1.3 等式的性质2与解方程（导学案）-2025-2026学年五年级下册数学苏教版

《等式的性质（二）与解方程》导学案 ——苏教版数学五年级下册 第一单元 简易方程 第3课时 【学习内容】 苏教版五年级数学下册教材第4～5页，例5、例6及相关“练一练”。 【学习目标】 1. 通过观察天平图例，理解“等式两边同时乘或除以同一个不是0的数，所得结果仍然是等式”，并能用语言清晰表达。 2. 学会运用等式的性质（二）解只含有乘、除法运算的简单方程（如 4x=20、x÷3=5 等），掌握完整的解题格式。 3. 在列方程解决简单实际问题的过程中，初步体会方程的模型价值，增强分析和解决问题的能力。 【学习重点】 理解并掌握“等式两边同时乘或除以同一个不是0的数，结果仍然是等式”这一性质，并运用该性质解方程。 【学习难点】 明确“等式两边同时除以同一个数时，这个数不能是0”，并理解为什么要特别强调“除以一个不是0的数”。 【学法指导】 1. 观察操作：认真观察例5的天平图，用数学语言描述平衡变化，类比得出等式性质。 2. 对比归纳：将等式的性质（一）和性质（二）进行对比，建立完整的等式性质体系。 3. 规范书写：解方程时注意“解”字和冒号的使用，等号对齐，养成检验习惯。 一、课前预习 预习要求：认真阅读教材P4～5，观察例5和例6，思考以下问题。 预习思考题： 1. 例5第一组天平图中，天平左边放了一个x克的物体，右边放了什么？天平为什么仍然平衡？由此可以得出等式两边同时（　）同一个数，结果仍然是等式。 2. 例5第二组天平图中，原来左边有3个x克的物体，右边有60克砝码。把左右两边都平均分成3份后，每份分别是多少？由此可以得出等式两边同时（　）同一个不是（　）的数，结果仍然是等式。 3. 例6中方程 x÷6=18，应该把等式两边同时（　）多少来解？为什么？ 4. 为什么等式性质（二）中要特别强调“除以同一个不是0的数”？ 二、新知讲授 知识点一：等式的性质（二） 知识要点： 1. 等式的性质（二）：等式两边同时乘同一个数，所得结果仍然是等式。 2. 等式的性质（一）回顾：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。 3. 等式的性质（二）注意点： （1）等式两边同时除以同一个数时，这个数不能是0（除数不能为0） （2）完整表述：“等式两边同时乘或除以同一个不是0的数，所得结果仍然是等式” （3）零的特殊性：等式两边同时乘0，得到0=0（仍是等式），但除以0无意义 4. 两个性质对比记忆： 性质 操作 特殊限制 性质（一） 加上或减去同一个数 无 性质（二） 乘或除以同一个数 除以时，数≠0 例题 1（基础）——等式性质的判断 题目：（2024·无锡育英实验小学期中）根据等式的性质，下列变形正确的是（　） A. 若 4x=5，则 4x÷4=5×4 B. 若 3x=2，则 3x×2=2÷2 C. 若 2x=6，则 2x÷2=6÷2 D. 若 5x=10，则 5x÷5=10×5 【解析】 等式性质（二）：等式两边同时乘或除以同一个不是0的数，结果仍是等式。 A项：左边÷4而右边×4，两边不同时进行同样运算，✗； B项：左边×2而右边÷2，两边运算不一致，✗； C项：两边同时÷2，符合性质（二），✓； D项：左边÷5而右边×5，两边不一致，✗。 【答案】 C 变式训练 1-1 已知 8a=6b（a、b是非零自然数），根据等式的性质，下列等式不成立的是（　） A. 8a÷2=6b÷2　　B. 8a×4=6b×4　　C. 8a+10=6b+10　　D. 8a+6b=0 【答案】 D 变式训练 1-2 （2020·南京期末）在下面的□中填入恰当的运算符号和数，使等式变形符合等式的性质。 (1) x÷5=20 → x÷5（　）（　）=20×5 (2) 6x=42 → 6x÷（　）=42÷（　） 【答案】 (1) ×，5　(2) 6，6 变式训练 1-3 下面的说法中，正确的有（　）个。 ① 等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立。 ② 等式两边同时除以同一个数，等式仍然成立。 ③ 等式两边同时乘或除以同一个数（0除外），等式仍然成立。 ④ 如果 a=b，那么 a×c=b×c。 A. 2　　B. 3　　C. 4 【答案】 B 【解析】 ①正确（乘任何数都成立）；②错误，需排除除以0的情况；③正确（0除外）；④正确（c是任意数）。正确说法有3个（①③④）。故选B。 知识点二：运用等式的性质（二）解方程（形如 ax=b，x÷a=b） 知识要点： 形如 ax=b 的方程：等式两边同时除以 a（a≠0），使左边变成 x。 形如 x÷a=b 的方程：等式两边同时乘 a，使左边变成 x。 解方程的规范步骤： 1. 在题目下方另起一行，左上角写上“解：” 2. 运用等式的性质，将方程两边同时进行相同运算 3. 等号上下对齐 4. 求出未知数的值后用 x=□ 表示 5. 检验：把 x 的值代入原方程，检查左右两边是否相等（培养检验的好习惯） 例题 2（基础）——形如 ax=b 的方程 题目：（2024·苏州期末改编）解方程：5x=35。 【解析】 （1）明确这是一个只含有乘法运算的方程，需用等式的性质（二）中“两边同时除以同一个非0数”来解。 （2）等式两边同时除以5：5x÷5=35÷5 → x=7。 （3）检验：把 x=7 代入原方程，左边=5×7=35，右边=35，左边=右边，所以 x=7 是原方程的解。 【答案】 解：5x=35 　　　　5x÷5=35÷5 　　　　x=7 【方法总结】 解形如 ax=b 的方程，关键是两边同时除以 a，使 x 的系数变为1。检验是整个解方程过程的最后一步，也是经常被扣分的环节，绝不能省略。 变式训练 2-1 解方程：12x=96。 【答案】 解：12x=96 　　　　12x÷12=96÷12 　　　　x=8 【解析】两边同时除以12即可。检验：左边=12×8=96=右边。 变式训练 2-2 （2022·宿迁期末）如果 8x=32，那么 x=（　）。 【答案】 4 【解析】8x=32 x=32÷8 x=4。 变式训练 2-3 解方程并检验：4x=20。 【答案】 解：4x=20 　　　 　4x÷4=20÷4 　　　 　x=5 检验：把 x=5 代入原方程，左边=4×5=20，右边=20，左边=右边，所以 x=5 是原方程的解。 例题 3（基础）——形如 x÷a=b 的方程 题目：（2024·南通海安期中改编）解方程：x÷6=12。 【解析】 （1）这是一个只含有除法运算的方程，左边是 x÷6，值为12。要使左边只剩下 x，需要消去除以6。 （2）根据等式性质（二）：等式两边同时乘6。 　　x÷6×6=12×6 → x=72。 （3）检验：72÷6=12，正确。 【答案】 解：x÷6=12 　　　 　x÷6×6=12×6 　　　 　x=72 【方法总结】 解形如 x÷a=b 的方程，两边同时乘 a。口诀：“见到除以几，两边同乘它”。 变式训练 3-1 解方程：x÷4.5=2。 【答案】 解：x÷4.5=2 　　　　x÷4.5×4.5=2×4.5 　　 　　x=9 变式训练3-2 （2023·镇江期末）方程 x÷8=3 的解是（　），检验时：把解代入原方程，左边=（　），右边=（　），左边（　）右边，所以是原方程的解。 【答案】 x=24；3；3；= 【解析】x÷8=3 → x=24。检验：24÷8=3，左边=右边=3。 变式训练3-3 解方程：x÷5=7。 【答案】 解：x÷5=7 　　 　　x÷5×5=7×5 　　 　　x=35 知识点三：方程在实际问题中的初步应用 知识要点： 1. 列方程解决实际问题的基本步骤： （1）找：找出题目中的未知量，设为 x （2）析：分析数量间的相等关系 （3）列：根据相等关系列出方程 （4）解：运用等式的性质解方程 （5）验：检验结果是否符合题意（数值正确 + 符合实际） （6）答：写出答句 2. 常见数量关系举例： （1）每份数 × 份数 = 总数 → 如“每本x元，买4本共20元”可列 4x=20 （2）总数 ÷ 份数 = 每份数 → 如“x平均分成6份，每份12”可列 x÷6=12 （3）每份数 × 几倍 = 总数 → 如“篮球价格是羽毛球的8倍”可列方程 3. 关键词提示： （1）“一共”“总共” → 求和 （2）“平均” → 用乘除 （3）“倍数关系” → 列乘除方程 例题 4（中等）——列方程解决简单的倍数问题 题目：（2022·南京期末）一个篮球的价格是一个羽毛球价格的8倍，一个篮球72元，一个羽毛球多少元？ 【解析】 （1）设未知数：设一个羽毛球 x 元。 （2）找等量关系：篮球价格 = 羽毛球价格 × 8，即 72 = 8x 或 8x = 72。 （3）列方程：8x = 72。 （4）解方程：两边同时除以8：8x÷8=72÷8 → x=9。 （5）检验：一个羽毛球9元，其8倍为72元，正好等于篮球价格，符合题意。 【答案】 解：设一个羽毛球 x 元。 　　　 　8x = 72 　　　　8x÷8 = 72÷8 　　　 　x = 9 答：一个羽毛球9元。 变式训练 4-1 一本故事书有 x 页，小明每天看8页，看了5天刚好看完。这本书一共有多少页？（只列方程不计算） 【答案】 x÷8=5 或 x÷5=8 【解析】总数÷天数=每天看的页数 → x÷5=8；或总数=每天看的页数×天数 → x=8×5。方程形式为 x÷5=8。 变式训练4-2 （2023·盐城滨海期末）王老师买了4本同样的笔记本，一共花了48元。每本笔记本多少元？（列方程解答） 【答案】 解：设每本笔记本 x 元。 　　　　4x = 48 　　4x÷4 = 48÷4 　　　　x = 12 答：每本笔记本12元。 变式训练4-3 一个长方形的面积是72平方厘米，长是9厘米，宽是多少厘米？（根据长方形面积公式列方程解答） 【答案】 解：设宽是 x 厘米。 　　　　9x = 72 　　9x÷9 = 72÷9 　　　　x = 8 答：宽是8厘米。 例题 5（提优）——逆向思维列方程 题目：（2024·扬州期末改编）东东家养了若干只鸡和兔子，数头共有15个，数脚共有34只。鸡和兔各有多少只？（列方程解答） 【解析】 （1）分析：本题属于“鸡兔同笼”问题。若按常规思路列方程，可设兔有 x 只，则鸡有 (15−x) 只。每只兔有4条腿，每只鸡有2条腿。 （2）找等量关系：兔腿总数 + 鸡腿总数 = 脚的总数。列方程步骤：4x + 2(15−x) = 34。 （3）解方程（本题涉及两步运算，在第三课时可作为拓展）： 　　4x + 2(15−x) = 34 　　4x + 30 − 2x = 34 　　2x + 30 = 34 　　2x = 34 − 30 　　2x = 4 　　x = 2 （4）检验：兔腿=4×2=8条，鸡有 15−2=13 只，鸡腿=2×13=26条。8+26=34条，符合题意。 变式训练 5-1 箱子里有同样数量的乒乓球和羽毛球。如果每次取出5个乒乓球和3个羽毛球，那么取了几次后，乒乓球没有了，羽毛球还剩下6个。原来乒乓球和羽毛球各有多少个？（列方程解答） 【答案】 解：设取了 x 次。 乒乓球总数 = 5x，羽毛球被取出的个数 = 3x，羽毛球剩余 = 总数 − 3x = 5x − 3x = 6。 　　　　2x = 6 x = 3 原来乒乓球个数：5×3=15（个），羽毛球个数也是15个。 答：原来乒乓球和羽毛球各有15个。 变式训练 5-2 （2023·苏州期末）“夏至”是一年中白昼最长，黑夜最短的一天。这天苏州白昼的时间大约是黑夜的1.4倍，这天苏州的白昼时间大约是多少小时？（用方程解） 【答案】 解：设黑夜时间大约是 x 小时。 　　　　则白昼时间大约是 1.4x 小时。 　　　　x + 1.4x = 24 　　　　2.4x = 24 　　2.4x÷2.4 = 24÷2.4 　　　 　x = 10 　　　　白昼：1.4×10 = 14（小时） 答：这天苏州的白昼时间大约是14小时。 变式训练 5-3 两个工程队合修一条4.8千米长的水渠，12天完工。甲队每天修120米，乙队每天修多少米？（列方程解答） 【答案】 解：设乙队每天修 x 米。 　　　　4.8千米 = 4800米 　　　　(120 + x)×12 = 4800 　　　 　120 + x = 4800÷12 　　　 　120 + x =400 　　 　X=280 答：乙队每天约修280米 三、巩固练习（共14题） 基础巩固 1. 根据等式性质，在○里填上“+”“−”“×”或“÷”，在□里填上适当的数。 （1）4x=20 → 4x ○ □ =20÷4 （2）x÷6=8 → x÷6 ○ □ =8×6 2. （2024·镇江期末）下列用等式的性质解方程 3x=18 所用的性质，描述正确的是（　） A. 等式两边同时加同样的数 B. 等式两边同时减同样的数 C. 等式两边同时乘同一个不为0的数 D. 等式两边同时除以同一个不为0的数 3. 解下列方程。 （1）6x=30　　　（2）x÷5=4 4. （2023·淮安期末）填空：方程 5x=25 的解是 x=（　），把解代入原方程检验，左边=（　），右边=（　）。 5. 判断下列说法是否正确，对的打“√”，错的打“×”。 （1）如果 7x=35，那么 7x×2=35×2。（　） （2）等式两边同时除以同一个数，等式成立。（　） （3）方程 12x=96和解方程 x=96÷12 得到的结果相同。（　） （4）0 可以作除数。（　） 能力进阶 6. （2024·常州期末）解方程并检验：x÷7=3.5。 7. （2022·安徽亳州期末改编）列方程，并求解。 （1）一个数除以3，得12，求这个数。 （2）一个数的4倍是28，求这个数。 8. 学校买来5个足球，每个足球 x 元，一共付了225元。求每个足球多少元，列出方程并解答。 9. 在○里填上“>”“<”或“=”。 （1）当 x=8 时，4x÷2 ○ 16 （2）若 5x=40，则 x ○ 10 （3）由 6x=12 得 x=2，由此可知方程 6x÷2=6 的解也是 x=2。（填“成立”或“不成立”） 提优拓展 10. （2023·苏州吴江期末）小红买4节五号电池，付出8.5元，找回0.1元。设每节电池 x 元，列方程为（　），解得 x=（　）。 11. （2024·扬州期末改编）王凯家这个月的水费和电费共用去93元，其中电费是水费的6.5倍，电费和水费各用去多少元？（列方程解答） 12. 已知 6x=3y（x、y均不为0），根据等式的性质，比较大小：x ○ y（填“>”“<”或“=”）。 13. 一个数，先乘2再加10，结果是28。设这个数为 x，可列出方程（　），解这个方程得 x=（　）。（注：本课学的是等式的性质(二)，此题结果可用性质(一)检验） 14. 如果 8x=4.8，12y=7.2，求 3x−y 的值。 四、课堂小结 知识回顾： 1. 等式的性质（二）：等式两边同时乘或除以同一个不是0的数，所得结果仍然是等式。 2. 运用等式的性质（二）可以解只含有乘、除法运算的简单方程： （1）ax=b → 两边同时÷ a（a≠0） （2）x÷a=b → 两边同时× a 3. 解方程的注意事项：要写“解”字，等号要上下对齐，解完要进行检验。 4. 列方程解决实际问题的思路：设未知数 → 找等量关系 → 列方程 → 解方程 → 检验 → 作答。 自我评价： 五、课外拓展 挑战题：小明在解方程时遇到了一个问题：“x×1.5÷3+4=10”，你能先说说每一步应该怎么做，再求出 x 吗？（提示：可从等式性质入手，一步一步还原） 解题思路：逆推法。先把“+4”看作最后一步运算，用等式性质（一）去掉+4，再逐步用性质（二）处理乘除运算，直至求出 x。 解题过程为：x×1.5÷3=10−4=6， x×1.5=6×3=18， x=18÷1.5 x=12。 方程为 x×1.5÷3+4=10 x×1.5÷3=6 x×1.5=18 x=12。 检验：12×1.5=18，18÷3=6，6+4=10，左右相等。 教师寄语： 等式的性质是解方程的“金钥匙”，掌握好它，再复杂的方程也能一步步攻克。希望同学们不仅会“做题”，更能理解“为什么这样解”，在方程的世界里越学越自信！ 六、答案解析 1. （1）4x ÷ 4 =20÷4　（2）x÷6 × 6 =8×6 2. D。解 3x=18 用到的等式性质是两边同时除以3（不为0的数）。 3. （1）6x=30 → x=5；（2）x÷5=4 → x=20。 4. x=5；25；25 5. （1）√（两边同时×2）； （2） ×（必须强调除数≠0）； （3）√；（4）×（0不能作除数） 6. x÷7=3.5 → x=24.5。检验：24.5÷7=3.5，正确。 7 （1）x÷3=12 → x=36；（2）4x=28 → x=7 8. 5x=225 → x=45。答：每个足球45元。 9. （1）4×8÷2=16，16=16，填“=”； （2）5x=40 → x=8，8<10，填“<”； （3）6x÷2=3x=6 → x=2，成立。 10. 4x+0.1=8.5 或 8.5−4x=0.1；x=2.1 11. 设水费为 x 元，则电费为 6.5x 元。x+6.5x=93 → 7.5x=93 → x=12.4。电费=6.5×12.4=80.6元。答：水费12.4元，电费80.6元。 12. 由 6x=3y，两边同时÷3得 2x=y，故 y=2x，所以 x < y。 13. 2x+10=28 → 2x=18 → x=9 14. 8x=4.8 → x=0.6；12y=7.2 → y=0.6。3x−y=3×0.6−0.6=1.2。 学科网（北京）股份有限公司 $