专题03 函数与导数（9大考点）（黑吉辽蒙专用）2026年高考数学二模分类汇编

专题03 函数与导数 9大考点概览 考点01指对幂函数 考点02函数的性质 考点03函数的根与零点 考点04函数的应用 考点05导数的几何意义 考点06极值与最值零点 考点07恒成立问题 考点08导数综合问题 考点09导数与三角函数 指对幂函数 考点1 1．（2026·哈尔滨三中·二模）若函数，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由题意得， 则. 故选：D 2．（2026·辽宁省名校协作体·二模）函数，若，则的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D．16 【答案】C 【分析】根据函数推导出与的关系，再根据函数的单调性得到与关系，最后根据基本不等式求解即可. 【详解】， 又在单调递增， ， ，即. ，当且仅当时，等号成立. 故选：C 3．（2026·辽宁省名校协作体·二模）设，若存在实数，，，满足，且，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】画出函数的图像，分析，，，间的关系，然后结合二次函数求解即可. 【解答】函数的图像如图所示， ，，， ，，，， ， 又因为，所以. 故选：A 4．（2026·内蒙古包头·二模）设函数，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】对分类讨论，解方程求得，进而求解即可. 【详解】当时，，即，无解； 当时，，解得， 所以. 故选：D 5．（2026·吉林长春·质量监测(二)）已知实数，若且，则（   ） A．9 B．21 C．27 D．30 【答案】D 【分析】设，由已知条件可得，求出t，即可得，结合可求出n的值，继而求出m，即可求得答案. 【详解】设，则，由于，则， 故由可得，即， 解得，舍去， 故，即得， 又，则，即，结合，得， 故，则. 故选：D 6．（2026·辽宁大连·二模）已知，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】令，化简得出，再利用基本不等式求出的最大值即可. 【详解】由题意得，， 令，则， 则， 因为，所以，即，等号成立时， 则，， 则的最大值为，故的最大值是. 故选：B 函数的性质 考点2 1．（2026·黑龙江大庆·二检）已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则（    ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】B 【分析】利用奇偶性和对称性可证明周期性，从而利用周期性来求值，即可求出结果. 【详解】因为是偶函数，所以，所以， 即， 又因为是定义在上的奇函数，所以， 即，所以，所以函数以4为周期, 即， 所以. 故选：B 2．（2026·内蒙古包头·二模）已知函数是周期为的奇函数，且当时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用周期为和奇函数的性质将转化为，再结合时，，求出，进而得出结果. 【详解】因为函数是周期为的奇函数，所以， 又当时，，所以，则. 故选：A. 3．（2026·吉林白山·二模）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞) 【答案】A 【分析】先判断函数单调性，然后利用其单调性解不等式. 【详解】当时，，其对称轴为且函数图像开口向上，所以在上为增函数，且 当时，，其对称轴为且函数图像开口向下，所以在上为增函数，且， 所以在上为增函数， 因为， 所以，解得， 故选：A 4．（2026·内蒙古兴安盟·二模）已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，，，则（ ） A．8 B． C．12 D． 【答案】A 【分析】判断出函数与的对称中心，根据两函数图象交点的对称性计算即可. 【详解】由可得，，所以函数关于点对称. 函数的定义域为. 因为， 所以函数关于点对称. 因此函数与函数的图象的交点也关于点对称. 若是两函数图象的交点，则一定是两函数图象的交点， 那么，. 所以. 故选：A 5．（2026·吉林G35联合体·二模）已知函数的图象关于直线对称，且在上单调递减，若，，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的对称性得到恒成立，通过平方化简即可求解. 【详解】由关于直线对称，且在上单调递减， 因为，恒成立， 所以 ， 两边平方展开化简： 即 ， 整理得， 因为对任意不等式恒成立，故，即， 故的取值范围是. 故选：D 6．(2026·辽宁鞍山普通高中·二模)（多选）已知是定义在上的函数，若，则（   ） A．当函数均有零点时，也有零点 B．当函数均为增函数时，也为增函数 C．当函数均为偶函数时，也为偶函数 D．当函数均为周期函数且有相同周期时，也为周期函数 【答案】BCD 【分析】利用反例，可判断A；分类讨论可判断B；利用偶函数和周期函数的性质可判断CD. 【详解】对于A，设，则的零点为，设，则的零点为. 当时，，故，此时无零点； 当时，，故，此时无零点，故A错误； 对于B，若，因为为增函数，则有由，可知且， 所以且，所以， 所以为增函数，故B正确； 对于C，若函数均为偶函数，则， 则，故C正确； 对于D，若函数均为周期函数且有相同周期时， 则， 所以，故D正确. 故选：BCD 7．（2026·吉林梅河口五中·二模）（多选）定义在上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的有（   ） A．当时， B．的图象在处的切线方程为 C．的图象与的图象所有交点的横坐标之和为10 D．的图象与直线恰有一个公共点，则实数 【答案】BCD 【分析】先判断函数的对称性，周期性，对A，利用周期可得；对B，求出表达式，然后求导计算；对C，作出两个函数图象判断即可；对D，作出图形，然后分情况讨论，利用导数计算判断. 【详解】由函数为上的奇函数，所以， 由，所以函数关于对称，且，则，所以4为函数的一个周期. 对A，，则，，所以， 由当时，，所以，错误； 对B，由A可知：当时，，所以当时，， 所以当时，，则， ，， 所以函数的图象在处的切线方程为，即，正确； 对C，作出函数与图象，    函数图象关于对称，当时，图象共有5个交点，由为奇函数，所以当时，图象也有5个交点，所以图象所有交点的横坐标之和为10，正确； 对D，如图：    当时，；当时，， 当为图中情况，，，令，， 所以切点为，所以； 当为图中情况，，，令，， 所以切点为，所以； 所以函数的图象与直线恰有一个公共点，则实数，正确。 故选：BCD 8．（2026·内蒙古包头·二模）已知是偶函数，则__________. 【答案】4 【分析】利用偶函数的性质，令计算可得. 【详解】因为为偶函数， 则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故答案为：4. 9．（2026·辽宁沈阳·质量监测(二)）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则_______. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质求出函数值. 【详解】函数是定义在上的奇函数，且当时，， 则. 故答案为： 10．（2026·吉林长春·质量监测(二)）已知函数，若，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，利用函数性质求的范围即可. 【详解】已知函数，则， 是奇函数， 是增函数，是增函数， 是增函数， 因为， ，即， 是单调递增函数， ，解得． 所以的取值范围是. 函数的根与零点 考点3 1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题得，令，由函数性质可知为增函数， 又，，根据零点存在性定理可知：， 即的取值范围为. 2．（2026·辽宁大连·二模）若关于的方程有两相异实根，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两相异实根满足得到关于的不等式组，再解不等式组可得答案. 【详解】因为方程有两相异实根，且， 则，解得. 故选：C. 3．（2026·辽宁辽阳·二模）已知表示不超过的最大整数，，若在区间恰有两个零点，则t的取值范围是______． 【答案】 【分析】结合的性质，可得零点为，则可得，，解出即可得. 【详解】令，则，则， 令，可得，故的零点为， 则有，，即有，， 由题意可得，故，且有，解得， 又，故或，当时，；当时，有； 综上可得：. 函数的应用 考点4 1．（2026·吉林G35联合体·二模）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度（单位：）关于时间（单位：）的函数解析式为（为参数）.已知刚开始退潮时水面高度为，若从到，水面高度下降了，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【详解】由题意可得，解得．令， 即，化简得，解得（舍去）． 2．（2026·东北三省三校·二模）人工智能（AI）领域中，神经网络是用于模仿神经元，用来学习规律做预测和识别的数学模型.神经网络中的激活函数能把线性输入变成非线性输出.是最常用的激活函数,下面关于表述错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故A正确； 恒成立，故，则，故，故B正确； ，， ，故C正确； ，又，，， ，故D错误. 导数的几何意义 考点5 1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）在点处的切线方程是，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】，又在处的切线方程是， 故，又，故. 2．（2026·辽宁辽阳·二模）函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出导数得出切线斜率，再应用点斜式得出切线方程. 【详解】因为函数，所以，则在处的切线斜率是， 函数过， 在处的切线方程是，即得. 3．（2026·吉林白山·二模）已知，，直线与曲线相切，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点为，求导，根据导数的几何意义结合相切，得到，解得，再代入得，再利用基本不等式“1”的妙用求最值即可． 【详解】由求导得， 设切点为，则 切点， 由切点在切线上得，． ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 故选：D． 4．（2026·辽宁省名校协作体·二模）已知直线与函数的图象相切，若，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，根据导数的几何意义可得，由题意得，根据函数单调性计算可解. 【详解】由，设切点， 则切线方程为：， 所以， 因为，所以，解得 显然，在单调递增， 所以，时，. 5．（2026·辽宁沈阳·质量监测(二)）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．曲线在处的切线与直线垂直 B．若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 C．曲线的切线的倾斜角取值范围是 D．若过点可以作曲线的三条切线，则 【答案】ABD 【分析】对于选项A，先求处的导数值即切线斜率，再根据两直线垂直斜率乘积为的性质进行判断；对于选项B，先令等于直线的斜率，求出切点，再计算切点到直线的距离；对于选项C，先分析的取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系，结合正切函数的性质确定倾斜角的范围；对于选项D，设切点坐标，写出切线方程，将点代入得到关于切点横坐标的方程，转化为该方程有三个不同实根的问题，通过研究对应函数的单调性与极值来确定的范围 【详解】对A，处切线斜率，直线的斜率为，两斜率乘积 ，故两直线垂直，A正确 对B，点到直线的最小距离，出现在曲线切线与平行时，即切线斜率等于， 令，得，整理为，函数在上单调递增，仅有解，对应切点为 切点到的距离为：​，即最小距离为​，B正确 对C，设切线倾斜角为，则 令​，求导得​，时，单调递减； 时，单调递增， 所以在处取最小值，故 而​，因此倾斜角范围不是，C错误 对于D：设过点的切线切点为，则，整理得， 若过点可以作曲线的三条切线，则函数与函数有三个交点， 对函数， 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减. 又当时，；当时，；时，；时，， 所以函数的图象大致如下： 则当时，函数与函数有三个交点， 此时过点可以作曲线的三条切线，D正确. 6．（2026·黑龙江大庆·二检）已知，若直线与曲线相切，则___________. 【答案】 【分析】求导，根据导数的意义及切点在切线和曲线上列方程组求解可得. 【详解】由得， 设直线与曲线相切于点， 则，解得， 代入，可得. 故答案为：. 7．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）若曲线在处的切线与直线垂直，则实数_____. 【答案】 【分析】本题利用导数的几何意义表示出切线的斜率，由斜率存在的两直线垂直时，斜率乘积为，建立等量关系，从而求出实数. 【详解】解：由题可得，所以函数在处的切线斜率为. 已知直线的斜率为，切线与该直线垂直，所以，解得. 8．（2026·吉林梅河口五中·二模）已知直线l： 与曲线和 都相切，则 _______. 【答案】/ 【分析】先分别设切点求导数得出切线斜率进而得出切线方程，由题意对照直线方程分别求出即得. 【详解】设直线 与曲线的切点为 ， 由求导得，则切线方程为 依题意，其与直线为同一条直线， 故  ,解得; 设直线l： 与曲线 的切点为 由求导得 则切线方程为 ， 依题意，其与直线为同一条直线， 故, 由②解得， 代入①，可得. 所以 . 9．（2026·哈尔滨三中·二模）若直线是曲线和曲线的公切线，则实数______． 【答案】1或 【分析】分别设出直线和两曲线的切点坐标，求出切线方程的表达式，联立方程组可解得切点坐标，代入计算可得斜率或. 【详解】设直线与曲线的切点为; 易知,可得, 因此切线方程为，即, 可得, 设直线与曲线的切点为; 又，所以, 切线方程为,即, 所以; 因此可得，整理可得， 解得; 当时，可得； 当时，可得; 所以或. 10．（2026·吉林G35联合体·二模）若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则_______． 【答案】或 【分析】设公共点为，根据公共点的导数值相等求出切点，再利用导数的几何意义即可求解. 【详解】由，所以，又由，所以， 设公共点为， 所以，由，即，解得或， 当时，，解得， 当时，，解得. 极值与最值零点 考点6 1．（2026·内蒙古兴安盟·二模）函数的极小值点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对函数求导，令导数为零求出解，然后根据函数的单调性确定函数的极小值点. 【详解】对函数求导得，. 令，则或. 若，则或；若，则. 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 所以函数的极小值点是. 故选：C. 2．（2026·东北三省三校·二模）若函数的极大值为1，则函数的极小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】,由得，又因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以函数在处取得极大值，且，即，函数在处取得极小值，且，故选A. 3．（2026·辽宁大连·二模）已知函数，若，则的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据题目条件，求出之间的等量关系，进而通过换元法构造函数，根据函数导数与函数单调性和极值之间的关系，求出函数单调区间和极值，判断函数最大值，进而求出结果. 【详解】由题意可得，则， 由，则， 令，则， 令，可知函数在上单调递增， 所以当有唯一解，即，即，可得， 所以， 令，则，所以， 令，则， 令，即，解得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，也是最大值，为， 所以的最大值为. 故选：B. 4．(2026·辽宁鞍山普通高中·二模)（多选）已知函数，则（   ） A．是函数的一个极值点 B．是函数的一个极值点 C．直线是曲线在处的切线 D．直线是曲线在处的切线 【答案】AC 【分析】本题主要考查极值点的判断和曲线某点处切线方程的求解，通过导函数的符号判断函数的单调性，进而确定极值点；对于切线方程，由导数的几何意义可知，切线的斜率等于该点处的导函数值，再结合点的坐标，利用点斜式方程求出切线方程. 【详解】由题意知，令，则或， 当时，，所以单调递增；当时，，所以单调递减，因此是函数的一个极值点，A正确； 因为，所以不是函数的极值点，B错误； 当时，，，所以切点为，斜率为，所以切线方程为，即，所以C正确，D错误. 5．（2026·东北三省三校·二模）函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【分析】函数有两个不同的零点，等价于方程有两个不同的实根,当时，方程左边为，故不是根，因此可分离参数得： ,问题转化为：直线与函数的图象有两个不同的交点，通过求导分析的单调性、极值，即可确定的取值范围 【详解】由，得, 当时，左边，等式不成立，故不是根，； 当时，分离参数得​，令，则问题等价于与的图象有两个不同的交点, , 因此在上恒成立, 所以在和上分别单调递减， 由于当，时，，时，，此时的值域为， 当，时，，时，，此时的值域为， 则的大致图像如下： 所以要使与的图象有两个不同的交点，则 恒成立问题 考点7 1．（2026·吉林白山·二模）函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简结合对数函数单调性得出，再构造，根据导函数得出函数单调性即可求解. 【详解】由题设在上恒成立， 知，此时在上都单调递增， 所以只需在上的零点相同， 即，所以， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以，即的取值范围是. 故选：D 2．（2026·辽宁省名校协作体·二模）已知函数，其中． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； (3)若R，对任意的恒成立，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求导得出斜率并用点斜式即可求解； （2）可以利用反证法把存在性问题转化为恒成立问题分离参数再取补集即可求答案； （3）利用（2）判断导函数零点所在区间从而判断原函数单调性 【详解】（1）当时，，函数定义域为 故， 又，所以切线方程为. （2）由题意得 若不存在单调增区间，则恒成立，即恒成立， 令， 当时，当时 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以即 因此所求实数的取值范围为. （3）由（2）知 所以在单调递减，又，， 所以必存在正数，使得，即 由（2）知当时，即，当时，即， 当时，即， 由上可知在单调递增，在单调递减， 所以， 所以，即， 令 因为 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以， 所以的最小值为 3．（2026·内蒙古包头·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)当，的递增区间是，没有单调递减区间， 若，的递增区间是，递减区间是； (2) 【分析】（1）先求得函数的导函数，然后根据，两种情况，讨论的单调性; （2）由题可知，在时恒成立，则令，结合（1）判断函数的单调性求其最小值，求得的取值范围. 【详解】（1）由题知： 若，，在上单调递增     若，令解得： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 综上， 当，的递增区间是，没有单调递减区间， 若，的递增区间是，递减区间是； （2）依题意，时，恒成立，即在上恒成立， 令 ，则 = ， 令，由（1）知函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 则有，即， 即当时，则，当时，则， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取最小值，于是得， 所以的取值范围为. 4．（2026·黑龙江大庆·二检）已知函数有两个不同的零点，分别记为，且. (1)求实数的取值范围； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)有两组正实数，且.证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由参变分离得有两个不同的零点，求导分析单调性，结合函数图像即可求解； （2）由题知，不等式转化为，令，则，进而得，令，求导再利用导数确定最值即可； （3）设，再证：即可. 【详解】（1）函数有两个不同的零点， 所以，即有两个不同的解， 令，由得， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以， 当时，；当时， 所以. 注：函数的图像如下， （2）因为有两个不同的零点， 由题知，且，即， 相减得到： 因为恒成立，即恒成立， 所以恒成立. 设，则时，不等式恒成立， 因为进而得在时恒成立， 设， 则， 即， 又因为且，则，所以当时，， 即，故在单调递增， 因为，所以恒成立，故满足题意. 当时，若，由，则在单调递减， 所以当时，与题设不符. 综上所述，正数的取值范围. （3）令，则 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减. 所以为极小值点，即最小值点，所以 即当且仅当时等号成立. 由（2）知：，进一步取，则； 不妨假设 则 故 进一步： 另外： 又 ， 当且仅当时等号成立 则. 即. 导数综合问题 考点8 1．（2026·哈尔滨三中·二模）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在定义域内单调递减，并且对任意正数都有，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用导数分析单调性可得； （2）结合（1）的结果，转化问题为，再构造函数，求导后分离常数再结合换元法和基本不等式可得. 【详解】（1）， ①当时，恒成立，故在上递增； ②当时，在上递增，在上递减； ③当时，在上递减． （2）因为在定义域内单调递减，所以． 不妨设，那么有， 于是不等式等价于，， 设，则，即在上递减， 故对恒成立，也即对恒成立， 令，则，故， 当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围为. 2．（2026·内蒙古兴安盟·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)当时，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，递减区间为. (3) 【分析】（1）当时，求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求解； （2）求得，令，求得的根，结合定义域，即可求得函数的单调区间； （3）根据题意，得到不等式，当时，转化为，令，求得，结合，求得，利用导数求得，得到递增，得到，求得，再由，求得时，不等式也成立，即可求解. 【详解】（1）当时，，其定义域为， 可得，则且，即切点坐标为，斜率为， 所以曲线在点处的切线方程，即. （2）解：由函数，其定义域为， 且，令， 令，即，可得， 解得， 由（舍去），， 当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减， 所以函数的单调递增区间为，递减区间为. （3）解：由不等式，可得， 当时，，满足； 当时，不等式可化为 令，可得， 令，可得， 令，可得， 当时，可得，在上单调递增； 当时，可得，在上单调递减， 因为， 所以存在，使得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减， 又由， 所以当时，，所以单调递增， 所以，则； 可得， 令，可得， 所以在上单调递增，所以， 综上可得，当时，不等式，即恒成立， 所以实数的取值范围为 3．（2026·吉林G35联合体·二模）已知函数，． (1)求，的单调区间； (2)已知，函数，讨论的极值点的个数； (3)若，，求t的取值范围． 【答案】(1)和的单调增区间均为，单调减区间均为； (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）对求导，令可得其单调增区间，令可得其单调减区间，同理可得的单调区间. （2）求导得解析式，令，得的零点，分别讨论、、和四种情况，利用导数判断的正负，可得其单调区间，分析即可得答案. （3）结合的任意性，已知条件可转化为， 分别构造函数和，可将不等式再转化为，得到在上单调性相同.利用导数求出和的单调区间，结合图形与条件，分析求解，即可得答案. 【详解】（1）由，，得， 因为恒成立，所以令，解得或， 当或时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的单调增区间为，单调减区间为； 由，，得， 令，解得或， 当或时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的单调增区间为，单调减区间为； （2）， 则， 令，解得或或（）. 当时，，恒成立， 则当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以只有1个极小值点； 当时，，恒成立， 则当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以只有1个极小值点； 当时，， 当或时，，则单调递减， 当或时，，则单调递增， 此时有3个极值点； 当时，， 当或时，，则单调递减， 当或时，，则单调递增， 此时有3个极值点； 综上，当或时，有一个极值点；当或时，有3个极值点. （3）由，结合的任意性， 可得，则有， 所以有， 即， 设，， 则，所以在上单调性相同. 由，则， 令，解得或， 其中， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以的单调减区间为，单调增区间为； 由，则， 因为恒成立，所以令，解得或， 当或时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的单调增区间为，单调减区间为； 要使与在上单调性相同， 分以下情况讨论： ①当时，在上，函数存在递增区间，而单调递减， 故不满足题意； ②当时，在上，函数与均单调递减， 且对任意，， 故满足题意； ③当时，， 函数均在上单调递减，在上单调递增， 又不恒为0，即不恒为常数， 故存在（），使得，且， 若，则当时， ，且， 故存在，使得， 故不满足题意； 同理可得，若，当时， ，且， 故存在，使得， 故也不满足题意； ④当时，在上，函数与均单调递增， 对任意，， 故满足题意. 综上所述，t的取值范围是. 4．（2026·辽宁大连·二模）定义：若存在，，使得曲线在点和点处有相同的切线l，则称切线l为曲线的“自公切线”.已知函数． (1)若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围； (2)证明：当时，曲线不存在“自公切线”； (3)若曲线有且只有两条“自公切线”，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由函数的单调性转化为导函数在区间恒成立，分离参数求解； （2）根据新定义转化为，换元后利用导数证明方程不成立即可得证； （3）根据新定义利用导数，分类讨论求解. 【详解】（1）当时，，， 由题意可知，，即在区间上恒成立， 设函数，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，所以，即. （2）当时，，， 假设在点和点处存在“自公切线”l， 则l的斜率，， 即， 同时， 故，即 不妨设，令，， 则， 所以在区间上单调递减，，故不成立， 所以当时，曲线不存在“自公切线”. （3）因为，所以为偶函数， 又由（2）可得，当时，曲线不存在“自公切线”， 所以当时，曲线也不存在“自公切线”． 假设在点和点处存在“自公切线”l， 则和只可能一正一负，不妨设，， 则l的斜率， 即 同时， 所以， 所以或，即或， ①当时，因为，所以， 所以，令，则， 当时，，在上单调递增，， 所以函数没有零点，此时没有满足题意的，即没有“自公切线”； 当时，时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以， 因为，且时，， 当，即时，，没有零点，即没有“自公切线”； 当，即时，，有一个零点，即有一条“自公切线”； 当，即时，，有两个零点，即有两条“自公切线”． ②当时，，又，所以， 因为，所以， 所以， 设函数，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 且，，， 所以当，即时，有一个解，即有一条“自公切线”； 当，即时，有两个解，即有两条“自公切线”； 当或，即或时，无解，即没有“自公切线”． 又因为当时， 在情况①中，，； 在情况②中，，； 所以当时，与同时成立，有且只有一条“自公切线”． 综上所述，若曲线有且只有两条“自公切线”，实数a的取值范围是. 5．（2026·哈尔滨师大附中·二模）已知（） (1)设函数,讨论函数的单调性； (2)当,时,证明：. (3)当时,,求实数a的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增 (2)证明见解析 (3) 【分析】(1)分和两种情况讨论的正负，结合导数与原函数的单调性求解即可； （2）将问题转化为证明恒成立，，利用导数研究的单调性和最值即可证明结论； （3）分和两种情况讨论，当，将问题转化为恒成立，然后分、、三种情况利用导数研究的单调性和最值即可求解. 【详解】（1）由题意，，定义域为求导得： ， 当时，恒成立，因此在上单调递增， 当时，当 时，，，单调递减； 当时，，单调递增， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）当时，， 当时，，故， 所以要证， 即证明：， 即证 即证， 令， 则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，取得最大值， 因此对任意，，即，原不等式得证. （3）原不等式 ， 当时，当时，， 所以，不合题意； 当时， 原不等式 ， 设， 则， 令， ， ， 当时，，所以在单调递减， 所以，所以在单调递增，，不合题意； 当时，，所以，所以在单调递增， 所以，所以在单调递减，； 当时，令，得，所以， 所以在单调递减，所以， 所以在单调递增，，不合题意； 综上，实数a的取值范围为. 6．（2026·吉林长春六中·二模）已知函数在点处的切线方程为． (1)求实数的值； (2)设． （i）证明：存在唯一极小值； （ii）设的极小值点为，证明：． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii）证明见解析 【分析】（1）求出的导函数，根据切线的斜率为，及点在切线上列方程，求出的值； （2）（i）由（1）得，利用导数分析函数的单调性，即可证明存在唯一极小值；（ii）由（i）可得的取值范围，构造新函数，利用导数可分析新函数的取值范围，从而证明. 【详解】（1）因为在点处的切线方程为，即. 所以切线的斜率为，且当时，. 因为，所以， 所以，所以. （2）（i）因为，其定义域为. 所以. 令，得或， 设，所以在上恒成立，所以在上单调递减. 又，所以存在唯一，使． 故时，，单调递减， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 所以是函数的唯一极小值点，所以存在唯一极小值． （ii）因为的极小值点为，所以． 又，且在上单调递增，所以； 又，两边取自然对数得，即，即. 所以， 设， 则在上恒成立，故在上单调递减， 故，即．综上所述：． 导数与三角函数 考点9 1．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）已知函数，其中. (1)若函数是偶函数，求； (2)当时，讨论函数在上的零点个数； (3)若，，求的取值范围. 【答案】(1) (2)两个零点 (3) 【分析】（1）由偶函数的定理建立等式，求出； （2）代入，得到，写出，令后在求导.由解析式可知当时，恒成立.当时，，得到单调递增，由二分法知道在存在唯一零点.由此知道函数的单调区间，再由二分法得到函数零点. （3）当时，恒成立，所以当时，由，求出的范围.再将的范围分为，，三个范围，由三角函数的性质以及导函数判断函数单调性建立不等式，最后求出的范围. 【详解】（1）因为函数是偶函数，所以. 即， 解得：. （2）当时，. ，， 令，则. 当时，， 当时，，单调递增， 又，， 所以存在，使得. ，，单调递减，，，单调递增， 而，，，所以在上存在一个零点. 综上，函数在有两个零点. （3）当时，；当时，， 则或. （ⅰ）当时，，，成立； （ⅱ）当时， 若，则，单调递增， 所以； 若，则，，成立； （ⅲ）当时，若，则成立； 只要考虑，此时令， 则，递增，，， 所以存在，使得， 若，则，递减；若，则，递增. 所以，解得. 此时，所以，从而. 若，则函数，当时，显然成立，当时，因为,所以恒成立，即符合题意 综上，. 2．（2026·内蒙古包头·二模）已知函数. (1)讨论在上的单调性； (2)已知为的导数，若两个不相等的实数满足，求证：. 【答案】(1)在上单调递增 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，对的范围分为，以及，结合二次求导和导函数的正负，即可求解单调性， （2）先利用导数求证时，有，进而可证明，结合正弦函数的有界性即可求证. 【详解】（1）求导可得 （a）当时，，则，在单调递增 （b）当时，，则，在单调递增 （c）当时，设， 则，由于均在上单调递增，故在上单调递增， ， 则存在使得满足 则，单调递减，则，单调递增， ， 所以，则，在单调递增； 综上所述：在上单调递增. （2）由题意可得 不妨设，则 先证明当时，有，设， 则，所以在单调递减， ＝0，即当，有， 于是有 所以，故有，又，且不能同时取到等号， 故，从而. 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知为定义在上的奇函数且连续可导，令.当时，有. (1)讨论在区间上的单调性，并证明：当时，； (2)当时，解不等式：； (3)我们可以找到满足题意的一个函数.现在利用这个函数，重新构造函数，记，若实满足，证明：. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对求导，结合已知条件和的奇偶性，推导在上的符号，进而判断函数单调性； （2）原不等式等价于， 即，结合函数单调性证明即可； （3）求导分析在上单调性，结合题干可得，将证明，转化为证明.构造函数，求导分析单调性和极值即可. 【详解】（1）当时，， ∴为奇函数. 当时，， ∴，∴在上单调递增， ∵为奇函数，∴在上单调递增. 令，， ∴，∴在上单调递增， ∴，∴. （2）等价于 ， 即， ∵，∴，， 由（1）知在上单调递增，∴，即， 故原不等式的解集为. （3）由， 可得，整理得， ∵，∴在上单调递增， ，且，故. 要证，只需证， 只需证， 只需证， 即证. 令， ， 令，∴， 故在上单调递增， 所以，故在上单调递减， ， 即成立， 故. 4．（2026·吉林长春·质量监测(二)）在生态系统中，某种小型濒危动物的种群数量偏离平衡值的波动量（单位：千只）与时间（单位：月），满足函数，其波动呈现“往复波动，逐渐稳定”的特征． 定义：若函数在上满足：1．震荡性：在上无限次正负交替；2．衰减性：任意给定正实数，存在实数，使得当时，．则称为震荡衰减函数． (1)求在内的所有极值点，并说明在这些极值点处，波动量的增长速率是否为0（不必证明）． (2)根据定义判断函数在上是否为震荡衰减函数．如果是，给出证明；如果不是，说明理由． (3)设．求证：无最大值． 【答案】(1)在内的所有极值点皆为使得的点，波动量的增长率为0． (2)满足震荡性和衰减性，是震荡衰减函数，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导，即可令得解， （2）根据所给定义，结合三角函数的性质判断“震荡性”，根据指数函数的性质判断“衰减性”，即可求解， （3）先根据恒成立，以及，将问题转化为在上的最值情况，利用导数，以及三角函数的性质判断的单调性，即可求解． 【详解】（1）由函数，则． 在上，令，则和， 当，当时，， 则为极小值点，为极大值点，在内的所有极值点皆为使得的点，即在这些极值点处，波动量的增长率为0． （2）由（1）可知． 在上无限次正负交替，则满足震荡性： 又， 令．则，令． 当时，，则满足衰减性． 综上，满足震荡性和衰减性，是震荡衰减函数． （3），， 不难看出恒成立， 即若存在最大值点，则． 现研究在上的单调性 ①当时，, 由于，故故； ②当时，，； ③当时，， 其中为锐角，，即， 当时，，当时，， 综上，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 由， 而， 即在上无最大值点． 5．(2026·辽宁鞍山普通高中·二模)已知函数． (1)证明：当时，； (2)设在上的零点从小到大构成有穷数列． （i）求数列的项数； （ii）求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）2026（ii）证明见解析 【分析】（1）根据，整理得，构造函数；要证明时，，等价于证明，先对求导，分析在时候的正负性，判断的单调性； （2）（i）要找在上的零点情况，等价于求在的解的情况；分析在每个区间上解的情况，先对求导，判断在每个区间的单调性，再结合区间断点的函数值符号，确定各个区间内解的个数，最后统计上的总零点数。 （ii）根据（i）中在各个区间的单调性，估算出各个区间的零点的取值范围，，得，利用放缩思想推导求和的下限。 【详解】（1）令，则 当时，，， ，则在单调递增，此时 当时， ，即 ，则，即 当时，. （2）（i）由，得，即 等价于 ， 当时，，，即在上单调递减； 当时， ，即在上单调递增； 当时，，， 则在上恰有1个解，即在上有2025个解； ，在上单调递减， 在上无解； 是一个解，在上无解，在上有2025个解，则共有2026个解； 在上的零点从小到大构成有穷数列项数为2026。 （ii）由，得 ， ，，则 即，整理得 由（i）可得：，， ，即 则 即 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数与导数 指对幂函数 考点1 1 2 3 4 5 6 D C A D D B 函数的性质 考点2 1 2 3 4 5 6 7 B A A A D BCD BCD 8．4. 9． 10． 函数的根与零点 考点3 1．C 2．C 3． 函数的应用 考点4 1．A 2．D 导数的几何意义 考点5 1 2 3 4 5 D A D D ABD 6． 7． 8．/ 9．1或 10．或 极值与最值零点 考点6 1 2 3 4 C A B AC 1．C 2．A 3．B 4．AC 5． 恒成立问题 考点7 1．D 2．【详解】（1）当时，，函数定义域为 故， 又，所以切线方程为. （2）由题意得 若不存在单调增区间，则恒成立，即恒成立， 令， 当时，当时 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以即 因此所求实数的取值范围为. （3）由（2）知 所以在单调递减，又，， 所以必存在正数，使得，即 由（2）知当时，即，当时，即， 当时，即， 由上可知在单调递增，在单调递减， 所以， 所以，即， 令 因为 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以， 所以的最小值为 3．【详解】（1）由题知： 若，，在上单调递增     若，令解得： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 综上， 当，的递增区间是，没有单调递减区间， 若，的递增区间是，递减区间是； （2）依题意，时，恒成立，即在上恒成立， 令 ，则 = ， 令，由（1）知函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 则有，即， 即当时，则，当时，则， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取最小值，于是得， 所以的取值范围为. 4．【详解】（1）函数有两个不同的零点， 所以，即有两个不同的解， 令，由得， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以， 当时，；当时， 所以. 注：函数的图像如下， （2）因为有两个不同的零点， 由题知，且，即， 相减得到： 因为恒成立，即恒成立， 所以恒成立. 设，则时，不等式恒成立， 因为进而得在时恒成立， 设， 则， 即， 又因为且，则，所以当时，， 即，故在单调递增， 因为，所以恒成立，故满足题意. 当时，若，由，则在单调递减， 所以当时，与题设不符. 综上所述，正数的取值范围. （3）令，则 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减. 所以为极小值点，即最小值点，所以 即当且仅当时等号成立. 由（2）知：，进一步取，则； 不妨假设 则 故 进一步： 另外： 又 ， 当且仅当时等号成立 则. 即. 导数综合问题 考点8 1．【详解】（1）， ①当时，恒成立，故在上递增； ②当时，在上递增，在上递减； ③当时，在上递减． （2）因为在定义域内单调递减，所以． 不妨设，那么有， 于是不等式等价于，， 设，则，即在上递减， 故对恒成立，也即对恒成立， 令，则，故， 当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围为. 2．【详解】（1）当时，，其定义域为， 可得，则且，即切点坐标为，斜率为， 所以曲线在点处的切线方程，即. （2）解：由函数，其定义域为， 且，令， 令，即，可得， 解得， 由（舍去），， 当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减， 所以函数的单调递增区间为，递减区间为. （3）解：由不等式，可得， 当时，，满足； 当时，不等式可化为 令，可得， 令，可得， 令，可得， 当时，可得，在上单调递增； 当时，可得，在上单调递减， 因为， 所以存在，使得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减， 又由， 所以当时，，所以单调递增， 所以，则； 可得， 令，可得， 所以在上单调递增，所以， 综上可得，当时，不等式，即恒成立， 所以实数的取值范围为 3．【详解】（1）由，，得， 因为恒成立，所以令，解得或， 当或时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的单调增区间为，单调减区间为； 由，，得， 令，解得或， 当或时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的单调增区间为，单调减区间为； （2）， 则， 令，解得或或（）. 当时，，恒成立， 则当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以只有1个极小值点； 当时，，恒成立， 则当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以只有1个极小值点； 当时，， 当或时，，则单调递减， 当或时，，则单调递增， 此时有3个极值点； 当时，， 当或时，，则单调递减， 当或时，，则单调递增， 此时有3个极值点； 综上，当或时，有一个极值点；当或时，有3个极值点. （3）由，结合的任意性， 可得，则有， 所以有， 即， 设，， 则，所以在上单调性相同. 由，则， 令，解得或， 其中， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以的单调减区间为，单调增区间为； 由，则， 因为恒成立，所以令，解得或， 当或时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的单调增区间为，单调减区间为； 要使与在上单调性相同， 分以下情况讨论： ①当时，在上，函数存在递增区间，而单调递减， 故不满足题意； ②当时，在上，函数与均单调递减， 且对任意，， 故满足题意； ③当时，， 函数均在上单调递减，在上单调递增， 又不恒为0，即不恒为常数， 故存在（），使得，且， 若，则当时， ，且， 故存在，使得， 故不满足题意； 同理可得，若，当时， ，且， 故存在，使得， 故也不满足题意； ④当时，在上，函数与均单调递增， 对任意，， 故满足题意. 综上所述，t的取值范围是. 4．【详解】（1）当时，，， 由题意可知，，即在区间上恒成立， 设函数，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，所以，即. （2）当时，，， 假设在点和点处存在“自公切线”l， 则l的斜率，， 即， 同时， 故，即 不妨设，令，， 则， 所以在区间上单调递减，，故不成立， 所以当时，曲线不存在“自公切线”. （3）因为，所以为偶函数， 又由（2）可得，当时，曲线不存在“自公切线”， 所以当时，曲线也不存在“自公切线”． 假设在点和点处存在“自公切线”l， 则和只可能一正一负，不妨设，， 则l的斜率， 即 同时， 所以， 所以或，即或， ①当时，因为，所以， 所以，令，则， 当时，，在上单调递增，， 所以函数没有零点，此时没有满足题意的，即没有“自公切线”； 当时，时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以， 因为，且时，， 当，即时，，没有零点，即没有“自公切线”； 当，即时，，有一个零点，即有一条“自公切线”； 当，即时，，有两个零点，即有两条“自公切线”． ②当时，，又，所以， 因为，所以， 所以， 设函数，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 且，，， 所以当，即时，有一个解，即有一条“自公切线”； 当，即时，有两个解，即有两条“自公切线”； 当或，即或时，无解，即没有“自公切线”． 又因为当时， 在情况①中，，； 在情况②中，，； 所以当时，与同时成立，有且只有一条“自公切线”． 综上所述，若曲线有且只有两条“自公切线”，实数a的取值范围是. 5．【详解】（1）由题意，，定义域为求导得： ， 当时，恒成立，因此在上单调递增， 当时，当 时，，，单调递减； 当时，，单调递增， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）当时，， 当时，，故， 所以要证， 即证明：， 即证 即证， 令， 则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，取得最大值， 因此对任意，，即，原不等式得证. （3）原不等式 ， 当时，当时，， 所以，不合题意； 当时， 原不等式 ， 设， 则， 令， ， ， 当时，，所以在单调递减， 所以，所以在单调递增，，不合题意； 当时，，所以，所以在单调递增， 所以，所以在单调递减，； 当时，令，得，所以， 所以在单调递减，所以， 所以在单调递增，，不合题意； 综上，实数a的取值范围为. 6．【详解】（1）因为在点处的切线方程为，即. 所以切线的斜率为，且当时，. 因为，所以， 所以，所以. （2）（i）因为，其定义域为. 所以. 令，得或， 设，所以在上恒成立，所以在上单调递减. 又，所以存在唯一，使． 故时，，单调递减， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 所以是函数的唯一极小值点，所以存在唯一极小值． （ii）因为的极小值点为，所以． 又，且在上单调递增，所以； 又，两边取自然对数得，即，即. 所以， 设， 则在上恒成立，故在上单调递减， 故，即．综上所述：． 导数与三角函数 考点9 1．【详解】（1）因为函数是偶函数，所以. 即， 解得：. （2）当时，. ，， 令，则. 当时，， 当时，，单调递增， 又，， 所以存在，使得. ，，单调递减，，，单调递增， 而，，，所以在上存在一个零点. 综上，函数在有两个零点. （3）当时，；当时，， 则或. （ⅰ）当时，，，成立； （ⅱ）当时， 若，则，单调递增， 所以； 若，则，，成立； （ⅲ）当时，若，则成立； 只要考虑，此时令， 则，递增，，， 所以存在，使得， 若，则，递减；若，则，递增. 所以，解得. 此时，所以，从而. 若，则函数，当时，显然成立，当时，因为,所以恒成立，即符合题意 综上，. 2．【详解】（1）求导可得 （a）当时，，则，在单调递增 （b）当时，，则，在单调递增 （c）当时，设， 则，由于均在上单调递增，故在上单调递增， ， 则存在使得满足 则，单调递减，则，单调递增， ， 所以，则，在单调递增； 综上所述：在上单调递增. （2）由题意可得 不妨设，则 先证明当时，有，设， 则，所以在单调递减， ＝0，即当，有， 于是有 所以，故有，又，且不能同时取到等号， 故，从而. 3．【详解】（1）当时，， ∴为奇函数. 当时，， ∴，∴在上单调递增， ∵为奇函数，∴在上单调递增. 令，， ∴，∴在上单调递增， ∴，∴. （2）等价于 ， 即， ∵，∴，， 由（1）知在上单调递增，∴，即， 故原不等式的解集为. （3）由， 可得，整理得， ∵，∴在上单调递增， ，且，故. 要证，只需证， 只需证， 只需证， 即证. 令， ， 令，∴， 故在上单调递增， 所以，故在上单调递减， ， 即成立， 故. 4．【详解】（1）由函数，则． 在上，令，则和， 当，当时，， 则为极小值点，为极大值点，在内的所有极值点皆为使得的点，即在这些极值点处，波动量的增长率为0． （2）由（1）可知． 在上无限次正负交替，则满足震荡性： 又， 令．则，令． 当时，，则满足衰减性． 综上，满足震荡性和衰减性，是震荡衰减函数． （3），， 不难看出恒成立， 即若存在最大值点，则． 现研究在上的单调性 ①当时，, 由于，故故； ②当时，，； ③当时，， 其中为锐角，，即， 当时，，当时，， 综上，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 由， 而， 即在上无最大值点． 5．【详解】（1）令，则 当时，，， ，则在单调递增，此时 当时， ，即 ，则，即 当时，. （2）（i）由，得，即 等价于 ， 当时，，，即在上单调递减； 当时， ，即在上单调递增； 当时，，， 则在上恰有1个解，即在上有2025个解； ，在上单调递减， 在上无解； 是一个解，在上无解，在上有2025个解，则共有2026个解； 在上的零点从小到大构成有穷数列项数为2026。 （ii）由，得 ， ，，则 即，整理得 由（i）可得：，， ，即 则 即 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数与导数 9大考点概览 考点01指对幂函数 考点02函数的性质 考点03函数的根与零点 考点04函数的应用 考点05导数的几何意义 考点06极值与最值零点 考点07恒成立问题 考点08导数综合问题 考点09导数与三角函数 指对幂函数 考点1 1．（2026·哈尔滨三中·二模）若函数，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 2．（2026·辽宁省名校协作体·二模）函数，若，则的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D．16 3．（2026·辽宁省名校协作体·二模）设，若存在实数，，，满足，且，则的范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·内蒙古包头·二模）设函数，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2026·吉林长春·质量监测(二)）已知实数，若且，则（   ） A．9 B．21 C．27 D．30 6．（2026·辽宁大连·二模）已知，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 函数的性质 考点2 1．（2026·黑龙江大庆·二检）已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则（    ） A．4 B．2 C．0 D． 2．（2026·内蒙古包头·二模）已知函数是周期为的奇函数，且当时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·吉林白山·二模）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞) 4．（2026·内蒙古兴安盟·二模）已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，，，则（ ） A．8 B． C．12 D． 5．（2026·吉林G35联合体·二模）已知函数的图象关于直线对称，且在上单调递减，若，，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．(2026·辽宁鞍山普通高中·二模)（多选）已知是定义在上的函数，若，则（   ） A．当函数均有零点时，也有零点 B．当函数均为增函数时，也为增函数 C．当函数均为偶函数时，也为偶函数 D．当函数均为周期函数且有相同周期时，也为周期函数 7．（2026·吉林梅河口五中·二模）（多选）定义在上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的有（   ） A．当时， B．的图象在处的切线方程为 C．的图象与的图象所有交点的横坐标之和为10 D．的图象与直线恰有一个公共点，则实数 8．（2026·内蒙古包头·二模）已知是偶函数，则__________. 9．（2026·辽宁沈阳·质量监测(二)）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则_______. 10．（2026·吉林长春·质量监测(二)）已知函数，若，则的取值范围是___________． 函数的根与零点 考点3 1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁大连·二模）若关于的方程有两相异实根，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁辽阳·二模）已知表示不超过的最大整数，，若在区间恰有两个零点，则t的取值范围是______． 函数的应用 考点4 1．（2026·吉林G35联合体·二模）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度（单位：）关于时间（单位：）的函数解析式为（为参数）.已知刚开始退潮时水面高度为，若从到，水面高度下降了，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（2026·东北三省三校·二模）人工智能（AI）领域中，神经网络是用于模仿神经元，用来学习规律做预测和识别的数学模型.神经网络中的激活函数能把线性输入变成非线性输出.是最常用的激活函数,下面关于表述错误的是（   ） A． B． C． D． 导数的几何意义 考点5 1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）在点处的切线方程是，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．（2026·辽宁辽阳·二模）函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·吉林白山·二模）已知，，直线与曲线相切，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 4．（2026·辽宁省名校协作体·二模）已知直线与函数的图象相切，若，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·辽宁沈阳·质量监测(二)）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．曲线在处的切线与直线垂直 B．若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 C．曲线的切线的倾斜角取值范围是 D．若过点可以作曲线的三条切线，则 6．（2026·黑龙江大庆·二检）已知，若直线与曲线相切，则___________. 7．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）若曲线在处的切线与直线垂直，则实数_____. 8．（2026·吉林梅河口五中·二模）已知直线l： 与曲线和 都相切，则 _______. 9．（2026·哈尔滨三中·二模）若直线是曲线和曲线的公切线，则实数______． 10．（2026·吉林G35联合体·二模）若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则_______． 极值与最值零点 考点6 1．（2026·内蒙古兴安盟·二模）函数的极小值点是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·东北三省三校·二模）若函数的极大值为1，则函数的极小值为（ ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁大连·二模）已知函数，若，则的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 4．(2026·辽宁鞍山普通高中·二模)（多选）已知函数，则（   ） A．是函数的一个极值点 B．是函数的一个极值点 C．直线是曲线在处的切线 D．直线是曲线在处的切线 5．（2026·东北三省三校·二模）函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是__________. 恒成立问题 考点7 1．（2026·吉林白山·二模）函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁省名校协作体·二模）已知函数，其中． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； (3)若R，对任意的恒成立，求的最小值． 3．（2026·内蒙古包头·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 4．（2026·黑龙江大庆·二检）已知函数有两个不同的零点，分别记为，且. (1)求实数的取值范围； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)有两组正实数，且.证明：. 导数综合问题 考点8 1．（2026·哈尔滨三中·二模）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在定义域内单调递减，并且对任意正数都有，求实数的取值范围． 2．（2026·内蒙古兴安盟·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)当时，，求实数的取值范围. 3．（2026·吉林G35联合体·二模）已知函数，． (1)求，的单调区间； (2)已知，函数，讨论的极值点的个数； (3)若，，求t的取值范围． 4．（2026·辽宁大连·二模）定义：若存在，，使得曲线在点和点处有相同的切线l，则称切线l为曲线的“自公切线”.已知函数． (1)若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围； (2)证明：当时，曲线不存在“自公切线”； (3)若曲线有且只有两条“自公切线”，求实数a的取值范围． 5．（2026·哈尔滨师大附中·二模）已知（） (1)设函数,讨论函数的单调性； (2)当,时,证明：. (3)当时,,求实数a的取值范围. 6．（2026·吉林长春六中·二模）已知函数在点处的切线方程为． (1)求实数的值； (2)设． （i）证明：存在唯一极小值； （ii）设的极小值点为，证明：． 导数与三角函数 考点9 1．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）已知函数，其中. (1)若函数是偶函数，求； (2)当时，讨论函数在上的零点个数； (3)若，，求的取值范围. 2．（2026·内蒙古包头·二模）已知函数. (1)讨论在上的单调性； (2)已知为的导数，若两个不相等的实数满足，求证：. 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知为定义在上的奇函数且连续可导，令.当时，有. (1)讨论在区间上的单调性，并证明：当时，； (2)当时，解不等式：； (3)我们可以找到满足题意的一个函数.现在利用这个函数，重新构造函数，记，若实满足，证明：. 4．（2026·吉林长春·质量监测(二)）在生态系统中，某种小型濒危动物的种群数量偏离平衡值的波动量（单位：千只）与时间（单位：月），满足函数，其波动呈现“往复波动，逐渐稳定”的特征． 定义：若函数在上满足：1．震荡性：在上无限次正负交替；2．衰减性：任意给定正实数，存在实数，使得当时，．则称为震荡衰减函数． (1)求在内的所有极值点，并说明在这些极值点处，波动量的增长速率是否为0（不必证明）． (2)根据定义判断函数在上是否为震荡衰减函数．如果是，给出证明；如果不是，说明理由． (3)设．求证：无最大值． 5．(2026·辽宁鞍山普通高中·二模)已知函数． (1)证明：当时，； (2)设在上的零点从小到大构成有穷数列． （i）求数列的项数； （ii）求证：． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $