 因为 ，所以，选项C正确； 因为， 注意到当 ，，时，，即，选项D错误. 10. 关于 的方程，下列说法正确的是（ ） A. 当时，方程有两个根 B. 当方程有两个根时， C. 当时，方程有三个根 D. 当方程在区间上有三个根时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，解方程即可判断；对于BCD，结合图象及导数的几何意义求解判断即可. 【详解】对于A，当时，方程为，则，即或，故A正确； 对于B，由于函数为过定点的直线， 当时，设，如图， 设与相切于点， 当时，，则，则，即， 则时，函数与有两个交点，则方程有两个根，故B错误； 对于C，由B知，当时，函数与有3个交点， 则方程有三个根，故C正确； 对于D，要使方程在区间上有三个根，则， 且，即，则，故D正确. 11. 在棱长为的正四面体中，分别为棱的中点，在空间中，，记点的轨迹为曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 若线段的中点为 ，则 B. 曲线是一个圆 C. 曲线上不存在点，使得平面 D. 曲线上点到平面距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先将正四面体还原成正方体，再建立空间直角坐标系，然后分别求选项所要求的内容. 【详解】先将正四面体放入正方体中，并建立如图所示的空间直角坐标系 因为正四面体的棱长为，所以正方体的棱长为 ， ，，，， 是 的中点，所以，同理，， ， ， ， 所以，A正确； 设，所以，，， 由题意， 化简得， 所以点的轨迹是以 为圆心，为半径的圆，B正确； 过作平面的平行平面，与有两个交点，分别为和， 当为时，， 此时，所以， 因为平面，平面，所以平面，C错误； ，，， 设平面的法向量， ，解得 所以点到平面的距离为， 因为，所以， 因为，所以， ，， ， 所以点到平面的最大距离为，D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 等比数列的前项和为，满足，，则公比__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，则， 故等比数列的公比为. 13. 已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，则__________. 【答案】0 【解析】 【分析】由题设可得，，，进而得到，进而代值求解即可. 【详解】由是定义在上的奇函数，得， 由为偶函数，得， 则，即， 则， 由，可得，即. 14. 已知集合共有个三元子集.任意一个三元子集，定义.则__________. 【答案】660 【解析】 【分析】结合分步乘法计数原理分析可得在三元子集中， 出现的次数为，进而求解即可. 【详解】对于集合中的元素，要使 在三元子集中， 则 可以从1到这个元素中任选1个， 可以从到10这个元素中任选1个， 根据分步乘法计数原理， 作为三元子集的中间数出现的次数为 则. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知图象的最高点为. （1）求的解析式； （2）的正零点从小到大记为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意知，且， ，即， ，则. 【小问2详解】 令，得， ，则， . 16. 某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动， 天的人园游客量统计数据如下： 活动开展第 天 人园游客量 （百人） （1）由数据看出，可用线性回归模型拟合 与 的关系，请计算相关系数 （保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱； （2）求经验回归方程以及表中第 个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差） （3）该景区在活动期间设置 个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客人园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率. 附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，； 参考数据：，，，. 【答案】（1），相关程度很强 （2），残差为 百人 （3） 【解析】 【分析】（1）求出、的值，利用公式求出相关系数 的值，即可得出结论； （2）利用最小二乘法公式求出、的值，可得出回归直线方程，将代入回归直线方程，结合残差的概念求解即可； （3）记从通道入园的事件为，从通道离园的事件为，结合全概率公式求解即可. 【小问1详解】 由表格中的数据可得，， 则， 由相关系数，可以推断入园游客量 与活动开展第 天相关程度很强. 【小问2详解】 ，， 故经验回归方程为. 对于表中第 个观测，入园游客量为（百人）， 预测值为（百人），残差为（百人） 【小问3详解】 记从通道入园的事件为，从通道离园的事件为， 由题意可得，，，， . 17. 在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点. （1）求该正方体被平面所截得的截面面积； （2）求证：平面； （3）点在线段上运动，设平面与平面所成夹角为，求的最大值. 【答案】（1） （2）证明：取的中点 ，连接， 因为 为的中点，所以，易得， 在正方体中，， 因为平面，所以平面， 又平面，所以. 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以. 因为平面，所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点为 ，连接，先证明，可得四边形为截面，进而求解即可； （2）取的中点 ，连接，先证明，，进而求证即可； （3）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 取的中点为 ，连接， 因为 分别为棱的中点，所以， 则四边形为截面，且， 则梯形的高为， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 建立以所在直线分别为轴的空间直角坐标系，如图所示， 则，其中， 所以， 设平面DMP的法向量为， 则 令，则， 又∵平面的法向量为， ， ∴当时，取得最大值为. 18. 已知. （1）当时，求在 处的切线方程； （2）若有极值点，求的取值范围； （3）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）由可得，构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，分析可知直线与函数的图象有交点，数形结合可得出实数的取值范围； （3）对实数进行分类讨论，当时，可知时，，不符合题意；当时，直接验证即可；当时，由参变分离可得，构造函数，其中，利用导数求出函数的最大值，综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，， 故当时，在 处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为，， 由，可得， 令，其中，则， 故函数在上为增函数，则， 故当时，直线与函数的图象有交点，设其交点横坐标为，如下图所示： 由图可知，当时，， 当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极小值，所以，实数的取值范围是. 【小问3详解】 当时，时，，不符合题意； 当时，，满足题意； 当时，由，可得， 构造函数，其中，则， 令，其中，则， 所以函数在上为减函数，且， 当时，，即， 当时，，即， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 19. 已知直线与，直线 与、分别交于 、 两点， 为坐标原点，的面积为. （1）当直线 为的切线时，求的最小值； （2）若，点为线段的中点， （i）求动点的轨迹的方程； （ii）当直线 与轨迹仅有三个公共点、、时，是否存在最大值？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）存在，且的最大值为 【解析】 【分析】（1）设点为圆上一点，先求出切线 的方程为，求出点 、 的坐标，分析可知，利用三角形的面积公式可求得的最小值； （2）（i）法一：对直线 的斜率是否存在进行分类讨论，当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为，求出点 、 、的横坐标，结合并消去参数、 可得出曲线的方程；法二：设，，设点，对点 、 的位置进行分类讨论，求出点的坐标，结合并消去参数、，可得出曲线的方程； （ii）将直线 的方程与曲线的方程联立，结合韦达定理可得出为、 的中点，通过弦长公式与韦达定理计算可得，设，，，利用平面向量数量积的运算可得，化简得出，再利用基本不等式可求得的最大值. 【小问1详解】 设点为圆上一点，则（*）， 当时，，所以直线 的斜率为， 则直线 的方程为，即， 当时，切线 的方程为 或，符合； 当时，切线 的方程为 或，符合. 综上所述，切线 的方程为， 因为直线 与、分别交于 、 两点，则且， 联立得，即，进而得， 联立可得，即，进而得， 易知，所以， 易知，则， 又因为，所以，所以， 则（当或 时均可取 ），所以的最小值为 . 【小问2详解】 （i）方法一：若直线 斜率存在，设直线 的方程为， 联立可得，联立可得， 设点，所以①，②， 又， 也即，则有③， 联立①②③消去参数与 得， 若直线 的斜率不存在，易得也满足， 综上：轨迹的方程为； 方法二：设，， 当 、 在 轴左侧时，则、，设点， 由题意知，则， 由中点坐标公式可得，， 解得，所以，整理可得； 当点 、 都在 轴左侧时，同理可得点的轨迹方程为； 当点 、 都在 轴的上方时，同理可得点的轨迹方程为； 当点 、 都在 轴的下方时，同理可得点的轨迹方程为. 综上所以，点的轨迹方程为. （ii）由题意可知直线与轨迹中的焦点在 轴上的双曲线切于点，亦为点， 联立得， 则，可得. 直线 与焦点在 轴上的双曲线交于、两点， 联立可得， 则， 由韦达定理可得，，所以， 所以， 由（i）可得，则， 所以， 再由可得，， 在中，设，则，， 在中，设，，， 因为为 的中点，所以，， 所以， 所以，即，整理可得， 由余弦定理额可得 ， 当且仅当时，取最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $