2026年 九年级数学中考二轮复习 解直角三角形的应用 解答题专题提升训练

2026年春九年级数学中考二轮复习《解直角三角形的应用》解答题专题提升训练（附答案） 一、坡度坡角问题 1．如图，某座山的主峰观景平台距水平地面的高为630米，登山者需由山底处先步行300米到达处，再由处乘坐登山缆车到达观景平台处，已知点A，B，C，D，E在同一平面内，于，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计） (1)求登山缆车上升的高度； (2)若小亮步行速度为，小亮从山底处到达山顶处大约需要30分钟，求登山缆车的速度为多少？（参考数据：，） 2．如图，华北油田国家矿山公园旁有一个信号塔（垂直地面），距离信号塔的底部点 米处（米）有一个斜坡，坡度为．当阳光与水平线夹角成时，信号塔的影子顶端正好位于点，，经测量米． (1)求点到地面的距离； (2)求信号塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，） 3．国庆节假期张亮和爸爸去垂钓园钓鱼，已知如图2，斜坡的坡度为长为5米，钓竿与水平线的夹角是，其长为6米，若钓竿与钓鱼线的夹角是． (1)求点到水平面的距离； (2)求浮漂与斜坡下端之间的距离．（结果精确到，参考数据：， 4．如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于点，坡道的坡比是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，已知米，米． (1)请求出的长； (2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，试确定该车库入口的限高数值（即点到的距离）． (3)为保障安全，车辆顶部到隧道顶部至少保留米的安全距离，现有一辆货车装满货物后高度为米，通过计算判断这辆货车能否驶入该隧道_____（填“能”或“不能”）； 5．如图是一个游乐场中击球游戏模拟图，平台与地面平行，其中于点，，，是一个斜坡，坡比为．现以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．若击球手在处将球击出，球在空中的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，当与点的水平距离为时，球运动到最高点，且距地面． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若球落在的延长线上，则称此次击球失误．请通过计算，判断此次击球是否失误． 二、仰角俯角问题 6．随着航空技术的发展，飞机已成为人们出行的重要交通工具．在某次飞机降落过程中，垂直下降的距离与水平距离之比一直保持（即每垂直下降1米，水平向前飞行20米）．小明先后两次观测山顶：第一次观测时，飞机在点P处，测得山顶A的俯角为；第二次观测时，飞机降落到点Q处，测得山顶A的俯角为，此时飞机飞行的水平距离为2000米．求第二次观测飞机到山顶的垂直距离．（，，，，，） 7．大同华严寺宝塔是中国第二高的纯木结构塔，通身采用木榫卯结构，无钉无铆．塔下有全国唯一全铜打造的千佛地宫，地宫供奉元代高僧慧明法师舍利．宝塔坐西朝东，是体现辽金建筑技艺与契丹文化的代表性建筑． 在一次“丈量家乡古建”综合实践活动中，某校数学兴趣小组来到大同华严寺，对寺内华严宝塔的高度开展实地测量．测量时，同学们在塔前水平地面的点处，测得塔顶的仰角为，随后沿水平方向后退到达点（即），在高度为的平台点处（即），再次测得塔顶的仰角为，计算华严宝塔的高度．（结果精确到，参考数据：，） 8．如图，在某机场的地面雷达观测站O，观测到空中点A处的一架飞机的仰角是，飞机沿水平线方向飞行到达点B处，此时观测到飞机的仰角是，飞机继续沿与水平线成角的方向爬升到点C处，此时观测到飞机的仰角是．已知千米．（点A，B，C，O，M，N在同一竖直平面内） (1)求O，B两点之间的距离；（结果保留根号） (2)若飞机的飞行速度保持9千米/分钟，求飞机从点B飞行到点C所用的时间是多少分钟？（结果保留根号） 9．我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆的长． (1)如图所示，将一个测角仪放置在距离灯杆底部米的点处，测角仪高为米，从点测得点的仰角为直接写出灯杆的高度________米（用含、、的代数式表示） (2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图2所示，现将一高度为米的木杆放在灯杆前，测得其影长为米，沿方向直行，测得2米的木杆，其影长，求灯杆的高为多少米？ 10．综合与实践 某校开展校园手绘平面图测绘活动，数学实践小组为标注教学楼前人工湖内小岛两端点C，D之间的距离，进行了数据测量．如图，该小组测量方案和相关数据如下： 步骤一：甲同学在教学楼五层某教室窗边安装测倾器，从测倾器顶部点A处测得小岛一端C处的俯角； 步骤二：乙同学在该教学楼三层相同位置教室窗边安装测倾器，从测倾器顶部点B处测得小岛另一端D处的俯角； 步骤三：测得测倾器高为1.6m； 步骤四：每相邻两层楼地板之间的距离为3.5m，可求得点A到水平地面的距离▲m，点B到水平地面的距离▲m． 已知图中所有点均在同一竖直平面内，且点A，B，G在同一铅垂线上，点D，C，G在同一水平线MN上． (1)补全“步骤四”中“▲”处的结果； (2)请根据上述测量方案和数据计算小岛两端C，D之间的距离（结果精确到，参考数据：，，，，，）． 三、方位角问题 11．如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东方向上，测得港口C位于B的北偏东方向上，已知港口C在灯塔M的正北方向上． (1)填空： ， ； (2)求灯塔M到轮船航线的距离； (3)求港口C与灯塔M的距离． 12．如图，一辆应急保障车在点接到指令，得知山区观测站的通讯设备出现故障．在点测得观测站位于的南偏西方向上．应急保障车沿正西方向行驶20公里到达点，此时测得观测站位于的南偏西方向上，同时测得物资补给站位于的西南方向．已知补给站在观测站的正西方向上．（参考数据：） (1)求观测站到应急保障车行驶路线的距离为多少公里（结果保留根号）； (2)应急保障车到达点后，立即执行双路行动：一名工作人员乘坐摩托车从点出发，沿前往补给站领取维修配件（领取时间忽略不计），之后沿赶往观测站，速度为30公里/小时．同时维修员乘应急保障车沿前往观测站检测设备，速度为25公里/小时，预计设备检测时间为35分钟；请通过计算说明：摩托车能否在维修员完成检测前，及时将维修配件送达观测站（结果保留小数点后一位）？ 13．如图，周末小明和小亮准备去公园做义务安全员，，，，，为同一平面内的五个景点．已知景点位于景点的正北方向，景点位于景点的南偏东方向且距离处米处，景点位于景点的正西方向，景点位于景点的东北方向，景点位于景点的正西方米处．（参考数据：） (1)求景点到景点的距离；（结果保留到小数点后一位） (2)小明从景点出发，沿正西方向巡视，小亮从景点出发，沿正东方向巡视，两人速度相同，当小明到达处时，小亮刚好到达边上的处，此时，处到景点的距离与处到景点的距离相等，求的长度． 14．某物流调度中心开展无人机配送航线巡检任务，如图，A处是调度中心，位于B处正北方向7千米处；C处是配送枢纽，在B处正东方向；D处是信号点，在A处南偏东方向6千米处，且在C处的东北方向．（参考数据：，，） (1)求B，C间的距离（结果保留根号）； (2)甲，乙两架巡检无人机同时出发．甲从D处沿某方向匀速飞行，乙从A处沿正南方向匀速飞行，甲的速度与乙的速度之比为．两人在上某处相遇，相遇时乙共飞行了多少千米？（结果保留小数点后一位） 15．某中学组织学生到高新产业园进行研学活动．如图，学生到达产业园大门处后按组分两条线路进行参观体验，最后前往区（人工智能与大数据平台区）集合．区（新能源装备区）位于大门的正北方400米，区（机器人与智能装备区）位于区的北偏东方向且距离区400米处，区（智慧医疗区）在大门的正东方且在区的正南方．区在区的南偏东方向，且位于区的北偏东方向．（参考数据：，，） (1)求区与区之间的距离．（结果精确到个位） (2)已知第一组学生沿线路①参观体验，第二组学生沿线路②参观体验．两组学生分别参观完区和区后，同时以相同的速度前往区参观、体验，当两组学生在前往区的途中，大数据平台检测到两组学生之间的连线垂直于时，产业园智慧喷泉系统将自动开启，为两组学生送上欢迎水雾，请问，当两组学生之间距离多远时，喷泉将自动开启？ 四、其它问题 16．“垃圾入桶，保护环境，从我做起”．图是一种摇盖垃圾桶的实物图，图是其侧面示意图，其盖子可整体绕点所在的轴旋转．现测得，． (1)如图，将整体绕点逆时针旋转角，当时，求的度数． (2)求点到的距离．（结果保留整数，参考数据：） 17．《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻矣．”这是世界上最早的潜望镜应用，其原理利用了光的反射定律（入射角等于反射角），如图1所示．其简易图如图2所示：，呈水平状态，在点上方处放置一面小镜，从目标射来的光线经点反射后到达点，再经过点反射到达观察者眼中．图中，为法线（即，镜面）． (1)如图2，若，，求的度数． (2)在（1）的条件下，若米，求点到点的距离（答案保留根号）． 18．实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小明同学安装的加热高锰酸钾制取氧气的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，试管倾斜角． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点，，在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（参考数据：） 19．综合与实践 【活动主题】为支持美丽乡村建设，班级同学前往A村开展综合实践活动，帮助村民测算新建公路的长度． 【问题背景】如图，A村到公路l的乡村小路为，为进一步方便通行，现准备新建一条公路连接A村和公路l（所在的直线为l）． 【工具准备】皮尺、测角仪、测平仪、计算器等． 【测量过程】测得，，，，，且A，B，C，D在同一平面上． 【数据信息】用计算器计算得如下参考数据：，，，，，． 【问题解决】请你根据以上数据信息，求新建公路的长和C，D之间的距离． 20．综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径米．当伞面完全张开时，点D、E、F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． (1)【任务1】某一时刻测得米， ①请直接写出__________； ②请求出此时影子的长度； (2)【任务2】这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 参考答案 1．（1）解：过点作于点， 在中，， ∴， 即， ∴． ∵， ∴四边形为矩形， ∴． ∵， ∴． （2）解：在中，， ∴，即， ∴． ∵，小亮步行速度为， ∴小亮步行的时间为 ∵小亮从山底处到达山顶处大约需要30分钟， ∴乘坐登山缆车所需时间为． ∴登山缆车的速度为． 2．（1）解：如图，过作于点，则， ∵斜坡，坡度为， ∴， 设，， ∴，解得， ∴米， ∴点到地面的距离为米； （2）解：由（）得，米， ∴（米）， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米，， ∴， 在中，，， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴信号塔的高度约为米． 3．（1）解：如图所示，过点作于点， ∵斜坡的坡度为， ∴设，则， 根据勾股定理得， 解得， ∴点到水平面的距离为米； （2）解：如图所示，过点的水平线交于点，过点作于点， ∴， ∴四边形为矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴浮漂与斜坡下端之间的距离为米． 4．（1）解：由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∵米， ∴米．　　 ∵米， ∴（米）； （2）解：过点D作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，， ∴， ∵米， ∴， 解得， ∴（米）， 答：该车库入口的限高数值为米； （3）∵， ∴这辆货车不能驶入该隧道， 故答案为：不能． 5．（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为：， 由题意得：点的坐标为， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为：； （2）此次击球有失误． 理由：当时，， 解得：，（不合题意，舍去）， 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴， ∴，， ∵的坡比为， ∴， ∴， ∵， ∴此次击球有失误． 6．解：延长交于点，由题意可知：，四边形为矩形，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 在中，，即， 解得， ∴； 答：第二次观测飞机到山顶的垂直距离的长为1500米. 7．解：设的高度为米． 过点作于点． 由题意可知四边形为矩形，， 米，． 在中， ， 在中，， 解得 答：华严宝塔的高度约44米． 8．（1）解：如图所示，过O作，交的延长线于点D， 由题意，得，，， ∴，， 在中，（千米）， 在中，（千米）， 答：，两点之间的距离千米； （2）解：如图所示，过B作于E， 由题意知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，（千米）， 在中，（千米）， ∵飞机的飞行速度保持9千米/分钟， ∴飞机从点飞行到点所用的时间是（分钟）， 答：飞机从点飞行到点所用的时间是分钟． 9．（1）解：由题意得，，，，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意，得， 在和中，，， ∴在和中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：灯杆的高为． 10．（1）解：，． （2）解：由题意，得，，． ∵，， ∴，． 在中，，， ∵， ∴． 在中，，， ∵， ∴． ∴． 答：小岛两端C，D之间的距离约为9m． 11．解：“”（1）分别过点C，M，作，垂足分别为点D，E ∵， ∴． ∵都是正北方向， ∴． ∵， ∴， 故答案为，． （2）由(1)知， ∴． 在， 答：灯塔M到轮船航线的距离为 （3）∵都是正北方向， ∴四边形是矩形， ∴ 海里，．在中， ∵， ∴， ∴ ． 在中， 答：港口C与灯塔M的距离为 12．（1）解：过点作于点， 由题知，公里， ， 公里， (公里)； （2）解：过点作于点， 结合（1）可知公里， ，公里，， ，，公里， 由题意知， 四边形为矩形， 公里， 由题意知， ，公里， 公里， 则摩托车所用时间为：， 维修员所用时间为：， ， 摩托车能在维修员完成检测前，及时将维修配件送达观测站． 13．（1）解：如图，过点作于， 由题意可知，，，米， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：景点到景点的距离约为米． （2）解：如图所示：由题意可知，米，， ∵两人速度相同， ∴， 设米，则米， ∵， ∴， 解得：， ∴（米）． ∴的长度为米． 14．（1）解：如图所示，过点C作于点F，过点D作于点E，， ，， ， ，，， ∴四边形是矩形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 答：B与C之间的距离为； （2）解：如图所示，设甲，乙两架无人机在点G处相遇， ∵甲的速度与乙的速度之比是， ， 设，则， 由（1）得，，， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得（负值舍去）． ∴当两无人机相遇时，乙一共跑了3.5千米． 15．（1）解：如图，过作交直线于，于， 由题意可得：，，，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵中，，， ∴， ∵中，，， ∴，， ∴， 即区与区之间的距离米． （2）解：设当两组学生在前往区的途中，， 根据题意可得， 由（1）可得，， 设， ∴，， ∵中，，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴当两组学生之间距离米时，喷泉将自动开启． 16．（1）解：， ， ， ， 的度数为； （2）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 点到的距离约为． 17．（1）解：由题意可得：， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：如图，作于点， 由（1）可得：，， ∴（米）， ∵， ∴（米）， ∴点到点的距离为米． 18．（1）解：过点作于点， ， ， ， ， ， ， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为； （2）解：过点作于点，于点，过点作于点， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：线段的长度为． 19．解：过作于，过作于， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， ，． 答：新建公路的长约为，，之间的距离约为． 20．（1）解：①如图，过作于，而， ， ， ， 故答案为：； ②如图，过点作于点，过点作于点， 结合题意可得：四边形为矩形， ， ， ， ， ， 由条件可知米， 在中，， 又， ， 解得：米， 此时影子的长度为米； （2）解：小明会被照射到．理由如下： 如图，过点作交于点， 由条件可知， 是等边三角形， ， 米， ． 米， 米， 当时，米， 小明刚好被照射到时离点的距离为， 小明会被照射到． 学科网（北京）股份有限公司 $