湖南长沙市长郡教育集团2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷讲评课件

数学 1 一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合A={x∈N|x2<5},B={-1,0,1,2,3},则A∩B= A.{1,2} B.{1,2,3} C.{-1,0,1} D.{0,1,2} 【解析】 1.D　集合A={0,1,2},所以A∩B=.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026年高二5月6-7日检测 数 学 2 2.已知i是虚数单位,复数z满足z(1+i)=1-i,则= A.1 B. C. D.2 【解析】 2.A　法一:z====-i,所以==1; 法二:两边同时取模==·,所以=1.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026年高二5月6-7日检测 数 学 3 3.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,C上的点到F的距离等于到直线x=-2的距离,则p= A.8 B.4 C.2 D.1 【解析】 3.B　根据抛物线的定义,x=-2是其准线,又y2=2px的准线方程为x=-,所以-=-2,解得p=4.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026年高二5月6-7日检测 数 学 4 4.设a>0,b>0,且4+=a,则2a+b的最小值为 A.8 B.6+4 C.10 D.9+4 【解析】 4.D　方程4+=a两边同时除以a,得到+=1, 2a+b=(2a+b)(+)=9++≥9+2=9+4, 当且仅当a=b,即a=4+,b=2+1时等号成立.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026年高二5月6-7日检测 数 学 5 5.已知函数f(x)=为奇函数,则a+b= A.-2 B.0 C.-3 D.-1 【解析】 5.C　若x>0,则-x<0,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+2×(-x)]=-x2+2x=ax2-bx, 所以a=-1,b=-2,a+b=-3.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026年高二5月6-7日检测 数 学 6 6.若事件A,B满足P(A)=,P(B|A)=, P(A∪B)=1,则P(B)= A. B. C. D. 【解析】 6.A　P(B|A)==,代入P(A)=,得到P(AB)=,又因为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=1,所以P(B)=.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026年高二5月6-7日检测 数 学 7 7.已知函数f(x)=sin(ωx),g(x)=|x-1|+|x-2|,若∃x∈[1,2],使得f(x)=g(x)有解,则ω的最小值为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026年高二5月6-7日检测 数 学 8 【解析】 7.A　当x∈[1,2]时,g(x)=1,所以只需要∃x0∈,使得sin(ωx)=1,即ωx0=2kπ+,k∈Z⇒ω=,k∈Z,即关于x0的方程ω=,k∈Z,在上有解,首先k≥0,k∈Z,其次要使得ω最小,则需k最小,x0最大,即当k=0,x0=2时,ω最小,故所求最小值为ω=.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026年高二5月6-7日检测 数 学 9 8.已知函数f(x)=x3+5x2-8x-,若g(x)=为偶函数,则a+b= A. B.- C.- D. 【解析】 8.C　对f(x)求导得f'(x)=3x2+10x-8,再对f'(x)求导得f″(x)=6x+10,令f″(x)=0,得x0=-,可以得到f(x)的对称中心的横坐标为-,又f(-)=20,所以f(x)的对称中心为 (-,20),h(x)=f(x-a)+b表示将f(x)的图象向右平移a个单位长度,向上平移b个单位长度,因为g(x)=为偶函数,只需要将对称中心移至原点即可,所以a=,b=-20,故a+b=-.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026年高二5月6-7日检测 数 学 10 二、选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是 A.若c=,A=45°,a=2,则△ABC有两组解 B.若A>B,则sin A>sin B C.若sin 2A=sin 2B,则△ABC为等腰三角形 D.S△ABC=(R为△ABC外接圆的半径) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026年高二5月6-7日检测 数 学 11 【解析】 9.ABD　对于A选项,由正弦定理=得到sin C=,所以C=或C=π,故△ABC有两组解,故A正确; 三角形中大边对大角,因为A>B,则a>b,再由正弦定理可知B正确; 若sin 2A=sin 2B,则2A=2B或者2A+2B=π,所以△ABC为等腰三角形或者直角三角形,故C错误; 由正弦定理=2R和面积公式S△ABC=absin C,可知S△ABC=absin C=ab·=,故D正确.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026年高二5月6-7日检测 数 学 12 10.首项为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=S10,当Sn取到最大值时,n的取值是 A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】 10.BC　因为首项为正数,且Sn有最大值,则等差数列的公差d<0,所以(n,Sn)是开口向下的二次函数图象上的一些离散的点,又S3=S10,则二次函数的对称轴是直线x=6.5,而n∈N*,所以n取值是6或7时,Sn取最大.故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026年高二5月6-7日检测 数 学 13 11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,球O1为其内切球,球O2为其外接球,点P是AA1的中点,则下列说法正确的是 A.球O1与球O2的体积之比为1∶3 B.点P到球O2表面的距离的最小值为2- C.若在正方体内部放置两个相互外切的球,两球球心同在正方体的一条体对角线上且两球都与正方体的三个面相切,则这两个球的体积之和的最小值为(18-10)π D.分别以正方体的四个顶点A,C,B1,D1为球心,2为半径作四个球,记这四个球的公共部分为几何体Ω,几何体Ω内能容纳的最大球的表面积为(44-16)π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026年高二5月6-7日检测 数 学 14 【解析】 11.ACD　因为正方体棱长为2,所以其内切球O1半径为1,外接球O2半径为,根据球的体积公式可知球O1与球O2的体积之比为13∶()3=1∶3,故A正确; P为球O2内一点,则P到球O2表面上的最小距离是半径r2-=-,故B错误; 设这两个与正方体三个面相切的球半径分别是r,R,它们的球心在正方体的体对角线上,且球心距离为r+R,球心到对应正方体顶点的距离分别是r和R,所以(r+R)+r+R=2,解得r+R=3-,两球的体积之和V=π(r3+R3)=π(r+R)(r2+R2-rR)=π(r+R)[(r+R)2-3rR],利用基本不等式可知当 r=R=时,体积之和最小V=(18-10)π,故C正确; 如图,三棱锥A-B1CD1是正四面体,四个球公共部分几何体Ω的中心是正四面体的中心,也就是正方体的中心O,最大的球是内切球,也就是中心O到四个球面的距离,所以最大球的半径R=2-,故最大球的表面积S=4πR2=4π(11-4)=(44-16)π,故D正确.故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026年高二5月6-7日检测 数 学 15 12.(x+)5的展开式中x3的系数是　　. 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 15 【解析】含x3的项为x4()1=15x3,所以展开式中x3的系数为15.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026年高二5月6-7日检测 数 学 16 13.已知函数f(x)=2aex-x2在区间(,3)上单调递增,则实数a的取值范围为　　　　　.  【解析】由题可知函数f(x)在上单调递增,则f'(x)=2aex-2x≥0,参变分离得到a≥,令g(x)=,g'(x)=,当x=1时g(x)取最大值g(1)=,所以a≥.即实数a的取值范围为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026年高二5月6-7日检测 数 学 17 向量,则的最小值为　　　　.  14.已知向量a,b满足=2,=4,<a,b>=,若c=a+λb, λ∈R,且m,n分别是c在a,b上的投影 【解析】a·b=4,m=a=(λ+1)a,n=b, == = ==≥,当且仅当λ=-时等号成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026年高二5月6-7日检测 数 学 18 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x-. (1)求函数f(x)的最小正周期与单调增区间; 【解析】(1)f(x)=2sin xcos x+2cos2x-=sin 2x+(2cos2x-1) =sin 2x+cos 2x=2sin(2x+), ……3分 所以函数f(x)的最小正周期T==π, ……4分 令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得x∈,k∈Z. 故函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z. ……6分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026年高二5月6-7日检测 数 学 19 (2)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f()=,且b+c=4,求△ABC面积的最大值. 【解析】(2)由f()=1,2sin(A+)=,又因为A∈(0,π),所以A=. ……8分 因为b+c=4,根据基本不等式bc≤()2=4,当且仅当b=c=2时等号成立, ……10分 所以S△ABC=bcsin A=bc≤,所以△ABC面积的最大值为. ……13分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026年高二5月6-7日检测 数 学 20 16.(本小题满分15分) 已知等差数列及其前n项和Sn满足a1+2a4=21,S9=99.数列满足b1b2b3…bn=. (1)求数列和的通项公式; 【解析】(1)数列是等差数列,设公差为d,因为21=a1+2a4=a3-2d+2(a3+d)=3a3,所以a3=7, 又S9=99=9a5,a5=11, 解得a1=3,d=2, ……3分 所以an=3+2(n-1)=2n+1. ……4分 当n≥2时,b1b2b3…bn-1=,所以bn==2n, 当n=1时,b1=21=2,满足上式,所以bn=2n. ……8分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026年高二5月6-7日检测 数 学 21 (2)若数列{cn}满足cn=,求数列的前n项和Tn. 【解析】(2)由(1)可知,cn==, ……9分 所以Tn=+++…+,　① 所以Tn=+++…+,　② ①-②可得Tn=1++++…+-=-=2-, ……14分 所以Tn=4-. ……15分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026年高二5月6-7日检测 数 学 22 17.(本小题满分15分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面四边形ABCD为菱形,∠ABC=,△PBD是正三角形,BD=PC=2,E为PD上一点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026年高二5月6-7日检测 数 学 23 (1)证明:PA⊥平面ABCD; 【解析】(1)法一:如图所示,取CD的中点M,BC的中点N,连接MA,MP,NA,NP, 因为△PBD是正三角形,BD=PC=2,则PB=PC, 又N为BC的中点,所以BC⊥PN, ……1分 又底面四边形ABCD为菱形,∠ABC=, 所以△ABC是等边三角形,所以AN⊥BC, ……2分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026年高二5月6-7日检测 数 学 24 因为AN∩PN=N,AN⊂平面PAN,PN⊂平面PAN,所以BC⊥平面PAN. ……3分 又PA⊂平面PAN,进而BC⊥PA, 同理可得CD⊥PA, ……5分 因为BC∩CD=C,BC⊂平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥平面ABCD.……7分 法二:设AC∩BD=O,连接PO,则AC,BD在O点相互平分,又在菱形ABCD中,AC⊥BD, ……1分 △PBD是正三角形,则PO⊥BD, ……2分 而PO∩AC=O,PO,AC⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC, ……3分 因为BD⊂平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面PAC; 作PM⊥AC交AC于点M,则PM⊥平面ABCD, ……5分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026年高二5月6-7日检测 数 学 25 因为底面四边形ABCD为菱形,∠ABC=,BD=2,所以AB=AC=2, 因为△PBD是正三角形,BD=2,所以PO=×2=3, 在△POC中,cos∠PCO===, 又因为在Rt△PMC中,cos∠PCO=, 所以CM=PCcos∠PCO=2×=2=CA, 所以点M与点A重合,即PA⊥平面ABCD. ……7分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026年高二5月6-7日检测 数 学 26 (2)若PB∥平面AEC,求二面角B-CE-D的余弦值. 【解析】(2)因为PB∥平面AEC,PB⊂平面PBD,且平面AEC∩平面PBD=OE,则PB∥OE, 由于O为BD的中点,所以E为PD的中点, ……9分 如图,分别以OB,OC所在直线为x,y轴,过O且平行于AP的直线为z轴建立空间直角坐标系Oxyz, 由(1)可知PA==2, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026年高二5月6-7日检测 数 学 27 所以B(,0,0),C(0,1,0),D(-,0,0),P(0,-1,2),E(-,-,), =(-,-,),=(-,-1,0),=(,-1,0), 设平面BCE的法向量为m=(x,y,z), 则即 令x=1,得m=(1,,), ……11分 设平面CED的法向量为n=(x',y',z'), 则即 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026年高二5月6-7日检测 数 学 28 令x'=-1,得n=(-1,,), ……13分 cos<m,n>===. ……14分 由图可知,二面角B-CE-D是钝角,所以二面角B-CE-D的余弦值为-. ……15分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026年高二5月6-7日检测 数 学 29 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=x+-3ln x. (1)当a=-2时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程; 【解析】(1)当a=-2时,f(x)=x--3ln x,则f(1)=-1, 又f'(x)=1+-,所以f'(1)=0,所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=-1.……4分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026年高二5月6-7日检测 数 学 30 (2)若f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2). (ⅰ)求实数a的取值范围; 【解析】(2)(ⅰ)f(x)=x+-3ln x,求导得f'(x)=1--=(x>0), ……5分 因为f(x)有两个极值点,所以x2-3x-a=0在(0,+∞)上有两个不相等的根, ……6分 又x1+x2=3,则只需要解得-<a<0, 所以实数a的取值范围为-<a<0. ……10分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026年高二5月6-7日检测 数 学 31 (ⅱ)证明:x1f(x1)<. 【解析】(ⅱ)因为x1<x2,且x1是方程x2-3x-a=0的根, 所以x1∈(0,)且a=-3x1, 则x1f(x1)=x1(x1+-3ln x1)=+a-3x1ln x1=2-3x1-3x1ln x1, ……13分 令g(x)=2x2-3x-3xln x,x∈(0,),则g'(x)=4x-3ln x-6, 令h(x)=g'(x),则h'(x)=4-,令h'(x)=0,解得x=,因为h'(x)在(0,)上单调递增,且h'()=0, 所以函数g'(x)在(0,)上单调递减,在(,)上单调递增, 又g'(e-2)=4e-2>0,g'()=-3-3ln <0,g'()=-3ln <0, 所以∃x0∈(e-2,)使得函数g(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,)上单调递减,且4x0-3ln x0-6=0. ……15分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026年高二5月6-7日检测 数 学 32 故函数g(x)的最大值为g(x0)=2-3x0-3x0ln x0=2-3x0-x0(4x0-6)=-2+3x0=-2(x0-)2+<,即x1f(x1)<得证. ……17分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026年高二5月6-7日检测 数 学 33 19.(本小题满分17分) 已知过点P(1,)的椭圆C:+=1的离心率为,直线l过椭圆C的右焦点F,且与椭圆C交于A,B两点. (1)求椭圆C的标准方程; 【解析】(1)依题可知解得a=,b=,c=1, 所以椭圆的标准方程是+=1. ……4分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026年高二5月6-7日检测 数 学 34 (2)若直线l的斜率存在,点A关于x轴的对称点是A',求证:直线A'B过x轴上的定点M,并求其坐标; 【解析】(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),F(1,0), 当直线l与x轴不重合时,设直线l的方程为x=my+1(m≠0), 联立化简得(2m2+3)y2+4my-4=0, 且y1+y2=-,y1y2=,　① ……6分 又A'(x1,-y1),直线A'B的方程为y+y1=(x-x1), 令y=0,解得x=+x1=1+, ……8分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026年高二5月6-7日检测 数 学 35 将①代入可得x=1+=3,所以定点M为(3,0), ……9分 当直线l与x轴重合时,即直线l的方程为y=0,也过点M(3,0), 所以直线A'B过x轴上的定点M(3,0). ……10分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026年高二5月6-7日检测 数 学 36 (3)在(2)的条件下,过点M作x轴的垂线l'与l交于点Q,记线段AB的中点为G,△QMG的面积为S1,△MAB的面积为S2,求的取值范围. 【解析】(3)两直线交于Q(3,),G(,), 将①代入可得G(,), 所以S1=··=··=, ……13分 S2=··===. ……15分 所以===, 又因为m2>0,所以∈. ……17分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题 号 温馨提示：点击No.按钮关闭 No. 2026年高二5月6-7日检测 数 学 37 数学 2026年高二5月6-7日检测 感 谢 观 看 ！ 38 $