广东深圳市盐田高级中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

**基本信息** 盐田高级中学高一数学期中卷聚焦空间观念、运算能力与推理意识，通过复数、立体几何、向量等知识，分层考查数学眼光与思维，适配高一学段期中能力评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数象限、立体几何线面关系、向量共线|基础题如复数几何意义，夯实概念理解| |多选题|3/18|正方体线面关系、三角形五心向量表示|选项分层设计，考查推理严谨性| |填空题|3/15|向量数量积、解三角形测量、正方体体积|创新题如容器装水体积，体现应用意识| |解答题|5/77|解三角形、四棱锥线面证明、平面几何与向量综合|综合题如四棱锥存在性探究，融合空间想象与逻辑推理|

( 注意事项： 答题前，认真核对条形码上的姓名、考试号,并在贴条形码区粘贴考生条形码。 选择题作答必须用 2B 铅笔，修改时用橡皮擦干净。笔答题作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写，答题不得超出答题框。 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。 试卷类型 A B 贴条形码区 考生 禁填 缺考标记 ) ( 20 2 5 -202 6 学年第 二 学期期中 考试 高 一 数学答题卡 班级 姓名 试室号 座位号      ) 客观题答题区 ( 单选题 1  2  3  4  5  6  7  8  ) ( 多选题 9  10  11  ) 主观题答题区 ( 12 ．_ ________ _ ________ 13 ．_ ________ _ ________ 14 ．_ ________ _ ________ ) ( 15 ．( 13 分) ) ( 16 ．( 15 分) 17 ．( 15 分) ) ( 18 ．( 17 分) ) ( 第 2 面 / 共2面 理 科数学答题卡 ) ( 19 ．( 17 分) ) ( 第3 面 / 共3面 理科综合答题卡 ) ( 第 2 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中考试 盐田高级中学高一数学试题卷 命题人：丁小飞 审题人：董超凡 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的序号填在括号内，每小题5分，共40分） 1．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则是异面直线 D．若，则或是异面直线 3．向量，，若与同向，则（   ） A． B． C．3 D．±3 4．如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．已知非零向量，满足，则向量在方向上的投影向量为（   ） B． C． D． 6．已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知正方体中，，P为线段上一点，Q为平面内一点，则的最小值是（    ）  A． B． C． D． 8．已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分） 9．如图，在正方体中，分别是棱的中点，则（    ） A．平面 B．平面 C．点在平面内 D．点在平面内 10．(多选)点O为所在平面内一点，则（     ） A．若，则点O为的重心 B．若，则点O为的内心 C．若，则点O为的垂心 D．在中，设，那么动点O的轨迹必通过的外心 11．记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知则下列说法正确的是（    ） A．a可能是最大边 B．b可能是最大边 C．a可能是最小边 D．c可能是最小边 3、 填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则_____；_____． 13．如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度为_____米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，4页 学科网（北京）股份有限公司 14．如图，棱长为2的正方体容器中，，分别是棱，的中点，在，，处各有1个小孔（孔的大小忽略不计），则该容器可装水的最大体积为______.    四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15．（13分）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求边上的高的长. 16．（15分）已知，，且. (1)求向量与的夹角大小. (2)求. 17．（15分）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且． (1)设平面平面，证明：； (2)证明：； (3)线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 18．（17分）如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，线段与线段交于点. (1)若，求实数的值； (2)若，且满足， ①求实数的值； ②如图2，过点的直线与边分别交于点，设，，（，），求的最小值. 19．（17分）在中，内角的对边分别为，且点是线段上的一点．已知． (1)求角A的大小； (2)若，求的值； (3)若为的角平分线，且，求的最小值． 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年第二学期期中考试 盐田高级中学高一数学试题答案 命题人：丁小飞审题人：董超凡 考试时间：120分钟满分：150分 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的序号填在括号内， 每小题5分，共40分) 1.A【详解】解：(2-31)=4+i026=4+i2=4-1=3, 3 3(2+31)6+9i-6+9 2=2-31(2-30(2+30131313 (69 则：在复平面内对应的点为313位于第一象限. 2.D【详解】对于A,若m∥a,n∥a,则∥n或mn相交或m,n是异面直线，故A错误； 对于B,若∥n,∥a,则n∥ax或nCa,故B错误； 对于C,若ncoa,ncB,当平面a与B相交时，m与n可能相交，故C错误； 对于D,若o∥B,mca,nCB,则直线m,n无公共点，所以∥n或m,n是异面直线，故D正确。 3.A【详解】由题设知6t=3园，则园=2t=√9+t,则4t=9+t2,则2=3， 因为a与同向，所以t≥0，故t=√5 4.D【详解】过B作B'C11OA交y'轴于点C',可得∠B'CO=45°， 因为∠B'Oy'=90°，所以△OBC为等腰直角三角形，所以OB=O'C"=2√2， 根据斜二测画法，可得△OAB,如图所示，则OA=2√2，OC=4V2, 所以ahHD0的面积是s-0A.0C-号22x4W2=8 VA B A 5.D【详解】由题意，已知成=m+列，两边同时平方可得=m+, 化简得m=+试+2m元，即m万= 根据向量投影向量的计算公式， 2 过 可得m+n在元方向上的投影向量为m+m元元=2元=上元 2 6.D【详解】设圆锥的底面半径为r,则其母线长为2r,高为√r, 所以该圆锥的表面积为π2+πr×2r=3π2， 设球0的半径为R,则球0的表面积为4R2,由题意知3r=4R,所以5=名 圆锥的体积=3 4 02×V33,球0的体积3双 3 D 所以飞 3 5r32 V, 4 元R 4R3 3 7.A【详解】 当PO⊥BC,即可得PO⊥平面ABCD,此时PO是最小距离， 然后把平面ABC,D与平面BCC展开成共面， 如第二个图：即可得过D作BC的垂线，垂足为Q 此时DP+PQ≥DQ,即此时D,Q取到最小值， 由正方体可知： sin∠DBQ=sin 1 迈2+ 2 3 2 25 所以D.0=DBsin∠DBO=2W5x2+Y5=2N2故选：A 2W3 AB AC AB AC 8.C【详解】 和表示西、4C方向的单位向量，则 AB AB AC 在∠BAC的角平分线上， AB AC BC=0,所以∠BAC的角平分线与边BC垂直， AB AC 所以△ABC是等腰三角形，且AB=AC. 取BC的中点O,连接AO,则AO⊥BC 由题意知， AB-AC=B=2W5,AB+AC=2AO=6W2,所以A0=3W2 以O为原点，以BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 则B(-√2,0)，CV2,0),A0,32),故BA=(N2,32),BC=(2W2,0) 设BD=1BA(0≤元≤1)，则BD=(N2,32),即DB=（√2，-3V22) DC=D8+BC=(V2+2W2,3W2) 所以DB.Dc=(V5x(2+22+（352k（3b元20元24， 当2=26=Q小，D8c张行限小值，为20 11 -4×105 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分) 9.BD【详解】连接EF,BD,在正方体ABCD-ABCD中，AB∥C,D且AB=CD, 所以四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC, 因为ADC平面ABD,BC￠平面ABD,所以BC∥平面ABD,故B正确 因为E,F分别为BB,BG中点，所以EF∥BC,所以EF∥AD,所以B,P,D,A四点共面，即点F在平 面AED内，故D正确；再连接FD,显然G不在平面ABD内，所以PG与平面ABD不平行，故A错误： 由BC∥平面ABD,可知点C不在平面ABD内，故C错误 10.ABD对于A中，由点0为△ABC所在平面内一点，且OA+OB+OC=0,可得OA+OB=-OC,则 以OA,OB为邻边作平行四边形AOBD,可得OC=-OD,且OC=OD, 设OD∩AB=E，根据平行四边形法则，可得E为AB的中点，即CE为AB上的中线， 同理可证：延长BO,AO也过BC,AC的中点，所以O为△ABC的重心，所以A正确； AC AB 对于B中，由向量 AC 表示AC方向的单位向量AE, AB 表示B方向的单位向量AD, AC AB 可得四边形ADFE是菱形，则 =AE-AD=DE AB AB BC BA 因为OA OB AB BA 所以OA.DE=0,即OA⊥DE,即OA和AF共线，即OA是∠A的角平分线， 同理可得OB是∠B的角平分线，即O是△ABC的内心，所以B正确 对于C中，如图所示，取E,F分别为AB,BC的中点， 根据向量的平行四边形法则，可得OA+OB=2OE,OB+OC=2OF, 因为(OA+OBAB=(OB+OCBC=0,可得O正.AB=0,OF.BC=0, 所以OE⊥AB,OF⊥BC,所以点O在线段AB,BC的垂直平分线上， 所以点O为△ABC的外心，所以C不正确： 对于D中，由AC2-AB=AC-AB)AC+AB)=BC.(AC+AB), 因为AC2-AB=2AO.BC,可得BC(AC+AB)=2AO.BC, 即BC.(AC+AB-2AO)=0,设F为BC的中点，可得 AC+AB-2AO=(AC-AO)+(AB-AO)=OC+OB=2OF,所以BC.OF=0,即BC⊥OF,且F为BC的 中点，所以动点O的轨迹必通过△ABC的外心，所以D正确. 1l.BCD【详解】由题意可得acosAcosB-asinCcosC=csinCcosA-bcos2A, 所以acosAcosB+bcos2A=csinCcosA+asinCcosC,由正弦定理可得 (sinAcosB+sinBcos4)cos4=(sinCcos4+sinAcosC)sinC,sin(4+B)cos4=sin(4+C)sinC, 即sinCcos4=sinBsinC,即(sinB-cosA)sinC=0,等价于： n-m sinc-0 所以sinB=sinA+ 1+》则B=A+5或B+A:号=即C=及 2 2 若C=受则c是最大边，a,b可能是最小边：若B=4+受则6是最大边，a。6可能是最小边 综上，选项B,C,D正确 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.【详解】 如图，建立平面直角坐标系，则a=(←1，-1)，b=1,-1),c=(-1,2),所以a.b=-1+1=0, 2a+b=(-2,-2)+1,-1)=(-1,-3)2a+b)c=1+2×(-3)=-5,故答案为：0，-5 13.【详解】如图，在△BCD中，∠CBD=180°-30°-105°=45， 由正弦定理， BC CD sin∠CDB sin∠CBD 则BC=32×sin105-32sin(60+45) 325x2,1xV2 -X 2222 16516, sin45 sin45 V2 2 在Rt△ABC中，AB=BC tan60°=V3(16N5+16=48+16B.故答案为：48+16√3. 14.【答案】6 【详解】1.当E,F,C处的小孔都在水平面时，如图一， 三棱台44G-ar的体积为r-引2+子 所以容器所装水的多面体FCD4CD的体积V=8-?-1口 33 2.当只有1个小孔在水平面上方时， (1)当E处的小孔在水平面上方时，如图二： 当C处的小孔在水平面上方时，图三： 显然这两种情况，容器所装水的体积比多面体AEFODACD的体积小，不会最大： 图 图三 (2)当F处的小孔在水平面上方时，设水面所在平面为CH, ①当H在线段CF上时，如图四，设BH=x,x∈L,2),则8，G=2, 因为正方体ABCD-ABCD的体积为23=8， 棱台BCG-BE的体积为r=5+2+1,x∈L,2), 32x 可得r≥2×3=2，当且仅当2，即下=2时，等号成立， 2 2 x 所以棱台BCG-BE的体积无最小值，此时该容器可装水的体积小于6. 图四 图五 ②当H在线段CD上时，如图五，设CH=x,x∈[0,1]，AB,的中点为K, 可知：水平面EHCG为平行四边形，且四棱锥K-CG与四棱锥C-CG的体积相同， 可知：多面体BCHB.CG的体积与三棱柱EBC-KBC的体积相同， 所以三棱柱BC-网G的体积为1x2x2=2,此时该容器可装水的体积为8-2=6 综上所述：该容器可装水的最大体积为6故答案为：6. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15.( 3@ 7 【详解】(1)由正弦定理可得√3sinB=2 sinAsinB, 因为simB≠0，所以3 sinA, 又因&48c为锐角三角形，4〔0分》所以4=胃 (2)由余弦定理a2=b2+c2-2 bccos4 可知(N7=b+c2-2 cs=b'+c2-bc=(b-c)}+bc=7 3 又因b=c+1即b-c=1代入上式可得bC=6 则a4BC的面积为SAae-bcsin4=】x6x5_3W5 2 2 22 则Sac=号BC×AD=xAD-35 2 2 2 解得：AD=3332 √7 7 16.【答案】受@而 【详解】(1)由(a+b)(a-2b)=-6,得-a.b-26=-6, 即d-cosa,b〉-2=-6， 1-1×2c0s(a,）-2×2=-6, 解得cowa列-号 又a6)c可，位，-r (2)3a+2=(3a+2°=g+144icoπ4苏 9+12×1×2× 1 +4×22=3」 2 17.【详解】(1)因为四边形ABCD为矩形，所以BC1/AD, 因为ADC平面PAD,BC丈平面PAD,所以BC/I平面PAD. 又BCC平面PBC,平面PBC∩平面PAD=I,所以BC// (2)因为PA⊥平面ABCD,又CDC平面ABCD,所以CD⊥PA 又底面ABCD为矩形，所以CD⊥AD PA,ADC平面PAD,PAOAD=A,所以CD⊥平面PAD AEC平面PAD,所以CD⊥AE. 在△PAD中，PA=2，,PE=1,PD=V√PA+AD2=√4+12=4， 所以PA=PE.PD,所以AE⊥PD CD,PDC平面PCD,CD∩PD=D,所以AE⊥平面PCD. 又PCc平面PCD,所以AE⊥PC. (3)如图： 过E作EN/IPC,交CD于点N,过N作NMI/AD交AC于点M. 因为EN//PC,PCC平面PBC,ENt平面PBC,所以ENI/平面PBC. 同理MN/平面PBC. 又MN,ENc平面EMN,MNOEN=N,所以平面EMNI/平面PBC. 由(1)知，PD=4,又PE=1,则ED=3, 则CM-CWN-PE1 MA ND ED3' 因为CD=AB=2,CA=√AB2+AD2=√4+12=4： 所以CM=4-c4=1, 34 所以点M为线段CA上靠近C的四等分点，AM=3 1这【省】0=子子@0=品@84 11 【详解】(1)因为3C元=DB,所以3(AD-AC)=AB-AD, 所以D-4C+号西，又4D-西+)4C,且与4C不共线，由平面向最基本定理得x 1 3 4y=： 4 (2)①因为G,O,C三点共线，所以存在实数m使得G0=mGC(0<<1), AO=AG+GO=AG+GC=AG+AC-AG)=mAC+(1-)AG, 因为34G-20,所以4G-号AB,所以40=mAC+1-m)×号A, 又因为AO=tAD,所以40=AD=3Ac+正，且西与AC不共线， = 41 所以 20-m解得1-音m-合所以18 5 ②由①可知，A0=8AD=2正+6AC,且A正=A,A=AC, 11 1111 所以40=名正+6A, 11元 11 因为E0F三点共线，所以品品1，且20，业0， 2,6）_8.2.62、8 2μ，628+4W3 所以+业=(a+列成)证+2货诞8+ 当且仅当最2即以=V5以时取等号， 2μ_62 所以2+业的最小值为8+45 11 19.【斧案】04=受emc5g12, 【详解】(1)sinB=sinπ-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cos AsinC, 由行aoC-b以及正弦定理边化角可得， sin C=2sin AcosC-2sin B=2sin AcosC-2(sin AcosC+cos Asin C), 整理可得sinC=-2 cos Asin C.因为0<C<元，所以sinC≠0， 所以cosA=),因为0<A<元，所以A (2)解法一：因为点D是线段BC上的一点，且BD=3AD=3DC, 所以AD-DC=0,所以b=-2 DC:osC--0 2acosC, 因为A=径，A+8+C=,所以B=其-C, 3 1 因为asb ,即 cosC 、2 sin A sin B sin- si(-g n2π 3 所以sm(-c)= 4coC,所以3。 coc-simc- 4 cosC, 所以上sinc-5cosc,所以mC-5 4 2 解法二：由己知可得AD=CD, 所以C为锐角，∠CAD=C,∠ADC=π-2C,∠ADB=2C. 设AD=CD=x,则BD=3x,BC=4x, 在△ADC中，由余弦定理可得 AC2=AD2+DC2-2AD.DC cos ADC=2x2-2x2 cos(-2C)=2x2+2x2cos 2C=4x2 cos2 C, 所以AC=2 x cosC. 在△ADC中，由余弦定理可得 AB2=AD2+DB2-2AD.DB COS LADB=10x2-6x2 cos 2C. 在△ABC中，由余弦定理可得 BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠CAB, 16x2=10x2-6x2 cos 2C+2x2+2x2cos 2C-2AB.2xcosCx 整理可得AB=4 x cosC, 平方可得16x2cos2C=8x2+8x2c0s2C=10x2-6x2c0s2C, 整理可得cos2C=7· 1 1 ovc 所以有 [cos2C=cosC-sinC=7,解得 所以tam'c=sin2C3 cos2C+sin2C=1 0℃3’ cos2C 4 又C为能角，所以amc= 2 (3)因为AD是AABC的一条角平分线，且AD=1,A-,Sc=So+Se 所以号csin2级-c1im+}b-1s 32 32 3 所以bc=b+c≥2be, 所以bc≥4，仅当b=c=2时，=”成立， 2asin A+sin B+3csinC=2asincsinC.sin sin A =2asi+)sin2an32bcsin2asin+24.sinA a a a ≥22asm424snA=248mA=248×}12. 3 a 当且仅当2 asin A=24imA,即a=25时取等号， 又当b=c=2,4=20时，a=6+c-2 ccosA=25,B=C= 6 2asin A+3bsin B+3csin C=12, 故2 asin A+3 sin B+3 csin C的最小值为12. 2025-2026学年第二学期期中考试 盐田高级中学高一数学试题答案 命题人：丁小飞 审题人：董超凡 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的序号填在括号内，每小题5分，共40分） 1．A【详解】解：， ， 则在复平面内对应的点为，位于第一象限． 2．D【详解】对于A，若，则或相交或是异面直线，故A错误； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，若，当平面α与β相交时，m与n可能相交，故C错误； 对于D，若，则直线m, n无公共点，所以或是异面直线，故D正确。 3．A【详解】由题设知，则，则，则， 因为与同向，所以，故. 4．D【详解】过作交轴于点，可得， 因为，所以为等腰直角三角形，所以， 根据斜二测画法，可得，如图所示，则， 所以的面积是. 5．D【详解】由题意，已知，两边同时平方可得， 化简得，即， 根据向量投影向量的计算公式， 可得在方向上的投影向量为. 6．D【详解】设圆锥的底面半径为r，则其母线长为2r，高为， 所以该圆锥的表面积为， 设球O的半径为R，则球O的表面积为，由题意知，所以， 圆锥的体积，球O的体积， 所以. 7．A【详解】    当，即可得平面，此时是最小距离， 然后把平面与平面展开成共面， 如第二个图：即可得过作的垂线，垂足为 此时，即此时取到最小值， 由正方体可知：， 所以.故选：A 8．C【详解】和表示、方向的单位向量，则在的角平分线上， 又，所以的角平分线与边垂直， 所以是等腰三角形，且. 取的中点，连接，则. 由题意知，，，所以. 以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，，，故， 设（），则，即. . 所以， 当时，取得最小值，为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分） 9．BD【详解】连接，在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面，故B正确. 因为分别为中点，所以，所以，所以四点共面，即点在平面内，故D正确；再连接，显然不在平面内，所以与平面不平行，故A错误； 由平面，可知点不在平面内，故C错误. 10．ABD 对于A中，由点O为所在平面内一点，且，可得，则以为邻边作平行四边形，可得，且， 设，根据平行四边形法则，可得为的中点，即为上的中线， 同理可证：延长也过的中点，所以为的重心，所以A正确； 对于B中，由向量表示方向的单位向量，表示方向的单位向量， 可得四边形是菱形，则， 因为， 所以，即，即和共线，即是的角平分线， 同理可得是的角平分线，即是的内心，所以B正确. 对于C中，如图所示，取分别为的中点， 根据向量的平行四边形法则，可得， 因为，可得， 所以，所以点在线段的垂直平分线上， 所以点为的外心，所以C不正确； 对于D中，由, 因为，可得， 即，设为的中点，可得，所以，即，且为的中点，所以动点O的轨迹必通过的外心，所以D正确. 11．BCD【详解】由题意可得 所以由正弦定理可得所以 即即等价于 所以则或即 若则c是最大边，a，b可能是最小边；若则b是最大边，a，c可能是最小边. 综上，选项B，C，D正确. 3、 填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．【详解】 如图，建立平面直角坐标系，则，所以， ，故答案为：0， 13．【详解】如图，在中，， 由正弦定理，， 则， 在中，.故答案为：. 14．【答案】6 【详解】1.当，，处的小孔都在水平面时，如图一，    三棱台的体积为， 所以容器所装水的多面体的体积； 2.当只有1个小孔在水平面上方时， （1）当处的小孔在水平面上方时，如图二； 当处的小孔在水平面上方时，图三； 显然这两种情况，容器所装水的体积比多面体的体积小，不会最大；    （2）当处的小孔在水平面上方时，设水面所在平面为， ①当在线段上时，如图四，设，，则， 因为正方体的体积为， 棱台的体积为，， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以棱台的体积无最小值，此时该容器可装水的体积小于6.    ②当在线段上时，如图五，设，，的中点为，    可知：水平面为平行四边形，且四棱锥与四棱锥的体积相同， 可知：多面体的体积与三棱柱的体积相同， 所以三棱柱的体积为，此时该容器可装水的体积为. 综上所述：该容器可装水的最大体积为6.故答案为：6. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15．(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理可得， 因为，所以， 又因为锐角三角形，，所以. （2）由余弦定理 可知 又因即代入上式可得 则的面积为 则 解得：. 16．【答案】(1)(2) 【详解】（1）由，得， 即， ， 解得. 又，. （2） . 17．【详解】（1）因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 又平面，平面平面，所以. （2）因为平面，又平面，所以. 又底面为矩形，所以. 平面，，所以平面. 平面，所以. 在中，，，， 所以，所以. 平面，，所以平面. 又平面，所以. （3）如图： 过作，交于点，过作交于点. 因为，平面，平面，所以平面. 同理平面. 又平面，，所以平面平面. 由（1）知，，又，则， 则， 因为，. 所以， 所以点M为线段上靠近C的四等分点，. 18．【答案】(1)，；(2)①；②. 【详解】（1）因为，所以， 所以，又，且与不共线，由平面向量基本定理得，； （2）①因为三点共线，所以存在实数使得（）， 所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以，且与不共线， 所以，解得．所以. ②由①可知，，且，， 所以， 因为三点共线，所以，且，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 19．【答案】(1)(2)(3)． 【详解】（1）， 由以及正弦定理边化角可得， ， 整理可得．因为，所以， 所以，因为，所以． （2）解法一： 因为点是线段上的一点，且， 所以，所以， 因为，，所以， 因为，即， 所以，所以， 所以，所以． 解法二： 由已知可得， 所以为锐角，，，． 设，则，， 在中，由余弦定理可得 ， 所以． 在中，由余弦定理可得 ． 在中，由余弦定理可得 ， 即， 整理可得， 平方可得， 整理可得． 所以有，解得，所以． 又为锐角，所以． （3）因为是的一条角平分线，且，，， 所以， 所以， 所以，仅当时，“=”成立， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 又当，时，，， ， 故的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年第二学期期中考试 盐田高级中学高一数学试题卷 命题人：丁小飞审题人：董超凡 考试时间：120分钟满分：150分 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的 序号填在括号内，每小题5分，共40分) 1.已知复数z满足z(2-31)=4+026,则z在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.设%，是两条不同的直线，，B是两个不同的平面，则下列结论正确的是() A.若/∥a,n∥o,则∥n B.若m∥n,m∥a,则n/∥a C.若Ca,ncB,则m,n是异面直线 D.若∥B,mCa,ncB,则m∥n或m,n是异面直线 3.向量a=(3,t),万=(6，，若a与同向，则t=() A.5 B.±√5 C.3 D.3 4.如图，△AB0的斜二测直观图是△ABO,其中OA=OB'=2√2，∠B'Oy'=90°，则△ABO 的面积是( A.1 B.2 C.4 D.8 5.己知非零向量，元满足=m+,则向量m+在方向上的投影向量为() 知Bnc.n D. 6.已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的 体积与球O的体积之比为() A.35 B.2V15 D. 3 5 15 3 7.如图，已知正方体ABCD-ABCD中，AB=2,P为线段BC上一点， D O为平面ABCD内一点，则DP+PQ的最小值是() A.2+√2B.1+√2C.2+2W2D.5 试卷第1页，4页 8.已知非零向量4B与AC满足 AB AC BC=0,B-4C=22,4B+AC=6v2, AB AC 点D是△ABC的边AB上的动点，则DB.DC的最小值为() A.-1 B c D.日 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分) 9.如图，在正方体ABCD-ABCD中，E,F,G分别是棱BB,B,C,CD的中点，则() A.FG∥平面AED B.BC1∥平面AED C.点C在平面AED内 D.点F在平面AED内 10.(多选)点O为△ABC所在平面内一点，则( ) A.若OA+OB+OC=0,则点0为△ABC的重心 AB BC B.若O OB BA B =0,则点O为△ABC的内心 C.若(OA+OB)·AB=(OB+OC)BC=0,则点O为△ABC的垂心 D.在△ABC中，设AC2-AB2=2AO.BC,那么动点O的轨迹必通过△ABC的外心 11.记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 a(cos4cosB-sinCcosC)=(csinC-bcos4)cosA,则下列说法正确的是() A.a可能是最大边 B.b可能是最大边 C.a可能是最小边 D.c可能是最小边 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正 方形的边长为1，则a-i=:(2a+b)c= 13.如图，测量河对岸的塔高AB,可以选取与塔底B在同一水平面 内的两个测量基点C与D,现测得∠BCD=30°，∠BDC=105, CD=32m,在C点测得塔顶A的仰角为60，则塔的总高度为 c10 米 试卷第2页，4页 14.如图，棱长为2的正方体容器ABCD-AB,CD中，E,F分 别是棱AB,BC的中点，在E,F,C处各有1个小孔（孔的大 小忽略不计)，则该容器可装水的最大体积为一 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15.(13分)在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且√3b=2sinB (1)求A; (2)若b=c+1,a=√7，求边BC上的高AD的长， 16.(15分)已知同=1，=2，且(a+b)(a-2b)=-6. (1)求向量ā与6的夹角大小 (2)求}3a+2b 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形，PA=AB=2, AD=23;点E在线段PD上，且PE=1. D C (1)设平面PBC∩平面PAD=I,证明：BC//l; (2)证明：AE⊥PC; (3)线段CA上是否存在点M,使得EM/1平面PBC?若存在，请证明，并求出AM的长；若 不存在，请说明理由， 试卷第3页，共4页 18.(17分)如图1所示，在△ABC中，点D在线段BC上，满足3CD=D丽，G是线段AB上 的点，线段CG与线段AD交于点O G E B D 图1 图2 (I)若AD=xAB+yAC,求实数x,y的值： (2)若3AG=2GB,且满足AO=tAD ①求实数t的值： ②如图2，过点O的直线与边AB,AC分别交于点E,F,设AE=AB,AF=AC,(1>0, u>0),求元+u的最小值. 19.(17分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且点D是线段BC上的一点.已 =acosC-b (1)求角A的大小： (2)若BD-3AD=3DC,求tanC的值； (3)若AD为△ABC的角平分线，且AD=1,求2 asinA+3 bsin B+3 csin C的最小值. 试卷第4页，共4页