第九章 因式分解（复习讲义）数学新教材冀教版七年级下册

第九章 因式分解（复习讲义） 1. 理解因式分解的概念，明确因式分解与整式乘法的互逆关系，能准确区分因式分解与整式乘法的运算方向，掌握“把一个多项式化为几个整式的积的形式”这一核心定义； 2. 熟练掌握提公因式法（包括找公因式的方法：系数取各项最大公约数，字母取各项相同字母且指数取最低次幂）和公式法（平方差公式、完全平方公式）这两种基本因式分解方法； 3. 能运用提公因式法、公式法对简单的多项式（二次二项式、二次三项式）进行因式分解，做到分解彻底（直到每个因式不能再分解为止）； 4. 能结合因式分解的结果，解决简单的求值、化简问题，初步体会因式分解的工具性作用。 重点01 公因式 特别说明： （1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分： ①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 重点02 提公因式法 特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即. （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 重点03 公式法分解因式 平方差公式 特别说明： （1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 完全平方公式 特别说明： （1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 重点04 十字相乘法 特别说明： （1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 重点05 分组分解法 特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 重点06 因式分解的解题步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 题型一 判断是否是因式分解 1．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项，等式左边是单项式，不是多项式，不符合要求，错误； B选项，等式右边是和的形式，不是整式乘积的形式，不符合要求，错误； C选项，，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，正确； D选项，该变形是整式乘法，将积化为多项式，不是因式分解，错误． 2．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因式分解要求左边是多项式，结果为几个整式乘积的形式， A 左边是单项式，不是多项式，不属于因式分解，不符合题意. B 结果为 ，是和的形式，不是整式乘积的形式，不属于因式分解，不符合题意. C 将多项式化为两个整式与的乘积，符合因式分解的定义，符合题意. D 该变形是整式乘法，是将乘积化为多项式，不属于因式分解，不符合题意. 3．下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于选项A：是整式的乘法运算，右边是多项式和的形式，不是乘积，不属于因式分解； 对于选项B：，右边不是整式的积的形式，不属于因式分解； 对于选项C：，将多项式化为两个整式的积的形式，符合因式分解的定义； 对于选项D：，右边不是整式的积的形式，不属于因式分解． 4．下面是小明的作业，请你帮忙解答：下列等式从左到右的变形，属于因式分解的有__________（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】③④ 【分析】本题考查了因式分解的定义，掌握因式分解的对象是多项式，结果是几个整式的积，与整式乘法互为逆运算是解题的关键． 因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，据此判断各等式变形是否符合定义． 【详解】解：等式①左边为积的形式，右边为多项式，属于整式乘法，不是因式分解； 等式②左边为单项式，不是多项式，不符合因式分解对象要求； 等式③左边为多项式，右边为积的形式，符合因式分解定义； 等式④左边为多项式，右边为积的形式，符合因式分解定义； 等式⑤右边不是积的形式，因此不是因式分解． 故答案为：③④． 题型二 已知因式分解的结果求参数 5．如果多项式分解因式的结果是，那么，的值分别是（   ） A．3， B．，3 C．， D．1， 【答案】C 【分析】对于二次项系数为1的二次三项式，因式分解满足，根据对应系数相等即可求出的值． 【详解】解：∵多项式分解因式的结果是， ∴根据因式分解的规律可得， ，， 计算得 ，． 6．把关于的多项式分解因式，得，则，的值分别是（   ） A．2，3 B．， C．，3 D．2， 【答案】B 【分析】计算，与的对应项系数相等，即可得，的值． 【详解】解：根据题意可得， ∴，． 7．若二次三项式有一个因式是，则a的值为____． 【答案】1 【详解】解：因为二次三项式的二次项系数为，一个因式为，所以设另一个因式为，则， 展开等式右侧得：， 比较多项式两边同类项的系数，可得：， 解得， 代入得． 8．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)若能使多项式的值0，请将多项式进行因式分解． 【答案】(1) (2), (3) 【分析】本题考查因式分解的特殊方法，阅读相关材料能够举一反三是解题的关键． （1）根据材料把代入多项式中使多项式值为零，解方程即可求出k值； （2）把和分别代入式子中使原式值为零，解方程组即可求出m，n值； （3）把，，代入多项式中，使原式值为零，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，把代入， ∴ ∴； （2）解：把和分别代入， 即 解得： （3）解：∵能使多项式的值0， ∴是多项式的一个因式 又∵当时，， 当时， ∴是的因式 ∴． 题型三 公因式 9．多项式中各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照确定公因式的方法，先求各项系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，将两者相乘即可得到公因式． 【详解】解：∵多项式的两项为和， ①系数部分，5和10的最大公约数是5， ②字母部分，两项都含字母和，的最低次幂是，的最低次幂是， ∴公因式为． 10．多项式各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，二者相乘得到公因式即可解题． 【详解】解：多项式各项的公因式是． 11．在多项式中，各项的公因式是______． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式的定义，熟练掌握公因式的定义是解答本题的关键，根据公因式的定义即可得到结果． 【详解】解：多项式 的每一项都含有因式，且的最低次数为， 各项的公因式是． 12．写出下列多项式各项的公因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】找多项式各项的公因式，需分别确定系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次幂，再将二者相乘即可． 【详解】（1）解：对于多项式，系数3、、6的最大公约数是3，各项都含有的相同字母为，且的最低次幂是1， ∴各项的公因式为． （2）解：对于多项式，系数4、的最大公约数是2，各项都含有的相同字母为、，的最低次幂是1，的最低次幂是2， ∴各项的公因式为． 题型四 提公因式法分解因式 13．将代数式分解为几个整式的积，其中一个整式是（    ） A．a B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴代数式可分解为和，选项中只有符合要求． 14．如果，，那么的值是（   ） A． B．1 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题先对所求多项式因式分解，再利用整体代入法代入已知条件计算即可． 【详解】解：， 当，时， ． 15．因式分解：______． 【答案】 【详解】解：． 16．因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型五 平方差公式分解因式 17．下列多项式，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能用平方差公式分解因式的多项式需满足：是二项式，两项都能写成平方的形式，且两项符号相反，据此判断各选项即可． 【详解】解：因为A选项是三项式，不符合平方差公式，不符合题意； 因为，所以B选项符合题意； 因为C选项中不是平方项，不符合平方差公式，不符合题意； 因为D选项中两项符号相同，不符合平方差公式，不符合题意． 18．分解因式：（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 19．计算：（__________）． 【答案】/ 【分析】本题可利用平方差公式对等式右侧的多项式进行因式分解，结合已知因式即可得到所求结果． 【详解】解： 因此所求括号内的项为 ． 20．已知，求的值． 【答案】 【详解】解：， ， ． 题型六 完全平方公式分解因式 21．下列各因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，运用平方差公式、完全平方公式、提取公因式法，对各选项逐一验证即可得到结果． 【详解】解：对选项A： 由平方差公式得 A正确． 对选项B： B错误． 对选项C： ，正确因式分解为 C错误． 对选项D： ，而 D错误． 22．因式分解：___________． 【答案】 【分析】本题考查运用公式法因式分解，熟练掌握平方差公式是解题关键． 原式符合平方差的结构形式，先利用平方差公式分解，再对可分解的多项式继续分解即可． 【详解】解： 23．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用提公因式法因式分解即可； （2）先提取公因式，再利用十字相乘法因式分解即可； （3）利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可； （4）利用分组分解法进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 24．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提出公因式； （2）利用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 题型七 综合运用公式法分解因式 25．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ， ． 26．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 27．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式因式分解； （2）先用平方差公式分解，再用完全平方公式继续分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 28．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）用提公因式法分解因式即可； （2）用提公因式法分解因式即可； （3）先提公因式，再用平方差公式分解因式即可； （4）用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型八 综合提公因式和公式法分解因式 29．把下列各式因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式因式分解即可； （2）先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 30．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先找出公因式，再利用完全平方公式进行分解因式即可； （）利用平方差公式进行分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 31．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：． 32．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查提公因式法与公式法因式分解的综合运用，解题思路为先观察多项式提取公因式，再运用乘法公式进行二次分解，直至分解彻底． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型九 因式分解在有理数简算中的应用 33．用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)41200 (2)3200 【详解】（1）解：原式     ； （2）解：原式 ． 34．利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 35．利用因式分解计算：． 【答案】 【分析】先把原式化成完全平方公式的形式，然后再按照完全平方公式分解后求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】掌握完全平方公式是解题的关键． 36．利用因式分解计算：． 【答案】 【分析】本题考查利用因式分解进行简算，利用平方差公式进行因式分解后，进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型十 因式分解的应用 37．已知a，b满足等式，，，则x，y的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题采用作差法比较大小，对作差的算式利用完全平方公式化简，再根据平方数的非负性即可判断与的大小关系． 【详解】解： ∵任何实数的平方都满足， ∴ ， 即． 38．年“强基计划”报名工作于4月启动，山东大学新增“密码科学与技术”专业．在密码学中，有一种用“因式分解”法产生的密码：对多项式因式分解后，再对其中字母赋值，计算各因式结果，再将各因式的结果按不同顺序排列，即可得到密码．例如：对多项式因式分解，取，时，用上述方法产生的密码不可能是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对多项式因式分解，代入已知，得到三个因式的结果，密码由这三个结果排列得到，对比选项即可得到不可能的密码． 【详解】解：∵ ∴将，代入各因式得，，， ∴三个因式的结果为，，，密码由这三个数按不同顺序排列得到， 对比选项，只有选项包含，缺少，不符合题意． 39．如图所示，大长方形是由若干个长、宽分别为a，b的小长方形，边长为a的正方形，边长为b的正方形拼成的，由此可进行因式分解：_______． 【答案】 【分析】根据图形可知，大长方形的面积等于各个小长方形和正方形面积之和，同时也等于大长方形的长乘以宽，利用面积相等建立等式即可求解． 【详解】解：由图可知，大长方形的面积可以表示为， 又大长方形的长为，宽为， 根据长方形的面积公式可得，大长方形的面积还可表示为， 所以． 40．按要求解答： (1)如图所示的四个图形可拼成如图所示的一个大长方形，据此写出一个多项式的因式分解为______； (2)如图，有足够多的边长为的大正方形，长为，宽为的长方形和边长为的小正方形，请利用拼图将多项式进行因式分解，在图虚线框中画出你的拼图，并写出因式分解的结果； (3)若多项式（为正整数）可以用拼图法因式分解，则______． 【答案】(1)； (2)画图见解析，； (3)或． 【分析】（）利用图形的面积等于边长乘以边长进行分解即可； （）利用图形的面积等于边长乘以边长进行分解即可； （）利用图形的面积等于边长乘以边长进行分解即可． 【详解】（1）解：由图可知，， ∴； （2）解：如图，， ； （3）解：如图 或 ∴或， ∴或． 题型十一 十字相乘法 41．分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次三项式的因式分解，利用十字相乘法分解二次三项式，需找到两个数，使其和为一次项系数、积为常数项，再完成因式分解即可． 【详解】解：∵要分解，需找两个数满足和为，积为， ∴这两个数是和， ∴． 故选：D． 42．因式分解： _________ ． 【答案】 【分析】先提公因式，再利用十字相乘法因式分解． 【详解】解：． 43．因式分解：． 【答案】 【分析】先将含a的字母降序排列，将原式变形成，然后用十字相乘法分解分式，再令，再利用平方差公式以及提公因式分解因式，最后把代入分解后的式子即可． 【详解】解： 令， 则原式 把代入中， 则原式． 44．因式分解：． 【答案】 【分析】先对原式中两个二次多项式因式分解，重新分组后两两相乘得到含有相同项的二次多项式，利用换元法简化计算，再将结果分解至不能再分解即可． 【详解】解：原式 ， 令，代入得： 原式 ， 将回代得， 原式 ． 题型十二 分组分解法 45．已知，，求代数式的值． 【答案】15 【分析】先把所要求值的代数式用分组分解法分解因式，再整体代入即可求解． 【详解】解：原式， ∵，， ∴原式． 46．阅读材料，要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到：，这时中又有公因式，于是可以提出，从而得到，因此有，这种方法称为分组分解法．请回答下列问题： (1)尝试填空：_________； (2)解决问题：因式分解； (3)拓展应用：已知三角形的三边长分别是，且满足试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)等边三角形，证明见解析 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：， ， ， ，， ，， ， 这个三角形是等边三角形． 47．因式分解：． 【答案】 【分析】先展开原式，再对多项式分组，运用完全平方公式和平方差公式完成因式分解． 【详解】解：原式 ． 48．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解的分组分解法，以及完全平方公式、平方差公式的应用．关键是通过合理分组，将原式转化为可利用公式分解的形式：先把原式中能构成完全平方的项结合，得到完全平方式后，再与剩余项结合形成平方差的形式，最后用平方差公式完成分解． 【详解】解：原式 ． 题型十三 利用因式分解法求最值 49．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 比如，因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以． 所以当时，即时，的值最小，最小值是1．即的最小值是1． (1)求的最小值． (2)已知，则___________； (3)已知有理数x、y满足，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）根据配方法把原式变形为，再根据非负数的意义解答即可； （2）根据完全平方公式把原式变形为，再根据非负数的意义，可得x，y的值，即可求解； （3）根据题意可得，再根据非负数的意义解答即可． 【详解】（1）解：， 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以， 即的最小值为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0． 所以， 即的最小值为1． 50．阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ， 当时，的值最小，最小值为0， ， 当时，的值最小，最小值为1984， 代数式：的最小值是1984． 例如：分解因式： 解：原式 ． (1)分解因式； (2)若，求的最大值； 【答案】(1) (2)1314 【分析】本题考查了因式分解，准确理解题意是解题的关键． （1）根据题例进行配方，继而利用平方差公式因式分解即可； （2）根据题例进行配方，根据平方大于等于0的性质进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 的最大值1314． 51．上数学课时，张老师在讲完因式分解 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： 当时， 的值最小，最小值是0， 当 时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当 时，代数式的最小值是 ； (2)知识运用：若 ，当时， y有最 值 （填“大”或“小”），这个值是 (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)3，3 (2)大， (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用及非负数的性质， 解题的关键是能够对二次三项式进行分解因式． （1）利用完全平方公式后即可确定最小值； （2）利用完全平方公式后即可确定当时能取到最大值； （3）首先得到有关的代数式，然后利用完全平方公式确定最小值即可． 【详解】（1）解：； 而 当时， 的值最小，最小值是0， ； ∴当时，有最小值3； （2）解：， 而， 当时， 的值最大，最大值是0， ； ∴当时有最大值； （3）解：∵， ， ， ∴当 时， 的最小值为． 52．先阅读以下材料，然后解答问题： 以上分解因式的方法称为分组分解法． (1)请用分组分解法分解因式： (2)拓展延伸 ①若，求x，y的值； ②求当x、y分别为多少时，代数式有最小的值，最小的值是多少？ 【答案】(1) (2)①；②当，时，代数式有最小值，最小值是 【分析】本题考查了公式法因式分解法和分组分解法的应用： （1）先把原式变形为，可得，即可； （2）①先把原式变形为，可得，即可；②先把原式变形为，可得，再由，，可得，时，代数式有最小的值，最小的值是，即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：①∵， ∴， ∴， ，， ∴， ② ，， ，时，代数式有最小的值，最小的值是． 此时， ，， 即当，时，代数式有最小的值，最小的值是． 题型十四 因式分解的几何应用 53．如图，有A、B、C三种不同规格型号的卡片若干张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，其中．从这些卡片中取出m张卡片（每种卡片至少取一张），无缝隙、无重叠地拼成一个正方形，则m的值可以是（    ） A．20 B．24 C．25 D．28 【答案】C 【分析】设取A型卡片张，B型卡片张，C型卡片张，根据题意可得为完全平方式，据此即可解答． 【详解】解：设取A型卡片张，B型卡片张，C型卡片张， 则组成的图形面积为， 无缝隙、无重叠地拼成一个正方形， 为完全平方式， 可取，，， 即，符合要求， m的值可以是． 54．如图1，用1块正方形地砖铺在正方形的台面上，未能完全覆盖．如图2，用4块同样的正方形地砖铺在这个正方形的台面上，会有一部分超出台面，超出台面部分的面积为．若地砖与台面的边长均为整数（单位：），则台面与这种型号的地砖边长相差（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形地砖的边长为，正方形台面的边长为，根据用4块同样的正方形地砖铺在这个正方形的台面上，超出台面部分的面积为，得到，进而得到，再根据地砖与台面的边长均为整数结合，可得，解方程组即可解答． 【详解】解：设正方形地砖的边长为，正方形台面的边长为， 根据题意，得，则， ∵地砖与台面的边长均为整数，且， ∴， 解得， 则， ∴台面与这种型号的地砖边长相差． 55．计算：图1为某校七（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，分别表示七（1）（2）两个班级的基地面积．若，则________ ． 【答案】5 【分析】根据，得到，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴． 56．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：32 “和谐数”，2026 “和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为199，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是，不是 (2)“和谐数”能被8整除．理由见解析 (3)阴影面积为20000 【分析】（1）根据“和谐数”的定义进行判定即可； （2）将化简，得到，根据k是正整数，得到能被8整除，即可解答； （3）推导出，则原式可化为，继而计算求解即可． 【详解】（1）解：， 是“和谐数”； 设， 解得：，不是整数， 不是“和谐数”． （2）解：“和谐数”能被8整除．理由如下： 是正整数， 能被8整除， 能被8整除； （3）解：由（2）可知，， ∴阴影部分的面积为 ∴阴影面积为20000． 题型十五 因式分解的新定义运算 57．定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”．若，则b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，利用作差法比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； ∴． 58．定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论：①所有的正奇数都是“智慧数”；②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论有（     ）个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式法因式分解以及整数的奇偶性分析．理解“智慧数”的定义是解题的关键． 根据“智慧数”的定义，通过对中、的取值分析来判断各个结论是否正确． 【详解】解：∵1不能表示成两个正整数m，n的平方差，故①错误； 设能被4整除的正整数为（为正整数且）， ，令， 将两式相加可得：，即， 解得：， 将代入，解得． 为正整数且， 、为正整数， 除4以外所有能被4整除的正整数都可以表示成两个正整数的平方差，即除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”， 故②正确； 假设存在正整数、，使得是被4除余2的正整数，即（为正整数）． 与的奇偶性相同，若与都是奇数，则都是奇数，不可能是这种偶数； 若与都是偶数，则能被4整除，也不可能是； 被4除余2的正整数都不是“智慧数”． 故③正确； 综上所述，正确的结论是②③． 故选：C． 59．新定义：对于任意实数，都有，若，，则将因式分解的结果为______ 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，由新定义求出的值，得到，再由新定义得到，利用提公因式法及公式法即可求解，求出新定义表达式是解题的关键． 【详解】解：由，得， ， 解得， ∴， ∴， ， ， 故答案为：． 60．定义：若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以13是“完美数”； 再如：因为，所以也是“完美数”． (1)请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”可以是_____；判断53_______（请填写“是”或“否”）为“完美数”； (2)如果数m，n都是“完美数”，试说明是“完美数”． 【答案】(1) 2或5或8（写一个即可） 是 (2)见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键． （1）根据“完美数”的定义求解即可； （2）设（a，b，c，d为整数），运用整式的乘方与因式分解证明能表示为两个整数的平方和的形式即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：，，， 故2，5，8都是“完美数”，且都小于10， ∵， 故53是“完美数”， 故答案为：2或5或8（写一个即可）；是； （2）证明：设（a，b，c，d为整数），则 ∵a，b，c，d为整数， ∴，都是整数， 是“完美数”． 基础巩固通关测 1．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）下列不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平方差公式分解因式要求多项式可化为两个平方项作差，即形如，据此判断各选项即可． 【详解】解：A、，两项符号相同，无法写成两个平方项作差的形式，因此不能用平方差公式分解因式，符合题意； B、符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意； C、，符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意； D、 ，符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 【答案】D 【分析】甲：利用完全平方公式进行因式分解即可；乙：利用平方差公式进行因式分解即可；丙：利用提取公因式法进行因式分解即可；丁：不能进行因式分解． 【详解】解：A、甲：，故此选项不符合题意； B、乙：，故此选项不符合题意； C、丙：，故此选项不符合题意； D、丁：，不能因式分解，故此选项符合题意． 3．（2026·河北沧州·模拟预测）若因式分解的结果为，则“”是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方差公式计算，对比原式即可求出的值． 【详解】解：， ∵， ∴， 等式两边同时消去，得， ∴． 4．（25-26八年级上·河北邯郸·月考）已知，，则的值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的应用，解题的关键是利用平方差公式将分解为，再代入已知条件计算． 【详解】解：由平方差公式可得， 已知，，代入得． 故选：C． 5．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）下列从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，据此判断各选项是否符合定义． 【详解】解：A、这是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B、是因式分解，符合题意； C、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； D、这是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； 故选：B． 6．（2026·河北邯郸·一模）已知x，y满足，则______． 【答案】7 【分析】根据，得出，再把代入求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）下列多项式能用平方差公式来分解因式的有_______． ①；②；③；④. 【答案】②③ 【分析】根据平方差公式分解因式的特征，判断每个多项式是否为两个平方项的差的形式即可． 【详解】解：①是两个平方项的和，不符合平方差公式的特征，不能用平方差公式分解因式； ②符合的形式，能用平方差公式分解因式； ③，变形后符合的形式，能用平方差公式分解因式； ④是两个平方项的和的相反数，不符合平方差公式的特征，不能用平方差公式分解因式． 【点睛】重点掌握平方差公式． 8．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）若，，则_________． 【答案】20 【分析】本题主要考查了代数式求值以及提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 先对所求代数式利用提公因式法进行因式分解，将其转化为含已知条件与的形式，再代入已知数值计算即可． 【详解】解：， 当，时，原式， 故答案为：20． 9．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）若可分解为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，通过将因式分解形式展开，比较多项式对应项的系数，建立方程求解； 【详解】解：∵， ∴， ∴，； 解得，； ∴； 故答案为： 10．（25-26九年级上·河北保定·月考）阅读下面的材料并解答后面的问题． 小冰：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？ 小华：能，求解过程如下： ． 因为，所以的最小值是． 问题：你能求出的最小值是__________． 【答案】2025 【分析】本题考查了用完全平方公式因式分解的应用，熟练掌握用完全平方公式因式分解是解题的关键． 根据阅读材料，先现进行配方，得到结果，再根据平方式的非负性求解即可． 【详解】解：， 因为， 所以的最小值是2025． 11．（24-25八年级上·天津·期末）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解．熟练掌握提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键． （1）先提公因式，再用平方差公式因式分解即可； （2）先提公因式，再用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（25-26八年级上·河北衡水·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先利用平方差公式分解因式，再去括号合并同类项，然后提取公因式即可． 【详解】解： ． 13．（24-25八年级上·福建莆田·月考）求证：当n为整数时，是8的倍数． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；由平方差公式可分解因式为，然后问题可求解 【详解】证明： ， ∴当n为整数时，是8的倍数． 14．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则 原式． 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：______； (2)因式分解：； (3)求证：若为正整数，则代数式的值一定是某一个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． （1）把看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可； （2）令，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解； （3）将原式转化为，进一步整理为，根据n为正整数得到也为正整数，从而说明原式是整数的平方． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2）解：令，则原式变为， 故； （3）证明： ， ∵n为正整数， ∴也为正整数， ∴代数式的值一定是某一个整数的平方． 15．（24-25八年级上·江西赣州·期末）【阅读材料】因式分解：． 解：令，则原式．第①步 ．第②步 再将“”还原，原式．第③步 【问题解决】 (1)上面解法中的第②步运用了因式分解的方法中的_____； A．提公因式法，    B．平方差公式法，    C．两数和的完全平方公式法 (2)因式分解：的结果是_____； (3)证明：若为正整数，则的值是某个整数的平方． 【答案】(1)C (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）根据解题过程可知，第②运用了完全平方公式，据此可得答案； （2）仿照题意令，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先把原式前两项相乘得到，进一步变形得到，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，第②步运用了因式分解的方法中的两数和的完全平方公式法， 故选：C； （2）解：令，则原式． 再将“”还原，原式． （3）证明： 原式 ． 为正整数， 为正整数． 代数式的值是某个整数的平方． 能力提升进阶练 16．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）下列从左到右的运算是因式分解，并且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因式分解要求变形结果是几个整式的乘积，且分解正确、分解彻底，根据要求逐项判断即可． 【详解】解：因式分解是将多项式化为几个整式乘积的形式， A、等式右边不是乘积形式，不符合题意； B、，既是因式分解，分解结果也正确，符合题意； C、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，是整式乘法，不符合题意； D、，是因式分解，但分解错误，不符合题意． 17．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）若多项式可分解为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了已知因式分解的结果求参数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 通过展开因式分解形式并比较系数，求出和的值，再计算． 【详解】展开，与原多项式比较系数，得：，且 ， 解得：，， ∴； 故选：B． 18．（2025·四川自贡·模拟预测）若有理数满足，则的值等于（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了利用完全平方公式因式分解及几个非负数的和为零的问题．先利用完全平方公式对方程进行处理，化为两个非负数的和为零的情况，两个非负数之和为零，则它们均为零，据此即可求出x，y的值，从而可求． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， 即， ∴， 故选：B． 19．（25-26八年级上·北京海淀·期中）在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（    ） A．141414 B．141315 C．131413 D．151415 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及提公因式法和平方差公式，理解新定义，正确因式分解，是解答的关键． 对多项式先进行因式分解，再代值求出各因式的值，然后组合成密码． 【详解】， 当时，，，， 密码可能为14、13、15的组合，即141315． 故选：B． 20．（24-25七年级下·河北唐山·月考）若一个数等于两个连续奇数的平方差，我们把这样的数称为“和数”．例如，因为所以16是“和数”．结论①：2024是“和数”，2025不是“和数”；结论②：所有能被4整除的正数都是“和数”．对于结论①和②，下列判断正确的是（    ） A．①和②都对 B．①和②都不对 C．①对②不对 D．①不对②对 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，设两个连续奇数分别是和，，可得和数是8的倍数，2024是8的倍数，是和数，2025不是8的正整数倍，不是和数；能被4整除的数如4，，0.5不是整数，所以4不是和数，据此判断． 【详解】解：设两个连续奇数分别是和（n为正整数），则 ， 即和数是8的倍数， 因为， 所以2024是“和数”， 因为， 所以2025不是“和数”， 4能被4整除， ， 0.5不是整数， 所以4不是和数， 所以所有能被4整除的正数不一定是“和数”． 故选：C． 21．（2026·河北石家庄·一模）分解因式：__________ 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】解：． 22．（25-26八年级上·河北邢台·期末）若，则____________． 【答案】0 【分析】题目主要考查因式分解，求代数式的值，熟练掌握是解题关键． 先对所求代数式提取公因式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算求解． 【详解】解： 将，代入上式，得 原式 ， 故答案为：0． 23．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解： 原式，这种方法叫做分组分解法．请你运用分组分解法，把分解因式的结果为___________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用分组分解法，将多项式分组为完全平方式与平方差形式，然后应用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 24．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了b，分解结果为，乙看错了a，分解结果为．则______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 甲看错了b，但a正确，从甲分解的结果可得a的值；乙看错了a，但b正确，从乙分解的结果可得b的值，再计算即可． 【详解】解：甲分解的结果为，展开得，因甲看错了b，但a正确，故． 乙分解的结果为，展开得，因乙看错了a，但b正确，故． 则． 故答案为：． 25．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）为保证数据安全，通常会将数据用加密的方式进行保存．例如：将一个多项式分解因式为，当，时，，，，将得到的三个数按照从小到大的顺序排列得到加密数据：121317．根据上述方法，当时，多项式分解因式后形成的加密数据是________． 【答案】155763 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后再用平方差公式进行因式分解．再代入计算各因式的值，最后将数值按从小到大排列即可． 【详解】解：， 当时，，，， 将得到的三个数15、57、63按从小到大的顺序排列为15、57、63，故加密数据为155763． 故答案为：155763． 26．（25-26八年级上·河北张家口·期末）将下列各式分解因式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法并灵活选择是关键． （1）先提取公因式，再用平方差公式分解因式即可； （2）利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 27．（25-26八年级上·广东云浮·期末）在对“”进行因式分解时，小华和小明产生了分歧．下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小华 原式     第一步     第二步 ．    第三步 小明 原式     第一步     第二步 ．    第三步 任务： (1)通过讨论，他们发现小华的解答正确，小明的解答错误．小华第一步依据的乘法公式为________（用含a，b的等式表示）；小明的解答从第________步开始出现错误． (2)按照小明的思路，写出正确的解答过程． 【答案】(1)；一 (2)见解析 【分析】本题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． （1）根据解答过程可知小华运用了完全平方公式，小明第一步出现了错误； （2）运用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：由解答过程可知小华运用了完全平方公式，即；小明第一步运用平方差公式时减法未变号． 故答案为：；一． （2）解：原式 ． 28．（25-26七年级上·河北保定·期末）（发现）一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫做“对称数”．如202、343、666等都是“对称数”． (1)填空： ① ②__________=__________ ③ (2)小敏观察（1）后有一个猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除，请你再任意写出另外两个对称数，并通过计算验证小敏的猜想． (3)设为一个对称数，请通过计算和推理说明小敏的猜想是正确的． 【答案】(1)333， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，理解“对称数”的意义是解题的关键． （1）根据题意，直接计算结果即可； （2）根据题意，可以计算出两个对称数，然后根据题目中的方法验证小敏的猜想； （3）根据题意，可以用含a、b的式子表示出小敏猜想的结果，然后分解因式，即可证明小敏的猜想正确． 【详解】（1）解：②333，； （2）解：363，； 888，；（答案不唯一） （3）解：设， 则 ． 能被9整除， 能被9整除， 小敏的猜想是正确的． 29．（25-26八年级上·河北衡水·期末）新课标将劳动课程从综合实践活动课程中独立出来，旨在树德、增智、强体、育美．某校为培养学生的劳动能力，开辟了如图所示的劳动实践基地．下面是两块边长分别为m，n的正方形地块，它们的公共部分（图中阴影所示部分）不能使用，其面积为S，左边正方形能使用部分的面积为，右边正方形能使用部分的面积为．设两个正方形能使用部分的面积差为：． (1)求的值（用含m，n的代数式表示），并对分解因式； (2)若，且，分别求m，n的值． 【答案】(1)，分解因式为： (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用、因式分解以及二元一次方程组的解法，熟练掌握平方差公式的因式分解方法，以及通过整体代入求解方程组是解题的关键． （1）通过观察图形，用大正方形面积减去重叠部分得到左侧图形面积，用小正方形面积减去重叠部分得到右侧图形面积．两者作差即可得到面积差，再对得到的代数式进行因式分解． （2）将第（1）题得到的因式分解结果代入已知条件差，结合求出的值，再通过解二元一次方程组求出和． 【详解】（1）解：，， ， ， ； 分解因式为：； （2）解：，且， ， 解方程组：， 解得． 30．（25-26八年级上·河北廊坊·期末）认真阅读下列材料，然后利用乘法公式尝试解答问题． 【阅读材料】 材料一 分解因式：． 解： ． 材料二 无论取何值，代数式的值都大于等于0， 当代数式减去4时，代数式的值大于等于， 代数式有最小值，最小值为． 【问题解决】 (1)分解因式：①；②． (2)①说明：代数式的最大值为5． ②求代数式的最小值． 【答案】(1)①② (2)①见解析② 【分析】本题考查因式分解的应用．结合例题把含字母的项配成完全平方式是解决本题的关键．用到的知识点为：和． （1）①②把所给代数式的前两项配成完全平方式，然后整理成和原来式子相等的式子，再用平方差公式进行因式分解； （2）①②把所给代数式的前两项配成完全平方式，然后整理成和原来式子相等的式子，根据完全平方式的取值范围可得所求代数式的最大（小）值． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：① ， ∵， ∴， ∴，即代数式的最大值为5． ② ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为． 31．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）阅读与理解： (1)先阅读下面的解题过程： 分解因式： 解：方法（1）原式 方法（2）原式 再请你参考上面一种解法，对多项式进行因式分解； (2)阅读下面的解题过程： 已知，试求与的值． 解：由已知得： 因此得到： 所以只有当并且上式才能成立． 因而得： 并且 请你参考上面的解题方法解答下面的问题： 已知：，试求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了因式分解，正确理解题干所给的方法是解答本题的关键． （1）参考题干提供的解题方法进行因式分解即可； （2）参考题干提供的解题方法将原式左边化为平方和，右边为零的形式，从而求出，，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：方法（1） 方法（2） （2）解：∵ ∴ ∴ ∴， 即， ∴ 32．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）阅读理解与应用观察下列分解因式的过程： 解： 像这种通过增减项把多项式转化成完全平方式的方法称为配方法． (1)解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解： ① ② (2)深入研究：说明多项式 的值总是一个正数； (3)拓展运用：已知，，分别是 的三边，且 试判断 的形状，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)见解析 (3)等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用运用配方法运算即可； （2）运用配方法化简式子，再根据式子的取值范围求证即可； （3）利用因式分解化简式子得到三角形的三边关系即可解答． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴多项式 的值总是一个正数； （3）为等边三角形，理由如下： ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴为等边三角形． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 因式分解（复习讲义） 1. 理解因式分解的概念，明确因式分解与整式乘法的互逆关系，能准确区分因式分解与整式乘法的运算方向，掌握“把一个多项式化为几个整式的积的形式”这一核心定义； 2. 熟练掌握提公因式法（包括找公因式的方法：系数取各项最大公约数，字母取各项相同字母且指数取最低次幂）和公式法（平方差公式、完全平方公式）这两种基本因式分解方法； 3. 能运用提公因式法、公式法对简单的多项式（二次二项式、二次三项式）进行因式分解，做到分解彻底（直到每个因式不能再分解为止）； 4. 能结合因式分解的结果，解决简单的求值、化简问题，初步体会因式分解的工具性作用。 重点01 公因式 特别说明： （1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分： ①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 重点02 提公因式法 特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即. （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 重点03 公式法分解因式 平方差公式 特别说明： （1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 完全平方公式 特别说明： （1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 重点04 十字相乘法 特别说明： （1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 重点05 分组分解法 特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 重点06 因式分解的解题步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 题型一 判断是否是因式分解 1．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．下面是小明的作业，请你帮忙解答：下列等式从左到右的变形，属于因式分解的有__________（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 题型二 已知因式分解的结果求参数 5．如果多项式分解因式的结果是，那么，的值分别是（   ） A．3， B．，3 C．， D．1， 6．把关于的多项式分解因式，得，则，的值分别是（   ） A．2，3 B．， C．，3 D．2， 7．若二次三项式有一个因式是，则a的值为____． 8．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)若能使多项式的值0，请将多项式进行因式分解． 题型三 公因式 9．多项式中各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 10．多项式各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 11．在多项式中，各项的公因式是______． 12．写出下列多项式各项的公因式： (1)； (2)． 题型四 提公因式法分解因式 13．将代数式分解为几个整式的积，其中一个整式是（    ） A．a B． C． D． 14．如果，，那么的值是（   ） A． B．1 C．5 D．6 15．因式分解：______． 16．因式分解 (1)； (2)． 题型五 平方差公式分解因式 17．下列多项式，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 18．分解因式：（   ）． A． B． C． D． 19．计算：（__________）． 20．已知，求的值． 题型六 完全平方公式分解因式 21．下列各因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 22．因式分解：___________． 23．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 24．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 题型七 综合运用公式法分解因式 25．因式分解： (1)； (2)． 26．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 27．因式分解： (1)； (2)． 28．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型八 综合提公因式和公式法分解因式 29．把下列各式因式分解： (1) (2) 30．分解因式： (1)； (2)． 31．因式分解： (1)； (2)． 32．因式分解： (1) (2) 题型九 因式分解在有理数简算中的应用 33．用简便方法计算： (1) (2) 34．利用因式分解计算： (1)； (2)． 35．利用因式分解计算：． 36．利用因式分解计算：． 题型十 因式分解的应用 37．已知a，b满足等式，，，则x，y的大小关系是（   ） A． B． C． D． 38．年“强基计划”报名工作于4月启动，山东大学新增“密码科学与技术”专业．在密码学中，有一种用“因式分解”法产生的密码：对多项式因式分解后，再对其中字母赋值，计算各因式结果，再将各因式的结果按不同顺序排列，即可得到密码．例如：对多项式因式分解，取，时，用上述方法产生的密码不可能是（） A． B． C． D． 39．如图所示，大长方形是由若干个长、宽分别为a，b的小长方形，边长为a的正方形，边长为b的正方形拼成的，由此可进行因式分解：_______． 40．按要求解答： (1)如图所示的四个图形可拼成如图所示的一个大长方形，据此写出一个多项式的因式分解为______； (2)如图，有足够多的边长为的大正方形，长为，宽为的长方形和边长为的小正方形，请利用拼图将多项式进行因式分解，在图虚线框中画出你的拼图，并写出因式分解的结果； (3)若多项式（为正整数）可以用拼图法因式分解，则______． 题型十一 十字相乘法 41．分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 42．因式分解： _________ ． 43．因式分解：． 44．因式分解：． 题型十二 分组分解法 45．已知，，求代数式的值． 46．阅读材料，要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到：，这时中又有公因式，于是可以提出，从而得到，因此有，这种方法称为分组分解法．请回答下列问题： (1)尝试填空：_________； (2)解决问题：因式分解； (3)拓展应用：已知三角形的三边长分别是，且满足试判断这个三角形的形状，并说明理由． 47．因式分解：． 48．因式分解： 题型十三 利用因式分解法求最值 49．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 比如，因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以． 所以当时，即时，的值最小，最小值是1．即的最小值是1． (1)求的最小值． (2)已知，则___________； (3)已知有理数x、y满足，求的最小值． 50．阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ， 当时，的值最小，最小值为0， ， 当时，的值最小，最小值为1984， 代数式：的最小值是1984． 例如：分解因式： 解：原式 ． (1)分解因式； (2)若，求的最大值； 51．上数学课时，张老师在讲完因式分解 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： 当时， 的值最小，最小值是0， 当 时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当 时，代数式的最小值是 ； (2)知识运用：若 ，当时， y有最 值 （填“大”或“小”），这个值是 (3)知识拓展：若，求的最小值． 52．先阅读以下材料，然后解答问题： 以上分解因式的方法称为分组分解法． (1)请用分组分解法分解因式： (2)拓展延伸 ①若，求x，y的值； ②求当x、y分别为多少时，代数式有最小的值，最小的值是多少？ 题型十四 因式分解的几何应用 53．如图，有A、B、C三种不同规格型号的卡片若干张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，其中．从这些卡片中取出m张卡片（每种卡片至少取一张），无缝隙、无重叠地拼成一个正方形，则m的值可以是（    ） A．20 B．24 C．25 D．28 54．如图1，用1块正方形地砖铺在正方形的台面上，未能完全覆盖．如图2，用4块同样的正方形地砖铺在这个正方形的台面上，会有一部分超出台面，超出台面部分的面积为．若地砖与台面的边长均为整数（单位：），则台面与这种型号的地砖边长相差（    ） A． B． C． D． 55．计算：图1为某校七（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，分别表示七（1）（2）两个班级的基地面积．若，则________ ． 56．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：32 “和谐数”，2026 “和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为199，求阴影部分的面积． 题型十五 因式分解的新定义运算 57．定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”．若，则b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 58．定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论：①所有的正奇数都是“智慧数”；②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论有（     ）个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 59．新定义：对于任意实数，都有，若，，则将因式分解的结果为______ 60．定义：若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以13是“完美数”； 再如：因为，所以也是“完美数”． (1)请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”可以是_____；判断53_______（请填写“是”或“否”）为“完美数”； (2)如果数m，n都是“完美数”，试说明是“完美数”． 基础巩固通关测 1．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）下列不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 3．（2026·河北沧州·模拟预测）若因式分解的结果为，则“”是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河北邯郸·月考）已知，，则的值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．12 5．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）下列从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河北邯郸·一模）已知x，y满足，则______． 7．（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）下列多项式能用平方差公式来分解因式的有_______． ①；②；③；④. 8．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）若，，则_________． 9．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）若可分解为，则的值为______． 10．（25-26九年级上·河北保定·月考）阅读下面的材料并解答后面的问题． 小冰：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？ 小华：能，求解过程如下： ． 因为，所以的最小值是． 问题：你能求出的最小值是__________． 11．（24-25八年级上·天津·期末）因式分解： (1) (2) 12．（25-26八年级上·河北衡水·期末）因式分解：． 13．（24-25八年级上·福建莆田·月考）求证：当n为整数时，是8的倍数． 14．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则 原式． 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：______； (2)因式分解：； (3)求证：若为正整数，则代数式的值一定是某一个整数的平方． 15．（24-25八年级上·江西赣州·期末）【阅读材料】因式分解：． 解：令，则原式．第①步 ．第②步 再将“”还原，原式．第③步 【问题解决】 (1)上面解法中的第②步运用了因式分解的方法中的_____； A．提公因式法，    B．平方差公式法，    C．两数和的完全平方公式法 (2)因式分解：的结果是_____； (3)证明：若为正整数，则的值是某个整数的平方． 能力提升进阶练 16．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）下列从左到右的运算是因式分解，并且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）若多项式可分解为，则的值为（    ） A． B． C． D． 18．（2025·四川自贡·模拟预测）若有理数满足，则的值等于（    ） A． B．1 C． D．2 19．（25-26八年级上·北京海淀·期中）在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（    ） A．141414 B．141315 C．131413 D．151415 20．（24-25七年级下·河北唐山·月考）若一个数等于两个连续奇数的平方差，我们把这样的数称为“和数”．例如，因为所以16是“和数”．结论①：2024是“和数”，2025不是“和数”；结论②：所有能被4整除的正数都是“和数”．对于结论①和②，下列判断正确的是（    ） A．①和②都对 B．①和②都不对 C．①对②不对 D．①不对②对 21．（2026·河北石家庄·一模）分解因式：__________ 22．（25-26八年级上·河北邢台·期末）若，则____________． 23．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解： 原式，这种方法叫做分组分解法．请你运用分组分解法，把分解因式的结果为___________． 24．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了b，分解结果为，乙看错了a，分解结果为．则______． 25．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）为保证数据安全，通常会将数据用加密的方式进行保存．例如：将一个多项式分解因式为，当，时，，，，将得到的三个数按照从小到大的顺序排列得到加密数据：121317．根据上述方法，当时，多项式分解因式后形成的加密数据是________． 26．（25-26八年级上·河北张家口·期末）将下列各式分解因式． (1)； (2)． 27．（25-26八年级上·广东云浮·期末）在对“”进行因式分解时，小华和小明产生了分歧．下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小华 原式     第一步     第二步 ．    第三步 小明 原式     第一步     第二步 ．    第三步 任务： (1)通过讨论，他们发现小华的解答正确，小明的解答错误．小华第一步依据的乘法公式为________（用含a，b的等式表示）；小明的解答从第________步开始出现错误． (2)按照小明的思路，写出正确的解答过程． 28．（25-26七年级上·河北保定·期末）（发现）一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫做“对称数”．如202、343、666等都是“对称数”． (1)填空： ① ②__________=__________ ③ (2)小敏观察（1）后有一个猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除，请你再任意写出另外两个对称数，并通过计算验证小敏的猜想． (3)设为一个对称数，请通过计算和推理说明小敏的猜想是正确的． 29．（25-26八年级上·河北衡水·期末）新课标将劳动课程从综合实践活动课程中独立出来，旨在树德、增智、强体、育美．某校为培养学生的劳动能力，开辟了如图所示的劳动实践基地．下面是两块边长分别为m，n的正方形地块，它们的公共部分（图中阴影所示部分）不能使用，其面积为S，左边正方形能使用部分的面积为，右边正方形能使用部分的面积为．设两个正方形能使用部分的面积差为：． (1)求的值（用含m，n的代数式表示），并对分解因式； (2)若，且，分别求m，n的值． 30．（25-26八年级上·河北廊坊·期末）认真阅读下列材料，然后利用乘法公式尝试解答问题． 【阅读材料】 材料一 分解因式：． 解： ． 材料二 无论取何值，代数式的值都大于等于0， 当代数式减去4时，代数式的值大于等于， 代数式有最小值，最小值为． 【问题解决】 (1)分解因式：①；②． (2)①说明：代数式的最大值为5． ②求代数式的最小值． 31．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）阅读与理解： (1)先阅读下面的解题过程： 分解因式： 解：方法（1）原式 方法（2）原式 再请你参考上面一种解法，对多项式进行因式分解； (2)阅读下面的解题过程： 已知，试求与的值． 解：由已知得： 因此得到： 所以只有当并且上式才能成立． 因而得： 并且 请你参考上面的解题方法解答下面的问题： 已知：，试求的值． 32．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）阅读理解与应用观察下列分解因式的过程： 解： 像这种通过增减项把多项式转化成完全平方式的方法称为配方法． (1)解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解： ① ② (2)深入研究：说明多项式 的值总是一个正数； (3)拓展运用：已知，，分别是 的三边，且 试判断 的形状，并说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $