5.2数列的函数特性课件-2026届高三数学二轮专题复习

专题五 数列 【新高考二轮复习专题】 专题5.2 数列的函数特性 目录 典例精讲·通性通法·变式训练 1 2 3 考点概览 知识点拨 重点题型 数列的函数特性 单调性 极限 利用单调性求参数 周期性 性质综合 利用递推关系，判断大小 利用递推关系，确定范围或最值 利用数列迭代关系，求范围或极限 利用数列关系判定单调性 考点概览 考点一 单调性 20-25 年真题统计 具体考察方式 2024北京卷第15题 给定两个数列，分等差等比不同类别判定相同项个数 2022北京卷第6题 给定复合函数，比较自变量大小，再根据函数单调性比较函数值的大小 2021全国甲卷理科第7题 给定首项范围及单调性与和，求项数最多值 2021北京卷第10题 给定首项范围及单调性与和，求项数最多值 2020北京卷第8题 给定等差数列两项，判断前n项积的最值 考频统计 等差数列的单调性： 若公差大于0，则该数列单调递增；若公差小于0，则该数列单调递减； 若公差为0，则该数列为常数列； 等比数列的单调性： 当或时，数列是单调递增数列； 当或时，数列是单调递减数列； 当时，数列是常数列； 当时，数列是摆动收敛数列； 考点一 单调性 知识点拨 当时，数列是等幅摆动数列； 当时，数列是摆动发散数列． 数列的单调性是通过连续两项的大小关系判断的；同时在解决数列相关问题时特别要注意数列的函数本质及其与函数的区别． 考点一 单调性 知识点拨 由等差数列求和公式知：，所以其对称轴为， 因为当且仅当时，取最大值，所以， 解得:， 故答案为： 在等差数列中，，公差为d，前n项和为，当且仅当时，取最大值，则d的取值范围 ． 考点一 单调性 重点题型 因为=，所以； 当时，，此时显然单调递增， 所以可以推出为递增数列； 设等差数列的公差为d，则“”是“为递增数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 考点一 单调性 重点题型 当为递增数列时，不妨取此时为递增数列， 但不满足，所以为递增数列不能推出， 所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件， 故选：A. 设等差数列的公差为d，则“”是“为递增数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 考点一 单调性 重点题型 由，得时，;时，， 由，得，所以， 令，则， 当时， 单调递增，所以， 已知公比为q的等比数列满足，且， 则的取值范围为 ． 考点一 单调性 重点题型 当时，，故， 当时，，又，故； 单调递减，又， 故，故， 综上，的取值范围是. 故答案为：. 已知公比为q的等比数列满足，且， 则的取值范围为 ． 考点一 单调性 重点题型 解题通法 （1）对于一般数列的单调性，需要根据递推公式转化，可以通过作差法根据的符号判定，或作商法根据 与1的关系判定； （2）在求解关于数列有关的取值范围时，通过构造函数并利用导数分析其单调性，找出函数的取值范围．这种方法可以有效地处理涉及不等式与单调性的范围问题. 考点一 单调性 归纳总结 考点二 周期性 20-25 年真题统计 具体考察方式 2022全国乙卷理科第4题 给定数列递推关系，判定项之间大小 考频统计 若(，k为非零正整数)，则为周期数列，k为的一个周期． 常用的周期数列有： ①邻项等和，若，则； ②邻项等积，若，则； ③奇数项错号等值，若，则； 考点二 周期性 知识点拨 由题意得，所以， 两式相加可得，即， 所以数列是以6为周期的周期数列. 又，∴. 所以数列的前2024项和. 故选：A. 考点二 周期性 在数列中，已知，且满足，则数列的前2024项的和为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 重点题型 ∵， ∴，两式相除得：， 所以数列是以3 为周期的周期数列， 由，得：. 记数列的前n 项积为 ,结合数列的周期性， 已知数列满足，则数列的前n项积的最大值为 ． 考点二 周期性 重点题型 当时，， ， ， 所以数列的前n项积的最大值为1. 故答案为：1 已知数列满足，则数列的前n项积的最大值为 ． 考点二 周期性 重点题型 解题通法 （1）积累记忆比较常见的几种周期数列模型，有助于提高解题效率； （2）对于复杂的陌生数列，可利用已知条件先确定数列若干项或者直 接根据递推关系计算判定周期，解决问题. 考点二 周期性 归纳总结 考点三 极限 20-25 年真题统计 具体考察方式 2025上海卷第12题 给定等比数列，两数差与数列首尾项关系，求公比范围 2021上海卷第8题 给定两等比数列关系，由一数列和求另一数列和 考频统计 考点三 极限 数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列的项无限地趋近于某个常数a，那么就说数列以a为极限. 处理数列极限问题比较常见的方法是：迭代函数法， 其步骤为：①确定迭代函数和不动点； ②在平面直角坐标系中作出迭代函数与的图象，得出点； 知识点拨 考点三 极限 ③由点，即作平行于横轴的直线与相交，交点为， ④由点，向作垂直于横轴的直线与相交，交点为，依次重复以上步骤，可找到的最终去向. 知识点拨 因为且 所以，即， ，⋯，， 若数列满足：，其中 且，若对任意成立，则实数的最小 值是（ ） A． B．4 C． D． 考点三 极限 重点题型 累加得 ， 又，所以， 若数列满足：|，其中 且，若对任意成立，则实数的最小 值是（ ） A． B．4 C． D． 考点三 极限 重点题型 即 当n为奇数时，单调递增，，， 当n为偶数时，单调递减，，， 若数列满足：|，其中 且，若对任意成立，则实数的最小 值是（ ） A． B．4 C． D． 考点三 极限 重点题型 要使对任意成立，则， 实数M的最小值是. 故选：D 若数列满足：|，其中 且，若对任意成立，则实数的最小 值是（ ） A． B．4 C． D． 考点三 极限 重点题型 已知数列的首项为，且，则（ ） A．存在使数列为常数列 B．存在使数列为递增数列 C．存在使数列为递减数列 D．存在使得恒成立 考点三 极限 因为，所以， 又，则， 设， 易知在上单调递增，在上单调递减， 作出与的图象，利用蛛网图可知： 当时故A正确； 重点题型 已知数列的首项为，且，则（ ） A．存在使数列为常数列 B．存在使数列为递增数列 C．存在使数列为递减数列 D．存在使得恒成立 考点三 极限 且当时，数列为递增数列，故B正确； 当时，可知， 所以存在使得恒成立，即D正确； 由上述讨论可知，不存在使数列为递减数列，故C错误. 故选：ABD 重点题型 解题通法 数列极限常用方法： （1）无穷等比数列,…,,…有,其所有项和为： ; （2）利用迭代函数法构造蛛网图，分析计算数列的单调性与极限. 考点三 极限 归纳总结 考点四 性质综合 20-25 年真题统计 具体考察方式 2023新课标I卷第7题 给定等差数列通项，和比项数，判定充分，必要条件 2023北京卷第10题 给定递推关系，不同首项判定单调性及最值 2022北京卷第15题 给定递推关系，判定等比数列、单调性、某项范围 2022浙江卷第10题 给定递推关系确定项的范围 2021浙江卷第10题 给定递推关系，判定前n项和范围 2021上海卷第12题 给定相邻项关系，某两项值求和和最值 考频统计 数列是定义在正整数集或其有限子集上的函数，数列函数性质主要涉及数列的单调性、周期性等； 数列中的恒成立问题与函数中的恒成立问题方法相通，一般都要分离参数，转化为研究函数的单调性，但由于数列定义域是离散型变量，不连续，所以相比函数问题难度更大，一般解决方法是作差或作商. 考点四 性质综合 知识点拨 正项数列中，由，得， 则，即数列是以4为周期的周期数列，而， 则， 因此 ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 故答案为： 已知正项数列的前项和为,, 且，则的最小值为 ． 考点四 性质综合 重点题型 对于①，，故， 所以为等比数列，公比为2， 若，则数列的首项为， 故，， 由于在R上单调递减，此时为单调递减数列，①错误； 在数列中， 下列说法正确的是 ． ①若，则一定是递增数列; ②若则一定是递增数列； ③若， 则对任意， 都存在，使得 ④若，且存在常数，使得对任意， 都有则的最大值是 ． 考点四 性质综合 重点题型 对于②，， 令，当时，恒成立， 当时，，故恒成立， 当时，， 故在单调递增，故， 综上，恒成立，故一定是递增数列，②正确； 在数列中， 下列说法正确的是 ． ①若，则一定是递增数列; ②若则一定是递增数列； ③若， 则对任意， 都存在，使得 ④若，且存在常数，使得对任意， 都有则的最大值是 ． 考点四 性质综合 重点题型 对于③，， 因为，所以，，……， 以此类推，可得为递增数列，且时，， 故对任意，都存在，使得，③正确； 在数列中， 下列说法正确的是 ． ①若，则一定是递增数列; ②若则一定是递增数列； ③若， 则对任意， 都存在，使得 ④若，且存在常数，使得对任意， 都有则的最大值是 ． 考点四 性质综合 重点题型 对于④，，当时，， 又，故， 此时为递增数列，且， 故不存在常数，使得对任意，都有④错误. 故答案为：②③ 在数列中， 下列说法正确的是 ． ①若，则一定是递增数列; ②若则一定是递增数列； ③若， 则对任意， 都存在，使得 ④若，且存在常数，使得对任意， 都有则的最大值是 ． 考点四 性质综合 重点题型 由， , 可得: ，，， 所以， ， 又,所以， 所以 ， 数列中，，设的前项和为， 若恒成立，则实数的取值范围是 . 考点四 性质综合 重点题型 由恒成立，即恒成立，， 设，则， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 数列中，，设的前项和为， 若恒成立，则实数的取值范围是 . 考点四 性质综合 重点题型 由二次函数的性质可知当时， 可得，且， 所以， . 故答案为： 数列中，，设的前项和为， 若恒成立，则实数的取值范围是 . 考点四 性质综合 重点题型 解题通法 数列与函数的综合问题常有以下两类： （1）已知数列条件解决函数问题，此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对所给条件进行化简变形. （2）已知函数条件解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象来解决. 考点四 性质综合 归纳总结 博学深思 未来可期 $