河南新乡市2026届高三下学期学情自测数学试题

高三数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.复数(1-i)2的实部为 A.0 B.1 C.2 D.-2i 2.已知集合A={x-9<x3<9},B={-3,-2,-1,0,1,2,3},则A∩B= A.{-3,-2,-1,0,1,2,3} B.{0,1,2,3} C.{-2,-1,1,2 D.{-2,-1,0,1,2} 3.已知sinw=子，且a∈(2m,则sn2a A.g B. c.- D.-42 9 4.在四边形ABCD中，AB=2DC,设AC=m,B=n,则AD= A子m- B号m+ cm+子 D. 、2 31 5.已知函数f(x)=2f'(1)nx+,则f'(1)= A.2 B.-2 C.1 D.-1 6.已知函数f(x)=3*+3x,g(x)=l0g3x+3x,h(x)=x3+3x的零点分别为a,b,c,则a,b,c的 大小顺序为 A.b>c>a B.b>a>c C.c>a>b D.a>b>c 7.在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的展开式中，x3的系数是 A.24 B.10 C.-10 D.-24 数学第1页（共4页） 8.已知数列14，满足a2-n+2)(a,+Am》,其中4，=1，=2.若a,<a1对任意的ne n N*恒成立，则实数入的取值范围为 A.(0,+∞) B.[0,+o) C. D.[1,+∞) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.某地2026年3月1日至10日每天的最高气温（单位：℃）记录如下表： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 9日 10日 最高气温/℃ 13 8 10 16 9 19 22 16 12 则关于该地2026年3月1日至10日每天的最高气温，下列说法正确的是 A.从2日到8日持续上升 B.极差为17 C.平均数为13 D.标准差为5 10.已知圆0：x2+y2=4,直线l:(m+1)x+(m-1)y-6=0(meR),则下列说法正确的是 A.存在实数m,使得圆0关于l对称 B.若1与圆0相切，则m=√4 2 C.存在实数m,使圆0上存在点Q到l的距离为6 D.若1与圆0相交于A,B两点，且∠A0B=牙，则m=±币 11.如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AB⊥BC,AD=1,SA=AB=BC=2, E,F分别为棱AB,AD上的动点，且满足BE=2AF,则 A直线SC与平面SMB所成角的正弦值为 3 B.平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为5 C.四棱锥S-ABCD的体积为2 D.当三棱锥S-AEF的体积最大时，三棱锥S-CDB外接球的表面积为38 数学第2页（共4页）》 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知数列{a}是等比数列，若a2=2,a6=32,则a4= 1以已知R,月是箱圆c荒芳-1(a>6>0)的左：右焦点，马是双曲线-71的右顶 62 点，过F1的直线交椭圆C于M,N两点，且△MNF2的周长为20，则椭圆C的离心率为 14.已知函数f(x)的图象连续不断，且Vx∈R,都有f(3+x)+f(3-x)=0,f(8-x)=f(x), 当x∈[0,1]时，f(x)=ax2+b,若f(2)+f(-1)=-1,且函数g(x)=lgx|,则y=f(x)与 y=g(x)的图象交点个数为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c(sinB+sinC)=asin A-bsin B. (1)求A; (2)若a=7,点D为边BC的中点，AD=,∠BMC的角平分线交BC于E,求B 16.(15分) 2026年的春晚舞台上，机器人的出色表现，展示了中国智造的魅力.某公司在对某型号机 器人研发测试的过程中，工程师发现该型号机器人成功完成动作指令的概率为：，但工程 师对机器人下达的动作指令分为两类，一类表述清晰，另一类表述模糊.若对机器人下达 的动作指令表述清晰，则机器人成功完成动作指令的概率为？；若对机器人下达的动作指 令表述模糊，则机器人成功完成动作指令的概率为)每次测试该型号机器人能否成功完 成动作指令相互独立 (1)求工程师下达的动作指令表述模糊的概率； (2)现对一台该型号机器人完成动作指令的情况进行n(n≥2)次测试，记这n次测试中恰 有2次未成功完成动作指令的概率为Pn,求Pn取得最大值时n的值. 数学第3页（共4页） 17.（15分) 某探照灯的反射镜面与其轴截面的交线是抛物线C,把点光源置于它的焦点处，光线经镜 面反射后成为平行光束，使照射距离加大.若抛物线C的方程为y2=2x(p>0),焦点为 F,过F的直线交C于M,N两点，当直线MN垂直于x轴时，IMNI=4. (1)求C的方程 (2)光的反射定律告诉我们：光从一种介质照射到两种介质的 分界面时发生反射，反射光线与人射光线、法线处在同一 H 平面内；反射光线与入射光线分别位于法线的两侧；反射 角等于入射角.如图，从点F发出的光线经过抛物线C上 的点A(不同于抛物线的顶点)反射，反射光线为AH,证 明：AH所在直线平行于x轴 18.(17分) 已知函数f(x)=-alnx+(2a+1)x-x2. (1)若a=?,求八x)的图象在点(1，(1)处的切线方程； (2)若a<0,求f(x)的最大值（用a表示）； (3)若f(x)有且仅有一个零点，求实数a的取值范围， 19.(17分) 如图，圆柱OO'的轴截面AA'B'B是边长为6的正方形，点F在线段AB上，且BF=2,点P 在线段BB'上，且BP=4,MN为圆O的过点F的一条动弦（不与AB重合）. (1)证明：AO'∥平面PMN; 0' (2)若点Q是下底面圆周上的动点，Q'是点Q在上底面的投 影，且Q'A与下底面所成的角为，QB'与上底面所成的角 为B,求9tana+4tanB的最小值； (3)当三棱锥O'-PMN的体积最大时，求二面角B-MN-P M 的余弦值， 数学第4页（共4页）高三数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.A 2.D 3.D 4.B 5.c 6.A 7.C 8.B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分 9.BCD 10.CD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.8 13号 14.10 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.解析(1)由正弦定理得bc+c2=a2-b2,即b2+c2-a2=-bc,…(2分)》 由余弦定理得sA+心：- ……… (4分) 2bc 2 因为Ae(0,m),所以A-2罗 (5分) (2)由(1)得a2=b2+c2+bc,即b2+c2+bc=7.① 因为市-=？(A+A心)，所以亦-4（应+A心+2店.Ad, 即9）=e+68+2as3）所以+2-c=3.②… (7分) 由①②得b2+c2=5,bc=2, 所以(b+c)2=b2+c2+2bc=9,所以b+c=3. (9分) 因为SAABG=SARAE+SACAE,且∠BAE=∠CAE= 3 所以宁cin号=之·ABin号+宁b:aBin号，即c=(e+)·A北， 所以AB=g午。子 …(13分） 16.解析(1)设事件A=“工程师下达的动作指令表述模糊”，事件A=“工程师下达的动作指令表述清晰”，事件 C=“机器人成功完成动作指令”， 根据题意得P(C)=号，P(C1A)=2,P(CA)=令 设P(A)=p,则P(A)=1-p. 由全概率公式，得P(C)=PA)P(CIM)+P(A)P(CI)=D+了(1-p)=冬- 8-8P,…(4分) 所以名-名-专，解得p=行 即工程师下达的动作指令表述模糊的概率为了 …(7分)》 (2)由题意知p.=c(行广（号）， ”“。*””…4………………*…( 则-=c(传广()-c(5广()=兮()9 .…(11分)》 所以当n<9时，Pa+1>Pn,当n=9时，Pn+1=Pa,当n>9时，Pn+1<Pn 所以当n=9或n=10时，Pn取得最大值.… …（15分)》 17.解析(1)由题意知，2印=4，p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.…(5分) (2)如图，设直线L:y=kx+b(k,b≠0)与C有唯一公共点A, 「y=x+b, 得y2-4y+4b=0,① y2=4x, 则4=16-16仙=0，得长=名 代入①式，得y=2b,故A点的坐标为(b2,2b).…（(9分) 过点A作直线AP垂直于直线l,AP与x轴交于点P, 则直线4P的方程为y-2b=-(x-8). 令y=0,可得P(2+b2,0),又F(1,0),所以1FP1=b2+1.…(12分) 又|FA|=b2+1,所以川FA|=|FP|,…(13分) 所以∠FAP=∠FPA,又由反射定律知∠FAP=∠HAP,所以∠FPA=∠HAP, 所以AH所在直线平行于x轴。… (15分) 18解析（)当a=时)=-nx+2x-()=--2x+2, 则r1)=-)=l. 因此所求切线方程为y-1=-之(-1)，即x+2y-3=0.…（4分) 一2 (2)当a<0时，函数f(x)=-alnx+(2a+1)x-x2的定义域为(0，+o), f(x)=-g+(2a+1)-2x=-(2x-)(x-a 因为a<0,所以由了()>0，得x∈(0,2），由()<0，得x∈(2+）月 则函数(x)在(0，)上单调递增，在（分，+）上单调递减， 所以x)的最大值为2)=(1+血2)a+4 (8分) (3)①油(2)知当a<0时，函数(x)在(0,2)上单调递增，在（分，+上单调递减， 函数)的最大值为(2）=(1+h2)a+子， 又因为当x>0且x0时，f(x)→-o,当x→+∞时，f(x)→-∞， 所以当分）=1+a2)a+片>0，睡-4+n2<a<0时八)有两个零点， 当2)=(1+1h2a+子=-0，即a=4+4n2时八)有且仅有-个零点 1 分）=1+h2a+4<0期a<44如2时e到无等点 (11分) ②当a=0时f(x)=x-x2=x(1-x)(x>0),所以f(x)有且仅有一个零点1. …(12分） ③当0<a<分时，由f'()>0,得xe(a,),由f()<,得xe0,u(分，+）月 则函数x)在(a,）上单调递蜡，在(0，)和（分，+）上单调递减。 函数f(x)在x=a处取得极小值f(a)=a(-lna+a+1) 令g()=-nx++1(0<x<2）求导得g(x)=士+1，当x∈(0,2)时，g(x)<0, 函数g()在(0，）上单调递诚8(x)>-1n分+7+1>0，即a)>0, 2)>a)>0,当x+时，-alh-,(2a+1)x-2,-0,则x)→-0， 因此存在唯一的∈（分，+必），使得x,)=0,则x)有且仅有-个零点.…(4分） ④当a=2时，f'(x)≤0，函数x)在(0，+0)上单调递减， 而1)=1>0e)=-7+2e-e<0, 因此存在唯一的x1∈(1，e),使得f(x)=0,则f代x)有且仅有一个零点.…(15分) ⑤当a>2时，由f()>0,得xe(2小由f()<0,得xe(0,2u(a,+m), 则函数x)在(2，上单调递增，在(0,2）和(a,+)上单调递减， -3 函数)在x=2处取得极小值（分）-(1+1h2)a+4>0@)>小2)>0， 与③同理存在唯一的x2∈(a,+∞)，使得f(x2)=0,则f(x)有且仅有一个零点. 综上，若s)有且仅有-个学点，a的取值范围为{-4+4h2U[0,+)小 …（(17分) 19.解析（1)如图1，连接OB',PF.由题意可知B0=3. 0' B 、 B 0 图1 因为BP=4,B-6,aF=2所以5器所以08∥m 又因为在圆柱OO'的轴截面AA'B'B中，AO∥OB'且A0=O'B', 所以四边形AOB'O'为平行四边形，所以AO'∥OB', 所以AO'∥FP. 又因为AO'4平面PMN,PFC平面PMN, 所以AO'∥平面PMN.… (4分) (2)由题意，建立如图2所示的空间直角坐标系， 0' B 图2 则A(0,-3,0),B'(0,3,6),设Q(m,n,0),可得Q'(m,n,6). 则-3≤m≤3，-3≤n≤3，且m2+n2=9, 一4 所以QA=√m2+(n+3)2=√18+6n, Q'B'=√m2+(n-3)7=√18-6m. 由题意知，QQ'=6,且QQ'与上、下底面均垂直，所以Q'A与下底面所成的角为∠Q'AQ 所以tan&=tan∠Q'AQ=g= 6 AQ√18+6n 同理，tanB= 6 所以1 1 以ana+anB =1.…(7分)） √18-6n 9ama4amig=(9aa+4mg创(a+过 ）=13+9tam2a+4tan2B tan'B tan'a ≥13+2V9×4=25,当且仅当9g-42,即a=子时取等号， tan'B tan'a 所以9tan2+4tan2B的最小值为25.… (9分) (3)山(I)知A0/P,所以Sam=Saw=2×4×4=8 VV+Vm5m(ul+lx)= 所以当lxM-xwI最大时，三棱锥O'-PMN的体积最大. 在平面直角坐标系x0y中，圆0的方程为x2+y2=9, 设直线MN:y=tx+1,代入圆方程x2+y2=9, 整理得(t2+1)x2+2x-8=0,且△=42+32(2+1)>0， 所以xM+xN=- 2t 2+1tww= 8 t2+1' 4232 362+322√92+8 所以lxw-xxl=V(xw+)=4*,=√e+1)+?+1√(+) t2+1 令=r+8,则≥2反-长，8则w- 2k 18k 18 (12分) k2-8,1ET1k+ 9 由对勾函数的性质可知，y=k+太在[22，+)上单调递增， 所以y=18在[22，+0)上单调递减，所以1xw-1≤18 -=42, 1 k+k 22+ 22 所以当=2反，即1=0时，三校能0-PMN的休积及人最大休积为2 此时MW⊥AB,PM=PN,且F为MN的中点，所以PF⊥MN.…(15分) 所以∠PFB即为二面角B-MN-P的平面角， 因为wm-器g 三 所以二面角B-MN-P的余弦值为 5 …(17分） 一5△ 高三数学答题卡 班级 姓名 考场号 座位号 考生号 贴 1.答题前，务必先认真核对条形码上的个人信息，无误后将本人信息填写在 相应位置。 注 条 2.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写：作图时，可用2B铅笔， 笔迹要清晰；选择题填涂时，必须用2B铅笔按图示规范填涂。 事 3.必须在题目所指示的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿 码 项 纸上答题无效。 4.保持答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上作任何标记，严禁使 区 用涂改液和修正带。 此栏禁填禁慧口 由监考员贴条形码，并用2B销笔填涂左边的缺考标记。 选择题 1[A][B][C1[D] 5【A1[B]【C]ID] 9【A][B][C][D] 2[A][B]IC][D] 6【A]【B][CJ[D] 10 [A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 7[A】【B]【C】[D] t1[A]【B][C][D] 4[AJ[B][C][D] B[A】[B][c】[D] 非选择题 三、填空题 12. (5分) 13. (5分) 14. (5分) 四、解答题(77分) 15.（13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色边框的答案无效 数学第1页共6页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色边框的答素无效 续15 16.(15分) 请在各题目的答题区城内作答，超出票色边框的答案无效 数学第2页共6页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色边框的答案无效 17.(15分) 0 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色边框的答案无效 数学第3页共6页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色边框的答案无效 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色边框的答案无效 数学第4页共6页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色边框的答案无效 续18 19.(17分) 0' ----------- B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色边框的答案无效 数学第5页共6页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色边框的答案无效 续19 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色边框的答案无效 数学第6页共6页