提分小卷限时练03（解答ABC三组，综合训练）（山东专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦代数、几何、统计与函数综合，以现实情境为载体，整合跨章节知识，强化运算能力、推理意识与数据意识的二轮专题训练。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数基础|2题|化简、解不等式组、计算|从数与式运算到方程不等式，构建代数运算体系| |几何综合|4题|平行四边形证明、圆的切线、旋转综合|以三角形、四边形为载体，融合全等、相似与圆的性质，发展空间观念| |统计应用|3题|非遗/团史知识测试、柑橘重量统计|从数据收集到分析决策，体现数据意识与模型观念| |函数与几何综合|2题|抛物线与矩形、动点问题|代数表达与几何图形结合，培养抽象能力与推理能力|

提分小卷：解答题 限时训练03（A组+B组+C组） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16（8分）．化简、解不等式组： (1) (2) 17（8分）．如图，是的对角线，于点E，于点F，求证：． 18（8分）．2026年央视春晚中，铜梁龙舞（国家级非物质文化遗产）再次惊艳亮相．为了解某校学生对铜梁非遗的了解程度，学校组织了“铜梁非遗知识测试”（满分100分），从七、八年级各随机抽取10名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，分成四组：A．，B．．，D．），部分信息如下： 七年级10名学生的成绩：81，83，87，88，91，95，95，97，99，100． 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，92，92． 七、八年级抽取的学生测试成绩各统计量如下表： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 八年级抽取的学生成绩扇形统计图如图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：___________，___________，___________； (2)学校计划从成绩更好的年级中选拔学生参加“铜梁非遗宣讲团”，请判断应选择哪个年级，并说明理由． (3)已知该校七、八年级共有500名学生参加了本次测试，估计本次测试中成绩为优秀（）的学生总人数． 19（8分）．某环保监测员上午从湿地监测站出发，沿北偏西方向骑行到达鸟类观测点，观测50分钟后从处沿正南方向骑行一段距离，到达位于湿地监测站南偏西方向的水文监测点处，此时为上午，如图所示． (1)求该环保监测员从鸟类观测点骑行到水文监测点的途中，他与湿地监测站之间的最短距离； (2)上午，监测员完成工作后，若以20的平均速度从水文监测点骑行回湿地监测站，他能否在上午前到达？（参考数据：） 20（10分）．某校机器人社团正在备战全国青少年编程挑战赛，需采购编程练习用的高性能平板（型）和基础平板（型）．已知型平板的单价比型平板贵元．若采购台型平板比采购台型平板多花费元． (1)求型平板和型平板的单价； (2)若集训队共需配备台平板电脑，且总采购预算不超过元，则最多能采购型平板多少台？ 21（10分）．已知：如图，在中，，以为直径作，交于D，点E是中点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 22（10分）．在中，． (1)如图1，若，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，，求的度数： (2)如图2，若，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，．点是的中点，连接交于．用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若，将绕着点旋转得到线段，连接．当取最大值时，在直线上取一点，连接，将沿翻折到所在的平面内，得到，连接．当取最小值时，直接写出的值． 23（13分）．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，并且与轴交于另一点（点在点的右侧），点是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，设点的横坐标为，请用含的代数式表示出的长度； (3)在（2）的条件下，当三角形的面积为6时，求点的坐标． （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16（8分）．计算 (1)计算：； (2)化简：． 17（8分）．如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC，O是AB的中点，连接DO，过点A作AE//DB，交DO的延长线于点E，连接BE， （1）求证：四边形AEBD是矩形． （2）直接写出图中与三角形ABD全等的三角形． 18（8分）．今年是中国共产主义青年团成立104周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习．现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩进行整理（成绩得分用表示），其中记为“较差”，记为“一般”，记为“良好”，记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图． 请根据统计图提供的信息，回答如下问题： (1)本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，扇形统计图中，“一般”对应的圆心角的度数为________，并将直方图补充完整； (2)已知这组的具体成绩为，则这8个数据的中位数是________； (3)若该校共有1000人，估计该校学生对团史掌握程度达到良好及以上的人数； (4)本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率． 19（8分）．某中学科技社团准备还原物理课堂上的光的折射实验，选择一水槽进行，具体的操作步骤如下． 【实验操作】①将长方体水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿处射入到水槽底部处．②向水槽注水，水面上升到边的处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线） 【测量数据】如图，所有点都在同一平面内，测得，，．（参考数据：，，） 【数据应用】 (1)求折射角的度数； (2)求水面的高度． 20（10分）．牡丹花茶是以牡丹花为原料制成的花草茶，饮用历史可追溯至隋唐时期，是洛阳特色名优花茶．某茶叶店经营的牡丹花茶有全花茶与花瓣茶两种，据了解，一盒全花茶的价格是一盒花瓣茶的价格的2倍，用600元购进全花茶的盒数比花瓣茶少6盒． (1)分别求出购进的全花茶、花瓣茶每盒的价格． (2)该茶叶店购进这两种花茶共100盒，且全花茶的盒数不少于花瓣茶的盒数的，求本次采购的最少花费． 21（10分）．如图，中，是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交于点E，点F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求的长． 22（10分）．在中，，D是边的中点，E是射线上一点，将沿翻折得到，点F是点B的对应点． (1)如图1，点E在线段上，，分别交于点G，H． ①求证：四边形是菱形； ②连接，求的面积； (2)如图2，点E在延长线上，分别交于点M，N．连接，，若，求的长． 23（13分）．如图，平面直角坐标系中，抛物线过原点，与轴正半轴交于另一点，且经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)若是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴， ①当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； ②当矩形内部的图象（包括边界）的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； ③如图3，抛物线的顶点为点，点是轴下方、抛物线对称轴上一点，若，求点的坐标． 解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16（8分）．计算、化简求值 (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 17（8分）．项目学习 【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具． 【项目素材】两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板． 【任务要求】 任务一：如图1，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 任务二：如图2，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分． 【问题解决】 (1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的正方形的边长为多少？ (2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为．判断能否把一个长宽高的尺寸如图3所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由． 18（8分）．已知：如图，在中，与交于点，交的延长线于，为中点，连接． (1)求证：≌； (2)若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 19（8分）．某水果生产基地为了解同一批柑橘装箱后每箱的重量情况，从全部装箱的柑橘中随机选出100箱，分A、B、C、D、E五组来测量每箱的重量（单位：），并分别测算出各组柑橘每箱重量的平均数，结果如下表， 小组编号 A B C D E 个数（单位：箱） 25 20 15 25 15 平均重量（单位：） 30 25 20 32 20 其中E组中15箱柑橘每箱的重量（单位：）分别是： 12  14  16  17  17  17  18  18  20  21  24  24  24  28  30 根据以上信息，解决下面的问题． (1)E组中15箱柑橘重量的中位数是_____，众数是______； (2)下面是晓强同学求这100箱柑橘平均重量的做法： 这100箱柑橘的平均重量为，请你判断他的做法是否正确，若正确请说明理由；若不正确，请你求出这100箱柑橘的平均重量． (3)现需要用载重量为5吨的卡车运送1000箱该批柑橘，请你估计至少需要几辆卡车，才能一次将这批柑橘运送完?并通过计算进行说明． (4)若该水果生产基地对这五组柑橘随机抽出两组，再次称重检测每组的平均重量，用画树状图或列表的方法，求同时抽到A组和E组的概率， 20（10分）．2026年马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．如图，图1是某型号的机器人在展示时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即于点，，于点．是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿，都包括脚面部分，上身包括头部部分）．已知，，，求： (1)______； (2)若小腿部长，求的长； (3)点距离地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，，．） 21（10分）．扇形与扇形组成一个如图1的图形，其中扇形的圆心角等于，点C、D分别在半径、上，分别记扇形、扇形的圆心角所对的弧为与，半径长分别为R与r． (1)已知的长与的长相等，，求这个图形的面积S（结果保留）； (2)连接 ，作关于直线的对称图形． ①连接，如果与交于点M、N（点M在点N的左侧），且，求R与r之间的数量关系； ②如果所在的圆与所在的圆内切于点F（如图2所示），点P是上一点，连接并延长交于点Q，当时，求的度数． 22（10分）．如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边交于点． 【探究】在旋转过程中， (1)如图，当时，与满足数量关系是_______； (2)如图，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由； (3)若且，连，设的面积为，在旋转过程中， 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由． 23（13分）．如图，抛物线与x轴的负半轴交于点A，与x轴的正半轴交于点，与y轴交于点，抛物线的顶点为D．过点D向x轴作垂线，交x轴于点E，以和为邻边在第二象限内作矩形．动点M从点D出发，沿向点E运动，运动的速度为每秒1个单位长度．设点M的运动时间为t秒，过点M作，交于点G，过点G作于点H，交抛物线于点Q． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)当M为的中点时，求的长． (3)如图1，连接，，当的面积最大时，求t的值． (4)如图2，点M运动的同时，点P从点A出发沿向点F运动，运动的速度为每秒1个单位长度，K为矩形内一点，且点K在点G的正下方．当四边形为菱形时，求t的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 提分小卷：解答题 限时训练03（A组+B组+C组） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16（8分）．化简、解不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 所以原不等式组的解集为． 17（8分）．如图，是的对角线，于点E，于点F，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质可得，，从而得到，可证明，即可求证． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 18（8分）．2026年央视春晚中，铜梁龙舞（国家级非物质文化遗产）再次惊艳亮相．为了解某校学生对铜梁非遗的了解程度，学校组织了“铜梁非遗知识测试”（满分100分），从七、八年级各随机抽取10名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，分成四组：A．，B．．，D．），部分信息如下： 七年级10名学生的成绩：81，83，87，88，91，95，95，97，99，100． 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，92，92． 七、八年级抽取的学生测试成绩各统计量如下表： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 八年级抽取的学生成绩扇形统计图如图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：___________，___________，___________； (2)学校计划从成绩更好的年级中选拔学生参加“铜梁非遗宣讲团”，请判断应选择哪个年级，并说明理由． (3)已知该校七、八年级共有500名学生参加了本次测试，估计本次测试中成绩为优秀（）的学生总人数． 【答案】(1)；； (2)选择八年级，理由见解析 (3)本次测试中成绩为优秀的学生总人数约为人 【分析】（1）根据中位数和众数的定义计算出和，求出八年级C组的占比，进而求出所占的圆心角，得出的值； （2）从平均数、中位数、众数和方差的角度评价两个年级的成绩即可； （3）先计算出八年级成绩优秀的人数，再计算出两个年级成绩优秀的学生的占比，最后乘以七八年级的学生总数即可． 【详解】（1）解：∵七年级的10名学生的成绩中，第5个数为，第6个数为， ∴七年级的中位数为（分），即， ∵七年级的10名学生的成绩中，95出现2次，出现的次数最多， ∴七年级的众数为分，即， 八年级10名学生的成绩中，C组的占比为， ∴所占圆心角，即； （2）解：选择八年级，理由如下： 从平均数上看，两个年级的成绩一样，但从众数上看，八年级学生的成绩均优于七年级，且八年级的方差小于七年级，说明八年级学生的成绩更加集中和稳定．（言之有理即可） （3）解：八年级的C、D两组的人数为（人） ∴七、八年级抽取的学生中，成绩优秀的人数为（人），在样本中的占比为， （人）． 答：本次测试中成绩为优秀的学生总人数约为人． 19（8分）．某环保监测员上午从湿地监测站出发，沿北偏西方向骑行到达鸟类观测点，观测50分钟后从处沿正南方向骑行一段距离，到达位于湿地监测站南偏西方向的水文监测点处，此时为上午，如图所示． (1)求该环保监测员从鸟类观测点骑行到水文监测点的途中，他与湿地监测站之间的最短距离； (2)上午，监测员完成工作后，若以20的平均速度从水文监测点骑行回湿地监测站，他能否在上午前到达？（参考数据：） 【答案】(1) (2)能在上午11:20前到达 【分析】(1) 过点作于点，利用及方向角求出的长，即为最短距离． (2) 在中，利用和求出的长，再计算骑行所需时间与 20分钟比较即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 监测员从处沿正南方向骑行到处， 为正南方向，为东西方向， 从到沿北偏西方向，， ， 在中，， ， 他与湿地监测站之间的最短距离为． （2）解：在中，，， 点位于的南偏西方向， ， ， 骑行速度为， 所需时间， 分钟， 从骑行回需要11.25分钟， 出发，经过11.25分钟后为11:11:15， 能在上午11:20前到达． 20（10分）．某校机器人社团正在备战全国青少年编程挑战赛，需采购编程练习用的高性能平板（型）和基础平板（型）．已知型平板的单价比型平板贵元．若采购台型平板比采购台型平板多花费元． (1)求型平板和型平板的单价； (2)若集训队共需配备台平板电脑，且总采购预算不超过元，则最多能采购型平板多少台？ 【答案】(1)型平板单价为元，型平板单价为元 (2)最多能采购型平板台 【分析】（1）根据题干给出的两个等量关系，列出二元一次方程组求解即可得到两种平板的单价； （2）根据总采购预算的限制列出一元一次不等式，结合平板电脑台数为正整数，即可求得最多采购型平板的数量． 【详解】（1）解：设型平板单价为元，型平板单价为元． 根据题意得 解得 答：A型平板单价为1600元，B型平板单价为1000元． （2）解：设能采购型平板台，则采购型平板 台． 根据题意得 整理得 解得 因为为非负整数，所以的最大值为36． 答：最多能采购型平板台． 21（10分）．已知：如图，在中，，以为直径作，交于D，点E是中点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接．由直径所对的圆周角等于90度得出，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得出，由等边对等角得出，，由角的和差关系进而可得出，即． （2）证明∽，由相似三角形的性质得出，由勾股定理求出，进而可求出． 【详解】（1）证明：连接． ∵为的直径， ∴， ∴为直角三角形， ∵E是中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴是的切线． （2）解：∵，， ∴∽， ∴． ∵在中，，， ∴， ∴， ∴． 22（10分）．在中，． (1)如图1，若，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，，求的度数： (2)如图2，若，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，．点是的中点，连接交于．用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若，将绕着点旋转得到线段，连接．当取最大值时，在直线上取一点，连接，将沿翻折到所在的平面内，得到，连接．当取最小值时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据等边三角形和旋转的性质，推导出两个等腰三角形的底角，再通过角的差直接计算出目标角的度数； （2）通过构造等腰直角三角形，利用三角形全等将线段进行转化，再结合等腰直角三角形的边的关系，推导出三条线段之间的数量关系； （3）先分析出取最大值和取最小值时的特殊位置，再通过设边长，分别计算两个三角形的面积，最后求出它们的面积比． 【详解】（1）由且，得为等边三角形， ∴，， 将绕逆时针旋转得， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 在中，，， ∴， ∴． （2）由,，得为等腰直角三角形， 将绕逆时针旋转得， ∴，，， ∵为中点，， ∴，且， ∴在等腰中：， 又∵ ， ∴在中：， ， ∴， 过作交于，则为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，即， 又∵，， ∴， 得，故，所以． （3）由，，所以， 当最大时，、、共线，，为等边三角形， ∴， 设，则，， 由翻折可知：，在以为圆心、为半径的圆上， 当最小时，、、共线，在、之间，故， 在中，，,， ，面积比：． 23（13分）．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，并且与轴交于另一点（点在点的右侧），点是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，设点的横坐标为，请用含的代数式表示出的长度； (3)在（2）的条件下，当三角形的面积为6时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出点A、B的坐标，然后代入二次函数解析式，求出b、c的值即可； （2）如图，设，则，然后根据求解即可； （3）根据列式求解即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，；当时，， ∴，， 代入抛物线，得 ， 解得， ∴ （2）解：设，， （3）解：如图，连接， ， 解得或， 故或． （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16（8分）．计算 (1)计算：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 17（8分）．如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC，O是AB的中点，连接DO，过点A作AE//DB，交DO的延长线于点E，连接BE， （1）求证：四边形AEBD是矩形． （2）直接写出图中与三角形ABD全等的三角形． 【答案】（1）见解析；（2）图中所有与△ABD全等的三角形有△CBD，△EDB，△DEA，△BAE． 【分析】（1）根据全等三角形的判定求出△AEO≌△BDO，求出OD=OE，根据平行四边形的判定得出四边形AEBD是平行四边形，再根据矩形的判定得出即可； （2）根据矩形的性质，等腰三角形的性质可得AD=BE=DC，AB=BC=DE，BD=AE，再利用SSS可证明三角形全等． 【详解】（1）证明：∵AE∥BD， ∴∠OAE=∠OBD， ∵O为AB的中点， ∴OA=OB， 在△AEO和△BDO中， ， ∴△AEO≌△BDO（ASA）， ∴OD=OE， ∵OA=OB， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∵AB=BC，BD平分∠ABC， ∴BD⊥AC， ∴∠ADB=90°， ∴平行四边形AEBD是矩形； （2）解：∵四边形AEBD是矩形，AB=BC，BD平分∠ABC， ∴AD=BE=DC，AB=BC=DE，BD=AE， ∵AD=DC，AB=BC，BD=BD， ∴△ABD≌△CBD（SSS）， ∵AD=BE，AB=DE，BD=BD， ∴△ABD≌△EDB（SSS）， ∵AD=AD，AB=DE，BD=AE， ∴△ABD≌△DEA（SSS）， ∵AD=BE，AB=DE，BD=AE， ∴△ABD≌△BAE（SSS）， ∴图中所有与△ABD全等的三角形有△CBD，△EDB，△DEA，△BAE． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、矩形的判定和等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定和等腰三角形的性质是解题关键． 18（8分）．今年是中国共产主义青年团成立104周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习．现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩进行整理（成绩得分用表示），其中记为“较差”，记为“一般”，记为“良好”，记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图． 请根据统计图提供的信息，回答如下问题： (1)本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，扇形统计图中，“一般”对应的圆心角的度数为________，并将直方图补充完整； (2)已知这组的具体成绩为，则这8个数据的中位数是________； (3)若该校共有1000人，估计该校学生对团史掌握程度达到良好及以上的人数； (4)本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率． 【答案】(1)50，，见解析 (2)95 (3)620人 (4) 【分析】（1）根据“”计算本次共抽取学生数，根据“一般抽取总学生数较差良好优秀”，结合计算的数据将直方图补充完整，根据“圆心角度数”计算“一般”对应的圆心角的度数； （2）将成绩按从低到高排列后，取中间两数的平均数为中位数； （3）根据用样本估计总体计算该校学生掌握程度达到良好及以上的人数； （4）用列表法列举出所有等可能的情况，计算即可． 【详解】（1）解：本次共抽取学生：（人）， 竞赛成绩“一般”的学生数：（人）， “一般”对应的圆心角的度数为：， 频数分布直方图补充如下图： （2）解：将这组的具体成绩从低到高排列：， 这8个数据的中位数是：； （3）解：（人）， 答：估计该校学生对团史掌握程度达到良好及以上的人数为620人； （4）解：从3名女生，1名男生中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，列表如下： 男 女 女 女 男 （男，女） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，女） （女，女） 女 （女，男） （女，女） （女，女） 女 （女，男） （女，女） （女，女） 共有12种等可能的情况，其中被抽取的2人恰好是女生的有6种结果， ， 答：恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率为． 19（8分）．某中学科技社团准备还原物理课堂上的光的折射实验，选择一水槽进行，具体的操作步骤如下． 【实验操作】①将长方体水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿处射入到水槽底部处．②向水槽注水，水面上升到边的处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线） 【测量数据】如图，所有点都在同一平面内，测得，，．（参考数据：，，） 【数据应用】 (1)求折射角的度数； (2)求水面的高度． 【答案】(1) (2)水面高度为 【分析】（1）由平行线的性质可得，由对顶角相等可得，利用作差求出即可； （2）设，根据题意可得，，利用三角函数表示出，，结合，构造方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， 根据题意，矩形中，， 在中，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得． 答：水面高度为． 20（10分）．牡丹花茶是以牡丹花为原料制成的花草茶，饮用历史可追溯至隋唐时期，是洛阳特色名优花茶．某茶叶店经营的牡丹花茶有全花茶与花瓣茶两种，据了解，一盒全花茶的价格是一盒花瓣茶的价格的2倍，用600元购进全花茶的盒数比花瓣茶少6盒． (1)分别求出购进的全花茶、花瓣茶每盒的价格． (2)该茶叶店购进这两种花茶共100盒，且全花茶的盒数不少于花瓣茶的盒数的，求本次采购的最少花费． 【答案】(1)全花茶每盒100元，花瓣茶每盒50元 (2)本次采购的最少花费为6700元 【分析】（1）设每盒花瓣茶的价格为x元，则每盒全花茶的价格为元，根据用600元购进全花茶的盒数比花瓣茶少6盒列出分式方程求解即可. （2）设购进全花茶m盒，总采购花费为w元，则购进花瓣茶盒．先根据且全花茶的盒数不少于花瓣茶的盒数的求出m的取值范围，再列出w关于m的一次函数关系式，根据一次函数的图象和性质即可求出本次采购的最少花费． 【详解】（1）解：设每盒花瓣茶的价格为x元，则每盒全花茶的价格为元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是分式方程的解， 则， 答：每盒花瓣茶的价格为50元，则每盒全花茶的价格为100元． （2）解：设购进全花茶m盒，总采购花费为w元，则购进花瓣茶盒． 根据题意∶， 解得， 因为m为正整数，所以m的最小值为34， 总花费， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最小值，最小值为， 答：本次采购的最少花费为6700元． 21（10分）．如图，中，是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交于点E，点F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)相切，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，由角平分线的性质及等腰三角形的性质得，再由即可得，从而得与的位置关系是相切； （2）连接，证明即可； （3）连接，在中，由，设，则，从而，求得a的值，则可得，再由正弦函数关系即可求得的值． 【详解】（1）解：与的位置关系是相切； 理由如下： 如图，连接， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵为圆的半径， ∴与的位置关系是相切． （2）证明：如图，连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，连接， 由（1）知， 在中，， 设，则， ∴， 解得， ∴，， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22（10分）．在中，，D是边的中点，E是射线上一点，将沿翻折得到，点F是点B的对应点． (1)如图1，点E在线段上，，分别交于点G，H． ①求证：四边形是菱形； ②连接，求的面积； (2)如图2，点E在延长线上，分别交于点M，N．连接，，若，求的长． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】（1）①由翻折得出，证明，进而得出，即可得出结论；②先求出，证明，得出，求出，，即可求出结论； （2）连接，延长交于点G，证明，设，则，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出结论即可． 【详解】（1）①证明：∵将沿翻折得到， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是菱形； ②连接，设交于点M， ，D是边的中点， ， ， ， 在中，， ∵四边形是菱形， ， ， ， ， ，即， 解得：，， ， ， ； （2）解：， ， 连接， ， ， ， ， 延长交于点G， 由翻折知，， 则， ， ， ， 设， ， ， 在中，， ， 解得：（不合题意舍去），或， ， ， ， ， ， 在中， ． 23（13分）．如图，平面直角坐标系中，抛物线过原点，与轴正半轴交于另一点，且经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)若是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴， ①当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； ②当矩形内部的图象（包括边界）的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； ③如图3，抛物线的顶点为点，点是轴下方、抛物线对称轴上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①，且；②或或；③ 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①首先得到，抛物线开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，且关于的对称点为，进而求解即可； ②根据题意分点M的纵坐标为和点M的纵坐标为两种情况讨论分别代入抛物线表达式求解即可； ③过点A作交的延长线于点Q，过点Q作轴于点H，令交x轴于点M，根据，得，，求出直线解析式，然后把点Q的坐标代入即可求解． 【详解】（1）∵抛物线过原点， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）①∵抛物线； ∴抛物线开口向下，对称轴为 则关于的对称点为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为， ∴当，且时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升； ②∵，矩形内部的图象（包括边界）的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为4 ∴当点M的纵坐标为时， ∴ 解得； 当点M的纵坐标为时， ∴ 解得， 综上所述，或或； ③过点A作交的延长线于点Q，过点Q作轴于点H，令交x轴于点M，顶点，    解得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∴，， 令点，则， ∴， 设直线解析式为，则， 解得， ∴， 将点Q代入可得：， 解得：， ∵点P在y轴下方， ∴， ∴， ∴P点的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，全等三角形的性质和判定，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，数形结合是解答本题的关键． 解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16（8分）．计算、化简求值 (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查的是分式的化简求值，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂及特殊角的三角函数值，熟知以上知识是解题的关键． （1）先根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值分别计算出各数，再算加减即可； （2）利用完全平方公式和提取公因式法化简式子，把代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 当时：原式． 17（8分）．项目学习 【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具． 【项目素材】两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板． 【任务要求】 任务一：如图1，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 任务二：如图2，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分． 【问题解决】 (1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的正方形的边长为多少？ (2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为．判断能否把一个长宽高的尺寸如图3所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由． 【答案】(1) (2)不能；理由见解析． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键． （）设剪去的小正方形的边长为，由题意得，然后解方程并检验即可； （）根据题意，设收纳盒的高为，则收纳盒底面的长为，宽为，则，求出收纳盒的高长宽高，从而即可判断玩具车能否完全放入． 【详解】（1）解：（1）设剪去的小正方形的边长为，由题意得： ， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：剪去的小正方形的边长为； （2）解：根据题意，设收纳盒的高为， 则收纳盒底面的长为，宽为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为； 收纳盒的长为，收纳盒的宽为， ∵（玩具车长小于收纳盒长），（玩具车高小于收纳盒高），但（玩具车宽大于收纳盒宽）， ∴玩具车不能完全放入该收纳盒． 18（8分）．已知：如图，在中，与交于点，交的延长线于，为中点，连接． (1)求证：≌； (2)若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析； (2)四边形是矩形，证明见解析 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形得到，，再利用平行线性质得到，即可证明全等； （2）先求出，结合角度关系证明是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，再证明矩形即可． 【详解】（1）由题意四边形是平行四边形， 则 ∵ ∴四边形为平行四边形， ∴，， ， ， 又， ， ， 在和中， ． （2）解：四边形是矩形． 证明如下： ， ，，则， ，解得， ，， ，， 是等边三角形， ，， 四边形是平行四边形， ， 为中点， ， ， 在平行四边形中，， ， ， 中，，， ， ， ， ， ， 平分， 是等边三角形， ， ， ，，， 且， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． 19（8分）．某水果生产基地为了解同一批柑橘装箱后每箱的重量情况，从全部装箱的柑橘中随机选出100箱，分A、B、C、D、E五组来测量每箱的重量（单位：），并分别测算出各组柑橘每箱重量的平均数，结果如下表， 小组编号 A B C D E 个数（单位：箱） 25 20 15 25 15 平均重量（单位：） 30 25 20 32 20 其中E组中15箱柑橘每箱的重量（单位：）分别是： 12  14  16  17  17  17  18  18  20  21  24  24  24  28  30 根据以上信息，解决下面的问题． (1)E组中15箱柑橘重量的中位数是_____，众数是______； (2)下面是晓强同学求这100箱柑橘平均重量的做法： 这100箱柑橘的平均重量为，请你判断他的做法是否正确，若正确请说明理由；若不正确，请你求出这100箱柑橘的平均重量． (3)现需要用载重量为5吨的卡车运送1000箱该批柑橘，请你估计至少需要几辆卡车，才能一次将这批柑橘运送完?并通过计算进行说明． (4)若该水果生产基地对这五组柑橘随机抽出两组，再次称重检测每组的平均重量，用画树状图或列表的方法，求同时抽到A组和E组的概率， 【答案】(1)，和 (2)不正确，这100箱柑橘的平均重量是 (3)6辆 (4) 【分析】（1）根据中位数和众数的概念解答即可； （2）晓强同学做法错误，运用加权平均数的方法解答即可； （3）运用除法计算，结果进一即可； （4）列表，得20种等可能的结果，同时抽到A组和E组有2种等可能得结果，再根据概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：E组中15个数据按从小到大的顺序排列为：12  14  16  17  17  17  18  18  20  21  24  24  24  28  30，最中间的一个数据为18， 所以，中位数是； 数据出现最多的是17和24，各出现3次， 故众数为和； （2）解：晓强的做法不正确． 这100箱柑橘的平均重量为： ． 答：这100箱柑橘的平均重量是． （3）解：估计这批柑橘的重量为（吨）． ∵， （辆）， ∴至少需要6辆载重量为5吨的卡车． （4）解：列表如下： A B C D E A B C D E ED ∵一共有20种等可能的结果，同时抽到A组和E组有2种等可能的结果， ∴P（同时抽到A组和E组）． 20（10分）．2026年马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．如图，图1是某型号的机器人在展示时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即于点，，于点．是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿，都包括脚面部分，上身包括头部部分）．已知，，，求： (1)______； (2)若小腿部长，求的长； (3)点距离地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，，．） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，可得，再利用平行线的性质解答即可求解； （2）连接，由题意得，即得，再利用勾股定理解答即可求解； （3）过点作交的延长线于，可得，解直角三角形可得，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作， ， ， ， ， ， ∵， ． （2）解：如图，连接， 由题意得，， ∵机器人两条腿长度一致， ， ， ， ， ， 答：的长为； （3）解：如图，过点作交的延长线于， ， ， ， ， ， 答：点P距离地面的高度约为． 21（10分）．扇形与扇形组成一个如图1的图形，其中扇形的圆心角等于，点C、D分别在半径、上，分别记扇形、扇形的圆心角所对的弧为与，半径长分别为R与r． (1)已知的长与的长相等，，求这个图形的面积S（结果保留）； (2)连接 ，作关于直线的对称图形． ①连接，如果与交于点M、N（点M在点N的左侧），且，求R与r之间的数量关系； ②如果所在的圆与所在的圆内切于点F（如图2所示），点P是上一点，连接并延长交于点Q，当时，求的度数． 【答案】(1) (2)① ② 【分析】本题是圆和三角形综合题，考查了扇形面积和弧长公式，勾股定理应用，解三角形，等腰三角形性质，平行线分线段成比例等知识点． （1）根据的长与的长相等和扇形弧长公式，求出，再利用扇形面积公式求解． （2）①记O的对称点为，与交点为P，延长交于Q，连接，关键是表示出各边的长，再利用勾股定理求解；②记O的对称点为，与交点为G，连接，，作于H，这样就构造出等腰直角三角形和直角三角形，解三角形可求得，再利用等腰三角形求出，根据平行线分线段成比例知． 【详解】（1）解：由题可知， ， ， ， ， ， 解得，故， ∴ ． （2）①如图，记O的对称点为，与交点为P，延长交于Q，连接， 由对称性可知P是中点，由是等腰直角三角形，， 且， 再由对称性可知， 同样是等腰直角三角形，，， ， ， Q是中点也是中点， 由已知得， ， ， 且， 在中，由勾股定理得 ， 即， 解得或， 由题可知， 故 ． ②如图，记O的对称点为，与交点为G，连接，，作于H， 由于所在的圆与所在的圆内切于点F， ， 由①知， ， ， ， ， ， ，再由知是等腰直角三角形， ， ， ， ， 由是等腰三角形， ， ． 22（10分）．如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边交于点． 【探究】在旋转过程中， (1)如图，当时，与满足数量关系是_______； (2)如图，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由； (3)若且，连，设的面积为，在旋转过程中， 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)；理由见解析； (3)当时，取得最小值；当时，取得最大值． 【分析】（）作于，作于，可证明，从而； （）作于，作于，可证得，，从而，可证得，进而得出结果； （）可推出，当时，取最小值，当点最大时，取最大值，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图，作于，作于， ∴ ∵，，即， ∴平分， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图，作于，作于， ∴， 由（）知，， 四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图， ∵且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，取最小值，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，即与重合时，取最大值，如图， 在中，， ∴， ∴， 综上可得：当时，取得最小值；当时，取得最大值． 23（13分）．如图，抛物线与x轴的负半轴交于点A，与x轴的正半轴交于点，与y轴交于点，抛物线的顶点为D．过点D向x轴作垂线，交x轴于点E，以和为邻边在第二象限内作矩形．动点M从点D出发，沿向点E运动，运动的速度为每秒1个单位长度．设点M的运动时间为t秒，过点M作，交于点G，过点G作于点H，交抛物线于点Q． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)当M为的中点时，求的长． (3)如图1，连接，，当的面积最大时，求t的值． (4)如图2，点M运动的同时，点P从点A出发沿向点F运动，运动的速度为每秒1个单位长度，K为矩形内一点，且点K在点G的正下方．当四边形为菱形时，求t的值． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2) (3)t的值为2 (4) 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可解答此题； （2）利用相似三角形的判定和相似比即可解答此题； （3）分析当三角形的底边固定，高最大时三角形的面积最大，利用直线平行和直线与抛物线相切求得点坐标，进而根据题意求得点、点坐标，求得长可求值； （4）根据题意可表示出涉及到的点、点、点坐标，假设出点坐标，根据菱形的性质对边相等表示出点坐标，在利用菱形的性质邻边相等，列出方程，解方程即可求得值． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴， ， 解得：， 所以抛物线的函数解析式为． （2）解：根据顶点坐标公式可求顶点的坐标为， ∵点和点关于直线对称，且， ∴点坐标为， ， ，， ， 又， ， ∵M为的中点， ， ． （3）解：当边上的高最大时，的面积最大， 即平行于直线且与抛物线相切时，的面积最大， 设直线的解析式为，且点坐标为，点的坐标为， 解得：， 设平行于直线且与抛物线相切的直线为， ∵两直线平行， ， ， ∵直线与抛物线相切， ， 整理，得：， ， 解得：， ， 抛物线和直线解析式联立得，， 解得：， 即：， 此时，点横坐标为，代入得： ， 即：， ， ， （秒）． （4）解：， ， 根据题意可知点和点的纵坐标相等， ∴将代入得： ， ， ∵， ， ， 可设点坐标为， 则， 当四边形为菱形时，， 即：， 整理，得：， ∴点坐标为， 根据题意，由勾股定理可得： ， ， 即：， 整理，得：， 解得：（舍去），， （秒）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $