福建三明市2026年普通高中高三毕业班质量检测数学试题

保密★启用前 准考证号 姓名 (在此卷上答题无效) 三明市2026年普通高中高三毕业班质量检测 数学试题 本试卷共5页，满分150分. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答 案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1,若21 ,则z= 1+i A.-i B.i C.-1 D.1 2.已知集合M={xx2-3x-4<0},N={x2x>a},若M二N,则实数a的取值范 围为 A.（-∞，8) B.(-o,8] C.（-∞，-2) L（-0,2] 3.已知a=3,向量b在向量a上的投影向量为a,则a·b的值为 A.6 B.7 C.8 D.9 4,下列区间是函数y三co?-七的一个单调递增区间的是 a[ C.「-π，0] D. 5.已知直线Ly=x+m(m≠0)与圆0x2+y2=4交于A,B两点，当△0AB的面积 最大时，点O到直线的距离为 B.V② C.1 D.V2 2 数学试题第1页（共5页） 6.已知函数f(x)的定义域为R,∫(x+1)=∫(1-x),f(x+2)=f(x)+2,且当 2027 xe[0,1]时，f(x)=e,则f 的值为 A.e2+1011 B.e2+1012 C.ei+1011 D.e克+1012 7.已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，AB=4V3,BC=8,侧面PAB为正三角形且 垂直于底面ABCD,M为四棱锥P-ABCD内切球表面上的一点，则点M到直线 CD距离的最小值为 A.2V10-2 B.2V10-1 C.4V3-2 D.4V3-1 8.已知函数y=e与y=g(x)的图象关于直线y=x对称，函数f(x)=g(x)+ (a-1)x(a>1),若方程f(f(x)=x在区间[2,5]上有两解，则实数a的取值范围为 A2-2- 5 B.2-12-n2] c2-。2-2 22-] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列命题正确的是 A.若样本数据x1x2,…x6的平均数为2，则数据2x1一1,2x2-1,…,2x6-1的平均 数为4 B.根据小概率值a=0.05的独立性检验，当X2≥xos=3.841时，可以推断两变 量不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05 C.在一组样本数据(x1y),（x2y2),…(xynn≥2x1x2,…,x.不全相等)的散点图 中，若所有样本点k=12)都在直线了=-写+1上，则这组样本数 据的线性相关系数为号 D.若P(A)=0.5,P(B|A)=0.6P(B|A)=0.2,则P(B)=0.4 10.记Sn为数列{an}的前n项和，已知Sn=man-1,则 A.当{a,}是等比数列时，m≠0且m≠1 B.当m=-1时，an+an+2>2a+1 C.当m=2时，数列 l0g2an+1·l0g2am+2 的前n项和为 n+1 D.当m=3时，数列 n 中，第5项的值最大 a 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，P(与点C,不重合)是正方体侧 面BCC,B,内的动点，下列说法正确的是 D D上- A.平面A,BD⊥平面APC, B.若动点P到直线AB的距离等于它到直线CC,的距离，则点P的轨迹为抛物线 的一部分 C.当那=号PC,时，过点P作该正方体的外接球的截面，其裁面面积的最小值 为号 D.线段AD绕AD,旋转一周的过程中，AD与AC,所成角的正切值的取值范围为 3-2V2,3+2V2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(x-2y)°的展开式中x2y的系数为一一.（结果用数字表示） 设椭圆E+=1a>6>0)长轴的两个顶点分别为A,B,点C为椭圆E上不 同于A,B的一点，若△ABC的三个内角A,B,C满足2tanA+2tanB+tanC=0,则 椭圆E的离心率为 14.定义：平面内，图形T上的所有点在直线1上的射影所组成的图形称为T在1上 的射影.若边长为m的正三角形在某一矩形的四条边所在直线上的射影长度之 和为8，则m的取值范围为 数学试题第3页（共5页） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中有2个红球和3个白球，从中随机摸 出2个球， (1)求摸到的两个球颜色相同的概率； (2)用X表示摸出的球为白球的个数，求X的分布列及均值， 16.(15分) 已知锐角△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=4,b+8cosB=2c. (1)求A; (2)若点H在△ABC所在平面内，且满足A.丽=丽.HC=H元.H瓜，求 △HBC面积的取值范围， 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,底面 ABCD为等腰梯形，且AD∥BC,AD=2BC=2AB=4,AF=tAF(0≤t≤1)，且四面 体AFDC的体积为4V3 (1)求t的值； (2)若E为AD的中点，过点E,F的平面a与AC平行，交PC于点G,求平面ABG 与平面ABCD夹角的余弦值. 18.（17分) 已知函数f(x)=xlnx-ax2. (1)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围； (2)若a≤1，求证：f(x)≥-e-'; (3)若a=3,m≠-3，关于x的不等式≤-m+2)lnx-n+2恒成立，求 n-8的最大值， m+3 19.(17分) 在平面直角坐标系xOy中，M是一个动点，MA与直线ly=x垂直，垂足A位于 第一象限，MB与直线l2y=-x垂直，垂足B位于第四象限，若四边形OAMB的面积 为2. (1)求动点M的轨迹C的方程； (2)直线y=2x-6与曲线C交于点A1,B(A1在B1的上方)，过点A1,B1分别作 L2,L,的平行线，交于点P1,过点P1且斜率为2的直线与曲线C交于点A2,B2(A2在B2 的上方)，再过点A2,B2分别作12，l,的平行线，交于点P2,这样一直操作下去，可以得 到一列点P1,P2,…,Pn,n≥3，n∈N. 证明：①P1,P2,…,P.共线； ②0P-P,P+'为定值，l≤i≤n-l,ieN. 三明市2026年普通高中高三毕业班质量检测 数学参考答案及评分细则 评分说明： 1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分 数的一半：如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分. 3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数， 4.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分40分. 1.C2.D3.D4.B5.D6.B7.A8.B 二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题6分，满分18分.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.BD 10.ACD 11.ABD 三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分15分. 12.240 13. 14.[2W6-22,16-85 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 15.解：(1)设事件A=“摸到的两个球颜色相同”，事件A=“摸到的两个球 为红球”，事件A2=“摸到的两个球为白球”，则A=AUA… .2分 因为A,A,互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得 PW=R4U=R4+P-g答音号 .6分 (2)X的可能取值为0,1,2.… .7分 根据古典概型的知识可得 X的分布列如表所示 X 0 1 2 3-5 3 10 11分 X的均值为 高三数学参考答案第1页（共12页) E(X)=0×, +1x2+2x3= 3 10 5 105 .13分 16.解法一：(1)因为a=4,b+8cosB=2c,由余弦定理，得 b+8xa2+c2-b2 =2c, .1分 2ac 整理得 乃2+C2-☑2=b汇)……………3分 则cosA= 2+c2-a21 5分 2bc 2 因为40引，所以4= 6分 (2）因为瓦A丽=丽.而=元，所以 A 丽.a-HC=0,元.(-)=0， 即.C=0,HC.BA=0,故丽⊥C,H元⊥BA. 所以H为△ABC的垂心. 的 .8分 连接BH并延长交AC于点D,连接CH并延长交AB 于点E,则BD⊥AC,CE⊥AB, 在四边形ADHE中，由 ∠A+∠HDA+∠HEA+∠DHE=2元，得 ，则∠Bc ∠DHE=2 2π 3 .9分 在△HBC中，设∠BC=a,a0写) 由正弦定理，得 HC HB BC 485 sina sin -a sin BHC 33 2 所以HC= 8 3 sina,HB= 3 .10分 3 高三数学参考答案第2页（共12页) 则SoRe=x HBxHCxs咖∠BnC=x85。 2 .12分 3 因为ae0},所以2a+君（后， .13分 所以m2a+2别]， 即△HBC面积的取值范围为 15分 解法二：(1)因为a=4,b+8c0SB=2c,所以b+2 a cos B=2c,.1分 由正弦定理，得 sin B+2sin Acos B=2sin C, ..2分 sin B+2sin Acos B=2sin(A+B)=2sin Acos B+2sin B cos A,.......... 整理，得sinB=2 sin Bcos A, 4分 因为sinB≠0，所以2cosA=1,即cosA= .5分 所以A= 3 .6分 (2)因为A丽=B.HC=H元EA,所以丽.(-G=0,C.(a-历)=0， 即B.CA=0,HC.BA=0,故B⊥CA,HC⊥BA. 所以H为△ABC的垂心. 8分 连接BH并延长交AC于点D,连接CH并延长交AB E D 于点E,则BD⊥AC,CE⊥AB H 在四边形ADHE中，由 ∠A+∠HDA+∠HEA+∠DHE=2元，得 ∠DE=子，则∠Bic- ,9分 3" 在△HBC中，由余弦定理，得 高三数学参考答案第3页（共12页) BC2 =HB2+HC2-2HB.HC.cos BHC............................ 10分 所以16=HB2+HC2+HB·HC≥3HB·HC, .11分 得，BC≤9，当且仅当B=C=45时，等号成立，12分 3 所以5ae-0-Ac,sm∠aic=5HB-HCs4百 4 .13分 3 又S△HBC>0, .14分 4 故△HBC面积的取值范围为 15分 3 17解法一：（1)在平面PAD中，过点F作AD的垂线，垂足为2， 因为平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD, FQc平面PAD, 所以F?⊥平面ABCD… .2分 在梯形ABCD中，过点C作CH⊥AD,垂足为H, 则cH=VD=Dm=2-平-5，故Sam=4D-CH=x4x5=25, 所以m写8心0=25阳-g,解得0-号 …4分 3 在△PAD中，过点P作PO⊥AD,垂足为O,则PO∥F2, 因为PALPD,D=4,所以P0-号4D=2.所以F0=写PO6分 因为F2∥PO, 所以AP=g、1 AP PO3' 所以t= .7分 3 (2)由（1)知O点即为E点，F为线段AP上靠近A的一个三等分点，在 线段PC上取一点G,使CG=CP 8分 高三数学参考答案第4页（共12页) 因为A迟=CG ,所以rG/4c, 又因为FGc平面EFG,AC丈平面EFG,所以AC∥平面EFG.9分 取BC的中点M,连接EM,则EM⊥AD, 由(1)知PE⊥平面ABCD,所以PE⊥EM,PE⊥ED, 以E为原点，EM,ED,EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图 所示的空间直角坐标系.… .10分 则E(0,0,0)、A0,-2,0),B(5,-1,0),C(5,10),P(0,0,2)… .11分 所似西=650，因为G=不+号c-Q2+引1-2号引 ..12分 设平面ABG的法向量为n=(x,y,z),则 n.AG=0, n.A4B=0. 所以 25,8, 2 x+ v+ z=0, 3 33 √5x+y=0. 所以 [y=-V3x, z=35x. 取x=1,则y=V5,z=35. 所以，n=山，-√5,35)是平面ABG的一个法向量… 13分 因为PE⊥平面ABCD,所以平面ABCD的一个法向量为m=(O,O,1) .14分 设平面ABG与平面ABCD的夹角为O,则 cos0=cos(n,m)= 333V3 √31×1 31 高三数学参考答案第5页（共12页) 即平面ABG与平面ABCD角的余弦值为3N3 .15分 31 解法二：（1)同解法一… .7分 (2)由(1)知O点即为E点，F为线段AP上靠近A的一个三等分点，在 线段PC上取一点G,使CG=。CP .8分 因为华所以cWAC, 又因为FGC平面EFG,AC丈平面EFG,所以AC∥平面EFG9分 连接CE,则AB=AE=BC,又AE∥BC,所以四边形ABCE为菱形. 在线段CB上取点H,使得CH=CE,连接GH,则GH/PE,由(ID知 PE⊥平面ABCD,所以GH⊥平面ABCD,因为ABc平面ABCD,所以 GH⊥AB. 在平面ABCD内过点H作HT⊥AB,交AB的延长线于点T,则HT为菱形 ABCE AB边上的高.连接GT,则AB⊥平面GHT,所以AB⊥GT,所以∠GTH 为二面角G-AB-C的一个平面角. .12分 在菱形ABCE中，∠BAE=60°，AB=AE=2,所以AB边上的高为 AB.sm∠BAB=2x5-5,即Hm=5, 13分 2 又GH=PB= 3, 所以GT=VGH2+HT2=, 3 9 14分 3 所以cos∠GH=r-5x3=3V GT 3131 所以平面ABG与平面ABCD角的余弦值为3 .15分 31 18.解法一：（1)f(x)的定义域为(0，+o),令f(x)=0,即 f(x)=x(Inx-ax)=0,Inx-ax=0. 令g(x)=lnx-ax,则g(x)=1-ax>0) 1分 高三数学参考答案第6页（共12页) (i)当a≤0时，g'(x)>0,则g(x)在(0，+oo)上单调递增，g(x)至多有 一个零点，不合题意，舍去…。 .2分 (i)当a>0时，令g'(x)=0,解得x=二当0<x<时，g(x)>0, g()在0，日上单调递增：当x>。时，g()<0,g(在2+∞单调递减 所以g()在x=处取得最大值，最大值为日=lh。-1…3分 @当a=时，由于g 人司=0，故g()只有一个零点： ②@当a>。时，由于8日0，故()没有零点： ®当0<a<时，h21>0,即g日>0，又x→0时，8()→0： x→o时，8（倒→m所以g(在(0日》上有-个零点，在日树上有 个零点，故g(x)在(0，+o)上有两个零点 …4分 综上，实数a的取值范围 .5分 (2)因为a≤1，所以f(x)≥xlnx-x2, 故要证f代之e,只着证xnx-产≥e,即证nx-x之e 6分 令时=nx-x+,则A0W=-1+'x-D--C-9x>0, x2 x2 .7分 令r(x)=e-x(x>0),则r(x)=e-1,当0<x<1时，r'(x)<0,r(x)在 (0,1)上单调递减；当x≥1时，r(x)>0,r(x)在(L,+o∞)上单调递增， 故r(x)≥r(I)=0，,即e-1-x≥0.… .8分 高三数学参考答案第7页（共12页) 因此当0<x<1时，h(x)<0,h(x)在(0，)上单调递减，当x21时，h(x)>0, h(x)在(L,+o)上单调递增，所以当x=1时，h(x)取得最小值，最小值为h()=0. 9分 所以()=nx-x+之0，即nx-x≥g 故f(x)≥-e 10分 (3）a=3时，f因s-(m+2mx-m+2恒成立， 即lnx-3x≤-(m+2)lnx-n+2恒成立，即(m+3)lnx-3x+n-2≤0恒成立. .11分 设函数H(x)=(m+3)lx-3x+n-2,则H(x)≤0恒成立， (i)当m<-3时，因为函数y=(m+3)lnx,y=-3x+n-2在(0，+oo)上均 为减函数，所以函数H(x)在(O,+∞)上单调递减. 且当x→0*时，H(x)→+o,与题意不符 ..13分 (i当m>-3时，Hr'(x)=m+3-3x>0,令（因）=0，则x=m+3 3 当0<x<m 3时，HI(>0,H)在 03 上单调递增；当x>m+3 3 时 H'(x)<0,H(x)在 m+3 3,0 上单调递减所以当x=”时，H)取得最 大值，最大值为H m+3 3 =(m+3)mm 3-(m+3刃+n-2.…14分 依题意，H m+3 3 50,即6a+h3-m+*n-250, 所以”-8 1-nm+36 .15分 m+3 3m+3 令2=1-nx2则四=-+三=2，当0<x<2时，p0 x x2 高三数学参考答案第8页（共12页) p(x)在(0,2)上单调递增；当x>2时，p(x)<0,p(x)在(2，+o)上 单调递减.所以当x=2时，p(x)取得最大值，最大值为p(2)=-ln2. 故1-nx-2s-ln2. .16分 所以”一 8≤1-nm+3-_6,3-ln2,当m=3,m=-61n2+8时，等号成 m+ 3m+3 立 综上所述，-8的最大值为-1n21门分 m+3 解法二：（1)f(x)的定义域为(0，+∞)，令f(x)=0,即 fy=x0血x-a)=0,即1nx-ax=0,即a=hx .1分 设g(-,则g倒=令g1)-=0,则=e当0<<e时， g'(x)>0,g(x)在(0，e)上单调递增；当x>e时，g(x)<0,g(x)在(e,+o)单 调递减所以8()在x=©处取得最大值，最大值为8（⊙）。 又g(1)=0,当x→0*时，g(x)→-o0;x→+o时，g(x)→0. 画出g(x)的大致图象如图所示. 2 e 0 3分 函数f(x)有两个零点，等价于函数y=g(x)的图象与直线y=a有两个交 点 由图象可得，实数a的取值范围为 5分 高三数学参考答案第9页（共12页) （2)因为a≤1，所以f(x)≥xlnx-x2,故要证f(x)≥-e,只需证 xnx-产≥-e,即证nx-x≥-e,即证x-nx≤eh .7分 令h(x)=x-lnx-l,则H(x)=1-1.令h(x)<0,则0<x<1;令(x)>0, 则x>1.所以h(x)在(0,1)上单调递减，在(L,+o)上单调递增.故h(x)在x=1处取 得最小值，最小值为h(们)=0…。 8分 令t=x-nx-1（t20),从而只需证e'≥t+1(t≥0). 令()=e-t-1,则r')=e'-1,因为t≥0，所以r)≥0恒成立，所以r() 在(0，+∞)上单调递增，故r()=r(0)=0,所以e'≥t+1,从而f(x)≥-e成立. .10分 (3)同解法一】 ..17分 19.解：(1)设M(x,y),由y=x与y=-x垂直，得四边形OAMB是矩形， 1分 放4w网=2,5-2，理-4,3分 因为A,B两点分别在第一、四象限，所以动点M的轨迹C的方程是： x2 y2 =1(X≥2）)…4分 44 (2)证明①：设斜率为2，与曲线C相交于4，B,两点的直线方程为 y=2x+mk,其中1≤k≤n,k∈N°， x2 y2 联立方程44=L消去y可得3x2+4m,x+m服+4=0， .5分 y=2x+mk> △>0， 因为该方程有两个正根，所以_4>0，解得m:<-25, 6分 3 高三数学参考答案第10页（共12页) 根据韦达定理：+。-智，4 m+4 3 .7分 直线AR的方程为y-y4=-（x-x4),又y4=2x4+m, 故y=-x+3xA+mk, 直线BP的方程为y-y,=x-x,，又 ya=2xg+mk,故y=x+g+mk,8分 联立方程 y=-x+3x+m' 两式相加得 y=x+xB+mk, 2yn =3x+x8+2mx, 代回方程组得xa 3x4-x4, ..e.... .9分 2 于是，2yg-x=3x4+x8,+2m: 3x4一x8 2 3+2m- 2 3x(-4)+2m,=-2m4+2m=0, 3 1 故，乃，，B都在直线y=2x上，所以，B,…B共线.1分 1 3 证明②：设P坐标为，2 则直线4R方程为)y=2x-2, 3 故①中mk= 2, .12分 所以+=-=2%， =m+4_9x2+16 3 312 13分 又x+1= 3XAn-XBs, 2 于是，1o9=+}x2- 2, .14分 4 PR=+a-x=u-x月 高三数学参考答案第11页（共12页) =。+广-]-a-2]--916分 所以oef-pf--(目-9)9 故0P-.为定值，1≤i≤n-1,i∈N”17分