广东梅州市梅县外国语学校2025-2026学年度第二学期高二期中考数学试卷

**基本信息** 广东梅县外国语学校高二期中数学试卷，以亚运会志愿服务、校园餐厅选择等真实情境为载体，覆盖概率、导数、排列组合等核心知识，通过基础题与综合探究题的梯度设计，考查数学眼光、思维与语言能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|概率（第1题）、导数（第2题）、二项式定理（第5题）|分层抽样结合组合（第6题），体现数据意识| |填空题|3题/15分|组合（第12题）、概率（第13题）、函数零点（第14题）|第14题通过导数分析零点个数，考查逻辑推理| |解答题|5题/77分|排列组合应用（15题）、概率分布与期望（17题）、导数综合（19题）|19题含切线、单调性、极值点讨论，梯度递进；17题以体育比赛为情境，培养模型观念|

广东梅县外国语学校2025-2026学年度第二学期高二期中考 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某学校有、两家餐厅，王同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐．如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8，则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为（    ） A．0.7 B．0.6 C．0.5 D．0.4 2．设函数在处存在导数为1，则（　　） A． B． C．2 D． 3．用数字，，，，组成的没有重复数字的三位数且是偶数的个数为（    ） A．60 B．30 C．36 D．21 4．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．的展开式中的系数是（   ） A．10 B．15 C．20 D．30 6．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 7．第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（    ） A． B． C． D． 8．已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线与曲线相切，则下列直线中可能与垂直的是（    ） A． B． C． D． 10．随机变量X的分布列如下： X 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差数列，则可以为（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，则（    ） A．函数的定义域为 B．当时，函数在定义域上单调递增 C．曲线是中心对称图形 D．若，且的最小值是0 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．6个人选3个人去演讲，若甲一定去，则有__________种选法. 13．某班从含有3名男生和2名女生的5名候选人中选出两名同学分别担任正、副班长，则至少选到1名女生的概率__________. 14．已知函数，则方程的根的个数为 ___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．某班准备举办迎新晚会，有4个歌舞类节目和2个语言类节目，要求排出一个节目单. (1)若2个语言类节目不能相邻，有多少种排法？ (2)若前4个节目中要有语言类节目，有多少种排法？（计算结果都用数字表示） 16．二项式展开式前三项的二项式系数和为22. (1)求的值； (2)求展开式中各项的二项式系数和； (3)求展开式中的常数项及二项式系数最大的项. 17．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 18．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 19．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 广东梅县外国语学校2025-2026学年度第二学期高二第二次段考 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D B A C D B B AC ABC ABC 12．； 13．/0.7； 14．3 1．A【详解】记“第1天去餐厅”，“第1天去餐厅”，“第2天去餐厅”， 则由全概率公式得：． 2．D【详解】由题意可知， . 3．B【详解】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即，，，有3种选择， 因为这是一个三位数，所以百位数不能是0. ①当个位数为0时，有种， ②当个位数为2或4时，有种.综上，有30种. 4．A【详解】由求导得，则，而， 所以所求切线方程为. 5．C【详解】展开式的通项为， 所以的展开式中的系数为. 6．D【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种. 7．B【详解】不考虑甲是否去场馆，所有志愿者分配方案总数为， 甲去场馆的概率相等，所以甲去场馆或的总数为， 甲不去场馆，分两种情况讨论， 情形一，甲去场馆，场馆有两名志愿者共有种； 情形二，甲去场馆，场馆场馆均有两人共有种， 场馆场馆均有两人共有种，所以甲不去场馆时， 场馆仅有2名志愿者的概率为. 8．B【详解】因为，可知在内有2个变号零点， 由可得，可知：与在内有2个交点， 又因为， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则，且，， 结合图象可得，所以实数a的取值范围为. 9．AC【详解】的定义域为， ，即直线的斜率， 设与垂直的直线的斜率为，则，所以，. 对于A，直线的斜率为，故A正确； 对于B，直线的斜率为，故B错误； 对于C，直线的斜率为，故C正确； 对于D，直线的斜率为，故D错误. 10．ABC【详解】解：随机变量X的分布列如下： X 0 1 P a b c ，且a，b，① ，b，c成等差数列，，② 联立①②，得，，所以， ，可以为 ，， ， 11．ABC【详解】对于A，由函数解析式可得，解得，因此函数的定义域为，显然A正确； 对于B，当时， 易知函数单调递增，单调递减，所以函数在定义域上单调递增，B正确； 对于C，令，， 因此的图象关于点中心对称， 易知满足， 可得的图象关于点中心对称，可得C正确； 对于D，时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故， 而成立，故，即，所以的最小值为，即D错误. 12．10【详解】6个人选3个人去演讲，甲一定去，所以从剩下的人中再选出人即可， 所以有种选法.故答案为：10 13．/0.7【详解】根据题意，从3名男生和2名女生中选出2名学生，有种选法， 若选出的2人中至少有1名女生，即包括1男1女和2女两种情况， 共有种选法，则选出的2人中至少有1名女生的概率为. 14．3 【详解】由函数，则， 令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 又当时，；当时，； 当时，；当时取得极小值，；当时，， 所以函数的大致图象如下所示； 又， 解得或， 由函数图象可知，方程的根的个数为3． 15． (1)种(2)种 【详解】（1）2个语言类节目不能相邻的排法有种. （2）前4个节目中要有语言类节目的排法有种. 16．(1)6(2)64(3)常数项为960，二项式系数最大的项为 【详解】（1）展开式前三项的二项式系数和为22， 或（舍）， 故的值为6. （2）展开式中各项的二项式系数和为. （3）设展开式中常数项为第项， 即， 令，得，， 由题可得，展开式中最大的二项式系数为， 展开式中二项式系数最大的项为第4项， 即， 综上所述：常数项为，二项式系数最大的项为. 17．(1)；(2)分布列见解析，. 【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为 ． （2）依题可知，的可能取值为，所以， , ， ， . 即的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 期望. 18．(1)答案见解析(2)证明见解析 【详解】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又，所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 19．(1)(2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.(3) 【详解】（1）当时，， 所以，所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）由， 得， 函数的定义域为， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以.令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $