2.2函数的单调性与最值导学案——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕函数单调性与最值核心考点，按定义、单调区间、复合函数性质、最值求法的逻辑层次组织知识，通过知识清单梳理、自主诊断检测、考向分类讲解（判断证明、单调区间、参数范围、比较大小等）及真题演练，构建系统性复习框架，帮助学生突破难点。 讲义注重数学思维与应用意识培养，如通过定义法证明单调性训练推理能力，结合分段函数图象分析最值培养几何直观。设置分层练习（基础诊断、能力提升）及教材改编题，配合即时反馈，助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第二节　函数的单调性与最值 知识清单 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 定义 设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有________________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增 当x1<x2时，都有________________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减 图象描述 自左向右看图象是________的 自左向右看图象是________的 剖析　增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征：一是任意性；二是有大小，即x1<x2(或x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可． (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上________或________，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 剖析　单调区间是函数定义域的子集．函数的单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示． 若一个函数有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接． (3)复合函数的单调性 u＝g(x) y＝f(u) y＝f(g(x)) 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 减函数 简记为：同增异减． 2．若函数f(x)与g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： (1)f(x)与f(x)＋C(C为常数)具有相同的单调性． (2)f(x)与－f(x)的单调性相反． (3)当a>0时，af(x)与f(x)的单调性________；当a<0时，af(x)与f(x)的单调性________． (4)若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性． (5)若f(x)恒为正值或负值，则当a>0时，f(x)与具有________的单调性；当a<0时，f(x)与具有________的单调性． (6)f(x)与g(x)的和与差的单调性(相同区间上)： 简记为：①＋＝；② ＋ ＝； ③ －＝ ；④  －＝. 3．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M(m) 条件 (1)对于任意x∈D，都有________； (2)存在x0∈D，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈D，都有________； (4)存在x0∈D，使得f(x0)＝m 结论 M为最大值 m为最小值 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0).(　　) (2)对于函数y＝f(x)，若f(1)＜f(3)，则f(x)为增函数．(　　) (3)已知函数y＝f(x)在R上是增函数，则函数y＝f(－x)在R上是减函数．(　　) (4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　) 2．(人教A版必修一P79T3改编)函数f(x)＝－的单调递增区间为________． 3．(人教A版必修一P81例5改编)函数f(x)＝(x∈[2，6])，则f(x)的最小值为________，最大值为________． 4．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的值是________． 【常用结论】 函数单调性的等价定义 设任意x1，x2∈I(x1≠x2)，则 (1)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在I上单调递增； (2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在I上单调递减． 考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢” 命题点一　函数的单调性 考向1　函数单调性的判断或证明 例1 (1)下列说法正确的是(　　) A．f(x)＝x2－4x＋1在(1，＋∞)上单调递增 B．f(x)＝|x＋3|在(－∞，－3)上单调递增 C．f(x)＝在(－∞，2)和(2，＋∞)上单调递减 D．f(x)＝x－在(0，＋∞)上单调递减 (2)试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性． [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)判断函数单调性的方法 ①图象法；②利用已知函数的单调性；③定义法． (2)证明函数单调性的方法 ①定义法；②导数法． 　跟踪训练　(衔接·人教A版必修一P86T8)(1)根据函数单调性的定义证明函数y＝x＋在区间[3，＋∞)上单调递增． (2)讨论函数y＝x＋在区间(0，＋∞)上的单调性． (3)讨论函数y＝x＋(k>0)在区间(0，＋∞)上的单调性． 考向2　求函数的单调区间 例2 求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝－x2＋2|x|＋3. (2)f(x)＝. [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间． (2)求函数单调区间的方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性法；④导数法． 　跟踪训练　(1)函数f(x)＝的单调区间为________________． (2)函数y＝|－x2＋4x＋5|的单调递增区间为________________． 命题点二　函数单调性的应用 考向1　比较函数值的大小 例3 (2026·沧州模拟)已知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－2对称，且函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增．设a＝f()，b＝f(－4)，c＝f(－1)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c<b<a B．b<a<c C．b<c<a D．a<b<c [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用函数的性质，转化到同一个单调区间内进行比较． 　跟踪训练　(衔接·北师大版必修一P65A组T3改编)已知函数f(x)在R上是减函数，a，b∈R，且a＋b<0，则有(　　) A．f(a)＋f(b)<0 B．f(a)＋f(b)>0 C．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b) D．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b) 考向2　解不等式 例4 已知函数f(x)＝2x＋sin x，若f(ln a)<f(2)，则a的取值范围为(　　) A．(0，e2) B．(0，e) C．(e2，＋∞) D．(2，＋∞) [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域． 　跟踪训练　函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的增函数，则满足f(2x－1)<f()的x的取值范围是(　　) A．() B．[) C．() D．[) 考向3　求参数的取值范围 例5 (链接·2024年新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．[－1，0] C．[－1，1] D．[0，＋∞) [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　真题探源　(源自北师大版必修一P73C组T3)已知函数f(x)＝在定义域R上是减函数，求实数a的取值范围． 学霸笔记：利用单调性求参数的取值范围，根据单调性直接构建参数满足的方程(组)[不等式(组)]或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值． 命题点三　函数的最值 例6 (1)函数f(x)＝x－＋1在[1，4]上的值域为(　　) A．[1，] B．[0，1] C．[0，] D．[] (2)函数f(x)＝2x2－的最小值为________． [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：求函数最值的四种基本方法 (1)单调性：先确定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)基本不等式：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值． (3)换元法：将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)． (4)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值． 　跟踪训练　(1)函数f(x)＝在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是(　　) A． B．5，2 C．2，1 D．1， (2)函数f(x)＝的值域为________． 提示：请完成课时作业7 第二节　函数的单调性与最值 必备知识·助学教材 知识清单 1．(1)f(x1)<f(x2)　f(x1)>f(x2)　上升　下降 (2)单调递增　单调递减 2．(3)相同　相反　(5)相反　相同 3．f(x)≤M　f(x)≥m 自主诊断 1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．解析：函数f(x)＝－属于反比例函数，由其图象易知单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)． 答案：(－∞，0)，(0，＋∞) 3．解析：因为函数f(x)＝在[2，6]上单调递减，所以当x＝6时，函数取最小值；当x＝2时，函数取最大值2. 答案：　2 4．解析：因为函数f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，且函数f(x)的图象对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3. 答案：－3 考教衔接·活用教材 例1　解析：(1)f(x)＝x2－4x＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，故f(x)在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，A错误；当x∈(－∞，－3)时，f(x)＝－x－3，单调递减，B错误；f(x)＝的图象是由y＝的图象向右平移2个单位长度得到的，故f(x)在(－∞，2)和(2，＋∞)上单调递减，C正确；因为y＝x和y＝－均在(0，＋∞)上单调递增，由单调递增＋单调递增＝单调递增，D错误．故选C. (2)方法一　设－1<x1<x2<1， f(x)＝a＝a， 则f(x1)－f(x2)＝a－a ＝， 由于－1<x1<x2<1， 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 方法二　f′(x)＝ ＝. 当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 答案：(1)C　 (2)见解析 跟踪训练　解析：(1)证明：∀x1，x2∈[3，＋∞)且x1<x2， 则y1－y2＝x1＋－＝(x1－x2)＋＝， ∵x1，x2∈[3，＋∞)，∴x1x2>0，x1x2>9. 又∵x1<x2，∴x1－x2<0，∴y1－y2<0，即y1<y2. ∴y＝x＋在区间[3，＋∞)上单调递增． (2)∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1<x2， y1－y2＝x1＋－＝. ①当x1，x2∈(0，3]时，x1x2>0，x1x2－9<0，又x1－x2<0， ∴y1－y2>0，即y1>y2，∴y＝x＋在(0，3]上单调递减． ②当x1，x2∈(3，＋∞)时，x1x2>0，x1x2－9>0，又x1－x2<0， ∴y1－y2<0，即y1<y2，∴y＝x＋在(3，＋∞)上单调递增． (3)∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1<x2， 则y1－y2＝－＝. ①当x1，x2∈时，x1x2>0，x1x2－k<0，又x1－x2<0，∴y1－y2>0，即y1>y2， ∴y＝x＋(k>0)在上单调递减． ②当x1，x2∈时，x1x2>0，x1x2－k>0，又x1－x2<0，∴y1－y2<0，即y1<y2， ∴y＝x＋(k>0)在上单调递增． 例2　解析：(1)∵f(x)＝其图象如图所示，所以函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)． (2)函数f(x)＝的定义域需要满足3＋2x－x2≥0，解得f(x)定义域为[－1，3]， 由二次函数的图象可知函数y＝3＋2x－x2的单调递增区间为[－1，1]，单调递减区间为[1，3]， 所以函数f(x)＝的单调递增区间为[－1，1]，单调递减区间为[1，3]. 跟踪训练　解析：(1)f(x)＝＝＝1+，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)． (2)函数y＝|－x2＋4x＋5|＝ 由|－x2＋4x＋5|＝0，解得x＝－1或x＝5， 函数y＝|－x2＋4x＋5|的图象如图所示， 由图可知，函数y＝|－x2＋4x＋5|的单调递增区间为(－1，2)和(5，＋∞)． 答案：(1)单调递增区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，无单调递减区间　(2)(－1，2)和(5，＋∞) 例3　解析：因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－2对称，所以f(x)＝f(－4－x)．所以a＝f＝f＝c＝f(－1)＝f(－4＋1)＝f(－3)．又因为函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增，且－<－4<－3<－2，所以<f(－4)<f(－3)，即a<b<c.故选D. 答案：D 跟踪训练　解析：因为a，b∈R，且a＋b<0，则a<－b，由函数f(x)在R上是减函数，则f(a)>f(－b)，同理b<－a，有f(b)>f(－a)，所以f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．故选D. 答案：D 例4　解析：函数f(x)＝2x＋sin x的定义域为R，因为f′(x)＝2＋cos x>0恒成立，所以函数f(x)在R上单调递增，若f(ln a)<f(2)，则⇒0<a<e2，即a的取值范围为(0，e2)．故选A. 答案：A 跟踪训练　解析：由题意知函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的增函数，则由f(2x－1)<f，得0≤2x－1<，解得≤x<，即x∈. 答案：D 例5　解析：当x<0时，函数f(x)＝－x2－2ax－a＝＋a2－a，若函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，则有－a≥0，即a≤0；当x≥0时，函数f(x)＝ex＋ln (x＋1)，函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，因为函数f(x)在R上单调递增，所以－a≤e0＋ln (0＋1)＝1，解得a≥－1.综上可得－1≤a≤0.故选B. 答案：B 真题探源　解析：根据题意，函数f(x)＝在定义域R上是减函数， 则有解得0≤a≤， 故a的取值范围为. 例6　解析：(1)由y=f(x)的x在[1，4]上单调递增，且在[1，4]上单调递减， 根据单调性的性质可得f(x)＝x－＋1在[1，4]上单调递增， 又f(1)＝0，f(4)＝， ∴f(x)值域为.故选C. (2)设t＝(t≥1)，则f(t)＝2t2－t－2在[1，＋∞)上单调递增， 所以函数的最小值为f(1)＝－1. 答案：C　(2)－1 跟踪训练　解析：(1)∵y＝x2＋1在(0，＋∞)上单调递增，且y>1，∴f(x)＝在区间[1，2]上单调递减，∴函数f(x)＝在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是f(1)＝，f(2)＝. (2)方法一　图象法 作出函数f(x)＝的图象(如图所示)，由函数图象可知，f(x)max＝f(0)＝2，∴f(x)的值域为(－∞，2]. 方法二　单调性 当x≥1时，函数f(x)＝单调递减，∴f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，函数f(x)＝－x2＋2在(－∞，0)上单调递增，在(0，1)上单调递减，∴函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.∴f(x)的值域为(－∞，2]. 答案：(1)A　 答案：(2)(－∞，2] 学科网（北京）股份有限公司 $