精品解析：湖北随州市第一中学2026届高三下学期考前预测数学试题

湖北随州市第一中学2026届高三第三次阶段性质量检测 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交并补运算即可结合选项逐一求解. 【详解】由题意可得,, 或， 对于A, 或，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，，故C错误， 对于D，，故D错误， 故选：B 2. 若（，i为虚数单位）为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意，， 由题意，得. 3. 若为抛物线上一点，则点 到其焦点的距离为（ ）. A. 4 B. 5 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先把点代入抛物线方程得出，结合抛物线定义及准线计算求解. 【详解】为抛物线上一点，则，即， 且抛物线的准线为， 则点 到其焦点的距离为. 故选：B. 4. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由正态曲线的对称轴得出，再由基本不等式得出最小值. 【详解】由随机变量，则正态分布的曲线的对称轴为， 又因为，所以，所以. 当 时，， 当且仅当，即时等号成立，故最小值为. 故选：B 5. 已知，是函数在定义域上的两个极值点，若，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，用韦达定理可以求得两根之和，两根之积，代入函数值化简即可. 【详解】由，则， 因为，是函数在定义域上的两个极值点，则，， 因为 ，代入，， 得， 解得. 故选：A 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 由 ， 所以. 7. 若，，，则 ， ，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，有，故函数 单调递增，得到大小关系. 【详解】由，， 令，有，故函数 单调递增， 由，有. 故选： . 【点睛】本题考查了利用函数单调性比较函数值大小，构造函数判断单调性是解题的关键. 8. 已知函数的定义域为，且满足，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值判断A，令 可判断C，令，结合条件求出函数周期可判断BD. 【详解】令，则，解得，故A正确； 令 ，则，即， 因为不恒为0，所以，且定义域为，故函数为奇函数，故C正确； 令，则，因为 不恒为0，且， 所以只能，从而，周期为4， 显然，故B错误D正确. 故选：B 二.多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某车间为了解加工的零件数x（单位：个）与加工时间y（单位：min）的关系，收集到5组观测数据（如下表所示）： 零件数x/个 10 20 30 40 50 加工时间y/min 67 74 80 86 93 假设加工时间 与加工的零件数满足的经验回归方程为，则（ ） A. B. 当时， 的预测值为102 C. 加工时间 的5个观测数据的分位数为80 D. 当加工的零件数时，加工时间 的残差为0.2 【答案】AD 【解析】 【分析】先求出，根据经验回归直线必过点可求得，即可判断A；得到经验回归方程为，进而结合预测值与残差的定义求解判断BD；根据百分位数的定义求解判断C. 【详解】由题意，， ， 因为经验回归直线必过点，即点， 则，解得，即，故A正确； 当时，，故B错误； 将加工时间 的5个观测数据从小到大排列为：， 由于，则分位数为，故C错误； 当时，， 则残差为，故D正确. 故选：AD 10. 已知函数，则（ ） A. 的周期是 B. 是的对称轴 C. 的最大值为2 D. 是的对称中心 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式化简，然后求得周期，最大值，判定AC；利用对称轴和对称中心的特性验证BD. 【详解】因为，最小正周期为，一般周期都是指最小正周期，故A正确； 因为，故是的对称轴，故B正确； ，故C错误； 因为，故点是的对称中心，故D正确. 故选：ABD. 11. 在长方体中，， ，， ，分别为棱 ，的中点，则（ ） A. B. 该长方体的外接球表面积为 C. 平面平面 D. 四棱锥的体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】以 为原点建立空间直角坐标系，通过向量点积判断垂直、体对角线求外接球表面积、向量平行判断平面平行、底面积与点面距计算体积，逐一验证选项. 【详解】以 为原点， 为轴、 为 轴、为 轴建立空间直角坐标系， ，，，，，，， ；，. 选项A，向量，，，故，A正确. 选项B，长方体体对角线长为， 外接球半径，表面积为，B错误. 选项C，平面内，，； 平面内，，， 所以， 因为平面平面，所以平面， 同理可得平面，由于，平面， 所以平面平面，C正确. 选项D，四棱锥的底面是矩形， 底面积为； ， 所以，所以， 由于平面， 所以平面，所以 到平面的距离为， 体积为，D正确. 故选：ACD 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若将5名男生和3名女生排成一排，则3名女生相邻的不同排法种数为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用捆绑法，结合排列数公式，即可求解. 【详解】将3名女生看成一个整体有种排法，再和其他5名男生排成一排有种排法，所以一共有种方法. 故答案为： 13. 已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量的模为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】由得到，再由投影向量的计算公式代入计算即可. 【详解】因为单位向量，满足， 可得：，也即 则， 则向量在向量上的投影向量的模为. 故答案为：1 14. 已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，（，）是双曲线C上的一点，直线与y轴交于点N，若，且，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设点在双曲线的第一象限，设，，根据，由勾股定理，求得，在中，由余弦定理，列出方程，求得，进而得到双曲线的离心率. 【详解】设点在双曲线的第一象限，由 轴为线段的中垂线，可得， 因为，所以， 由双曲线定义，可得， 设，，代入可得， 因为，可得，所以是直角三角形，且， 由勾股定理得，即， 即，解得或（舍去）， 所以， 在直角中，可得， 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 四.解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某工厂推出一款新产品，为了调查顾客对该新产品的满意程度，厂家分别对甲地的300名使用者和乙地的200名使用者进行问卷调查，统计并得到如下列联表： 甲地使用者 乙地使用者 合计 不满意 100 50 150 满意 200 150 350 合计 300 200 500 （1）根据小概率值的独立性检验，分析使用者的满意度是否与区域有关； （2）从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法随机抽取9名使用者，再从这9名使用者中随机抽取4人进一步调研，记4人中乙地人数为 ，求 的分布列和数学期望. 附录：. 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）认为使用者的满意度与区域无关 （2） 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）提出零假设，计算卡方值，将其与小概率值对应的临界值比较即得结果. （2）求出抽样比，确定所抽取的9名使用者中，甲地与乙地使用者的人数，依题意确定 的可能值，利用超几何分布概率公式求出相应的概率，列出分布列，计算数学期望即可. 【小问1详解】 零假设为：使用者的满意度与区域无关，代入列联表中的数据可得： 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立， 故可认为使用者的满意度与区域无关. 【小问2详解】 从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法，得到甲地使用者与乙地使用者的抽样比为 ， 则9名使用者中甲地6人､乙地3人. 因为4人中乙地人数为 ，所以 的可能取值为，其对应的概率分别为： ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 故数学期望为 16. 已知数列中，，且，为其前 项的和． （1）求数列的通项公式； （2）求满足不等式的最小正整数 的值； （3）设，，其中，若对任意 ，，总有成立，求 的取值范围． 【答案】（1） （2）14 （3） 【解析】 【分析】（1）构造等比数列的形式即可求解； （2）数列分组求和后代入已知条件即可求解； （3）恒成立转化为最值即可求解 【小问1详解】 因为，所以，所以 而，所以是以3为首项，为公比的等比数列； 所以，则. 【小问2详解】 ， 所以， 由得，则，所以 的最小值为14. 【小问3详解】 恒成立，所以， 因为，而， 所以，所以， 由得，所以，则有， 所以，解得， 因为，所以解得. 【点睛】注意构造新数列，分组求和，并将恒成立转化为最值问题. 17. 如图所示，在多面体中，为平面六边形，平面平面 ，平面⊥平面 ，，，与都是边长为2的等边三角形， ，，，， M，N，K分别为的中点． （1）求证：平面 ； （2）棱上是否存在点P，使得与平面成角？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：因为与均为等边三角形，且M，K分别为中点， 所以， 又平面⊥平面 ，平面平面，平面， 所以平面 ， 同理平面 ，所以； 又平面，平面，所以平面， 而平面平面，所以， 又平面 ，所以平面 （2）存在，． 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理进行证明； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的计算公式进行求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过E作于T，因为，，，，， 所以,,, 所以是等腰直角三角形， ，同理可得，所以， 又M，N，K 分别为中点，所以所以 由（1）知平面 ，所以， 即两两垂直，故以N为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以， 则，，，，， ， 所以， 设平面的法向量为，则， 不妨取，设，， 则， 因为与平面成角， 所以， 解得，所以存在点P，使得与平面成角，此时． 18. 已知中心在原点的椭圆C的一个焦点为，且过点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知，，在C上， ①若A是C与x轴的一个交点，B是C与y轴的一个交点，求的面积的最大值； ②记线段 中点为M， ，记的面积为，判断是否为定值，并说明理由. 【答案】（1） （2）①；②为定值，且定值为，理由如下： 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， 联立，得， 整理得，所以，， 因为线段 中点为M，所以，所以， 因为，所以，所以， 又在C上，所以， 整理得，所以， 又 ， 又点 到直线 的距离， 所以. 又因为线段 中点为M，所以， 又，所以，所以， 所以是否为定值，定值为； 当直线 的斜率不存在时，线段 的中点在轴上， 由对称性不妨取，此时，此时，； 综上所述：为定值，且定值为. 【解析】 【分析】（1）由题意，利用待定系数法可求椭圆C的标准方程； （2）①由椭圆的对称性，不妨取，设，利用点到直线的距离公式，结合辅助角公式可求的面积的最大值；②分直线 的斜率存在与不存在两种情况讨论，当存在时，设直线 的方程为 ，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，结合三角形面积公式可得，利用，可得结论. 【小问1详解】 因为椭圆C的一个焦点为，所以，所以， 所以可设椭圆的标准方程为， 又因为椭圆C过点，所以， 解方程可得或（舍去）. 所以椭圆C的标准方程为； 【小问2详解】 ①由椭圆的对称性，不妨取， 则直线 的方程为，即， 设，则 到直线 的距离， 所以当时，，又， 所以的面积的最大值为； ②略 19. 已知函数，． （1）求在 处的切线方程； （2）当 时，，数列满足，且，证明：； （3）当时，恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 当 时，， 所以，则， 令，得；令，得； ∴在 上单调递减，在上单调递增，∴， ∵， 要证，即证， 又，，即证， 令，则， ∴在上为减函数，且， 因为， 又，∴， ∴，则， ∴，即， ∴成立，原式得证． （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，结合导数的四则运算即可得解； （2）先利用导数证得，再构造函数，利用导数证得，进而证得，从而得证； （3）构造函数，将问题转化为恒成立，利用导数，结合分类讨论即可得解. 【小问1详解】 ∵，∴， 所以，， ∴在 处的切线方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵恒成立，， 令，则， 所以当时，等价于恒成立． 由于，， （i）当时，，函数在上单调递增， 所以，在区间上恒成立，符合题意； （ii）当时，在上单调递增，． ①当，即时，， 函数在上单调递增， 所以在上恒成立，符合题意； ②当，即时，，， 若，即时，在上恒小于0， 则在上单调递减，，不符合题意； 若，即时，存在，使得， 所以当时，，则在上单调递减， 则，不符合题意． 综上所述， 的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北随州市第一中学2026届高三第三次阶段性质量检测 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若（，i为虚数单位）为纯虚数，则 （ ） A. B. C. D. 3. 若为抛物线上一点，则点 到其焦点的距离为（ ）. A. 4 B. 5 C. D. 6 4. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. D. 6 5. 已知，是函数在定义域上的两个极值点，若，则 的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若，，，则 ， ，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且满足，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 二.多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某车间为了解加工的零件数x（单位：个）与加工时间y（单位：min）的关系，收集到5组观测数据（如下表所示）： 零件数x/个 10 20 30 40 50 加工时间y/min 67 74 80 86 93 假设加工时间 与加工的零件数 满足的经验回归方程为，则（ ） A. B. 当时， 的预测值为102 C. 加工时间 的5个观测数据的分位数为80 D. 当加工的零件数时，加工时间 的残差为0.2 10. 已知函数，则（ ） A. 的周期是 B. 是的对称轴 C. 的最大值为2 D. 是的对称中心 11. 在长方体中，， ，， ， 分别为棱 ，的中点，则（ ） A. B. 该长方体的外接球表面积为 C. 平面平面 D. 四棱锥的体积为 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若将5名男生和3名女生排成一排，则3名女生相邻的不同排法种数为_________. 13. 已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量的模为__________. 14. 已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，（，）是双曲线C上的一点，直线与y轴交于点N，若，且，则双曲线的离心率为__________. 四.解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某工厂推出一款新产品，为了调查顾客对该新产品的满意程度，厂家分别对甲地的300名使用者和乙地的200名使用者进行问卷调查，统计并得到如下列联表： 甲地使用者 乙地使用者 合计 不满意 100 50 150 满意 200 150 350 合计 300 200 500 （1）根据小概率值的独立性检验，分析使用者的满意度是否与区域有关； （2）从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法随机抽取9名使用者，再从这9名使用者中随机抽取4人进一步调研，记4人中乙地人数为 ，求 的分布列和数学期望. 附录：. 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 16. 已知数列中，，且，为其前 项的和． （1）求数列的通项公式； （2）求满足不等式的最小正整数 的值； （3）设，，其中，若对任意 ，，总有成立，求 的取值范围． 17. 如图所示，在多面体中， 为平面六边形，平面平面，平面⊥平面，，，与都是边长为2的等边三角形， ，，，， M，N，K分别为的中点． （1）求证：平面； （2）棱上是否存在点P，使得与平面成角？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 18. 已知中心在原点的椭圆C的一个焦点为，且过点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知，，在C上， ①若A是C与x轴的一个交点，B是C与y轴的一个交点，求的面积的最大值； ②记线段 中点为M， ，记的面积为，判断是否为定值，并说明理由. 19. 已知函数，． （1）求在处的切线方程； （2）当 时，，数列满足，且，证明：； （3）当时，恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $