精品解析：山东菏泽市牡丹区2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题（B）

山东菏泽市牡丹区2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题（B） 2026.04 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分､满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名､班级等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答策答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径05毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知函数，则（ ） A. -6 B. 6 C. 30 D. -30 2. 甲、乙、丙去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则听讲座的种数为（ ） A. 7 B. 12 C. 81 D. 64 3. 如图，某设备内部从a到b的电路包含三个元件A，B，C，现该设备从a到b的电路工作不正常（断路），那么该设备三个元件A，B，C的工作状态（通路/断路）共有n种不同情况，则n为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. 和 D. 和 6. 若，则（ ） A. 8 B. C. 2 D. 42 7. 自然对数的底数也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，的近似值约为，若用欧拉数的其中6位数字设置一个6位数的密码，则不同的密码个数为（ ） A. 720 B. 180 C. 60 D. 30 8. 已知函数，若满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 现有6本不同的书，下列说法正确的有（ ） A. 分成一堆一本，一堆两本，一堆三本，共有60种方法 B. 甲得一本，乙得两本，丙得三本，共有180种方法 C. 一人得一本，一人得二本，一人得三本，共有360种方法 D. 平均分给甲､乙､丙三人，共有90种方法 10. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 的最小值为 C. 函数有两个零点 D. 直线是曲线的切线 11. 已知函数的定义域为，是函数的导函数，且函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，有三个极值点 B. 若，则的极大值点为 C. 若，则 D. 若，则 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 12. 已知，则__________ 13. 已知，，若对，总，使成立，则实数a的取值范围为________． 14. 用四种颜色给如图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，共有________种不同的涂法. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 人工智能社团有6位同学，计划对ChatGPT、Sora、GPT-4、Claude这4种人工智能语言模型展开学习调研，要求每类模型至少有一人负责，每人只能选择一种模型． （1）若从社团中选出5人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？ （2）若6位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型，共有多少种不同的安排方案？ 16. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围. 17. 某企业生产一种必要的生活物资，且单笔订单最少预定生产10吨物资，已知生产一批物资所需要的固定成本为5千元，每生产x吨物资另需流动成本千元，当生产量小于20吨时，，当生产量不小于20吨时，．该企业为了提高企业的诚信度，赢得良好的社会效益，将每吨物资的售价定为25千元．已知生产的物资能全部售出． （1）写出总利润（千元）关于生产量x（吨）的函数解析式（注：总利润=总收入流动成本固定成本）； （2）当生产量为多少时，总利润最小？此时总利润是多少？（参考数据：） 18. 已知函数． （1）求的极值； （2）直接写出方程解的个数； （3）若恒成立，求实数的取值范围． 19. 在中，把称为三项式的系数. （1）当时，写出三项式的系数的值； （2）类比的二项式展开式（杨辉三角）的规律，当时，写出三项式的（杨辉三角）数字表，并求出时的； （3）求（用组合数表示）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东菏泽市牡丹区2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题（B） 2026.04 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分､满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名､班级等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答策答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径05毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知函数，则（ ） A. -6 B. 6 C. 30 D. -30 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得：，所以. 2. 甲、乙、丙去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则听讲座的种数为（ ） A. 7 B. 12 C. 81 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理求解即可. 【详解】甲、乙、丙去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座， 即每人去听一个讲座共有种选择，则三人各选一个讲座种数为． 故选：D． 3. 如图，某设备内部从a到b的电路包含三个元件A，B，C，现该设备从a到b的电路工作不正常（断路），那么该设备三个元件A，B，C的工作状态（通路/断路）共有n种不同情况，则n为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理列式求解. 【详解】元件不通，设备从a到b的电路工作不正常，共有种， 元件正常，当且仅当元件都不通，设备从a到b的电路工作不正常，只有1种， 所以. 故选：B 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用排列数的阶乘公式即可求解. 【详解】由得，即， 化简整理得：，解得， 又，所以，所以. 5. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. 和 D. 和 【答案】A 【解析】 【分析】首先求函数的导数，求解的解集，即是函数的单调递减区间. 【详解】由题意得， 令，得，所以的单调递减区间为． 故选：A 6. 若，则（ ） A. 8 B. C. 2 D. 42 【答案】B 【解析】 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再利用多项式乘法法则求出项即可. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 因此展开式含的项为， 所以. 故选：B 7. 自然对数的底数也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，的近似值约为，若用欧拉数的其中6位数字设置一个6位数的密码，则不同的密码个数为（ ） A. 720 B. 180 C. 60 D. 30 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，从6个位置任取3个放置8，再从余下3个位置任取2个放置1，最后一个位置放置2， 所以不同的密码个数为. 8. 已知函数，若满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由奇偶性的定义可得是定义在上的偶函数，然后求导得，即可判断在上的单调性，再将不等式化简求解，即可得到结果. 【详解】因为函数定义域为关于原点对称， 且， 所以是定义在上的偶函数， 又， 当时，，则，所以在单调递增， 又，则， 且，则不等式可化为 ，即， 且是定义在上的偶函数，在单调递增， 则，即，即， 所以，即实数的取值范围是. 故选：A 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 现有6本不同的书，下列说法正确的有（ ） A. 分成一堆一本，一堆两本，一堆三本，共有60种方法 B. 甲得一本，乙得两本，丙得三本，共有180种方法 C. 一人得一本，一人得二本，一人得三本，共有360种方法 D. 平均分给甲､乙､丙三人，共有90种方法 【答案】ACD 【解析】 【详解】A选项，6本中选1本作为一堆，剩下5本中选2本作为一堆，剩下3本作为一堆， ，共有种方法． B选项，6本中选1本给甲，剩下5本中选2本给乙，剩下3本给丙， ，共有种方法． C选项，三人排序，6本中选1本给第一人，剩下5本中选2本给第二人，剩下3本给第三 人，，共有种方法． D选项，6本中选2本给甲，剩下4本中选2本给乙，剩下2本给丙， ，共有种方法． 10. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 的最小值为 C. 函数有两个零点 D. 直线是曲线的切线 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出函数的定义域，根据函数奇偶性的定义判断选项A；根据函数的奇偶性，判断函数在的最值即可判断选项B；根据函数的奇偶性和单调性，作出函数的图象即可判断选项C；利用导数的几何意义判断选项D. 【详解】A项：函数的定义域为，且， 故函数为偶函数，A正确； B项：由A项可得为偶函数， 则在区间与的最值相等， 偶函数图象关于y轴对称，故对称轴任意一侧最值即为函数的最值． 故只需求在区间的最值即可． 当时，，， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 故在时取得最小值，所以的最小值为，B正确； C项：由A，B项可得，为偶函数，当时，在区间单调递减，在区间单调递增，且最小值为， 又时，，时，， 所以的大致图象如图所示， 所以函数有四个零点，C错误； D项：当时，设切点为，由可得切线斜率，若直线与曲线相切，则，解得， 则切点坐标为， 故切线方程为，D正确． 故选：ABD. 11. 已知函数的定义域为，是函数的导函数，且函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，有三个极值点 B. 若，则的极大值点为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据函数的图象确定其零点，结合图象确定为正为负的解集判断AB；求出及其零点，进而求出参数值判断CD. 【详解】观察图象，得函数的零点为， 对于A，当时，，而，则， 由，得或；由，得或， 因此是的极小值点，0是的极大值点，函数有三个极值点，A正确； 对于B，当时，，由图象得当时，， 当时，，函数的极大值点为，B正确； 对于C，由，求导得，由，得或或， 因此，解得，C错误； 对于D，由，求导得，由，得或或， 因此或，解得或，D错误. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 12. 已知，则__________ 【答案】或 【解析】 【分析】根据组合数的性质，建立关于的方程求解. 【详解】由组合数的性质，得或，解得或． 经检验和均满足且，故的值为4或7. 故答案为：4或7 13. 已知，，若对，总，使成立，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求解两个函数的值域，根据值域的包含关系可得答案. 【详解】，，当时，，单调递减； 当时，，单调递增，由，可得的值域为. ，， 当时，，单调递增，由，可得的值域为. 因为若对，总，使成立，所以， 即，解得，故实数a的取值范围为. 14. 用四种颜色给如图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，共有________种不同的涂法. 【答案】 【解析】 【分析】根据颜色的种类，分类讨论，利用分类加法和分步乘法计数原理即可求解. 【详解】第一类：三种颜色涂完： 第一步：从四种颜色中选三种颜色共有：种选法； 第二步：与同色，与同色，与同色，不同的涂法为：， 根据分步乘法计数原理，共有种不同的涂法； 第二类：四种颜色涂完：按的顺序涂， 第一步：涂共有：种涂法， 第二步：涂共有：4种涂法， 根据分步乘法计数原理，共有种不同的涂法， 根据分类加法计数原理，共有种不同的涂法. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 人工智能社团有6位同学，计划对ChatGPT、Sora、GPT-4、Claude这4种人工智能语言模型展开学习调研，要求每类模型至少有一人负责，每人只能选择一种模型． （1）若从社团中选出5人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？ （2）若6位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型，共有多少种不同的安排方案？ 【答案】（1）1440 （2）240 【解析】 【分析】（1）从6位同学中选5人，分为：2人，1人，1人，1人四组，再进行全排列即可； （2）将甲、乙两位同学视为一个整体（一个元素），将5个元素分成“2，1，1，1”四组，再进行全排列即可. 【小问1详解】 首先，从6位同学中选5人，有种选法， 接下来将5人分配到4种模型，且每类模型至少1人负责， 则5人分为：2人，1人，1人，1人四组，有种方法， 再将这四组对应4种模型进行全排列， 不同的调研安排方案有种. 【小问2详解】 首先将甲、乙两位同学视为一个整体（一个元素）， 此时相当于5个元素分配到4种模型,每类模型至少有一人， 即分成元素个数分别为“2，1，1，1”四组，则有种方法， 再将这四组对应4种模型进行全排列，有种方法， 所以，若6位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型， 共有种不同的安排方案. 16. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数研究单调性即可求解； （2）由（1）求，进而得，最后解二次不等式即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为， 所以 由，得；由，得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问2详解】 由（1）可知在上单调递减，在上单调递增. 所以， 因为对任意的，都有成立， 所以， 所以实数的取值范围为. 17. 某企业生产一种必要的生活物资，且单笔订单最少预定生产10吨物资，已知生产一批物资所需要的固定成本为5千元，每生产x吨物资另需流动成本千元，当生产量小于20吨时，，当生产量不小于20吨时，．该企业为了提高企业的诚信度，赢得良好的社会效益，将每吨物资的售价定为25千元．已知生产的物资能全部售出． （1）写出总利润（千元）关于生产量x（吨）的函数解析式（注：总利润=总收入流动成本固定成本）； （2）当生产量为多少时，总利润最小？此时总利润是多少？（参考数据：） 【答案】（1） （2）生产量为12吨时，总利润最小为56千元 【解析】 【分析】（1）根据给定的函数关系式，及利润的计算公式即可求解， （2）根据二次函数、对数函数的单调性求最小值，比较大小即可求解. 【小问1详解】 由已知可得，又， 当时，， 当时，， 故； 【小问2详解】 当时，，． 当时，，易知函数单调递增， 故． 因为，所以当生产量为12吨时，总利润最小，此时总利润为56千元． 18. 已知函数． （1）求的极值； （2）直接写出方程解的个数； （3）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）极小值，无极大值 （2）当时，方程的解的个数为0个； 当或时，方程的解的个数为1个； 当时，方程的解的个数为2个． （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用导数分析函数单调性，进而得出极值点，进而求解； （2）结合函数图象分析得出的解的个数； （3）把不等式进行化简变形为，令，结合函数单调递增，将不等式转化为，构造函数，求导并分析函数单调性得出最小值，进而求出实数的取值范围． 【小问1详解】 由题意得，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值，无极大值． 【小问2详解】 方程解的个数即为函数的图象与直线的交点个数， 时，， 由（1）知在时， ，； 时，，时，， 函数的图象如下： 当时，方程的解的个数为0个； 当或时，方程的解的个数为1个； 当时，方程的解的个数为2个． 【小问3详解】 由，可得， 即， 则， 令，则， 在上单调递增， 在上恒成立， 即在上恒成立， 令， 则，令，得， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， ，故， 实数的取值范围是． 19. 在中，把称为三项式的系数. （1）当时，写出三项式的系数的值； （2）类比的二项式展开式（杨辉三角）的规律，当时，写出三项式的（杨辉三角）数字表，并求出时的； （3）求（用组合数表示）. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）当时，展开即可求解； （2）类比，结合可写出三项式的(杨辉三角)数字表，令可得的值； （3）由可得的系数，最后转化为展开式中的系数即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以； 【小问2详解】 当时，三项式的（杨辉三角）数字表如下， 令，可得 ； 【小问3详解】 其中的系数为 又，而二项式的通项， 由解得，所以的系数为，由代数式恒成立得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $