专题 11.3 二次根式的加减（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年苏科版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 11.3 二次根式的加减（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】二次根式的加减 1 【题型 1】二次根式的加减运算 1 【题型 2】二次根式的加减运算化简求值 2 【知识点二】二次根式的混合运算 2 【题型 3】二次根式的混合运算 2 【题型 4】二次根式的混合运算化简求值 3 【题型 5】二次根式的大小比较 4 二.综合培优题型精析 4 【知识点三】有理化因式 5 【题型 6】互为有理化因式 5 【知识点四】海伦——秦九韶公式 6 【题型 7】海伦一秦九韶公式 6 三.同步检测 7 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 7 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 9 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】二次根式的加减 二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式. 【要点提示】（1）先将所有二次根式化为最简二次根式；（2）只有同类二次根式才能合并，非同类二次根式不能合并；（3）合并法则：只合并根号外的系数，根号与被开方数保持不变；（4）易错提醒：不可直接把被开方数相加，必须先化简再运算。 【题型 1】二次根式的加减运算 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： （1）； （2）． 【变式1】（25-26八年级下·湖北·期中）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·山东聊城·开学考试）若一个等腰三角形的两条边长，满足，则这个三角形的周长为________． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： （1）； （2）． 【题型 2】二次根式的加减运算化简求值 【例题2】（25-26八年级下·北京·期中）已知，求下列代数式的值． （1）_______，_______； （2）． 【变式1】（24-25八年级下·湖北荆州·期末）当时，代数式 （      ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2025 【变式2】（25-26八年级下·福建福州·期中）若，求的值为______． 【变式3】（25-26八年级下·北京大兴·期中）当时，求代数式的值． 【知识点二】二次根式的混合运算 （1）运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内；（2）运算规律：整式的运算法则、运算律、乘法公式，在二次根式运算中同样适用；（3）根式运算：二次根式乘除依照根式性质计算，加减只合并同类二次根式；（4）分母要求：运算过程中及时分母有理化，分母不能含根号；（5）结果要求：最终结果必须化成最简二次根式。 【题型 3】二次根式的混合运算 【例题3】（25-26八年级下·山东淄博·期中）计算： （1）； （2）． 【变式1】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·安徽马鞍山·期中）计算：_______． 【变式3】（25-26八年级下·内蒙古通辽·期中）计算： （1）； （2）． 【题型 4】二次根式的混合运算化简求值 【例题4】（25-26八年级下·北京·期中）在解决问题“已知，求的值”时，乐乐是这样分析与解答的： ， ， ， ， ， ． 请你根据乐乐的分析过程，解决下面问题： （1）计算：_____； （2）化简：； （3）若，求的值． 【变式1】（25-26八年级上·安徽六安·月考）当时，代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·期中）设，，则_______；_______． 【变式3】（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【题型 5】二次根式的大小比较 【例题5】（24-25八年级下·河南周口·期中）王老师在小结时总结了这样一句话：“对于任意两个正整数a、b，如果，那么，”然后讲解了下面一道例题： 比较和的大小． 方法：， 因为8＜12，所以，即 方法二：， 因为，所以 参考上面例题的解法，解答下列问题： （1）比较与的大小； （2）比较与的大小． 【变式1】（25-26八年级上·全国·周测）已知甲、乙、丙三数，甲，乙，丙，则甲、乙、丙的大小关系为（   ） A．甲=乙=丙 B．丙<甲<乙 C．甲<丙<乙 D．丙<乙<甲 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·月考）的绝对值是_____，的绝对值是_____． 【变式3】（25-26八年级上·上海·月考）比较大小： （1）______； （2）______． 二.综合培优题型精析 【知识点三】有理化因式 两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式。 【题型 6】互为有理化因式 【例题6】（25-26八年级下·河南开封·月考）阅读下列材料，然后回答问题： 有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫作有理化因式． 例如：的一个有理化因式是；的一个有理化因式是． 分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果．二次根式中分母有根号，通常在分子、分母上同乘一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：；． （1）填空：的有理化因式是______（写出一个即可）；的有理化因式是______． （2）把下列式子分母有理化： （3）化简：． 【变式1】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列式子不是的有理化因式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·上海长宁·月考）的一个有理化因式为________，的一个有理化因式为________． 【变式3】（24-25八年级下·吉林·期中）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （i）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是的有理化因式是． （ii）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：． 【知识运用】 （1）填空：的有理化因式是______（写出一个即可）；的有理化因式是______； （2）把下列式子分母有理化：． 【知识点四】海伦——秦九韶公式 在《数书九章》中，南宋数学家秦九韶（1208—约1261）提出了解决“已知三角形的三条边，求三角形面积”这个问题的办法，即著名的“三斜求积术”。用字母表示这个方法就是：若三角形的三边为那么三角形的面积S的计算公式为： 古希腊数学家海伦也给出了根据三角形三边求面积的公式，即“海伦公式”： 得出： 因此“海伦公式”又被称为“海伦-秦九韶公式”. 【题型 7】海伦一秦九韶公式 【例题7】（24-25八年级下·湖北襄阳·期中）综合与实践 【阅读材料】小明在学习了二次根式的运算之后，对教材第16页阅读与思考的“海伦－秦九韶公式”进行了探究．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，古希腊几何学家海伦给出了这个三角形的面积公式为 （S表示三角形的面积，p表示三角形周长的一半），我国南宋数学家秦九韶给出的面积公式为，小明通过对秦九韶给出的公式进行变形可以得到海伦给出的公式，说明这两个公式实质上是同一个公式． 根据上面信息，解答以下问题： 【学以致用】（1）一个三角形的三边长分别为，，． ①请利用海伦给出的公式，计算p和S的值； ②请利用秦九韶给出的公式求这个三角形的面积． 【拓展应用】（2）如图，在中，是高，若，，，求的长及的面积． 【变式1】（2025·河南省直辖县级单位·模拟预测）海伦--秦九韶公式古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为、、，记，那么三角形的面积为：，在中，，，所对的边分别是、、，若、、，则的面积为（  ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁大连·期中）古今中外的不少学者对三角形面积的计算做出了诸多思考，尤其值得一提的是古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶均提出了类似的计算办法：若三角形三边长分别为a，b，c，记，则三角形的面积为，因此后人将他们的发现合称为海伦－秦九韶公式．若中，，，请你利用海伦－秦九韶公式计算的面积为________． 【变式3】（24-25八年级下·福建龙岩·月考）【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦-秦九韶公式”﹔如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知如图在中，，，． （1）请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积． （2）除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·四川泸州·期中）若，则代数式的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）计算的结果是（    ） A．1 B． C． D． 6．（25-26八年级上·湖南常德·期末）按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（    ） A． B． C．2 D． 7．（2026·安徽合肥·一模）如图，在中，，点D在的延长线上，且，则的长是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图1，在中，，点从点出发沿着运动，记点运动的路径长为的面积为与的函数图象如图2所示，则下列说法正确的是（    ） A．的长度为6 B．的面积为6 C．的周长为9 D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级下·山东青岛·期中）计算：__________． 10．（25-26七年级下·上海·期中）化简： _____． 11．（25-26八年级下·四川泸州·月考）若，则的值为_____． 12．（24-25八年级下·广西·期中）已知，则的值为______． 13．（2026·安徽阜阳·一模）比较大小：______． 14．（25-26八年级下·湖北荆州·期中）计算：___________． 15．（25-26九年级下·重庆·期中）若n为正整数，且满足，则_________． 16．（2026·浙江衢州·一模）如图，矩形是一张长宽比为的标准纸，将矩形纸片沿折叠，使得点C落在点处，且A，，E三点在同一直线上，则______． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·山东德州·期中）计算： （1）； （2）． 18．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）已知，，求下列各式的值： （1） （2）． 19．（25-26八年级下·江西上饶·期中）【课本再现】八下人教版教科书《二次根式》一章的“阅读与思考”中介绍了“海伦-秦九韶公式”（又称三斜求积术），即如果一个三角形的三边长分别是a，b，c， ，那么三角形的面积为 ． 【灵活运用】请利用海伦-秦九韶公式回答以下问题： （1）如图1，三边长分别为6，12，14的三角形面积为 ； （2）如图2，在四边形 中，，，，，，求该四边形的面积． 20．（25-26八年级上·安徽·寒假作业）阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 11.3 二次根式的加减（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】二次根式的加减 1 【题型 1】二次根式的加减运算 1 【题型 2】二次根式的加减运算化简求值 4 【知识点二】二次根式的混合运算 5 【题型 3】二次根式的混合运算 6 【题型 4】二次根式的混合运算化简求值 7 【题型 5】二次根式的大小比较 11 二.综合培优题型精析 13 【知识点三】有理化因式 13 【题型 6】互为有理化因式 13 【知识点四】海伦——秦九韶公式 16 【题型 7】海伦一秦九韶公式 17 三.同步检测 21 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 21 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 25 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 28 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】二次根式的加减 二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式. 【要点提示】（1）先将所有二次根式化为最简二次根式；（2）只有同类二次根式才能合并，非同类二次根式不能合并；（3）合并法则：只合并根号外的系数，根号与被开方数保持不变；（4）易错提醒：不可直接把被开方数相加，必须先化简再运算。 【题型 1】二次根式的加减运算 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，解题的关键是正确化简二次根式． （1）先化简二次根式，再去括号进行加减运算； （2）先化简二次根式，再去括号进行加减运算． 解：（1）解： （2）解： 【变式1】（25-26八年级下·湖北·期中）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类二次根式的合并法则，逐一判断选项即可得到结果． 解：对A选项，，与不是同类二次根式，不能合并，∴A错误． 对B选项，，∴B错误． 对C选项，，∴C正确． 对D选项，与不是同类二次根式，不能合并，∴D错误． 【变式2】（25-26八年级下·山东聊城·开学考试）若一个等腰三角形的两条边长，满足，则这个三角形的周长为________． 【答案】 【分析】先根据题意，求得，，分情况讨论①当为等腰三角形的腰时，②当为等腰三角形的腰时，再利用三角形三边关系进行验证，即可求解． 解：∵， ∴，， ∴，， 当为等腰三角形的腰时，等腰三角形的三边长分别为：，，， ∵，， ∴， ∴不满足三角形三边关系，不能构成三角形； 当为等腰三角形的腰时，等腰三角形的三边长分别为：，，， ∵， ∴满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴这个三角形的周长为． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质进行化简，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． （2）先根据二次根式的性质进行化简，再去括号，最后运算加减法，即可作答． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【题型 2】二次根式的加减运算化简求值 【例题2】（25-26八年级下·北京·期中）已知，求下列代数式的值． （1）_______，_______； （2）． 【答案】（1）；（2） 解：（1）解：∵， ∴， ， （2）解：∵，， ∴ ． 【变式1】（24-25八年级下·湖北荆州·期末）当时，代数式 （      ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2025 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，直接利用完全平方公式将原式变形，进而代入已知数据求出答案． 解：当时， ． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级下·福建福州·期中）若，求的值为______． 【答案】5 【分析】先进行分母有理化，再将代数式进行因式分解后，代值计算即可． 解：∵， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·北京大兴·期中）当时，求代数式的值． 【答案】 解：把代入，得 【知识点二】二次根式的混合运算 （1）运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内；（2）运算规律：整式的运算法则、运算律、乘法公式，在二次根式运算中同样适用；（3）根式运算：二次根式乘除依照根式性质计算，加减只合并同类二次根式；（4）分母要求：运算过程中及时分母有理化，分母不能含根号；（5）结果要求：最终结果必须化成最简二次根式。 【题型 3】二次根式的混合运算 【例题3】（25-26八年级下·山东淄博·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再计算括号里的减法，然后计算乘除法，最后计算加法即可； （2）化简二次根式、计算除法，利用平方差公式计算，最后计算加减法即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 解：A： ，∴ A错误； B： ，∴ B正确； C：，∴ C错误； D：，∴ D错误． 【变式2】（25-26八年级下·安徽马鞍山·期中）计算：_______． 【答案】 / 解：． 【变式3】（25-26八年级下·内蒙古通辽·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）原式分别计算二次根式的除法和乘法以及化简，然后再进行加减运算即可； （2）原式分别根据平方差公式和完全平方公式将括号展开后，再合并即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【题型 4】二次根式的混合运算化简求值 【例题4】（25-26八年级下·北京·期中）在解决问题“已知，求的值”时，乐乐是这样分析与解答的： ， ， ， ， ， ． 请你根据乐乐的分析过程，解决下面问题： （1）计算：_____； （2）化简：； （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）分子与分母同乘以，即可求解； （2）将每个二次根式分别分母有理化，然后再计算二次根式的加减即可； （3）根据乐乐的解题方法，逐步求解即可． 解：（1）解：； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， ， ． 【变式1】（25-26八年级上·安徽六安·月考）当时，代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对进行分母有理化，确定的具体值与正负性．然后对代数式中的二次根式里的多项式和分母的多项式分别进行因式分解，再根据的正负性去掉二次根式的符号，再对化简后的代数式进行约分，最后代入的值计算． 解：∵， ∴，， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·期中）设，，则_______；_______． 【答案】 15 【分析】本题考查二次根式的计算：通过有理化分母化简a和b的值，然后分别计算和． 解：， ， ； ， ， ， ． 故答案为：；15． 【变式3】（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（）首先需对和进行分母有理化，求出与的值，再整体代入计算结果； （）首先需对和进行分母有理化，求出与的值，再运用完全平方公式，将化为，再代入数值计算即可求解． 解：（1）解：∵，， ∴ ， ， ∴； （2）解：∵，， ∴ ， ， ∴． 【题型 5】二次根式的大小比较 【例题5】（24-25八年级下·河南周口·期中）王老师在小结时总结了这样一句话：“对于任意两个正整数a、b，如果，那么，”然后讲解了下面一道例题： 比较和的大小． 方法：， 因为8＜12，所以，即 方法二：， 因为，所以 参考上面例题的解法，解答下列问题： （1）比较与的大小； （2）比较与的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题中所给方法，对两个根式进行平方，比较平方后的两数的大小即可得出结论． （2）根据题中所给方法，对两个根式进行平方，比较平方后的两数的大小即可得出结论． 解：（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ． 【变式1】（25-26八年级上·全国·周测）已知甲、乙、丙三数，甲，乙，丙，则甲、乙、丙的大小关系为（   ） A．甲=乙=丙 B．丙<甲<乙 C．甲<丙<乙 D．丙<乙<甲 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是确定各数在哪两个整数之间．由可知，，再将甲、乙、丙进行比较即可． 解：， ，， ∴丙<乙<甲． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·月考）的绝对值是_____，的绝对值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了求无理数的绝对值，无理数的估算，二次根式的乘法． 先求出两无理数的正负，再求绝对值即可． 解：∵，， ∴，即， ∴； ∵，，， ∴，即， ∴； 故答案为：，． 【变式3】（25-26八年级上·上海·月考）比较大小： （1）______； （2）______． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了无理数的大小比较，二次根式的混合运算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）分别计算两个无理数的平方，比较平方的大小，即可得解； （2）对两个无理数进行分子有理化，得到分子相同的分数，比较分母的大小，即可得解． 解：（1）解：，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，， ∵，， ∴， ∴． 二.综合培优题型精析 【知识点三】有理化因式 两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式。 【题型 6】互为有理化因式 【例题6】（25-26八年级下·河南开封·月考）阅读下列材料，然后回答问题： 有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫作有理化因式． 例如：的一个有理化因式是；的一个有理化因式是． 分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果．二次根式中分母有根号，通常在分子、分母上同乘一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：；． （1）填空：的有理化因式是______（写出一个即可）；的有理化因式是______． （2）把下列式子分母有理化： （3）化简：． 【答案】（1），；（2）；（3）2024 【分析】（1）根据新定义，进行求解即可； （2）把的分子、分母同时乘以，进行化简即可； （3）先进行分母有理化，再根据平方差公式进行计算即可． 解：（1）解：， 的有理化因式是， ， 的有理化因式是； （2）解： ； （3）解：∵ ∴原式 ． 【变式1】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列式子不是的有理化因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理化因式的概念，关键是通过相乘验证是否消除根式．注意选项C的乘积仍保留根式结构． 有理化因式需满足与给定式子相乘后结果不含根式．通过计算各选项与 的乘积，判断是否含根式． 解：∵ 有理化因式应使乘积不含根式， A．，不含根式； B．，不含根式； C．，仍含根式； D．，不含根式． ∴ 选项C不是有理化因式． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·上海长宁·月考）的一个有理化因式为________，的一个有理化因式为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的有理化，根据二次根式的乘法法则进行二次根式有理化．本题二次根式有理化主要利用平方差公式和完全平方公式． 二次根式的有理化的目的就是去掉根号，分别根据平方差公式和完全平方公式即可求解． 解：∵， ∴的一个有理化因式为； ∵， 故的一个有理化因式是， 故答案为：，． 【变式3】（24-25八年级下·吉林·期中）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （i）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是的有理化因式是． （ii）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：． 【知识运用】 （1）填空：的有理化因式是______（写出一个即可）；的有理化因式是______； （2）把下列式子分母有理化：． 【答案】（1）（答案不唯一）；（答案不唯一）；（2） 【分析】本题考查了有理化因式，以及分母有理化，理解有理化因式的定义是解答本题的关键． （1）根据有理化因式的定义求解即可； （2）把分子、分母都乘以计算即可． 解：（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是． 故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）； （2）解：． 【知识点四】海伦——秦九韶公式 在《数书九章》中，南宋数学家秦九韶（1208—约1261）提出了解决“已知三角形的三条边，求三角形面积”这个问题的办法，即著名的“三斜求积术”。用字母表示这个方法就是：若三角形的三边为那么三角形的面积S的计算公式为： 古希腊数学家海伦也给出了根据三角形三边求面积的公式，即“海伦公式”： 得出： 因此“海伦公式”又被称为“海伦-秦九韶公式”. 【题型 7】海伦一秦九韶公式 【例题7】（24-25八年级下·湖北襄阳·期中）综合与实践 【阅读材料】小明在学习了二次根式的运算之后，对教材第16页阅读与思考的“海伦－秦九韶公式”进行了探究．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，古希腊几何学家海伦给出了这个三角形的面积公式为 （S表示三角形的面积，p表示三角形周长的一半），我国南宋数学家秦九韶给出的面积公式为，小明通过对秦九韶给出的公式进行变形可以得到海伦给出的公式，说明这两个公式实质上是同一个公式． 根据上面信息，解答以下问题： 【学以致用】（1）一个三角形的三边长分别为，，． ①请利用海伦给出的公式，计算p和S的值； ②请利用秦九韶给出的公式求这个三角形的面积． 【拓展应用】（2）如图，在中，是高，若，，，求的长及的面积． 【答案】（1）①，；②24；（2）， 【分析】此题主要考查了二次根式的应用，勾股定理，理解定义，正确化简二次根式是解题关键． （1）直接利用已知公式求出p的值，进而代入海伦的三角形面积公式中得出答案；②直接利用秦九韶给出的公式代入求值即可． （2）因为三角形的三边长都是整数，所以代入海伦公式求出求p和S，然后根据面积求出三角形的高，根据勾股定理求出，再利用三角形面积公式即可解答． 解：（1）①因为，，， 所以．     所以 =     ．     ②           ．     （2），，， 所以．     所以．     ∵， ∴．     ∴． ∴ ． 【变式1】（2025·河南省直辖县级单位·模拟预测）海伦--秦九韶公式古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为、、，记，那么三角形的面积为：，在中，，，所对的边分别是、、，若、、，则的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了二次根式的应用，利用阅读材料，先计算出的值，然后根据海伦秦九韶公式计算的面积即可．解题的关键是代入后正确的运算以及化简二次根式． 解：∵、、， ∴， ∴的面积， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁大连·期中）古今中外的不少学者对三角形面积的计算做出了诸多思考，尤其值得一提的是古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶均提出了类似的计算办法：若三角形三边长分别为a，b，c，记，则三角形的面积为，因此后人将他们的发现合称为海伦－秦九韶公式．若中，，，请你利用海伦－秦九韶公式计算的面积为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，三角形面积的计算，读懂题意，弄清海伦公式的计算方法是解题的关键． 先根据的三边长求出的值，然后再代入面积公式，进行计算即可得到答案． 解：由题意可得：，， ， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·福建龙岩·月考）【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦-秦九韶公式”﹔如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知如图在中，，，． （1）请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积． （2）除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 【答案】（1）过程见分析，面积；（2）见分析 【分析】本题考查了代数式求值，勾股定理，准确计算是解题关键． （1）直接用海伦—秦九韶公式计算面积即可； （2）过C作于H，设，则，利用勾股定理表示出，用三角形面积公式即可求解． 解：（1）解：∵三角形三边长分别为4、5、7， ∴ ∴ （2）解：过C作于H，设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得：． 在中，， ∴． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同类二次根式合并法则、二次根式的性质、二次根式乘法法则逐一判断选项即可． 解：选项A：与不是同类二次根式，不能直接合并，故A错误． 选项B： ，故B正确． 选项C：，故C错误． 选项D： ，故D错误． 2．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算，按照二次根式的运算法则逐个计算选项，即可得到正确答案． 解：A、，故该选项不符合题意； B、是最简二次根式，无法化简为，即，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意． 3．（25-26八年级下·四川泸州·期中）若，则代数式的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用完全平方公式可得，代入计算即可． 解：∵， ∴ ． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，分母有理化， 先分别表示出，再比较分母即可. 解：，，， ， ， 即. 故选：D. 5．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）计算的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用积的乘方逆运算将原式变形再结合平方差公式进行计算． 解：原式 ． 6．（25-26八年级上·湖南常德·期末）按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据程序框图，先计算输入值与的和，判断其正负性，若大于0则乘以，否则除以，最后利用平方差公式计算即可． 解：输入， 第一步运算：， ， ， 选择“是”的分支进行运算， 输出值为： ． 7．（2026·安徽合肥·一模）如图，在中，，点D在的延长线上，且，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解． 解：过点作的延长线于点，则， ∵，， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 8．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图1，在中，，点从点出发沿着运动，记点运动的路径长为的面积为与的函数图象如图2所示，则下列说法正确的是（    ） A．的长度为6 B．的面积为6 C．的周长为9 D． 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，二次根式的计算，解题的关键在于根据动点问题的函数图象获取需要的信息． 由题意可知，，设，则，结合图象得到，进而求出，利用勾股定理，以及函数图象中的信息逐项分析求解，即可解题． 解：由题意可知，， 设，则， 当点运动到点时，， 解得或， 或， 故A选项错误，不符合题意； 由图知，当点运动到点时，的面积的面积， 故B选项错误，不符合题意； 的周长为， 故C选项错误，不符合题意； 当，则， ； 当，则， ； 故D选项正确，符合题意； 故选：D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级下·山东青岛·期中）计算：__________． 【答案】 解：． 10．（25-26七年级下·上海·期中）化简： _____． 【答案】 解： ． 11．（25-26八年级下·四川泸州·月考）若，则的值为_____． 【答案】2 【分析】先整理，再代入，然后运用平方差公式计算，即可作答． 解：∵， ． 12．（24-25八年级下·广西·期中）已知，则的值为______． 【答案】9 【分析】本题考查完全平方公式的应用，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据完全平方公式将两边平方，然后求解即可． 解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：9． 13．（2026·安徽阜阳·一模）比较大小：______． 【答案】 解：∵， ∴． 14．（25-26八年级下·湖北荆州·期中）计算：___________． 【答案】10 【分析】观察原式结构，符合平方差公式的特征，可利用平方差公式展开后化简计算. 解： ． 15．（25-26九年级下·重庆·期中）若n为正整数，且满足，则_________． 【答案】4 【分析】先利用二次根式混合运算法则化简式子，再估算化简后式子的取值范围，进而确定的值． 解： ， 因为， 所以， 即， ， 即， 所以． 16．（2026·浙江衢州·一模）如图，矩形是一张长宽比为的标准纸，将矩形纸片沿折叠，使得点C落在点处，且A，，E三点在同一直线上，则______． 【答案】/ 【分析】设矩形的长为，宽为，根据矩形的性质得，，，根据折叠的性质得，，，则，利用勾股定理求出，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，即可解答． 解：设矩形的长为，宽为， 则，，， 由折叠的性质得，，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·山东德州·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 解：（1）解： ； （2）解： ． 18．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）已知，，求下列各式的值： （1） （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接根据平方差公式计算即可； （2）根据完全平方公式将原式转化为，进而将已知数据代入计算即可． 解：（1）解： （2）解： ． 19．（25-26八年级下·江西上饶·期中）【课本再现】八下人教版教科书《二次根式》一章的“阅读与思考”中介绍了“海伦-秦九韶公式”（又称三斜求积术），即如果一个三角形的三边长分别是a，b，c， ，那么三角形的面积为 ． 【灵活运用】请利用海伦-秦九韶公式回答以下问题： （1）如图1，三边长分别为6，12，14的三角形面积为 ； （2）如图2，在四边形 中，，，，，，求该四边形的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据海伦公式计算即可； （2）连接，结合勾股定理和海伦公式计算即可． 解：（1）解：令，，， ∴， ∴三角形的面积为 ； （2）解：如图，连接， ∵， ∴； 在中，令，，， ∴， ∴ ， ∴ ． 20．（25-26八年级上·安徽·寒假作业）阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 【答案】（1）；（2）2025；（3） 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）根据所给等式解答即可； （2）根据规律，化简计算即可． （3）根据，得，再求出，然后化简计算即可． 解：（1） ． 故答案为：； （2） ． （3）∵， ∴且， 解得， 故， 解得． ∴原式． ∵ ∴原式 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $