18.1 矩形（第3课时 直角三角形斜边上的中线的性质）（教学课件）数学新教材华东师大版八年级下册

18.1 矩形 第3课时 直角三角形斜边上的 中线的性质 第十八章 矩形、菱形与正方形 章节导读 18.1矩形 18.2菱形 菱形的判定定理1 菱形的定义与性质定理 矩形的性质定理的应用 矩形的定义与性质定理 菱形的性质定理的应用 菱形的判定定理2 正方形的性质 18.3正方形 矩形的判定定理 矩形的判定定理的应用 直角三角形的性质 2 学 习 目 标 1 2 3 理解并能推导直角三角形斜边上中线的性质； 通过性质与逆命题的对比学习，体会数学知识的对称性与内在联系； 利用直角三角形斜边上中线的性质解决问题。 复习回顾 矩形的性质与判定定理： 矩形的性质 矩形的判定 1.矩形是有一个角为直角的平行四边形； 2. 矩形的四个角都是直角； 3. 矩形的对角线相等. 1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2. 有三个角是直角的四边形是矩形； 3. 对角线相等的平行四边形是矩形. 4 新知探究 直角三角形斜边上的中线的性质 如图，在矩形中，两条对角线相等且互相平分。即。 A B C D O 如果沿着对角线剪开，两个图形有什么特点呢？同桌交流一下。 思考 A B C O 我们可以发现△是直角三角形， 从位置关系上看：是Rt△ 斜边上的中线。 那么数量关系上呢？用你的尺子量一量。 5 新知探究 直角三角形斜边上的中线的性质 经过测量，容易得到。 A B C O 你能进行推理证明这个结论吗？ 6 新知探究 直角三角形斜边上的中线的性质 如图，在 Rt ABC 中，BO 为斜边 AC 上的中线.求证：BO = AC. A B C O 证明：如图，延长 BO 至点 D，使 OD = OB，连结 AD 和 CD. 在四边形 ABCD 中， ∵ OA = OC， OB = OD， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 又∵∠ABC = 90°， ∴四边形 ABCD 是矩形. 从而 AC = BD，BO = BD = AC . 7 文字表述：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 几何语言：在 Rt△ABC 中，∠ABC ＝ 90°， BO 为斜边 AC 上的中线， ∴. 归纳总结 直角三角形斜边上的中线的性质 A B C O 8 新知探究 直角三角形斜边上的中线的性质的逆命题 试一试 写出上述结论的逆命题，试判断该逆命题是否成立？ 条件 结论 原命题 逆命题 如果一个三角形一边上的中线等于该边的一半. 那么这个三角形是一个直角三角形. 如果一个三角形是直角三角形. 那么这个三角形斜边上的中线等于该边的一半. 这个结论正确吗？ 9 新知探究 直角三角形斜边上的中线的性质的逆命题 如图 ，在△中，为斜边上的中线，， 求证：为直角三角形 . A B C D 分析:图中，CD = AD = BD .即边 AB 上的中线 CD 将整个三角形分成了两个等腰三角形,利用等腰三角形两底角相等的性质，容易证明∠ACD 与∠BCD 的和为 90°，即该三角形确实是一个直角三角形. 证明：∵是 中线， ∴ . 又∵， 故 ， 即 . ∴ . 在 中，， 且， ∴， ∴，即 ∴ ，即 为直角三角形. 10 文字表述：如果一个三角形一边上的中线等于该边的一半， 那么这个三角形是一个直角三角形. 几何语言：∵， ∴△为直角三角形. 归纳总结 A B C O 直角三角形斜边上的中线的性质的逆命题 11 典例分析 例1 如图，BN 、CM 分别是△ABC 的两条高，D 、E 分别是 BC、MN 的中点． （1）求证: DE ⊥ MN； （2）若 BC ＝ 26，MN ＝ 10，则 DE 的长为______.　 直角三角形斜边上的中线的性质 A B C D M E N （1）证明: 如图，连结 DM 、DN． ∵BN 、CM 分别是△ABC 的两条高， ∴CM ⊥ AB，BN ⊥ AC， ∴∠BMC ＝ ∠CNB ＝ 90° ∵D是BC 的中点，∴DM ＝ BC，DN ＝ BC． ∴DM ＝ DN ． ∵E 是 MN 的中点，∴DE ⊥ MN ．（等腰三角形三线合一） 12 典例分析 例 如图，BN 、CM 分别是△ABC 的两条高，D 、E 分别是 BC、MN 的中点． （1）求证: DE ⊥ MN； （2）若 BC ＝ 26，MN ＝ 10，则 DE 的长为______.　 直角三角形斜边上的中线的性质 A B C D M E N （2）解:在 Rt△BMC 中，MD是斜边 BC 的中线， ∴MD = BC = 13. 在Rt△MED中，ME = MN = 5 DE = = = 12. 12 13 归纳总结 直角三角形斜边上的中线的性质 利用直角三角形斜边上的中线的解题技巧 当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解． 在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题． 14 1.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，点 D 为斜边 AB 的中点，AC = 6，BC = 8，求 CD 的长. 随堂练习 基础过关(P122) 解: 在 Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝ 8， ∴ AB ＝ ＝ ＝10. ∵ 点 D 为斜边 AB 的中点， ∴ CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线， ∴ CD ＝ AB ＝ ×10 ＝ 5. A C B D 15 随堂练习 基础过关(P122) 2.在Rt△中，，，求和的度数. 解: 如图，设 AB 的中点为 D，连结 CD，则 AD ＝BD ＝ AB . 在 Rt△ABC 中，∠ACB ＝ 90°，CD 为斜边 AB 上的中线， ∴ CD ＝ AB. ∴ AD ＝ CD. A C B D 又∵ AB ＝2AC， ∴ AC ＝ AB. ∴ AD ＝CD ＝AC. ∴ △ACD 是等边三角形. ∴ ∠A ＝ 60°. ∴ ∠B ＝90°－∠A ＝ 90°－60° ＝ 30°. 16 随堂练习 3.在直角三角形中，两条直角边长分别为3cm和4cm，则斜边上的中线长为（　　）cm. A． B．2 C． D．3 能力提升 解：由勾股定理得： 直角三角形的斜边长， ∴斜边上的中线长为 17 随堂练习 能力提升 4.如图，在△ 中，是高，分别是的中点． (1) 若，求四边形的周长； (2) 求证：垂直平分 . （1）解：∵ 是 △的高，分别是 的中点， ∴， ， ∴四边形的周长： 18 随堂练习 能力提升 （2）证明：∵， ∴线段 的垂直平分线上， ∴ 垂直平分 . 4.如图，在△ 中，是高，分别是的中点． (1) 若，求四边形的周长； (2) 求证：垂直平分 . 19 随堂练习 能力提升 5.小明同学手中有一张矩形纸片ABCD，AD＝12 cm，CD＝10 cm，他进行了如下操作：第一步，如图①，将矩形纸片对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，将纸片展平． 第二步，如图②，再一次折叠纸片，把△ADN沿AN折叠 得到△AD′N，AD′交折痕MN于点E，则线段EN的长为(　　) A．8 cm B．cm C． cm D． cm B 20 随堂练习 能力提升 ∵四边形是矩形， ∴，cm. 由折叠的性质可得 cm， cm， ∴易得四边形是矩形． ∴cm. ∴ ∴ ∴.设 cm，则cm. 在Rt△中，根据勾股定理，可得， 即， 解得 ，即 cm. 21 课堂小结 直角三角形斜边上的中线 性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 判定 如果一个三角形一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是一个直角三角形． 感谢聆听! $