专题01 概率计算大题（36题）（举一反三专项训练）高一数学苏教版必修第二册

专题01 概率计算大题（36题）（举一反三专项训练） 【苏教版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 古典概型的计算及应用 1．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）一个电路中有，，三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常．    (1)写出试验的样本空间； (2)用集合表示下列事件：“电路是通路”，并求出． 【答案】(1)答案见解析 (2)， 【解题思路】（1）分别用，和表示元件，和的可能状态，这个电路的工作状态可用表示，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，列出所有情况得解； （2）“电路是通路”即，且，至少有一个是1，由古典概率的公式计算. 【解答过程】（1）分别用，和表示元件，和的可能状态，则这个电路的工作状态可用表示． 进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态， 则样本空间. （2）“电路是通路”等价于，，且，至少有一个是1， 所以. 所以. 2．（24-25高一下·湖南·期末）俄乌战争中无人机颠覆了传统战争的思维定式.无人机也给人们的生产、生活带来了很多的便捷.在一次无人机展会上，有三家公司参与了展销活动，甲公司带来了3款无人机，乙公司带来了2款无人机，丙公司带来了1款无人机，一购货商准备从中任选2款. (1)用适当的符号表示所有的可能结果，写出样本空间； (2)记事件“恰有一款是甲公司的”，求事件A发生的概率； (3)记事件“没有丙公司的”，求事件B发生的概率. 【答案】(1)样本空间 (2) (3) 【解题思路】（1）设甲公司的3款无人机为，，，乙公司的2款无人机为，，丙公司的1款无人机为c，利用枚举法可得样本空间； （2）列出符合题意的样本点，进而利用古典概型概率公式可求解； （3）列出符合题意的样本点，进而利用古典概型概率公式可求解. 【解答过程】（1）设甲公司的3款无人机为，，，乙公司的2款无人机为，，丙公司的1款无人机为c， 则样本空间； （2）由已知可得， 则； （3）由已知可得， 则. 3．（24-25高一下·贵州黔西南·期末）现有一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，在抛掷骰子的试验中： (1)若只抛掷红色的骰子，记下骰子落地时朝上的面的点数，写出该试验的样本空间；设“骰子朝上的点数大于3”，求事件的概率； (2)若同时抛掷两枚骰子，记下骰子朝上的面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次实验的结果.设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”，分别求出事件，的概率. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据样本空间的定义、古典概型概率计算公式即可求解； （2）依次算出,，根据古典概型概率计算公式即可求解. 【解答过程】（1）样本空间为，设“骰子朝上的点数大于3”，则， 所以事件的概率为； （2）由题意，设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”， 则， ， 所以， 所以. 4．（24-25高一下·山东烟台·期末）某学校组织学生参加交通安全和环境保护知识宣讲活动．已知该校高一某班全体学生参与上述活动的情况如下表所示： 参加交通安全知识宣讲 未参加交通安全知识宣讲 参加环境保护知识宣讲 人 人 未参加环境保护知识宣讲 人 人 (1)从该班随机选取名学生，试估计该学生至少参加一项活动的概率； (2)已知既参加交通安全知识宣讲又参加环境保护知识宣讲的名学生中，有名男生和名女生．现从这名学生中随机选取人作为主讲人，求选取的人中恰有名男生和名女生的概率． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据古典概型的概率公式直接计算； （2）利用列举法计算古典概型概率. 【解答过程】（1）由题意知，至少参加一项活动的学生人数为：， 班级学生总数为． 因此，该学生至少参加一项活动的概率； （2）设名男生分别为，，，；名女生分别为，， 记这名学生中随机选取的人为和，则可用表示样本点， 样本空间 ，且， 记事件“选取的人中恰有名男生和名女生”，则 ，， 因为中每一个样本点的可能性都相等，所以． 5．（24-25高一下·天津·期末）一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品（标号为），2支二等品（标号为），1支三等品（标号为），若从中不放回地依次随机抽取2支．设事件“两支都是一等品”， “含有三等品”． (1)用圆珠笔的标号列出所有可能的抽取结果； (2)求事件的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2)，． 【解题思路】（1）设6支圆珠笔标号为，列出所有的6支圆珠笔中依次不放回随机抽取2个的样本点构成样本空间即可； （2）列出事件的样本空间，根据古典概型公式即可求解. 【解答过程】（1）设6支圆珠笔标号为， 从这6支圆珠笔中依次不放回随机抽取2个，所有可能的结果有： ， ， 共30种． （2）事件“两支都是一等品” 所有可能结果有：共6种， 所以． 即从6支圆珠笔中，随机抽取两支都是一等品概率为． 事件 “含有三等品” 所有可能结果有：，共10种， 所以， 即从6支圆珠笔中，随机抽取两支含有三等品概率为． 6．（24-25高一下·江苏连云港·期末）某厂生产的12件产品中，有10件合格品、2件不合格品，合格品与不合格品在外观上没有区别．从这12件产品中任意抽检2件． (1)求2件都是合格品的概率； (2)求1件是合格品、1件是不合格品的概率； (3)若抽检的2件产品都是不合格品，则这批产品将被退货，求这批产品没有被退货的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）可得从12件产品中任意抽检2件的基本事件数的共个数，同时可得其中2件都是合格品的事件数，代入古典概型计算公式可得答案； （2）可得1件是合格品、1件是不合格品的事件数，代入古典概型计算公式可得答案； （3）可得抽检的2件产品都是不合格品的事件数，代入古典概型计算公式可得这批产品没有被退货的概率. 【解答过程】（1）从12件产品中任意抽检2件，共有种抽取方法， 其中2件都是合格品的事件数有：种， 可得2件都是合格品的概率：. （2）其中1件是合格品、1件是不合格品的事件数有：种， 可得1件是合格品、1件是不合格品的概率：; （3）抽检的2件产品都是不合格品的事件数有种， 可得抽检的2件产品都是不合格品的概率：， 即这批产品没有被退货的概率为. 题型二 古典概型与统计的交汇问题 7．（24-25高一下·湖北武汉·期末）当前中学生体质呈现“整体改善、局部恶化”的复杂态势.教育部明确将体育纳入初高中学业水平考试，并作为招生录取计分科目，学生的体育素质越来越受到关注，某高校招生拟引入体育素质评价结果，随机抽取了500名学生进行了体能素质测试，并记录得分（满分：100分），将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值并估计这500名学生成绩的平均数和中位数（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)体能素质测试分数不低于90分才能评定为体能优秀，现采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，再从这7人中随机选出两人，求这两人恰有1人体能优秀的概率. 【答案】(1)，平均数，中位数 (2) 【解题思路】（1）根据直方图小长方形的面积之和为可求出，由题设要求求平均数，先判断中位数所在区间，然后根据直方图中小长方形面积位于面积处的数值得到中位数； （2）先确定分别需抽取的人数，然后根据列举法结合古典概型求解. 【解答过程】（1）由题意，，解得， 平均数为：， 由图可知的频率为，的频率为， 故中位数位于，设中位数为， 由，解得，即中位数是， 综上，，平均数，中位数. （2）由图可知，的频率之比是， 根据分层抽样可知，需在分别抽取人和人， 抽取的人记作，抽取的人记作， 所有情况是，共种， 这两人恰有1人体能优秀的情况有，共种， 根据古典概型的计算公式，这两人恰有1人体能优秀的概率是. 8．（24-25高一下·河北·期末）这么近，那么美，周末到河北.“五一”小长假过后，为更好地提升旅游品质，邯郸东太行旅游度假区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），将评分绘制成频率分布直方图，请根据下面尚未完成的频率分布直方图解决下列问题. (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)估计这100名游客对景区满意度评分的中位数； (3)若工作人员从这100名游客中随机抽取了5名，其中评分在内的有2人，评分在内的有3人.现从这5人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分均在内的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据直方图中频率和为1求参数即可； （2）由中位数的求法，结合直方图求解即可； （3）根据分层抽样的各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解. 【解答过程】（1）由图知：，可得. （2）由， 所以中位数在之间，设中位数为，那么， 解得，所以中位数为86. （3）设在中抽取的2人分别为；在中抽取的3人分别为； 从这5人中随机抽取2人，则样本空间为： ，共有10个基本事件. 设选取的2人评分均在内为事件， 则中包含3个基本事件，所以. 9．（24-25高一下·四川达州·期末）某校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格.据统计，高一年级男生需要不同规格校服的频数如下表所示. 校服规格 合计 频数 (1)请用平均数、中位数、众数中的一个量来代表该校高一年级男生所需校服的规格，并讨论用上表中的数据估计全国高一年级男生校服规格的合理性； (2)现有套不同规格的校服，将件上衣（分别用、、表示），件裤子（分别用、、表示，其中、、分别表示一套），分别装入只大小材质相同的黑色袋子.如果从中随机地取出只袋子，记事件“取出袋子里面一件是上衣，一件是裤子，但不是一套”，求． 【答案】(1)平均数、中位数、众数都为，理由见解析 (2) 【解题思路】（1）根据平均数公式、中位数和众数的定义可得结果，再根据全国各地的高一年级男生的身高存在的差异性可得出结论； （2）列举出样本空间以及事件所包含的基本事件，结合古典概型的概率公式可求得的值. 【解答过程】（1）由表格中的数据可知，平均数为， ， 故中位数为第个数据和第个数据的平均数，即为，众数为， 由于全国各地的高一年级男生的身高存在一定的差异， 所以用一个学校的数据估计全国高一年级男生的校服规格不合理. （2）样本空间为，共个基本事件， 其中，事件包含的基本事件为：、、、、、，共个基本事件， 故. 10．（24-25高一下·河南鹤壁·期末）某校高一甲、乙两个班级分别选取5名学生参加学校举行的数学竞赛，这10名学生的竞赛成绩如下表： 甲班 71 78 82 87 92 乙班 73 77 79 88 93 (1)从表中成绩高于80分的学生中随机抽取2人，求抽取的2人中恰有1人来自甲班的概率； (2)从平均数与方差的角度，判断甲班与乙班各自选取的5名学生水平是否有差异. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）列举法求解古典概型的概率； （2）分别计算出两班的平均数和方差，得到结论. 【解答过程】（1）甲班成绩高于80分的有3人，分别记作a，b，c，乙班成绩高于80分的有2人，分别记作d，e. 从这5人中随机抽取2人，样本空间，共有10个样本点， 用事件A表示“抽取的2人中恰有1人来自甲班”，则，共有6个样本点， 所以. （2）记甲班5名学生成绩的平均数与方差分别为，， 乙班5名学生成绩的平均数与方差分别为，， 则， ， ， ， 所以，， 即甲班与乙班各自选取的5名学生成绩的平均数相同，说明他们的平均水平相当； 甲班对应的方差小于乙班对应的方差，说明甲班这5名学生相互之间的水平更接近. 11．（24-25高一下·重庆·期末）学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． (1)求的值. (2)估计此次数学测试分数的平均数与中位数．（保留一位小数） (3)若采用分层随机抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率． 【答案】(1) (2)； (3) 【解题思路】（1）根据频率分布直方图中各小组频率之和为1列方程，求解即可； （2）利用（1）的结论，根据频率分布直方图中平均数和中位数定义求解即得； （3）分别计算出分数在和的人数，得到抽样比，确定抽取的5人中，分数在的有2人，编号分别为，，分数在有3人，编号为，，，列举出样本空间和事件包含的样本点，利用古典概型概率公式计算即得. 【解答过程】（1）由频率分布直方图可得：， 解得. （2）由（1）得，该次考试测试分数的平均数的估计值为： 分． 设测试分数中位数为， 测试分数在频率：， 测试分数在频率：， 则，解得. （3）记分数在的人数为：（人）， 分数在的人数为：（人）， 因，则采用分层随机抽样的方法，抽取的5人中，分数在的有2人，编号分别为，， 分数在有3人，编号为，，， 样本空间 ， 则，记事件“至少一人分数在”，则， 则. 12．（24-25高一下·广东梅州·期末）某校为了解高一学生的客家话水平，随机抽取了100名学生进行问卷测试，将这100名学生测试的得分按，，，，分成5组，并绘制出频率分布直方图，如图所示，设定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”. (1)求的值； (2)估计样本的中位数与平均数； (3)如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”两类学生中选出5人，再从这5人中选2人，那么恰有一人是“优秀”的概率是多少？ 【答案】(1) (2)中位数为，平均数为 (3) 【解题思路】（1）根据频率分布直方图的性质，列出方程，即可求解； （2）设样本的中位数为，得到，结合中位数的计算方法，求得样本中位数，在频率分布直方图的平均数的计算公式，求得样本数据的平均数. （3）根据题意，利用采用分层抽样的方法抽取的5人中优秀3人，良好2人，利用列举法求得基本事件的总数，以及所求事件中包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【解答过程】（1）由频率分布直方图的性质，可得，解得. （2）设样本的中位数为， 因为小于85的概率为，大于90的概率为，所以， 则，解得， 所以样本中位数的估计值为； 由频率分布直方图的平均数的计算公式，可得. （3）由题意，测试成绩良好的人数为人， 优秀的人数为人， 成绩优秀与良好的人数比为，采用分层抽样的方法抽取的5人中优秀3人，良好2人， 记“从这5人中选2人恰有1人是优秀”为事件， 将优秀的三名学生记为，考试成绩良好的两名学生记为， 从这5人中任选2人的所有基本事件包括：，，，，，，，，，，共10个基本事件， 事件包含的情况是：，，，，，，共有6个， 所以恰有一人是“优秀”的概率. 题型三 频率与概率 13．（24-25高一下·江苏盐城·期末）对200个电子元件的寿命（单位：h）进行追踪调查，情况如下： 寿命 个数 20 30 80 40 30 (1)估计元件的寿命在（单位：h）内的概率； (2)估计元件的寿命在以上的概率． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求出200个电子元件的寿命在（单位：h）内的频率，再对元件的寿命在（单位：h）内的概率估计即可； （2）先求出200个电子元件的寿命在以上的频率，再对元件的寿命在以上的概率估计即可. 【解答过程】（1）因表中200个电子元件的寿命在（单位：h）内的频率为， 故由此估计元件的寿命在（单位：h）内的概率为； （2）因表中200个电子元件的寿命在以上的频率为， 故由此估计元件的寿命在以上的概率为. 14．（24-25高一上·河南南阳·期末）近些年来，我国外卖业发展迅猛，外卖骑手穿梭在城市的大街小巷，成为一道亮丽的风景线.某课外实践小组随机调查了该市的10名外卖骑手，统计他们的日单量（平均每天送的外卖单数），数据如下表： 31 37 38 32 33 42 24 20 37 26 (1)估计该市的外卖骑手日单量大于30的概率； (2)求这10名外卖骑手日单量的平均数和方差； (3)若表中第一行数据对应的外卖骑手来自甲公司，第二行数据对应的外卖骑手来自乙公司，试判断：哪家公司的外卖骑手日单量的差异更大?（直接给出结论即可，不需要写计算过程） 【答案】(1) (2)平均数32，方差43.2 (3)乙公司的外卖骑手日单量的差异更大，理由见解析 【解题思路】（1）计算出频率为，从而估计出概率为； （2）利用平均数和方差的计算公式进行求解即可； （3）计算出两公司的外卖骑手日单量的极差，得到答案. 【解答过程】（1）10名外卖骑手中有7人的日单量大于30，频率为， 因此估计该市的外卖骑手日单量大于30的概率为. （2）平均数为. 方差为. （3）乙公司的外卖骑手日单量的差异更大，理由如下： 甲公司的外卖骑手日单量的极差为， 乙公司的外卖骑手日单量的极差为， 由于，故乙公司的外卖骑手日单量的差异更大. 15．（24-25高二·上海·课堂例题）某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表： 射击次数（n） 10 20 50 100 200 500 击中10环次数（m） 8 19 44 93 178 453 击中10环频率 (1)将表格填写完整； (2)这名运动员射击一次，击中10环的经验概率约为多少？（精确到0.1） 【答案】(1)答案见解析 (2)0.9 【解题思路】（1）根据题意频率计算公式运算求解； （2）根据概率和频率的关系分析求解. 【解答过程】（1）根据频率计算公式，表格数据如下： 射击次数（n） 10 20 50 100 200 500 击中10环次数（m） 8 19 44 93 178 453 击中10环频率 0.8 0.95 0.88 0.93 0.89 0.906 （2）由（1）中所求，随着射击次数的增大，频率的稳定值为0.9． 故这名运动员射击一次，击中10环的概率约为0.9. 16．（24-25高二上·贵州遵义·期末）我市某高校共有学生30000人，其中女生18000人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：h）. (1)应收集多少个男生样本数据? (2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图，其中样本数据分布区间为：，，，，，，在该校学生中任选一人，试估计该生每周平均体育运动时间不超过7h的概率. 【答案】(1)120 (2) 【解题思路】（1）根据分层抽样比公式进行求解即可； （2）根据频率分布直方图，利用样本频率估计概率得解. 【解答过程】（1）根据分层抽样的方法， 所以男生样本数据个数为； （2）学生每周平均体育运动时间不超过7个小时的概率为：， 所以该校学生每周平均体育运动时间不超过7个小时的概率. 17．（2025·全国·模拟预测）鲁班锁是一种广泛流传于中国民间的智力玩具，相传由春秋末期到战国初期的鲁班发明，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧，易拆难装，十分巧妙，每根木条上的花纹是卖点，也是手工制作的关键．某玩具公司开发了甲、乙两款鲁班锁玩具，各生产了100件样品，样品分为一等品、二等品、三等品，根据销售部市场调研分析，得到相关数据如下（单件成本利润率＝利润÷成本）： 甲款鲁班锁玩具 一等品 二等品 三等品 单件成本利润率 10% 8% 4% 频数 10 60 30 乙款鲁班锁玩具 一等品 二等品 三等品 单件成本利润率 7.5% 5.5% 3% 频数 50 30 20 (1)用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，求该产品是一等品的概率； (2)若甲、乙两款鲁班锁玩具的投资成本均为20000元，且每件的投资成本是相同的，分别求投资这两款鲁班锁玩具所获得的利润． 【答案】(1) (2)甲鲁班锁玩具所获得的利润1400元；乙鲁班锁玩具所获得的利润1200元 【解题思路】（1）用频率估计概率,利用频率公式即可求； （2）分别求出甲、乙两种鲁班锁一等品、二等品、三等品的利润，进而得到两款鲁班锁玩具所获得的利润. 【解答过程】（1）用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，该产品是一等品的概率为． （2）甲款鲁班锁玩具一等品的利润为（元）， 二等品的利润为（元）， 三等品的利润为（元）， 故100件甲款鲁班锁玩具的利润为（元）． 乙款鲁班锁玩具一等品的利润为（元）， 二等品的利润为（元）， 三等品的利润为（元）， 故100件乙款鲁班锁玩具的利润为（元）． 18．（24-25高一下·广东揭阳·期末）某校以课程建设为核心，建立了学生劳动实践基地，开发了农事劳作课程，开展课外种植、养殖活动，打算引进小动物甲以及成立养殖小组．为了解学生的养殖意愿，该校在一年级的100名学生中进行问卷调查，调查数据如下： 性别 养殖小动物甲 喜欢 不喜欢 男生 20 30 女生 40 10 (1)分别估计该校男、女生中喜欢养殖小动物甲的概率； (2)学校决定由一年级负责养殖小动物甲，现按分层随机抽样的方法从一年级喜欢小动物甲的学生中随机抽取6名学生组成养殖小组，再从这6名学生中随机抽取2人担任养殖小组主要负责人，求这2人恰好都是女生的概率． 【答案】(1)该校男、女生中喜欢养殖小动物甲的概率分别为 (2) 【解题思路】（1）根据题意由频率计算概率即可得解； （2）写出基本事件空间，根据古典概型求解即可. 【解答过程】（1）由题意知男生中喜欢养殖小动物甲的频率为； 女生中喜欢养殖小动物甲的频率为， 所以估计该校男、女生中喜欢养殖小动物甲的概率分别为． （2）抽取的这6人中男生人数为，分别记为， 女生人数为，分别记为． 设抽取的2人分别为，用数组表示这个实验的一个样本点， 因此该试验的样本空间， 共15个样本点． 设事件“抽取的2人恰好都是女生”， 则，共6个样本点． 因为样本空间中每一个样本点出现的可能性相等， 所以该试验是古典概型，因此． 题型四 互斥事件、对立事件的概率计算 19．（24-25高一下·河南驻马店·阶段检测）已知一个古典概型试验中，事件发生的概率为，事件B发生的概率为，且事件和事件的并集发生的概率为. (1)求事件和事件同时发生的概率. (2)若事件是事件的对立事件，求事件和事件同时发生的概率. (3)若事件是事件和事件的交集的对立事件，求事件发生的概率. 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）利用概率的加法公式即可； （2）利用互斥事件的概率公式即可； （3）利用对立事件的概率公式即可. 【解答过程】（1）由概率的加法公式，可得， 则. （2）因事件是事件的对立事件，则， 依题意，事件与事件互斥，则， 即，解得. （3）因事件是事件和事件的交集的对立事件， 则. 20．（24-25高一下·全国·课堂例题）玻璃球盒中装有除颜色外完全相同的球共12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球，求从中取1球： (1)取得红球或黑球的概率； (2)取得红球或黑球或白球的概率． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）（2）利用互斥事件或对立事件的知识来求得所求概率. 【解答过程】（1）记事件表示“任取1球为红球”，表示“任取1球为黑球”，表示“任取1球为白球”，表示“任取1球为绿球”， 则，，，． 解法一：利用互斥事件求概率． 根据题意知，事件，，，彼此互斥，由互斥事件概率公式，得 取出1球为红球或黑球的概率为． 解法二：利用对立事件求概率． 由解法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球， 即的对立事件为．所以取得1球为红球或，黑球的概率为： ． （2）解法一：利用互斥事件求概率． 取出1球为红球或黑球或白球的概率为． 解法二：利用对立事件求概率． 的对立事件为，则． 21．（24-25高一下·全国·课堂例题）某射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.1，0.2，0.3，0.3，0.1.计算这个运动员在一次射击中： (1)射中10环或9环的概率； (2)至少射中7环的概率． 【答案】(1)0.3； (2)0.9. 【解题思路】（1）根据给定条件，利用互斥事件的加法公式计算得解. （2）利用对立事件的概率公式计算得解. 【解答过程】（1）设“射中10环”、“射中9环”、“射中8环”、“射中7环”、“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E， 显然事件互斥，因此， 所以射中10环或9环的概率为0.3. （2）因为射中7环以下的概率为0.1，射中7环以下的事件与至少射中7环的事件是对立事件， 所以由对立事件的概率公式得，至少射中7环的概率为. 22．（24-25高一下·全国·单元测试）黄种人群中各种血型的人所占的比例如下： 血型 该血型的人所占比例（%） 28 29 8 35 已知同种血型的人可以输血，型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，张三是型血，若张三因病需要输血，问： (1)任找一个人，其血可以输给张三的概率是多少？ (2)任找一个人，其血不能输给张三的概率是多少？ 【答案】(1)0.64 (2)0.36 【解题思路】（1）（2）列出符合要求的事件，利用互斥事件的概率公式求解即可. 【解答过程】（1）对任意一人，其血型为的事件分别记为，，，，由已知得，，，， 因为型血可以输给张三，所以“任找一人，其血可以输给张三”为事件， 依据互斥事件概率的加法公式得到． （2）由于型血不能输给型血的人， 则“任找一人，其血不能输给张三”为事件， 依据互斥事件概率的加法公式得到． 23．（24-25高一下·江苏镇江·期末）甲、乙两人组成小队参加数学趣味谜题竞猜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个谜题，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响，该小队共参加了两轮活动． (1)求小队猜对3个谜题的概率； (2)求甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的概率． 【答案】(1) (2) 【解题思路】分类讨论，根据互斥事件以及对立事件的概率公式，即可求解（1）（2）． 【解答过程】（1）小队猜对3个谜题共有2种情况，①甲队猜对2个，乙队猜对1个；②甲队猜对1个，乙队猜对2个， 所以小队猜对3个谜题的概率为． （2）甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的情况有： ①甲猜对1个，乙猜对0个；②甲猜对2个，乙猜对1个；③甲猜对2个，乙猜对0个； 所以甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的概率为． 24．（24-25高一下·云南红河·期中）某人出差，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是 (1)求他乘火车或乘飞机去的概率； (2)求他不乘轮船去的概率； (3)如果他去的概率为，请问他有可能乘何种交通工具去？ 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【解题思路】（1）由互斥事件的和事件的概率公式的计算可得结果； （2）由对立事件的概率公式的计算可得结果； （3）由互斥事件的和事件的概率公式和对立事件的概率公式的计算可判定结论. 【解答过程】（1）记“他乘火车去”为事件，“他乘轮船去”为事件，“他乘汽车去”为事件，“他乘飞机去”为事件，这四个事件任意两个都不可能同时发生，故它们彼此互斥， 故，即他乘火车或乘飞机去的概率为. （2）设他不乘轮船去的概率为P， 则. （3）由于， 故他有可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去． 题型五 独立事件的乘法公式 25．（25-26高二上·海南儋州·月考）某校高二年级举行数学竞赛，已知甲､乙两名同学获奖的概率分别为和，且两人是否获奖相互独立.求： (1)两人都获奖的概率； (2)两人中恰有一人获奖的概率； (3)两人中至少有一人获奖的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）设甲，乙获奖分别为事件A，B，两人都获奖为事件，然后由独立事件概率乘法公式可得答案； （2）两人中恰有一人获奖为事件，然后由独立事件概率乘法公式，互斥事件概率加法公式可得答案； （3）两人至少有一人获奖的对立事件为，然后由对立事件概率计算公式可得答案. 【解答过程】（1）设甲，乙获奖分别为事件A，B.则， 两人都获奖为事件，则； （2）两人中恰有一人获奖为事件， 则 ； （3）两人至少有一人获奖的对立事件为，则两人至少有一人获奖的概率为：. 26．（25-26高二上·广东佛山·月考）甲、乙两人进行象棋比赛，约定先连胜2局者直接赢得比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响． (1)求恰好比赛3局后甲获胜的概率； (2)求甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）记“甲在第局获胜”为事件，“恰好比赛3局后甲获胜”为事件，由并应用独立事件乘法公式求概率； （2）记“甲在4局以内（包含4局）赢得比赛”为事件，则 ，应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率. 【解答过程】（1）记“甲在第局获胜”为事件，“恰好比赛3局后甲获胜”为事件， 所以，则， 所以恰好比赛3局后甲获胜的概率为. （2）记“甲在4局以内（包含4局）赢得比赛”为事件，则 ， 因为 ， 且， 所以， 即甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率为. 27．（25-26高二上·四川成都·期中）树德中学为提升学生的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，全校学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取200人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：    (1)求频率分布直方图中a的值.用样本估计总体，估计该校学生初赛成绩的中位数； (2)若甲、乙、丙三位同学均进入复赛，已知甲、乙、丙复赛获一等奖的概率分别为，，，甲、乙、丙获一等奖互不影响，求至少有两位同学复赛获一等奖的概率. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据频率分布直方图的性质及中位数的求法计算即可； （2）利用独立事件的概率公式计算即可. 【解答过程】（1）1）易知， 因为，则中位数位于之间， 中位数不妨设为x，则， ； （2）设事件甲、乙、丙获奖分别为 至少两位同学获奖有如下情况：甲乙获奖丙未获奖，甲丙获奖乙未获奖，乙丙获奖甲未获奖，甲乙丙三人均获奖， 则 . 28．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）央视智力快车栏目自开播以来它就以比赛的公平性、竞争的激烈性、知识的权威性在中国同类电视竞赛中独占鳌头，深受电视观众欢迎，特别是在中学生当中具有极高的人气.高二学生小华参加节目并挑战“猜字谜”环节，该环节可以挑战2次，每次挑战中他最多依次有3道题的答题机会，答对1题得5分，答错1题扣3分.若他答对当前题则继续回答下一题；若他答错当前题则失去下一题的答题机会，只能从下一题的后一题开始继续作答，直到3道题出现完，该次挑战结束小华初始分为0分，若1次挑战结束后，累计得分不低于7分，则小华该次挑战成功，否则该次挑战失败．已知小华答对任何一题的概率均为，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求： (1)第1次挑战结束时，小华恰好共答对了2道题的概率； (2)第1次挑战结束时，小华累计得分为正数的概率； (3)小华直到第2次才挑战成功的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】(1)由独立事件的乘法公式计算； (2)分三道均答对、前两道答对第三题答错、第一题答对第二题答错、第一题答错第三题答对四种情况，结合概率的加法公式和独立事件的乘法公式计算； (3)由概率的加法公式和独立事件的乘法公式计算小华在1次挑战中成功的概率，再利用独立事件的概率公式计算. 【解答过程】（1）设第一次挑战结束后，小华恰答对2道题为事件， 小华恰答对2道，即小华前2题答对且第3题答错， 所以由独立事件的乘法公式得，， 故第一次挑战结束后，小华恰答对2道题的概率为； （2）设第1次挑战结束时，小华累计得分为正数为事件， 要想累计得分为正数，则三道均答对、前两道答对第三题答错、第一题答对第二题答错、第一题答错第三题答对， 所以由概率的加法公式和独立事件的乘法公式得， ， 故第1次挑战结束时，小华累计得分为正数的概率为； （3）设小华在1次挑战中成功为事件， 小华在1次挑战中成功，则只可能是第一道和第二道答对但第三道答错或三道均答对， 则， 设小华直到第2次才挑战成功为事件，即第1次失败，第2次成功， 故， 故小华直到第2次才挑战成功的概率为. 29．（24-25高一下·甘肃定西·期末）甲､乙两人进行羽毛球对抗赛，规定一方比另一方多赢两局者获胜，且比赛结束，每局比赛赢的人，下一局比赛获得发球权.通过分析甲､乙过去比赛的数据知，每局比赛中甲发球且甲赢的概率为，乙发球且乙赢的概率为，每局比赛的结果互不影响.已知甲先发球. (1)求第二局比赛结束后乙获胜的概率； (2)求第四局比赛结束后甲获胜的概率； (3)求第六局比赛结束后甲获胜的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据比赛结果，讨论每局比赛的胜负情况，根据独立事件概率公式，求出结果； （2）根据比赛结果，讨论每局比赛的胜负情况，列出所有可能，根据独立事件概率公式，求出结果； （3）根据比赛结果，讨论每局比赛的胜负情况，列出所有可能，根据独立事件概率公式，求出结果； 【解答过程】（1）设事件表示甲发球甲获胜，事件表示乙发球甲获胜； 事件表示甲发球乙获胜，事件表示乙发球乙获胜； 可知. 则第二局比赛结束后乙获胜，即； （2）第四局比赛结束后甲获胜，则第四局一定是甲获胜，前三局甲胜2局，乙胜1局， 则事件概率为； （3）第六局比赛结束后甲获胜，则第六局一定是甲获胜，前面五局中甲获胜3句，乙获胜2局，则事件概率为 ； 则第六局比赛结束后甲获胜的概率为. 30．（25-26高二上·云南大理·月考）每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． (1)在第一轮比赛中，求甲，乙至少有一人胜出的概率； (2)若甲，乙两轮都失败的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 【答案】(1) (2)①，；② 【解题思路】（1）根据互斥事件和独立事件的概率公式求解即可； （2）①根据互斥事件和独立事件的概率公式列方程组求参数即可；②利用互斥事件和独立事件的概率公式求出甲、乙两人都没有两轮都胜出的概率，再根据互斥事件的概率公式求解即可. 【解答过程】（1）根据题意可知在第一轮比赛中甲，乙两人都失败的概率， 所以在第一轮比赛中，甲，乙至少有一人胜出的概率. （2）①记事件为甲在第轮胜出，事件为乙在第轮胜出，， 由题意相互独立，且，，，， 若甲，乙两轮都失败的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为， 则 ， ， 整理得， 所以， 将代入得，解得或， 当时；当时，不满足， 综上，； ②甲没有两轮都胜出的概率， 乙没有两轮都胜出的概率， 所以甲、乙两人都没有两轮都胜出的概率， 所以至少有一人两轮都胜出的概率为. 题型六 概率综合 31．（25-26高二上·福建泉州·期中）2025年8月21日、在官方公众号发文称，正式发布模型，此次平级也标志若国产大模型在技术选代与商业化探索中又迈出了关键一步．为强化相关技术的落实应用能力，某公司特针对两部门开展专项技能培训． (1)已知该公司部门有4位领导，部门有2位领导，需要从这6位领导中随机选取2位当组长负责组织培训工作，假设每人被抽到的可能性都相同，求两位组长都来自于部门的概率； (2)此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为每轮的培训结果均相互独立，至少两轮培训达到“优秀”才算合格，求甲培训合格的概率． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）用列举法求得选取2位当组长的总方法数，再求得两位来自于部门的不同结果，利用古典概型概率公式求解； （2）记“甲经过培训合格”，“甲第轮培训达到优秀”，再利用互斥事件的概率加法公式与独立事件的概率乘法公式求解. 【解答过程】（1）记部门的4名领导为，部门的2名领导为， 从这6位领导中随机选取2位当组长，不同结果有： ，共15个， 两位组长都来自于部门的不同结果有：，共6个， 所以两位组长都来自于部门的概率为； （2）记“甲经过培训合格”，“甲第轮培训达到优秀”， 则， ， 则 ， 所以甲经过培训合格的概率为. 32．（25-26高二上·四川宜宾·期中）2025年10月31日中国神舟二十一号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射.在太空停留期间，航天员们计划开展“天宫课堂”，在空间站进行太空授课，极大地激发了广大中学生对航天知识的兴趣.为此，某校组织了一次“航空知识答题竞赛”活动. (1)在A，B两个班中各选3名同学参加本次知识答题竞赛，经初赛，从6名同学中选2名同学参加复赛，求参加复赛的这2名同学来自同一个班的概率； (2)班进行了三轮初选活动，甲同学每轮合格概率分别为，各轮结果均相互独立，至少两轮合格记为“优秀”，求三轮初选后，甲记为“优秀”的概率 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）列出所有情况和满足题意的情况数，再根据古典概型的计算公式即可得到答案； （2）根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式即可得到答案. 【解答过程】（1）设来自班的3名同学分别为，来自班的3名同学分别为， 则总共有，共15种情况， 其中共有6种情况满足题意, 由古典概型的概率公式可得参加复赛的这2名同学来自同一个班的概率. （2）设甲同学每轮合格分别为事件，甲记为“优秀”为事件， 则， , 则三轮初选后，甲记为“优秀”的概率为. 33．（25-26高二上·山东济宁·期中）“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在宋朝.南宋时，首都临安每逢元宵节时制谜、猜谜的人众多.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有10道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了8道，乙同学猜对了6道，丙同学猜对了道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等. (1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； (2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设“任选一道灯谜甲猜对”“任选一道灯谜乙猜对”，“任选一道灯谜丙猜对”，根据独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解出； （2）设事件 “甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，则，结合对立事件的概率计算公式，列出方程，即可求解. 【解答过程】（1）设“任选一道灯谜甲猜对”“任选一道灯谜乙猜对”，“任选一道灯谜丙猜对”， 则， 可得， “甲，乙两位同学恰有一个人猜对”且与互斥， 每位同学独立竞猜，故互相独立，则与与与均相互独立， 所以， 所以甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为. （2）设事件 “甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，则， 所以， 解得，所以实数的值5. 34．（25-26高二上·广东茂名·期中）在体育比赛中，传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，现有一种新的赛制，每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局（双败赛制）.假设现有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们抽签两两分组进行比赛，胜者进入下一轮，直到决出冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入决赛；第一轮败者的两个队伍对决的胜者将跟胜者组的第二轮败者对决，其中的胜者进入决赛；最后决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示），这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为，，，，其中对阵其他三个队伍时获胜的概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为，最初分组时，，同组，，同组.    (1)若，在传统的淘汰赛赛制下，，获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并根据获得冠军的概率简单分析一下双败赛制下是否对强队更有利？ 【答案】(1)获得冠军概率为，获得冠军的概率为 (2)传统的淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为，双败赛制下，获得冠军的概率为，双败赛制对强队更有利. 【解题思路】（1）利用独立事件乘法、互斥事件加法公式列式求解. （2）分别求出不同赛制下获得冠军的概率，作差并结合强队的条件比较大小即可. 【解答过程】（1）在传统的淘汰赛赛制下，获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 则获得冠军的概率为.     依题意，获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 则获得冠军的概率为.     所以在传统的淘汰赛赛制下获得冠军概率为，获得冠军的概率为. （2）在传统的淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为， 在双败赛制下，讨论进入胜者组、败者组两种情况， 当进入胜者组，若在胜者组失败，后两局都胜，方可得冠军；若在胜者组胜利， 后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军，此时获得冠军的概率为； 当进入败者组，后三局都胜，方可得冠军，此时获得冠军的概率为， 因此获得冠军的概率为， ， 由，得，，若为强队，则，此时， 即，因此，获得冠军的概率更大， 若为强队，即时，双败赛制对强队更有利. 35．（25-26高二上·山东青岛·期中）在数学学科周中，举行数学素养选拔赛（满分分），为了了解本次比赛成绩的情况，随机抽取了名参赛学生的成绩，并分成了五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同． (1)求出频率分布直方图中、的值，并估计此次比赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (2)用分层随机抽样的方法从、两个区间共抽取出名学生，再从这名学生中随机抽取名进行交流分享，求两人至少一人在的概率； (3)甲、乙、丙名同学同时做试卷中同一道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为，假设他们三人是否解出该题互不影响．求甲、乙、丙人中至少有人解出该题的概率． 【答案】(1)，，比赛成绩的平均值为分 (2) (3) 【解题思路】（1）联立求出，再用平均数公式计算即可； （2）求出人中成绩分别在、的人数，利用列举法结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （3）先求出甲乙丙分别解出该题事件对应概率，再结合相互独立事件乘法公式和对立事件概率公式计算即可. 【解答过程】（1）由题意可知，解得， 可知每组的频率依次为、、、、， 所以此次比赛成绩的平均值为（分 ）； （2）用分层随机抽样的方法从、两个区间共抽取出名学生， 其中成绩在内的学生人数为，分别记为、、、， 成绩在的学生人数为，记为， 则从这名学生中随机抽取名进行交流分享的总体样本空间为，共个样本点， 记事件从这名学生中随机抽取名进行交流分享，两人至少一人在内， 则，共个样本点，故. （3）设“甲解出该题”为事件，“乙解出该题”为事件，“丙解出该题”为事件， “甲、乙、丙人中至少有人解出该题”为事件， 由题意得，解得， 所以. 36．（25-26高二上·广西钦州·期中）某学校组织校园安全知识竞赛．在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分，若两轮总分不低于60分则晋级复赛．小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5．在A类的5个问题中，小明只能答对个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4．他们回答任一问题正确与否互不影响． (1)求小明在第一轮得40分的概率； (2)求小芳总分为70分的概率； (3)以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？ 【答案】(1) (2) (3)小明更容易晋级复赛. 【解题思路】（1）对A类的5个问题，列出所有的样本空间，即可求出小明在第一类得40分的概率； （2）由独立事件概率乘法公式即可求解. （3）依题意能够晋级复赛，则第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分；或第一轮答对两题得分， 第二轮答对两题得分；或第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答对一题得分， 第二轮答对两题得分；分别求出小芳和小明晋级复赛的概率，进行比较得出结论. 【解答过程】（1）对A类的5个问题列出样本空间， 则有共种， 设小明只能答对4个问题的编号为：， 则小明在第一轮得40分，有共种， 则小明在第一轮得40分的概率为：； （2）小芳总分为70分，即第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时， 则概率为：； （3）由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为， 则小明在第一轮得0分的概率为：， 依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分 当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时， 小芳和小明晋级复赛的概率分别为： ； ； 当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时， 小芳和小明晋级复赛的概率分别为： ；； 当第一轮答错一题，答对一题得分，第二轮答对两题得分时， 小芳晋级复赛的概率分别为： ； 当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时， 小芳晋级复赛的概率分别为： ； 当第一轮得0分，第二轮得60分时，小明晋级复赛的概率为：； 小芳晋级复赛的概率为：； 小明晋级复赛的概率为：； ， 小明更容易晋级复赛. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 概率计算大题（36题）（举一反三专项训练） 【苏教版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 古典概型的计算及应用 1．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）一个电路中有，，三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常．    (1)写出试验的样本空间； (2)用集合表示下列事件：“电路是通路”，并求出． 2．（24-25高一下·湖南·期末）俄乌战争中无人机颠覆了传统战争的思维定式.无人机也给人们的生产、生活带来了很多的便捷.在一次无人机展会上，有三家公司参与了展销活动，甲公司带来了3款无人机，乙公司带来了2款无人机，丙公司带来了1款无人机，一购货商准备从中任选2款. (1)用适当的符号表示所有的可能结果，写出样本空间； (2)记事件“恰有一款是甲公司的”，求事件A发生的概率； (3)记事件“没有丙公司的”，求事件B发生的概率. 3．（24-25高一下·贵州黔西南·期末）现有一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，在抛掷骰子的试验中： (1)若只抛掷红色的骰子，记下骰子落地时朝上的面的点数，写出该试验的样本空间；设“骰子朝上的点数大于3”，求事件的概率； (2)若同时抛掷两枚骰子，记下骰子朝上的面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次实验的结果.设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”，分别求出事件，的概率. 4．（24-25高一下·山东烟台·期末）某学校组织学生参加交通安全和环境保护知识宣讲活动．已知该校高一某班全体学生参与上述活动的情况如下表所示： 参加交通安全知识宣讲 未参加交通安全知识宣讲 参加环境保护知识宣讲 人 人 未参加环境保护知识宣讲 人 人 (1)从该班随机选取名学生，试估计该学生至少参加一项活动的概率； (2)已知既参加交通安全知识宣讲又参加环境保护知识宣讲的名学生中，有名男生和名女生．现从这名学生中随机选取人作为主讲人，求选取的人中恰有名男生和名女生的概率． 5．（24-25高一下·天津·期末）一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品（标号为），2支二等品（标号为），1支三等品（标号为），若从中不放回地依次随机抽取2支．设事件“两支都是一等品”， “含有三等品”． (1)用圆珠笔的标号列出所有可能的抽取结果； (2)求事件的概率． 6．（24-25高一下·江苏连云港·期末）某厂生产的12件产品中，有10件合格品、2件不合格品，合格品与不合格品在外观上没有区别．从这12件产品中任意抽检2件． (1)求2件都是合格品的概率； (2)求1件是合格品、1件是不合格品的概率； (3)若抽检的2件产品都是不合格品，则这批产品将被退货，求这批产品没有被退货的概率． 题型二 古典概型与统计的交汇问题 7．（24-25高一下·湖北武汉·期末）当前中学生体质呈现“整体改善、局部恶化”的复杂态势.教育部明确将体育纳入初高中学业水平考试，并作为招生录取计分科目，学生的体育素质越来越受到关注，某高校招生拟引入体育素质评价结果，随机抽取了500名学生进行了体能素质测试，并记录得分（满分：100分），将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值并估计这500名学生成绩的平均数和中位数（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)体能素质测试分数不低于90分才能评定为体能优秀，现采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，再从这7人中随机选出两人，求这两人恰有1人体能优秀的概率. 8．（24-25高一下·河北·期末）这么近，那么美，周末到河北.“五一”小长假过后，为更好地提升旅游品质，邯郸东太行旅游度假区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），将评分绘制成频率分布直方图，请根据下面尚未完成的频率分布直方图解决下列问题. (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)估计这100名游客对景区满意度评分的中位数； (3)若工作人员从这100名游客中随机抽取了5名，其中评分在内的有2人，评分在内的有3人.现从这5人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分均在内的概率. 9．（24-25高一下·四川达州·期末）某校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格.据统计，高一年级男生需要不同规格校服的频数如下表所示. 校服规格 合计 频数 (1)请用平均数、中位数、众数中的一个量来代表该校高一年级男生所需校服的规格，并讨论用上表中的数据估计全国高一年级男生校服规格的合理性； (2)现有套不同规格的校服，将件上衣（分别用、、表示），件裤子（分别用、、表示，其中、、分别表示一套），分别装入只大小材质相同的黑色袋子.如果从中随机地取出只袋子，记事件“取出袋子里面一件是上衣，一件是裤子，但不是一套”，求． 10．（24-25高一下·河南鹤壁·期末）某校高一甲、乙两个班级分别选取5名学生参加学校举行的数学竞赛，这10名学生的竞赛成绩如下表： 甲班 71 78 82 87 92 乙班 73 77 79 88 93 (1)从表中成绩高于80分的学生中随机抽取2人，求抽取的2人中恰有1人来自甲班的概率； (2)从平均数与方差的角度，判断甲班与乙班各自选取的5名学生水平是否有差异. 11．（24-25高一下·重庆·期末）学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． (1)求的值. (2)估计此次数学测试分数的平均数与中位数．（保留一位小数） (3)若采用分层随机抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率． 12．（24-25高一下·广东梅州·期末）某校为了解高一学生的客家话水平，随机抽取了100名学生进行问卷测试，将这100名学生测试的得分按，，，，分成5组，并绘制出频率分布直方图，如图所示，设定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”. (1)求的值； (2)估计样本的中位数与平均数； (3)如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”两类学生中选出5人，再从这5人中选2人，那么恰有一人是“优秀”的概率是多少？ 题型三 频率与概率 13．（24-25高一下·江苏盐城·期末）对200个电子元件的寿命（单位：h）进行追踪调查，情况如下： 寿命 个数 20 30 80 40 30 (1)估计元件的寿命在（单位：h）内的概率； (2)估计元件的寿命在以上的概率． 14．（24-25高一上·河南南阳·期末）近些年来，我国外卖业发展迅猛，外卖骑手穿梭在城市的大街小巷，成为一道亮丽的风景线.某课外实践小组随机调查了该市的10名外卖骑手，统计他们的日单量（平均每天送的外卖单数），数据如下表： 31 37 38 32 33 42 24 20 37 26 (1)估计该市的外卖骑手日单量大于30的概率； (2)求这10名外卖骑手日单量的平均数和方差； (3)若表中第一行数据对应的外卖骑手来自甲公司，第二行数据对应的外卖骑手来自乙公司，试判断：哪家公司的外卖骑手日单量的差异更大?（直接给出结论即可，不需要写计算过程） 15．（24-25高二·上海·课堂例题）某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表： 射击次数（n） 10 20 50 100 200 500 击中10环次数（m） 8 19 44 93 178 453 击中10环频率 (1)将表格填写完整； (2)这名运动员射击一次，击中10环的经验概率约为多少？（精确到0.1） 16．（24-25高二上·贵州遵义·期末）我市某高校共有学生30000人，其中女生18000人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：h）. (1)应收集多少个男生样本数据? (2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图，其中样本数据分布区间为：，，，，，，在该校学生中任选一人，试估计该生每周平均体育运动时间不超过7h的概率. 17．（2025·全国·模拟预测）鲁班锁是一种广泛流传于中国民间的智力玩具，相传由春秋末期到战国初期的鲁班发明，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧，易拆难装，十分巧妙，每根木条上的花纹是卖点，也是手工制作的关键．某玩具公司开发了甲、乙两款鲁班锁玩具，各生产了100件样品，样品分为一等品、二等品、三等品，根据销售部市场调研分析，得到相关数据如下（单件成本利润率＝利润÷成本）： 甲款鲁班锁玩具 一等品 二等品 三等品 单件成本利润率 10% 8% 4% 频数 10 60 30 乙款鲁班锁玩具 一等品 二等品 三等品 单件成本利润率 7.5% 5.5% 3% 频数 50 30 20 (1)用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，求该产品是一等品的概率； (2)若甲、乙两款鲁班锁玩具的投资成本均为20000元，且每件的投资成本是相同的，分别求投资这两款鲁班锁玩具所获得的利润． 18．（24-25高一下·广东揭阳·期末）某校以课程建设为核心，建立了学生劳动实践基地，开发了农事劳作课程，开展课外种植、养殖活动，打算引进小动物甲以及成立养殖小组．为了解学生的养殖意愿，该校在一年级的100名学生中进行问卷调查，调查数据如下： 性别 养殖小动物甲 喜欢 不喜欢 男生 20 30 女生 40 10 (1)分别估计该校男、女生中喜欢养殖小动物甲的概率； (2)学校决定由一年级负责养殖小动物甲，现按分层随机抽样的方法从一年级喜欢小动物甲的学生中随机抽取6名学生组成养殖小组，再从这6名学生中随机抽取2人担任养殖小组主要负责人，求这2人恰好都是女生的概率． 题型四 互斥事件、对立事件的概率计算 19．（24-25高一下·河南驻马店·阶段检测）已知一个古典概型试验中，事件发生的概率为，事件B发生的概率为，且事件和事件的并集发生的概率为. (1)求事件和事件同时发生的概率. (2)若事件是事件的对立事件，求事件和事件同时发生的概率. (3)若事件是事件和事件的交集的对立事件，求事件发生的概率. 20．（24-25高一下·全国·课堂例题）玻璃球盒中装有除颜色外完全相同的球共12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球，求从中取1球： (1)取得红球或黑球的概率； (2)取得红球或黑球或白球的概率． 21．（24-25高一下·全国·课堂例题）某射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.1，0.2，0.3，0.3，0.1.计算这个运动员在一次射击中： (1)射中10环或9环的概率； (2)至少射中7环的概率． 22．（24-25高一下·全国·单元测试）黄种人群中各种血型的人所占的比例如下： 血型 该血型的人所占比例（%） 28 29 8 35 已知同种血型的人可以输血，型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，张三是型血，若张三因病需要输血，问： (1)任找一个人，其血可以输给张三的概率是多少？ (2)任找一个人，其血不能输给张三的概率是多少？ 23．（24-25高一下·江苏镇江·期末）甲、乙两人组成小队参加数学趣味谜题竞猜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个谜题，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响，该小队共参加了两轮活动． (1)求小队猜对3个谜题的概率； (2)求甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的概率． 24．（24-25高一下·云南红河·期中）某人出差，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是 (1)求他乘火车或乘飞机去的概率； (2)求他不乘轮船去的概率； (3)如果他去的概率为，请问他有可能乘何种交通工具去？ 题型五 独立事件的乘法公式 25．（25-26高二上·海南儋州·月考）某校高二年级举行数学竞赛，已知甲､乙两名同学获奖的概率分别为和，且两人是否获奖相互独立.求： (1)两人都获奖的概率； (2)两人中恰有一人获奖的概率； (3)两人中至少有一人获奖的概率. 26．（25-26高二上·广东佛山·月考）甲、乙两人进行象棋比赛，约定先连胜2局者直接赢得比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响． (1)求恰好比赛3局后甲获胜的概率； (2)求甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率. 27．（25-26高二上·四川成都·期中）树德中学为提升学生的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，全校学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取200人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：    (1)求频率分布直方图中a的值.用样本估计总体，估计该校学生初赛成绩的中位数； (2)若甲、乙、丙三位同学均进入复赛，已知甲、乙、丙复赛获一等奖的概率分别为，，，甲、乙、丙获一等奖互不影响，求至少有两位同学复赛获一等奖的概率. 28．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）央视智力快车栏目自开播以来它就以比赛的公平性、竞争的激烈性、知识的权威性在中国同类电视竞赛中独占鳌头，深受电视观众欢迎，特别是在中学生当中具有极高的人气.高二学生小华参加节目并挑战“猜字谜”环节，该环节可以挑战2次，每次挑战中他最多依次有3道题的答题机会，答对1题得5分，答错1题扣3分.若他答对当前题则继续回答下一题；若他答错当前题则失去下一题的答题机会，只能从下一题的后一题开始继续作答，直到3道题出现完，该次挑战结束小华初始分为0分，若1次挑战结束后，累计得分不低于7分，则小华该次挑战成功，否则该次挑战失败．已知小华答对任何一题的概率均为，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求： (1)第1次挑战结束时，小华恰好共答对了2道题的概率； (2)第1次挑战结束时，小华累计得分为正数的概率； (3)小华直到第2次才挑战成功的概率. 29．（24-25高一下·甘肃定西·期末）甲､乙两人进行羽毛球对抗赛，规定一方比另一方多赢两局者获胜，且比赛结束，每局比赛赢的人，下一局比赛获得发球权.通过分析甲､乙过去比赛的数据知，每局比赛中甲发球且甲赢的概率为，乙发球且乙赢的概率为，每局比赛的结果互不影响.已知甲先发球. (1)求第二局比赛结束后乙获胜的概率； (2)求第四局比赛结束后甲获胜的概率； (3)求第六局比赛结束后甲获胜的概率. 30．（25-26高二上·云南大理·月考）每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． (1)在第一轮比赛中，求甲，乙至少有一人胜出的概率； (2)若甲，乙两轮都失败的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 题型六 概率综合 31．（25-26高二上·福建泉州·期中）2025年8月21日、在官方公众号发文称，正式发布模型，此次平级也标志若国产大模型在技术选代与商业化探索中又迈出了关键一步．为强化相关技术的落实应用能力，某公司特针对两部门开展专项技能培训． (1)已知该公司部门有4位领导，部门有2位领导，需要从这6位领导中随机选取2位当组长负责组织培训工作，假设每人被抽到的可能性都相同，求两位组长都来自于部门的概率； (2)此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为每轮的培训结果均相互独立，至少两轮培训达到“优秀”才算合格，求甲培训合格的概率． 32．（25-26高二上·四川宜宾·期中）2025年10月31日中国神舟二十一号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射.在太空停留期间，航天员们计划开展“天宫课堂”，在空间站进行太空授课，极大地激发了广大中学生对航天知识的兴趣.为此，某校组织了一次“航空知识答题竞赛”活动. (1)在A，B两个班中各选3名同学参加本次知识答题竞赛，经初赛，从6名同学中选2名同学参加复赛，求参加复赛的这2名同学来自同一个班的概率； (2)班进行了三轮初选活动，甲同学每轮合格概率分别为，各轮结果均相互独立，至少两轮合格记为“优秀”，求三轮初选后，甲记为“优秀”的概率 33．（25-26高二上·山东济宁·期中）“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在宋朝.南宋时，首都临安每逢元宵节时制谜、猜谜的人众多.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有10道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了8道，乙同学猜对了6道，丙同学猜对了道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等. (1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； (2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值. 34．（25-26高二上·广东茂名·期中）在体育比赛中，传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，现有一种新的赛制，每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局（双败赛制）.假设现有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们抽签两两分组进行比赛，胜者进入下一轮，直到决出冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入决赛；第一轮败者的两个队伍对决的胜者将跟胜者组的第二轮败者对决，其中的胜者进入决赛；最后决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示），这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为，，，，其中对阵其他三个队伍时获胜的概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为，最初分组时，，同组，，同组.    (1)若，在传统的淘汰赛赛制下，，获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并根据获得冠军的概率简单分析一下双败赛制下是否对强队更有利？ 35．（25-26高二上·山东青岛·期中）在数学学科周中，举行数学素养选拔赛（满分分），为了了解本次比赛成绩的情况，随机抽取了名参赛学生的成绩，并分成了五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同． (1)求出频率分布直方图中、的值，并估计此次比赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (2)用分层随机抽样的方法从、两个区间共抽取出名学生，再从这名学生中随机抽取名进行交流分享，求两人至少一人在的概率； (3)甲、乙、丙名同学同时做试卷中同一道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为，假设他们三人是否解出该题互不影响．求甲、乙、丙人中至少有人解出该题的概率． 36．（25-26高二上·广西钦州·期中）某学校组织校园安全知识竞赛．在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分，若两轮总分不低于60分则晋级复赛．小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5．在A类的5个问题中，小明只能答对个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4．他们回答任一问题正确与否互不影响． (1)求小明在第一轮得40分的概率； (2)求小芳总分为70分的概率； (3)以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $