精品解析：天津市部分区2026届高三质量调查试卷（二）数学

天津市部分区2026年高三质量调查试卷（二） 数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式： 如果事件互斥，那么． 如果事件相互独立，那么． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，又， 则. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若，则； 当时，不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 3. 已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数性质，利用排除法可得正确选项. 【详解】由图象可知，函数定义域为，为奇函数，且， 因为定义域为，不符合题意，故排除B选项； 因为， 所以是偶函数，不符合题意，故排除C选项； 因为，故不符合题意，故排除D选项； 因为，， 所以定义域为，为奇函数，且， 故的解析式可能为，A符合题意. 4. 设为等差数列，为其前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，则，所以. 5. 已知是两条直线，是两个平面．下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】作出相交平面可说明B项错误；借助于长方体模型可说明D项错误；利用面面平行的判定定理可说明A正确；利用线面平行的判定定理可判断C项. 【详解】对于A，由可得，又有，且是两个平面，故，即A正确； 对于B，如图，取，，且，则易得，但得不到，故B错误； 对于C，由，可得或，故C错误； 对于D，如图，设为长方体的两个相对的底面，是长方体的一条竖直和一条水平的棱， 显然满足，但得不到，故D错误. 6. 下列结论中正确的是（ ） A. 样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强 B. 若随机变量 服从正态分布，且，则 C. 若，则 D. 多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案种数可能有16个 【答案】C 【解析】 【分析】利用相关系数、正态分布、条件概率及组合数知识逐一分析各选项. 【详解】在A选项中，样本相关系数的绝对值越大，成对样本数据的线性相关程度才越强， 相关系数为负时仅表示负相关，数值越小（负得越多）绝对值越大、相关程度越强，A错误 在B选项中，正态分布的对称轴为，由得：  ，根据正态分布的对称性可知： ，所以， 所以，B错误， 在C选项中，根据条件概率公式可得： ，C正确， 在D选项中，正确答案至少选1个，总种数为，D错误. 7. 函数的一个零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求定义域，求导，得到函数单调性，结合零点存在性定理可得结论 【详解】定义域为，， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，， 其中，故，，， 由零点存在性定理可得函数的一个零点所在区间为， 其他选项均错误. 8. 把函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数， 再把图象向右平移个单位长度得： ． 9. 如图，阴影部分的边界为四叶草曲线，该曲线由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线围成，且这四条抛物线的焦点共圆（圆心为坐标原点）．记 轴上的两个焦点为，在第一象限端点为 ，若点 在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，通过联立方程组求出点 的坐标，求出，，根据双曲线的定义得到，，则利用离心率的公式求出，代入数值得解. 【详解】设， 因为在第一象限端点为 ，所以点 为抛物线和的交点， 将两边平方得到， 将代入得到， 解得， 将代入解得，则， 则， ， 因为点 在以为焦点的双曲线上， ， ，则离心率为，故选项B正确. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10. 是虚数单位，___________． 【答案】## 【解析】 【详解】由于， 所以. 11. 在的展开式中， 的系数为___________．（结果用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】列出二项式的通项公式，令 的指数为 ，可得，即可求解. 【详解】根据二项式定理，可得其展开式中第项的通项公式为， 化简可得， 令，解得，所以展开式的第 项为， 所以 的系数为. 12. 若过点的直线 与圆只有一个公共点，则 的斜率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设直线 的方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程，由此求得直线 的斜率. 【详解】依题意可知直线 的斜率存在，设直线 的方程为， 即， 圆，即，圆心为，半径为 ， 直线 与圆只有一个公共点，所以， 解得. 13. 甲、乙两名同学参加汉语听写比赛，每次由其中一人听写，规则如下：若听写正确则此人继续听写，若未听写正确则换对方听写．无论之前听写情况如何，甲每次听写的正确率均为0.6，乙每次听写的正确率均为0.7．若第1次听写的人是甲，则第1次甲听写错误且第2次乙听写正确的概率为___________；若第1次听写的人是甲、乙的概率各为0.5，则第2次听写的人是甲的概率为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一个空利用相互独立事件概率计算公式来计算；第二个空通过全概率公式，分两种初始情况讨论，分别计算每种情况下目标事件的概率再求和. 【详解】甲第1次听写错误的概率为，此时第2次由乙听写，乙听写正确的概率为， 故所求概率为. 第1次听写的人是甲时，第2次仍由甲听写的概率为； 第1次听写的人是乙时，第2次由甲听写的概率为. 由全概率公式，第2次听写的人是甲的概率为. 14. 在平行四边形 中，，，点在线段 上．若，则___________；的最小值为___________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】设，以为基底表示，由此列方程，求得；利用向量模的运算以及基本不等式求得的最小值. 【详解】设，其中， 则 ， 由于， 所以，则为正数， 且. ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 15. 设，函数，若关于 的方程恰有一个根，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据的表达式求出的表达式，再分情况讨论方程的根，进而确定的取值范围. 【详解】由题设有, 由题可得， 当时，，， 则可以转化为：， 即，得，解得，不满足，故舍去； 当时，，， 则可以转化为：，即， 因为，而，故在上无解； 当时，，， 则可以转化为：，即， 令，则，解得，即， 而，故， 故，故， 综上所述，的取值范围是. 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在 中，角所对的边分别为．已知， （1）求的值； （2）求 的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求解. （2）由，可得,利用正弦定理求解. （3）利用二倍角的正弦公式和余弦公式求出和，利用两角差的余弦公式求解. 【小问1详解】 在 中，，，. 根据余弦定理， 将，，代入， 可得， 因为为三角形的边长，即，所以. 【小问2详解】 因为是三角形内角，则，所以. 由，可得. ，， ，. ，为钝角，为锐角， . 【小问3详解】 ，， ， ， . 17. 如图，多面体是直四棱柱被平面所截剩余的较大部分，其中正方形 的边长为2，． （1）求证：平面； （2）求直线 与平面所成角的正弦值； （3）若点 在线段上，且，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 补全直四棱柱，则底面是边长为2的正方形，连接，则， 由直四棱柱的性质可知，平面，平面， ， 直四棱柱中，， 又平面， 由线面垂直判定定理得，平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）补全直四棱柱，根据直四棱柱的几何性质，利用线面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，结合已知条件求出相关点和向量坐标，设平面的法向量为，求出，进而利用向量夹角的正弦公式计算求解； （3）求出点 坐标，结合已知条件求出相关点和向量坐标，设平面的法向量为，求出，进而利用向量夹角的余弦公式计算求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以 为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， 已知正方形 的边长为2，， 则， ， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 设直线 与平面所成角为，则 ． 【小问3详解】 已知点 在线段上，且，则， ，设平面的法向量为， 则，令，则， 由（2）知平面的法向量为， 设平面与平面夹角为，则 ． 18. 设椭圆的上顶点为，点， 为坐标原点．已知的面积为． （1）求椭圆的离心率； （2）已知直线与椭圆相切，过点 的直线与椭圆交于两点，过点作 的垂线，垂足分别为 两点（ 两点不重合）．记直线的斜率分别为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用的面积求出与的关系，再结合椭圆参数关系，即可得解. （2）先求椭圆方程，再根据直线的斜率分类讨论，再结合韦达定理和换元法，即可求解. 【小问1详解】 由已知，点，有上顶点，，为直角三角形， 所以，因此，解得， ， 故椭圆的离心率. 【小问2详解】 由已知，椭圆的右顶点为，是椭圆的切线， 而直线与椭圆相切，所以， 由（1）知，所以，故椭圆的方程为 . 对于直线， ①斜率不存在时，直线， 此时， 则，所以； ②当斜率时，直线，此时 两点重合，不符合题意，所以； ③当斜率存在且时，直线， 设点，点，则点，点，如下图， 联立椭圆与直线方程：，消去 ，得， 所以，又， 所以， 其中， 且， 所以， 令，则， 代入得， 因为，所以，则，即. 综上，的取值范围为. 19. 已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为． （1）若数列，求集合； （2）已知为正项等比数列，，是与的等差中项． （i）求； （ii）令，求． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据题意计算求解即可； （2）（i）设等比数列的公比为，根据等差中项可得，进而可得，由题意推导可得得到彼此互异，进而可得；（ii）由题意可得，根据裂项相消法计算求解. 【小问1详解】 由题意可知数列，得 ， 则； 【小问2详解】 （i）设等比数列的公比为， 由题意可知，， 解得或（不符合题意舍去）， 所以， 此时数列， 因为， 所以集合中元素最多为个，即， 对于数列，此时， 若存在，则，其中， 故， 若，不妨设，则，而， 故为偶数，为奇数，矛盾，故， 故由得到彼此互异， 所以； （ii）， ， 则 . 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：； （3）证明：． 【答案】（1） （2）证明：要证明，即证， 即证， 令，定义域为，显然， 则，其中， 当时，令，则， 其中，，故， 故在上单调递增， 又，故在上恒成立， 故在上单调递减， 当时，， 所以在上单调递增， 所以恒成立，从而，当时，等号成立； （3）证明：由（2）知，当时，， 即，当时，， 故， 故 【解析】 【分析】（1）求导，得到，由导函数几何意义得到切线方程； （2）即证，构造函数，求定义域，得到函数单调性，从而得到不等式； （3）在（2）基础上，得到，求和得到不等式. 【小问1详解】 由题可知， ，则， 故曲线在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市部分区2026年高三质量调查试卷（二） 数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式： 如果事件互斥，那么． 如果事件相互独立，那么． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，那么（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 设为等差数列，为其前 项和，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是两条直线，是两个平面．下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 下列结论中正确的是（ ） A. 样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强 B. 若随机变量 服从正态分布，且，则 C. 若，则 D. 多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案种数可能有16个 7. 函数的一个零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 8. 把函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，阴影部分的边界为四叶草曲线，该曲线由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线围成，且这四条抛物线的焦点共圆（圆心为坐标原点）．记 轴上的两个焦点为，在第一象限端点为 ，若点 在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10. 是虚数单位，___________． 11. 在的展开式中， 的系数为___________．（结果用数字作答） 12. 若过点的直线 与圆只有一个公共点，则 的斜率为___________． 13. 甲、乙两名同学参加汉语听写比赛，每次由其中一人听写，规则如下：若听写正确则此人继续听写，若未听写正确则换对方听写．无论之前听写情况如何，甲每次听写的正确率均为0.6，乙每次听写的正确率均为0.7．若第1次听写的人是甲，则第1次甲听写错误且第2次乙听写正确的概率为___________；若第1次听写的人是甲、乙的概率各为0.5，则第2次听写的人是甲的概率为___________． 14. 在平行四边形 中，，，点在线段 上．若，则___________；的最小值为___________． 15. 设，函数，若关于 的方程恰有一个根，则的取值范围是___________． 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在 中，角所对的边分别为．已知， （1）求的值； （2）求 的值； （3）求的值． 17. 如图，多面体是直四棱柱被平面所截剩余的较大部分，其中正方形 的边长为2，． （1）求证：平面； （2）求直线 与平面所成角的正弦值； （3）若点 在线段上，且，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 设椭圆的上顶点为，点， 为坐标原点．已知的面积为． （1）求椭圆的离心率； （2）已知直线与椭圆相切，过点 的直线与椭圆交于两点，过点作 的垂线，垂足分别为 两点（ 两点不重合）．记直线的斜率分别为，求的取值范围． 19. 已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为． （1）若数列，求集合； （2）已知为正项等比数列，，是与的等差中项． （i）求； （ii）令，求． 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $