精品解析：湖北武汉市第十四中学2026届高三高考考前预测数学试题

2026年高考考前预测卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，且的元素个数是一个，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系求解即可. 【详解】由的元素个数是一个，且，得，则， 所以实数的取值范围是. 故选：C 2. 已知复数 满足，则在复平面内复数 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则化简可得 ，根据复数的几何意义即可求解. 【详解】由，得， 所以复平面内 对应的点为，所以在复平面内 对应的点位于第二象限. 故选：B. 3. 已知双曲线，顶点到渐近线的距离为，则离心率（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式得出，根据双曲线离心率的公式即可求解. 【详解】双曲线的顶点到渐近线的距离为， 即，又，则，即， 则离心率. 故选：A. 4. 已知函数有两条相邻的对称轴和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相邻的对称轴得到最小正周期，求出，代入，得到方程，求出答案. 【详解】两条相邻的对称轴和， 故 的最小正周期为，故， 故，， 故，解得， 因为，所以只有当 时，满足要求，其他均不合要求. 故选：B 5. 已知是定义在 上的偶函数，且，当时，，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据偶函数的定义可得：，进而根据已知条件求得函数的周期，最后借助函数周期性求解函数值即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以.又因为， 所以，所以，所以的周期为. 因为时，，所以. 故选：B. 6. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫作向量在坐标系xOy中的坐标.若，则（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据坐标系中向量的坐标规定，先求出的值，再将分别用，表示，计算出的表达式，最后利用向量模的定义求出. 【详解】依题意，， ，则， 则，故. 故选：C. 7. 若实数x、y、z满足，则x、y、z的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出 的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判断. 【详解】令，得， 在同一直角坐标系内作出函数的图象， 则 分别是函数， 的图象与直线交点的纵坐标， 设点的横坐标为，点的横坐标为，观察图象得当时，， 当时，，当时，， 所以ABD是可能的，C不可能. 8. 已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心坐标和半径，再根据弦长求出圆心到弦MN的距离，进而确定点的轨迹，最后根据点到直线的距离公式求出的最小值. 【详解】已知圆的方程为，将其配方可得. 可知该圆的圆心坐标为，半径.  因为点为线段MN的中点，根据垂径定理可知. 已知，则. 在中，根据勾股定理. 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.  已知点在直线上，可得圆心到直线的距离为： .  因为点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以的最小值等于圆心到直线的距离减去圆的半径，即 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2025年9月20日，四川省城市足球联赛（简称“川超”）开幕式暨揭幕战观众达21448人．为了解各年龄层对“川超”的关注程度，随机选取了200名年龄在的观众进行调查，并绘制如下的频率分布直方图，则（ ） A. B. 该场观众年龄众数的估计值为40 C. 该场观众年龄50%分位数的估计值为35 D. 该场观众年龄平均数的估计值为35 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，根据频率之和为1得到方程，求出；B选项，众数的估计值为；C选项，先确定50%分位数所在区间，设为，进而得到方程，求出答案；D选项，中间值作代表，求出平均数的估计值. 【详解】A选项，由题意得，解得，A正确； B选项，由频率分布直方图可知，年龄处于区间的观众频率最大， 故该场观众年龄众数的估计值为，B错误； C选项，由于，， 故该场观众年龄50%分位数处于中，设为， 则，解得， 所以该场观众年龄50%分位数的估计值为35，C正确； D选项，该场观众年龄平均数的估计值为 ，D错误. 故选：AC 10. 如图，四棱台中，底面是边长为4的菱形，，，则（ ） A. B. 平面 C. 若 ，则该四棱台的体积为 D. 平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据面面平行的性质定理证明线线平行，判断A的真假；根据线面平行的判定定理证明线面平行，判断B的真假；根据线面垂直的判定定理证明线面垂直，判断D的真假；利用台体的体积公式求台体体积，判断C的真假. 【详解】连结 ，交于点 ，连结， 由四棱台，得平面 平面， 又平面平面，平面面， 所以 ，A正确； 因为，所以， 因为 为 的中点，所以， 所以四边形为平行四边形， 故 ，又平面平面，所以 平面，B正确； 取的中点，连结， 由四棱台得， ， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以，所以， 因为，又，所以，因为 ，所以， 又 平面，所以平面，D正确； 因为 ，所以， 易得菱形的面积， 由四棱台且， 可得， 四棱台的体积： ，C错误. 故选：ABD 11. 已知抛物线E：的焦点为F，抛物线E的准线交x轴于点G，抛物线E上一点到点F的距离为6，点A，B是抛物线E上的两点（异于原点O），则下列说法正确的是（ ） A. B. 若中点M的纵坐标为2，则直线的斜率为2 C. 若，则直线恒过点 D. 若直线过点F，则直线，的斜率之和为0 【答案】ABD 【解析】 【分析】由点 到点F的距离根据抛物线定义可以求得，判断A选项；点差法即可得直线的斜率，判断B选项；利用数量积为0表示垂直关系，得到，根据斜率写出直线的方程，代入化简可得定点，判断C选项；根据直线的方程，代入点F可得，代入化简即可判断D选项. 【详解】对于A，由题意可知，点到点F的距离为，解得，故A正确； 则； 对于B，若中点M的纵坐标为2，则AB斜率存在， 设，则，两式作差得， 所以直线的斜率为，故B正确； 对于C，设， 若，则，， 当AB斜率存在时，直线：，过定点 ， 当斜率不存在时，，，过点 ， 故C错误； D选项，设，当斜率存在时，直线：， 代入点可得， 则， 当AB斜率不存在时， ，此时 ，D正确； 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等比数列的前项和，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设出等比数列的首项和公比，结合等比数列的求和公式计算. 【详解】设等比数列的公比为，又，所以（否则）， 所以， ，则，结合得到， 所以. 故答案为： 13. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的导函数，将切点的横坐标代入求出的是切线的斜率，利用点斜式得到的切线方程，这个切线方程就是曲线的切线方程，求的导函数，则这个等于切线的斜率，从中求出曲线的切线的切点的横坐标，将其代入切线方程，从而得到曲线的切线的切点，将这个切点代入得到值. 【详解】由，求导可得，将切点的横坐标代入， 得到切线的斜率，则切线方程为，即 ， 由，求导可得， 由曲线在点处的切线与曲线相切， 则曲线的切线为 ， 令，解得 ， 将 代入 ，可得，得到曲线上切线的切点为， 将代入，可得，解得． 故答案为:． 14. 已知不透明盒子中装有4个大小、形状、质地完全相同的小球，分别标注数字2，0，2，6，每次随机抽取1个球，记下标号后放回，摇匀后进行下一次抽取，共抽取4次，记 为抽到数字2，0，6的次数的最大值，则 的数学期望______． 【答案】 【解析】 【详解】由题设，每次抽取的概率为，抽取 的概率为，抽取的概率为. 可取， 当时，4次中有两个元素各出现两次，或者4次中三个都出现，其中有一个元素出现两次，其余两个元素各出现一次， 故， 当 时，4次中有一个元素抽到4次，故， 故， 故 的分布列如下： 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 人工智能技术（简称技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，并迅速在各行各业中得到应用和推广，教育行业也不例外．某市教体局为调查本市中学教师使用技术辅助教学的情况，随机抽取了该市120名中学教师，统计了他们一周内使用技术帮助制作课件的情况，并将一周内使用技术帮助制作课件的节次不少于4次的认定为喜欢使用技术，否则认定为不喜欢使用技术，经统计得到如下列联表． 年龄 是否喜欢使用技术 合计 是 否 不超过45岁 46 14 60 超过45岁 32 28 60 合计 78 42 120 （1）依据小概率值 的独立性检验，能否认为该市中学教师是否喜欢使用技术与年龄有关； （2）将频率视为概率，现从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，在抽中喜欢使用技术的教师的条件下，求此人年龄超过45岁的概率． 附：，其中 ． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）有关 （2） 【解析】 【小问1详解】 零假设该市中学教师是否喜欢使用技术与年龄无关， 而， 依据小概率值 的独立性检验，推断不成立， 即认为该市中学教师是否喜欢使用技术与年龄有关. 【小问2详解】 设事件为从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，抽中喜欢使用技术的教师， 事件为从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，此人年龄超过45岁， 由题意，， 则. 16. 已知等差数列的公差为成等比数列. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的性质和等比中项求出的通项公式; （2）利用裂项相消法求出数列的前项和. 【小问1详解】 因为成等比数列，所以， 所以，得 因为，所以． 又，解得， 所以 . 【小问2详解】 由（1）知 所以 . 17. 如图，在正四棱台中，为的中点，. （1）证明： ； （2）平面把四棱台分成两部分，体积分别是和，求的值； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明如下： 由题意知四边形为正方形，则 ， 将正四棱台还原为正四棱锥 ， 如图，作出符合题意的图形， 则 平面，又平面，得到 ， 因为 ， ， 平面， 所以平面，因为 平面， 所以 ，即 . （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合题意作出图形，利用线面垂直的判定定理得到平面，再利用线面垂直的性质证明即可. （2）利用割补法对原图形作出处理，再求解体积比即可. （3）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再结合面面夹角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 利用平面把棱台分成三棱锥和几何体， 设 ，由题意得， . 因为， 所以，，故. 【小问3详解】 以为原点， ， ， 所在直线分别为轴、轴、 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，， ，，， 所以，， ，， 设平面的法向量为， 则，可得， 取，则 ，，得到， 设平面的法向量为 ， 则，即， 令，则 ，，可得， 设平面与平面的夹角为 ， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，点是椭圆长轴上一个动点（不与椭圆中心O和顶点重合），过点作轴的垂线交椭圆于P，Q两点，直线 与椭圆交于另一点，直线与椭圆交于另一点． ①求 面积的最大值； ②直线是否过定点？若是，求出这个定点；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）① 面积的最大值为②直线MN过定点，定点为. 【解析】 【分析】（1）由点在椭圆上，再由离心率以及求解即可. （2）①设直线 方程为，与椭圆联立，由韦达定理求解，求解原点到直线距离为，再列出 面积求解即可. ②由题意可得，设： ，与椭圆联立，求解点，的坐标，列出直线的方程，化简求解即可. 【小问1详解】 因为椭圆过点， 所以，即 ， 因为椭圆的离心率为， 所以， 因为， 所以解得，所以， 故椭圆方程为 . 【小问2详解】 ①设：，，， 由，得到， ， 由韦达定理可得，， ， 设原点到直线距离为，则， 所以，令， 则，当且仅当 时，等号成立， 故 的最大值为. ②，所以： ， ，可得， 所以， 所以，同理可得，， 所以：， 整理可得，所以直线MN过定点，定点为. 19. 已知函数． （1）当 时，求在点处的切线方程； （2）当时，证明：对任意 ，都有； （3）证明：，. 【答案】（1） （2）对任意的 ，当时， ， 故只需证 对任意的 恒成立，整理得 ， 构造函数 ，其中 ， 则 ， 所以函数在 上为减函数，故当 时， ，即 ， 故对任意的 ， ， 故当时，对任意 ，都有 . （3）由（2）知，当时， ，即， 令 ，则， 因为 ，所以， 构造函数 ，其中，则， 当 时， ，即函数 在 上单调递减， 当 时， ，即函数 在 上单调递增， 所以 ，即 ，当且仅当时，等号成立， 令 ，得，即， 整理得 ， 则 ， 即 ， 所以 ， ， ， ， 累加得 ， 故 ，. 【解析】 【分析】（1）当 时，求出 、 的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）当对任意的 ，当时，要证 ，只需证明 ，变形为 ，构造函数 ，利用导数分析该函数的单调性，即可证得结论成立； （3）由（2）得出，令 ，可得出，证明出 ，令 ，可得出 ，结合不等式的性质得出 ，再利用累加法可证得结论成立. 【小问1详解】 当 时， ， 则 所以 ， ， 故当 时， 在点处的切线方程为 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前预测卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，且的元素个数是一个，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 已知复数 满足，则在复平面内复数 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知双曲线，顶点到渐近线的距离为，则离心率（ ） A. B. C. D. 2 4. 已知函数有两条相邻的对称轴和，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是定义在 上的偶函数，且，当时，，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 7 6. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫作向量在坐标系xOy中的坐标.若，则（ ） A. B. 3 C. D. 6 7. 若实数x、y、z满足，则x、y、z的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2025年9月20日，四川省城市足球联赛（简称“川超”）开幕式暨揭幕战观众达21448人．为了解各年龄层对“川超”的关注程度，随机选取了200名年龄在的观众进行调查，并绘制如下的频率分布直方图，则（ ） A. B. 该场观众年龄众数的估计值为40 C. 该场观众年龄50%分位数的估计值为35 D. 该场观众年龄平均数的估计值为35 10. 如图，四棱台中，底面是边长为4的菱形，，，则（ ） A. B. 平面 C. 若 ，则该四棱台的体积为 D. 平面 11. 已知抛物线E：的焦点为F，抛物线E的准线交x轴于点G，抛物线E上一点到点F的距离为6，点A，B是抛物线E上的两点（异于原点O），则下列说法正确的是（ ） A. B. 若中点M的纵坐标为2，则直线的斜率为2 C. 若，则直线恒过点 D. 若直线过点F，则直线，的斜率之和为0 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等比数列的前项和，若，则__________. 13. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则_______． 14. 已知不透明盒子中装有4个大小、形状、质地完全相同的小球，分别标注数字2，0，2，6，每次随机抽取1个球，记下标号后放回，摇匀后进行下一次抽取，共抽取4次，记 为抽到数字2，0，6的次数的最大值，则 的数学期望______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 人工智能技术（简称技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，并迅速在各行各业中得到应用和推广，教育行业也不例外．某市教体局为调查本市中学教师使用技术辅助教学的情况，随机抽取了该市120名中学教师，统计了他们一周内使用技术帮助制作课件的情况，并将一周内使用技术帮助制作课件的节次不少于4次的认定为喜欢使用技术，否则认定为不喜欢使用技术，经统计得到如下列联表． 年龄 是否喜欢使用技术 合计 是 否 不超过45岁 46 14 60 超过45岁 32 28 60 合计 78 42 120 （1）依据小概率值 的独立性检验，能否认为该市中学教师是否喜欢使用技术与年龄有关； （2）将频率视为概率，现从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，在抽中喜欢使用技术的教师的条件下，求此人年龄超过45岁的概率． 附：，其中 ． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 16. 已知等差数列的公差为成等比数列. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 17. 如图，在正四棱台中，为的中点，. （1）证明： ； （2）平面把四棱台分成两部分，体积分别是和，求的值； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，点是椭圆长轴上一个动点（不与椭圆中心O和顶点重合），过点作轴的垂线交椭圆于P，Q两点，直线 与椭圆交于另一点，直线与椭圆交于另一点． ①求 面积的最大值； ②直线是否过定点？若是，求出这个定点；若不是，请说明理由． 19. 已知函数． （1）当 时，求在点处的切线方程； （2）当时，证明：对任意 ，都有； （3）证明：，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $