等式的性质1与解方程（教案）-2025-2026学年苏教版数学五年级下册

《等式的性质与解方程（1）》导学案 ——苏教版数学五年级下册 第一单元 简易方程 第2课时 【学习内容】 苏教版五年级数学下册教材第2～4页，例3、例4及相关练习。 【学习目标】 1. 通过天平演示，理解和掌握等式的性质（一）：等式两边同时加上或减去同一个数，所得的结果仍然是等式。 2. 初步理解“方程的解”和“解方程”的含义，能运用等式的性质（一）解只含加法或减法运算的简单方程。 3. 在解方程的过程中体会化归思想，能对结果进行检验，养成自觉验算的习惯。 【学习重点】 掌握等式的性质（一），会用这个性质解形如 x±a=b 的一步计算方程。 【学习难点】 理解“方程的解”和“解方程”的区别与联系，掌握正确的解方程书写格式。 【学法指导】 1. 自主阅读教材P2～4，观察例3中的天平图，思考天平保持平衡的条件。 2. 尝试用等式表示天平的变化过程，归纳等式的性质。 3. 模仿例4的书写格式，尝试独立解方程并在小组内交流检验方法。 一、课前预习 预习要求：认真阅读教材P2-4，回答下列问题。 预习思考题： 1. 观察教材第2页例3的天平图，天平两端保持平衡说明了什么？在天平两端各加上一个相同质量的砝码或各拿掉一个相同质量的砝码，天平还平衡吗？这说明了什么？ 2. 在教材第3页例4中，“解：x+10=50”后面写的是怎样的过程？x=40右边的“x=40”是怎样得到的？ 3. 什么叫“方程的解”？什么叫“解方程”？它们有什么不同？ 二、新知讲授 知识点一：等式的性质（一） 知识要点： 1. 等式：表示相等关系的式子叫做等式。例如 50+50=100，x+10=50。 2. 等式的性质（一）：等式两边同时加上或减去同一个数，所得的结果仍然是等式。 3. 用字母表示：若 a=b，则 a+c=b+c，a-c=b-c（c为任意数）。 4. 等式的性质（一）是天平平衡原理的数学抽象： （1）天平两边同时放入相同质量的砝码→天平仍平衡→等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立 （2）天平两边同时取下相同质量的砝码→天平仍平衡→等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立 【特别提醒】 1.“同时”意味着等式两边必须同步进行相同的操作 2.“同一个数”意味着两边加（或减）的数必须完全相同 3.等式的性质是解方程的理论依据，不是死记硬背的操作口诀 例题 1（基础）——等式性质的判断 题目：已知 5x=100，根据等式的性质，下列说法正确的是（ ） A. 5x+10=100+5　　B. 5x-20=100-20　　C. 5x+30=100-30 【解析】 根据等式的性质，等式两边必须同时加上或减去“同一个数”。 选项A：左边加10，右边加5，不是同一个数，错误。 选项B：左右两边同时减去20，是同一个数，成立。 选项C：左边加30，右边减30，运算不同，错误。 【答案】B 【方法总结】 运用等式性质时，牢记“两个相同”——相同的运算（同加或同减）、相同的数值。一步变，步步变；一变错，全盘错。 变式训练 1-1 已知 a=b，根据等式的性质填空。 （1）a+8=b+（　　） （2）a-（　　）=b-15 （3）a+3.6=b○（　　） 【答案】 （1）8；（2）15；（3）+3.6 【解析】（1）两边同加8；（2）两边同减15；（3）两边同加3.6，在○里填“+”。 变式训练 1-2 （2023·苏州·期末真题·改编）如果 x+12=35，那么 x+12-12=35○（　　）。请在○中填运算符号，在（　　）中填数。 【答案】- ，12 【解析】等式两边同时减去12。左边 x+12-12=x，右边 35-12=23，即 x=23。 变式训练 1-3 已知 2x=y，下列等式中不成立的是（ ） A. 2x+5=y+5　　B. 2x-7=y-8　　C. 2x+3.6=y+3.6 【答案】B 【解析】B中左边减7，右边减8，不是同一个数，不成立。A、C都是两边加同一个数，成立。 知识点二：方程的解与解方程 知识要点： 1. 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。它是一个具体的数值。 2. 解方程：求方程的解的过程，叫做解方程。它是一系列变形的操作过程。 3. 两者的区别与联系： 概念 本质 示例（对 x+10=50） 方程的解 一个数（结果） x=40 解方程 一个过程 x+10-10=50-10，x=40 4. 解方程的标准书写格式： （1）开头必须写“解：” （2）每一步等号对齐 （3）利用等式的性质，逐步将方程变形成“x=？”的形式 （4）最后求出 x 的值后，应将结果代入原方程进行检验 【易错警示】 （1）“方程的解”中的“解”是名词，指结果 （2）“解方程”中的“解”是动词，指过程 （3）解方程时不能漏写“解：” （4）等号必须对齐，不能随手写 例题 2（基础）——解方程 x+a=b 型 题目：解方程：x+35=79。 x+35=79 解：x+35-35=79-35 x=44 检验：将 x=44 代入原方程，左边=44+35=79，右边=79，左边=右边，所以 x=44 是原方程的解。 【答案】x=44 变式训练 2-1 解方程：x+15=42，并检验。 【解析】 解：x+15-15=42-15， x=27。 检验：27+15=42，正确 变式训练2-2 解方程：x+6.4=10，并检验。 【解析】 解：x+6.4-6.4=10-6.4， x=3.6。 检验：3.6+6.4=10，正确。 例题 3（基础）——解方程 x-a=b 型 题目：解方程：x-18=23。 解：x-18+18=23+18 x=41 检验：将 x=41 代入原方程，左边=41-18=23，右边=23，左边=右边， 所以 x=41 是方程的解。 【答案】x=41 变式训练 3-1 解方程：x-25=40，并检验。 解：x-25+25=40+25， x=65。 检验：65-25=40，正确。 变式训练3-2 解方程：x-4.5=10，并检验。 【答案】x=14.5 【解析】 解：x-4.5+4.5=10+4.5， x=14.5。 检验：14.5-4.5=10，正确。 变式训练3-3 一个电饭煲原价x元，降价80元后售价为320元。求原价。 【答案】x=400 【解析】列方程：x-80=320。 解：x-80+80=320+80， x=400 答：原价400元。 知识点三：利用等式性质判断大小关系 知识要点： 1. 比较大小的基本原理：若 x+a=y+b，且 a>b，则 x<y；反之，若 a<b，则 x>y。 2. 具体应用：给定 x 和 y 的关系式，利用等式的性质在等式两边同时减去同一个数，转化为可直接比较的形式。例如：若 x+1.5=y+4.5，两边同减1.5得 x=y+3，所以 x>y 3. 常见题型：填空题给出 x 和 y 满足的等式，要求比较 x 和 y 的大小。 【易错警示】 比较大小不能凭直觉，必须根据等式的性质进行推理。例如 x-4.5=y-1.5，如果直接说 x<y 就不对，需要利用性质变形后再判断。 例题 4（中等）——比较 x 和 y 的大小 题目：（2023·宿迁期末·改编）比较 x 和 y 的大小。 （1）x+1.5=y+4.5，则 x（　）y。 （2）x-4.5=y-1.5，则 x（　）y。 【解析】 （1）x+1.5=y+4.5，两边同减1.5得 x=y+3。所以 x>y。 （2）x-4.5=y-1.5，两边同加4.5得 x=y+3。所以 x>y。 【答案】 （1）>；（2）> 变式训练 4-1 比较 x 和 y 的大小。 （1）x+0.7=y+0.9，则 x（　）y。 （2）x-2=y-5，则 x（　）y。 【答案】 （1）>；（2）< 【解析】（1）x+0.7=y+0.9，两边同减0.7得 x=y+0.2，x>y。（2）x-2=y-5， 两边同加2得 x=y-3，x<y。 变式训练4-2 已知 x+8=y+12，下列结论正确的是（ ） A. x>y　　B. x<y　　C. x=y　　D. 无法确定 【答案】A 【解析】x+8=y+12，两边同减8得 x=y+4，所以 x>y。 变式训练4-3 已知 x-10=y-10，则 x（　）y；若 x-10=y-6，则 x（　）y。 【答案】 =；> 【解析】第一题两边同加10得 x=y。第二题两边同加10得 x=y+4，所以 x>y。 知识点四：看图列方程并解答 知识要点： 1. 看图列方程的三步骤： （1）看天平图/线段图：识别已知量和未知量 （2）找等量关系：用文字或式子表示图中隐含的相等关系 （3）列方程并解答：设未知数，列出方程，依据等式性质求解 2. 天平图的解读方法： （1）天平平衡→等式成立 （2）左右两边各对应方程式的一边 3. 线段图的解读方法： （1）整条线段表示总数 （2）分段表示各部分数量 （3）已知部分和总数，求未知部分→用加减关系设方程 例题 5（中等）——看图列方程并解答 题目：看图列方程并解答。 【解析】 根据天平平衡的意义：左边总质量=右边总质量。 列方程：x+50=200 解：x+50-50=200-50 x=150 答：x克物体重150克。 变式训练 5-1 看图列方程并解答。 【解析】列方程：2x+80=x+2×80。 解：2x+80=x+2×80。 2x-x=2×80-80 X=80 答：x克物体重80克。 变式训练5-2 食堂原有大米x千克，吃掉120千克后还剩180千克。设原有大米x千克，请列方程并解答。 【解析】列方程：x-120=180。 解：x-120+120=180+120， x=300 答：食堂原有大米300千克。 知识点五：列方程解决简单的实际问题 知识要点： 1. 用方程解决实际问题的基本步骤： 2. 常见等量关系类型： (1)“比……多”关系：较大数-较小数=差 (2)“比……少”关系：较小数+差=较大数 (3)“一共”关系：部分+部分=总量 (4)“还剩”关系：原有-减少=剩余 3. 什么时候用方程？ (1)逆向思考的问题（已知结果，求初始量） (2)数量关系比较隐蔽，不易直接列出算术式的问题 例题 6（提优）——列方程解决实际问题 题目：（2023·启东期末·真题）袁隆平院士一生致力于杂交水稻技术研究，杂交水稻每公顷产量屡创新高。2023年的平均产量约23吨/公顷，比2015年平均产量的1.5倍还多0.5吨。2015年的平均产量是多少吨/公顷？（列方程解答） 【解析】 关键句：“2023年比2015年的1.5倍还多0.5吨” 设：2015年的平均产量为 x 吨/公顷。 等量关系：2015年产量×1.5+0.5=2023年产量 列方程：1.5x+0.5=23 解：1.5x+0.5-0.5=23-0.5 1.5x=22.5 x=22.5÷1.5 x=15 检验：15×1.5+0.5=22.5+0.5=23，符合题意。 答：2015年的平均产量是15吨/公顷。 【方法总结】 设未知数→找关键句→析数量关系→列方程→用等式性质逐步化简→检验→作答。七个步骤缺一不可。 变式训练 6-1 （2023秋·梁溪区期末·真题）师徒两人合作完成360个零件，9天完工，已知师傅每天做28个，徒弟每天做多少个？（用方程解） 【解析】设徒弟每天做x个。等量关系：（师傅效率+徒弟效率）×天数=总零件数。 列方程：(28+x)×9=360 252+9x=360 9x=108 x=12。 答：徒弟每天做12个。 变式训练 6-2 （2023·苏州期末·改编）五（1）班有男生25人，比女生人数的2倍少15人，女生有多少人？（列方程解答） 【解析】设女生有x人。关键句：“男生比女生人数的2倍少15人” → 女生人数×2-15=男生人数。 列方程：2x-15=25 2x=40 x=20。 答：女生有20人。 变式训练 6-3 小红原有120张画片，送给小丽22张后，小红仍比小丽多5张。小丽原有多少张画片？（列方程解答） 【解析】设小丽原有x张。小红送给小丽22张后：小红剩120-22=98张，小丽有x+22张。“小红仍比小丽多5张” 98-(x+22)=5 98- x-22=5 x=71。 答：小丽原有71张画片。 三、巩固练习（共15题） 基础巩固 1. 已知a=b，根据等式的性质填空：a-7=b-（　　）。 2. （2022·无锡期末·真题改编）等式的两边同时（　　）或（　　）同一个数，所得的结果仍然是等式。这是（　　）的性质。 3. 解方程：x+14=30。（写出完整过程并检验） 4. 方程的解和解方程是一回事吗？简要说明它们的区别。 5. 判断：如果 2x+5=15，那么 2x+5-5=15+5。（　　） 能力提升 6. （2023·淮安期末·真题改编）当x=0.2时，在○里填上“＞”、“＜”或“=”。 0.6÷x ○ 3.2×1.5　　0.6 ○ 0.12÷x 7. 解方程：x+0.8=5.6，并检验。 8. 解方程：x-7.5=12.5，并检验。 9. 已知x+15=y+20，则x（　　）y。（填“>”、“<”或“=”） 10. 看图列方程并解答：一辆汽车行驶了x千米后，还剩85千米，全程共200千米。 提优拓展 11. （2023·西安大雁塔期末·真题改编）西安大雁塔高64米，比小雁塔高度的2倍少22米。小雁塔高多少米？（列方程解答） 12. 下面解方程的过程对吗？对的画“√”，错的画“×”并改正。 x-16=24 解：x-16+16=24+24 x=48（　　） 13. 已知（88-x）÷3=16.8，求x的值。 14. （2023·连云港期末·真题改编）“复兴号”高铁时速350千米，比普通列车时速的4倍还多30千米。普通列车的时速是多少千米？（列方程解答） 15. 三个连续自然数的和是54，用方程求出这三个数分别是多少。 四、课堂小结 请同学们回顾并填写： 1. 等式的性质（一）：等式两边同时（　　）或（　　）同一个数，所得结果仍然是（　　）。 2. 使方程左右两边相等的未知数的值叫做（　　），求方程的解的过程叫做（　　）。 3. 解 x+a=b 型方程，两边同时（　　）a；解 x-a=b 型方程，两边同时（　　）a。 4. 列方程解决实际问题的一般步骤是：设（　　）→ 找（　　）→ 列（　　）→ 解（　　）→ 验（　　）。 【我的收获】 通过本节课的学习，我知道了： 【我的疑问】 五、答案解析 基础巩固 1. 7 【解析】等式两边同时减去同一个数7，等式仍然成立。 2. 加上；减去；等式 【解析】等式性质（一）：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。这是等式的性质。 3. x=16 【解析】解：x+14-14=30-14，x=16。检验：16+14=30，左边=右边，正确。 4. 不是一回事。“方程的解”是使方程左右两边相等的未知数的值，是一个数；“解方程”是求方程的解的过程，是一系列操作。 5. × 【解析】等式的性质要求两边进行“相同的运算”。左边减5，右边加5，运算不同，所以错误。正确应为：2x+5-5=15-5。 能力提升 6. ＜；= 【解析】当x=0.2时，左边0.6÷0.2=3.0，右边3.2×1.5=4.8，3.0<4.8，填“＜”。下面：左边0.6，右边0.12÷0.2=0.6，所以填“=”。 7. x=4.8 【解析】解：x+0.8-0.8=5.6-0.8，x=4.8。检验：4.8+0.8=5.6，正确。 8. x=20 【解析】解：x-7.5+7.5=12.5+7.5，x=20。检验：20-7.5=12.5，正确。 9. > 【解析】x+15=y+20，两边同减15得x=y+5，所以x>y。 10. x=115 【解析】列方程：x+85=200。解：x+85-85=200-85，x=115（千米）。 提优拓展 11. 小雁塔高43米 【解析】设小雁塔高x米。关键句：“大雁塔比小雁塔的2倍少22米”。 列方程：2x-22=64 解：2x=86 x=43。 答：小雁塔高43米。 12. ×。正确过程为：x-16=24 解：x-16+16=24+16 x=40 【解析】等式两边必须加上同一个数16，不能左边加16，右边加24。 13. x=37.6 【解析】(88-x)÷3=16.8，两边同乘3得88-x=50.4，两边同加x-50.4得x=88-50.4=37.6。 检验：(88-37.6)÷3=50.4÷3=16.8，正确。 14. 普通列车时速为80千米 【解析】设普通列车时速为x千米。关键句：“高铁时速比普通列车的4倍还多30千米”。 列方程：4x+30=350 4x=320 x=80。 答：普通列车时速为80千米。 15. 这三个数分别是17、18、19 【解析】设最小的数为x，则另外两个数为x+1和x+2。 列方程：x+(x+1)+(x+2)=54 3x+3=54 3x=51 x=17。 答：这三个数是17、18、19。 六、学法指导与知识框架 等式的性质是解方程的依据，本质是保持等式的平衡。可以联系“天平平衡”来直观理解——天平两端重量相等，只有同时放上或拿走相同重量的砝码，天平才能继续保持平衡；若只操作一端，天平就会倾斜。 易错提醒： （1）解方程时开头必须写“解：”，否则扣分。 （2）等式两边加（减）的必须是“同一个数”，不能一边加多一边加少。 （3）“方程的解”是名词（结果），“解方程”是动词（过程），两者不可混淆。 （4）解完方程必须代入检验：把x的值代入原方程，看左右两边是否相等。 思维拓展：解方程的思想本质是“化归”——把复杂的方程逐步转化为“x=数值”的最简形式。每一个等式性质的运用，都是在向“x=？”靠近。掌握了化归的思想，后面继续学习等式性质（二）（乘除运算）时就能轻松迁移。 考点提示：等式性质的填空和判断、一步加减方程的解与检验、看图列方程、简单的列方程解应用题，是五年级阶段考试中解方程的基础考点，几乎逢考必有，务必扎实掌握。 教师寄语：等式的性质是解方程这棵大树的根。根扎得深，树才能长得稳。希望同学们不是简单地“背步骤”，而是真正理解“为什么可以这样做”——这会让后续学习更轻松、更有底气！ 学科网（北京）股份有限公司 $