湖南长沙市长郡中学等校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

高二数学期中 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。时量120分钟。满分150分。 第I卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的) 1.已知集合A={x∈N|x2<5},B={-1,0,1,2,3},则A∩B= p A.{1,2} B.{1,2,3) 拙 C.{-1,0,1} D.{0,1,2} 最 2.已知i是虚数单位，复数z满足z(1十i)=1一i,则川z= 如 A.1 B.√2 C.√3 D.2 3.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,C上的点到F的距离等于到直线x=一2的距离，则p= A.8 B.4 C.2 D.1 製 ☒ 4.设a>0,6>0,且4+号=a,则2a十b的最小值为 A.8 郑 B.6+4√2 C.10 D.9+4√2 南 茶 x2+2x,x≤0， 尚 5.已知函数f(x) 为奇函数，则a十b= ax2-b;x0 A.-2 B.0 C.-3 D.-1 6若事件A,B满足P(A)=,P(BA)=号，P(AUE)=1,则P(B) A贵 B音 c品 n是 7.已知函数f(x)=sin(aux)(w>0),g(x)=|x-1|+|x-2|,若3x∈[1,2]，使得f(x)=g(x)有 解，则ω的最小值为 A军 B c D.元 &已知函数x)=2+5x-8x一罗若g()=f红-a)十bl为偶函数，则a+6 A B.-65 3 c 高二数学试题(5月)1第1页（共6页） 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是 A.若c=√6，A=45°，a=2,则△ABC有两组解 B.若A>B,则sinA>sinB C.若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形 D5c=资(R为△ABC外接圈的半径) l0.首项为正数的等差数列{an}的前n项和为Sm,且S3=S1o,当Sn取到最大值时，n的取值是 A.5 B.6 C.7 D.8 11.已知正方体ABCD-A1BCD1的棱长为2，球O为其内切球，球O2为其外接球，点P是AA! 的中点，则下列说法正确的是 A.球O1与球O2的体积之比为1：3√3 B.点P到球O2表面的距离的最小值为2√一√2 C.若在正方体内部放置两个相互外切的球，两球球心同在正方体的一条体对角线上且两球都与 正方体的三个面相切，则这两个球的体积之和的最小值为(18一10√3)π D.分别以正方体的四个顶点A,C,B,D为球心，2√2为半径作四个球，记这四个球的公共部分 为几何体2，几何体2内能容纳的最大球的表面积为(44-16√6)x 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 得分 答案 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.(x十)°的展开式中x2的系数是 13.已知函数f(x)=2ae一x2在区间（号3）上单调递增，则实数a的取值范围为 14.已知向量a,b满足引a=2,b=4,(a,b)=牙，若c=a十b,A∈R,且m,n分别是c在a,b上的 投影向量，则m十nl的最小值为 高二数学试题(5月)第2页（共6页） 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=2 sin xcos x-十2v3cos2x-√3. (1)求函数f(x)的最小正周期与单调增区间； (2)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c若f号)=3，且b十c=4,求△ABC面积 的最大值 16.(本小题满分15分) 已知等差数列{an}及其前n项和Sm满足a1十2a4=21,Sg=99.数列(bn}满足b1b2b…b=2 (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)若数列{c}满足c,=一1，求数列{c}的前n项和Tn b 高二数学试题(5月)第3页（共6页） 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为菱形，∠ABC=号，△PBD是正三角形，BD =PC=23,E为PD上一点. B (1)证明：PA⊥平面ABCD; (2)若PB∥平面AEC,求二面角B-CE-D的余弦值 高二数学试题(5月)第4页（共6页） 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=x十a-3lnx (1)当a=一2时，求曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线方程； (2)若f(x)有两个极值点x1,x2(x<x2). (i)求实数a的取值范围； (i)证明：mf()<8 高二数学试题(5月)第5页（共6页） 19.(本小题满分17分) 已知过点P(1,2)的椭圆C芳+苦-1的离心率为号，直线1过椭圆C的右焦点F,且与椭圆 C交于A,B两点 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l的斜率存在，点A关于x轴的对称点是A',求证：直线A'B过x轴上的定点M,并求 其坐标； (3)在(2)的条件下，过点M作x轴的垂线'与l交于点Q,记线段AB的中点为G,△QMG的面 积为S,△MAB的面积为S:,求受的取值范围. 高二数学试题(5月)第6页（共6页）