第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系课件——2027届高三数学一轮复习

第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系 设直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),d为圆心(a,b)到直线l的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ. 位置关系 方法 几何法 代数法 相交 d　　　r  Δ　　　0  相切 d　　　r  Δ　　　0  相离 d　　　r  Δ　　　0  < > = = > < 位置关系 方法 几何法:圆心距d与r1,r2的关系 代数法:两圆方程联立组成方程组的解的情况 外离 　　　　　　　　  　　　实数解  外切 　　　　　　　　  　　　　　实数解  相交 　　　　　　　　  　　　　　　　实数解  内切 d=|r1-r2|(r1≠r2) 　　　　　　  内含 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2) 　　　　  2.圆与圆的位置关系 设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=(r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=(r2>0). d>r1+r2 无 d=r1+r2 一组 |r1-r2|<d<r1+r2 两组不同的 一组实数解 无实数解 3.几个常用结论 (1)圆的切线方程的常用结论 ①过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2. ②过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. ③过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线的方程为x0x+y0y=r2. (2)圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交时,公共弦所在直线的方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0. [自主诊断] 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交.(　　) (2)若两圆没有公共点,则两圆一定外离.(　　) (3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,反之也成立.(　　) (4)若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2(r1,r2分别为两圆半径,d为圆心距). (　　) × 解析 直线与圆有公共点,则直线与圆相切或相交,故错误. × 解析 两圆没有公共点,则两圆外离或内含,故错误. × 解析 若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点;若两圆有且只有一个公共点,则两圆外切或内切,故错误. √ 2.(人A选一教材习题改编)直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为(　　) A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 B 解析 圆心(0,0)到直线y=x+1的距离d=,而0<<1,但是圆心不在直线y=x+1上,所以直线与圆相交,但直线不过圆心.故选B. 3.(人A选一教材例题改编)圆x2+y2-2y=0与x2+y2-4=0的位置关系是(　　) A.相交 B.内切 C.外切 D.内含 B 解析 两圆方程可化为x2+(y-1)2=1,x2+y2=4.两圆圆心分别为O1(0,1),O2(0,0),半径分别为r1=1,r2=2.因为|O1O2|=1=r2-r1,所以两圆内切.故选B. 4.(人A选一教材例题改编)已知直线x+y-2=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的长度是(　　) A.3 B.2 C.2 D.1 B 解析 由题意知,圆心(0,0)到直线x+y-2=0的距离为=1,则|AB|=2=2故选B. 5.(人A选一教材例题改编)圆x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为　　　　　　　　　　.  x-y+2=0 解析 圆的方程为(x-2)2+y2=4,圆心坐标为(2,0),半径为2,点P在圆上,所以过点P的半径所在直线的斜率为-,所以过点P的切线的斜率为,所以所求切线方程为y-(x-1),即x-y+2=0. 6.已知圆O1:x2+y2=5与圆O2:x2+y2-2x-4y=0相交于A,B两点,则|AB|=　　　　　.  解析 由题知,两圆方程相减可得直线AB的方程为2x+4y-5=0,且O1(0,0)到直线2x+4y-5=0的距离d=,所以|AB|=2 考点一　直线与圆的位置关系 例1　(多选题)(2021·新高考Ⅱ,11)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(　　) A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离 C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切 ABD 考点一 考点二 考点三 解析 圆心C(0,0)到直线l的距离d=,若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2,所以d==|r|,则直线l与圆C相切,故A正确;若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2<r2,所以d=>|r|,则直线l与圆C相离,故B正确;若点A(a,b)在圆C外,则a2+b2>r2,所以d=<|r|,则直线l与圆C相交,故C错误;若点A(a,b)在直线l上,则a2+b2-r2=0,即a2+b2=r2,所以d==|r|,直线l与圆C相切,故D正确.故选ABD. 考点一 考点二 考点三 规律方法　判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法:利用圆心到直线的距离d与半径r的关系. (2)代数法:联立方程之后利用解的情况判断. (3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交. 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](2026·湖北武汉模拟)已知直线l:ax+by=r2,圆C:x2+y2=r2(r>0),则“点P(a,b)在圆C外”是“直线l与圆C相交”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 C 考点一 考点二 考点三 解析 由点P(a,b)在圆C外,得a2+b2>r2,则圆心C到直线l的距离d=<r,因此直线l与圆C相交,即“点P(a,b)在圆C外”是“直线l与圆C相交”的充分条件;由直线l与圆C相交,得圆心C到直线l的距离d=<r,则a2+b2>r2,因此点P(a,b)在圆C外,即“点P(a,b)在圆C外”是“直线l与圆C相交”的必要条件.综上,“点P(a,b)在圆C外”是“直线l与圆C相交”的充要条件.故选C. 考点一 考点二 考点三 考点二　圆的弦长、切线问题 角度1　弦长问题 例2　(1)(2025·山西一模)若直线4x-3y-m+2=0被圆x2+y2=16所截得的弦的长度为4,则m=(　　) A.12 B.8 C.12或-8 D.8或-12 C 考点一 考点二 考点三 解析 由题意得,圆x2+y2=16的圆心坐标为(0,0),半径r=4.∵弦长l=4,∴圆心到直线的距离d==2,即点(0,0)到直线4x-3y-m+2=0的距离为2,∴d==2,解得m=12或m=-8.故选C. 考点一 考点二 考点三 (2)(2023·新高考Ⅱ,15)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为”的m的一个值 　　　 　　.  2(答案不唯一,可以是±,±2中的任意一个) 解析 由条件知圆心C(1,0),点C到直线x-my+1=0的距离d=, |AB|=2由△ABC的面积为,得,整理,得2m2-5|m|+2=0,解得m=±2,或m=±,不妨取m=2. 考点一 考点二 考点三 规律方法　直线被圆截得的弦长的两种方法 考点一 考点二 考点三 [对点训练2](2025·河南周口二模)已知直线l:mx-y-m+1=0与圆O:x2+y2=4相交于A,B两点,则当|AB|取最小值时,m=(　　) A.-2 B.-1 C.- D.0 B 考点一 考点二 考点三 解析 l:mx-y-m+1=0⇒m(x-1)+1-y=0,故l过定点M(1,1),又12+12<4,故点M(1,1)在圆O:x2+y2=4内,所以当OM⊥AB时,|AB|取最小值,此时kOM==1,又kl=m,所以m=-1.故选B. 考点一 考点二 考点三 角度2　切线问题 例3　(1)(多选题)(2025·河北邯郸一模)已知直线l过点(2,1),且直线l与圆C:x2+y2-2x+2y-2=0相切,则直线l的方程可能是(　　) A.y=1 B.x=2 C.4x+3y-11=0 D.3x-4y+3=0 AC 解析 圆C:(x-1)2+(y+1)2=4的圆心C(1,-1),半径r=2,当直线l的斜率不存在时,直线方程为x=2,点C到直线x=2的距离为1,不符合题意,所以直线l的斜率存在.设直线l的方程为y-1=k(x-2),即kx-y-2k+1=0,由直线l与圆C相切得=2,解得k=0或k=-,所以直线l的方程为y=1或4x+3y-11=0.故选AC. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·江西萍乡二模)过点P(3,1)作圆C:x2+y2+2x+4y-4=0的切线,记其中一个切点为A,则|PA|=(　　) A.16 B.4 C.21 D. B 解析 圆C:(x+1)2+(y+2)2=9的圆心C(-1,-2),半径r=3,则|PC|==5,所以|PA|==4.故选B. 考点一 考点二 考点三 规律方法　求过某点的圆的切线问题时,应首先确定点与圆的位置关系,再求切线方程.若点在圆上(即为切点),则过该点的切线只有一条;若点在圆外,则过该点的切线有两条,此时注意斜率不存在的切线. 考点一 考点二 考点三 [对点训练3](2026·江苏苏州模拟)已知P是直线l:3x+4y-7=0上的动点,过点P引圆C:(x+1)2+y2=r2(r>0)的两条切线PM,PN,M,N为切点,当∠MPN的最大值为时,r的值为(　　) A.1 B. C. D.2 A 考点一 考点二 考点三 解析 如图,MC=r,sin∠MPC=,当∠MPN的最大值为时,∠MPC=, 当PC⊥l时,PC最小,∠MPC=最大.由题得PCmin=d==2, 所以sin∠MPC=,则r=1. 故选A. 考点一 考点二 考点三 角度3　直线与圆位置关系中的最值(范围)问题 例4　(1)(2025·全国1,7)已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=x+2的距离为1的点有且仅有两个,则r的取值范围是(　　) A.(0,1) B.(1,3) C.(3,+∞) D.(0,+∞) B 考点一 考点二 考点三 解析 由题知,该圆的圆心为C(0,-2),半径为r,圆心C到直线的距离d==2, ∴要使圆C上到直线y=x+2的距离为1的点有且仅有2个,则d-1<r<d+1,即1<r<3.故选B. 考点一 考点二 考点三 教考衔接 (人A选一教材习题)已知圆x2+y2=4,直线l:y=x+b.b为何值时,圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1? 解 由x2+y2=4可知圆心为点(0,0),半径为2.因为圆x2+y2=4上恰有三个点到直线l的距离都等于1,所以只需要圆心到直线l:y=x+b的距离为1即可满足条件,易知直线l的一般式方程为x-y+b=0,所以圆心到直线l的距离为=1,解得b=±,故当b=±时,圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·广东广州期中)已知圆M:(x+2)2+y2=2,直线l:x+y-2=0,点P在直线l上运动,直线PA,PB分别与圆M相切于点A,B,则四边形PAMB的面积的最小值为(　　) A.2 B. C.4 D.2 A 考点一 考点二 考点三 解析 由圆的方程知,圆心M(-2,0),半径r=, 如图,连接PM,四边形PAMB的面积S=2S△PAM=2|PA|·r=|PA|, 则当|PA|最小时,四边形PAMB的面积最小,即MP与直线l垂直时|PA|最小. ∵点M到直线l的距离d==2,∴|PA|min=,此时Smin=2故选A. 考点一 考点二 考点三 规律方法　1.涉及圆上点到定直线距离的点的个数问题,解题关键是先确定圆心坐标、半径及圆心到定直线的距离,再根据圆上点到直线距离的分布规律,通过列d与r的不等式(或等式)求解参数取值范围. 2.涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题,解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式,利用求函数值域的方法求得结果. 考点一 考点二 考点三 [对点训练4](多选题)(2026·广东中山月考)已知圆C:x2+y2=4,P是直线l: x+y-6=0上一动点,过点P作直线PA,PB分别与圆C相切于点A,B,则(　　) A.圆C上恰有1个点到直线l的距离为3-2 B.|PA|的最小值是 C.|AB|存在最大值 D.|AB|的最小值是 ABD 考点一 考点二 考点三 解析 圆C:x2+y2=4的圆心C(0,0),半径r=2. 对于A,点C到直线l的距离d==3,点P到直线l的距离的最小值为 d-r=3-2,因此圆C上恰有1个点到直线l的距离为3-2,A正确; 对于B,|PA|=,当且仅当PC⊥l时等号成立,B正确; 考点一 考点二 考点三 对于C,D,由PC垂直平分AB,得S四边形PACB=|PC|·|AB|=2S△PAC=|PA|·|AC|,则|AB|==44,当且仅当PC⊥l时等号成立,D正确,C错误.故选ABD. 考点一 考点二 考点三 考点三　圆与圆的位置关系 例5　(多选题)(2025·江苏扬州期末)已知圆O1:(x-3)2+(y-4)2=16与圆O2:x2+y2=r2(r>0),下列选项正确的有(　　) A.若r=1,则两圆外切 B.若r=1,则直线x=-1为两圆的一条公切线 C.若r=3,则两圆公共弦所在直线的方程为3x+4y+9=0 D.若r=3,则两圆公共弦的长度为 ABD 考点一 考点二 考点三 解析 由圆O1:(x-3)2+(y-4)2=16,可得圆心O1(3,4),半径r1=4,由圆O2:x2+y2=r2(r>0),可得圆心为O2(0,0).若r=1,两圆心间的距离为|O1O2|==5,即两圆心间距离等于两圆半径之和,故A正确;若r=1,则两圆心到x=-1的距离分别为|0+1|=1,|3+1|=4,即两圆心到x=-1的距离分别为两圆的半径,故B正确;若r=3,则O2:x2+y2=9,又O1:(x-3)2+(y-4)2 =16,两圆的方程相减得两圆的公共弦所在直线方程为3x+4y-9=0,故C错误;若r=3,由上可知两圆的公共弦所在直线方程为3x+4y-9=0,所以O2(0,0)到直线3x+4y-9=0的距离为,所以弦长为2,故D正确.故选ABD. 考点一 考点二 考点三 规律方法　1.判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法. 2.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到. 考点一 考点二 考点三 [对点训练5](多选题)(2025·贵州毕节二模)已知圆O:x2+y2=4,圆C:x2+y2+2y+a=0,则(　　) A.当a=0时,圆O与圆C相切 B.当a=-3时,圆O与圆C相交于M,N两点,且直线MN的方程为y=- C.当0<a<1时,圆O与圆C相交 D.当a=-3时,圆O与圆C相交于M,N两点,且|MN|=2 AB 考点一 考点二 考点三 解析 圆C:x2+(y+1)2=1-a,则a<1,圆O的圆心O(0,0),半径为r1=2;圆C的圆心C(0,-1),半径为r2=,则|OC|=1,r1+r2=2+,|r1-r2|=|2-|.当a=0时,r1+r2=3,|r1-r2|=1,则|OC|=|r1-r2|,故两圆内切,故A正确;当a=-3时, r1+r2=4,|r1-r2|=0,则|r1-r2|<|OC|<r1+r2,故两圆相交,又圆C:x2+y2+2y-3=0,故直线MN的方程为y=-,故B正确;由上可知,此时圆心O到直线MN的距离为,则|MN|=2,故D错误;两圆相交,则|r1-r2|<|OC|<r1+r2,即 |2-|<1<2+,解得-8<a<0,故C错误.故选AB. 考点一 考点二 考点三 $