2026年上海市中考数学自编模拟试卷4

**基本信息** 2026届上海中考数学模拟卷，100分钟150分，通过选择、填空、解答题梯度设计，融合基础概念与综合应用，考查抽象能力、几何直观及模型意识，适配中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6题24分|单项式、无理数、增长率方程等|基础概念辨析，如第3题增长率方程建模| |填空题|12题48分|因式分解、概率、向量、新定义“抛物三角形”等|融入统计图表（第16题）、动态几何（第18题）| |解答题|7题78分|不等式组、几何证明、手机支架应用、函数综合等|第22题手机支架体现应用意识，第25题动态相似考查推理能力|

2026届上海市中考数学模拟试卷4 （时间：100分钟 满分150分） 一．选择题（共24分，每小题4分） 1.下列说法中,正确的是( ) A．单项式的系数和次数都是零 B．0是单项式 C．的系数是5 D．是7次单项式 2.在，5，﹣2.31，﹣π，0，2.60060006，3.14，2.1616616661…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）这些数中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.某企业通过改革，生产效率得到了很大的提高，该企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3390万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（　　） A．1000（1+x）2＝3390 B．1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3390 C．1000（1+2x）＝3390 D．1000+1000（1+x）+1000（1+2x）＝3390 4.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过正方形对角线的交点E，若点A（2，0）、D（0，4），则k＝（　　） A．6 B．8 C．9 D．12 5.抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝ax+c（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 6.在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，3为半径的圆，一定（ ） A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交 C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相交，与y轴相交 二．填空题（共48分，每小题4分） 7.计算：______． 8．把化成只含有正整数指数幂的形式为______． 9．关于x的方程x(x-1)+3(x-1)=0的解是________． 10．在实数范围内因式分解3x²-4xy-2y2=______. 11.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请　　队参赛． 12.方程x﹣＝2的根是 ． 13.从2，6，8这三个数中任选两个组成两位数．在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能 被4整除的概率是　　． 14．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，AD和BE交于点G，设，，那么向量用向量、表示为 (第14题） （第15题） （第16题） （第18题） 15．如图正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知△ABC的边BC＝16cm，高AH为10cm，则正方形DEFG的边长为 cm． 16.为了调查A学校2400名学生的某一周阅读课外书籍的时间t(单位：时)，一个数学课外活动小组随机调查了A学校120名学生该周阅读课外书籍的时间t(单位：时)，并绘制成如图所示的频率分布直方图(列频数分布表时，执行了“每个小组可含最小值，不含最大值”的约定)．请根据以上信息，估计A学校该周阅读课外书籍的时间位于8≤t＜10之间的学生人数大约为____人． 17．若抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A（m，0），B（n，0），与y轴交于点C（0，c），则称△ABC为“抛物三角形”，特别地，当mnc＜0时，称△ABC为“正抛物三角形”；当mnc＞0时，称△ABC为倒抛物三角形，那么，当△ABC为倒抛物三角形时，a，c应分别满足条件____． 18．如图，在中，，，，点在边上，联结，将绕着点旋转，使得点与边的中点重合，点的对应点是点，联结，则______． 三．解答题（本大题共7分，满分78分） 19.（10分）解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上． 20.（10分）解方程组：． 21.（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D是边AC的中点，CE⊥BD交AB于点E． （1）求tan∠ACE的值； （2）求AE：EB．[来源:学科网] 22．（10分）如图，是一个手机的支架，由底座、连杆和托架组成（连杆始终在同一平面内)，连杆垂直于底座且长度为厘米，连杆的长度为厘米，连杆的长度可以进行伸缩调整． 图1 图2 （1）如图1，当连杆在一条直线上，且连杆的长度为厘米,时，求点到底座的高度（计算结果保留一位小数） （2）如图2，如果保持不变，转动连杆，使得，假如时为最佳视线状态，求最佳视线状态时连杆的长度（计算结果保留一位小数）(参考数据：） 23．（12分）如图，在中，点、分别在边、上，，，与交于点，且． 求证：（1）； （2）． 24．（本题共12分，每小题4分） 已知在平面直角坐标系xOy（如图）中，抛物线y＝+bx﹣4经过点A（4，0），与y轴交于点C，点B与点A关于这条抛物线的对称轴对称． （1）求这条抛物线的解析式并求出点B的坐标； （2）连结AC、BC，点P在y轴上，使得当A、C、P为顶点的三角形与△ABC相似时，求点P的坐标； （3）连结AC、BC，点D在直线AC上且tan∠BDC＝3，求点D的坐标． 25. （本题共14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分） .如图，在直角中，，，，点是的中点，点是边上的动点，交射线于点． （1）求的长； （2）连接，当时，求的长； （3）连接，当和相似时，请直接写出的长． 2026届上海市中考数学模拟试卷4（参考答案） （时间：100分钟 满分150分） 一．选择题（共24分，每小题4分） 1.下列说法中,正确的是( ) A．单项式的系数和次数都是零 B．0是单项式 C．的系数是5 D．是7次单项式 分析：根据单项式的相关概念进行判断即可得解. 解：A. 单项式的系数和次数都是1，故错误； B. 0是单项式，正确； C. 的系数是，故错误； D. 是3次单项式. 故选：B 2.在，5，﹣2.31，﹣π，0，2.60060006，3.14，2.1616616661…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）这些数中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 分析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 解：是分数，属于有理数； 5，0是整数，属于有理数； 2.60060006，3.14是有限小数，属于有理数； 无理数有：﹣π，2.1616616661…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）共2个． 故选：B． 3.某企业通过改革，生产效率得到了很大的提高，该企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3390万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（　　） A．1000（1+x）2＝3390 B．1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3390 C．1000（1+2x）＝3390 D．1000+1000（1+x）+1000（1+2x）＝3390 解：设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为1000（1+x）万元，三月份的营业额为1000（1+x）2万元， 依题意，得1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990． 故选：B． 4.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过正方形对角线的交点E，若点A（2，0）、D（0，4），则k＝（　　） A．6 B．8 C．9 D．12 分析：通过证得△AOD≌△BMA求出B的坐标，进而得到E点坐标，代入y＝，利用待定系数法求出k． 解：作BM⊥x轴于M， 由正方形的性质可知AD＝AB，∠BAD＝90°，BE＝DE， ∴∠ADO+∠DAO＝∠DAO+∠BAM， ∴∠ADO＝∠BAM， ∵∠AOD＝∠BMA＝90°， ∴△AOD≌△BMA（AAS）， ∴OA＝BM，OD＝AM， ∵点A（2，0）、D（0，4）， ∴OA＝2，OD＝4， ∴BM＝OA＝2，OM＝2+4＝6， ∴B（6，2）， ∵E是BD的中点， ∴E（3，3）， ∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点E， ∴k＝3×3＝9． 故选：C． 5.抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝ax+c（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 解：A、一次函数y＝ax+c与y轴交点应为（0，c），二次函数y＝ax2+bx+c与y轴交点也应为（0，c），图象不符合，故本选项错误； B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，a的取值矛盾，故本选项错误； C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，a的取值矛盾，故本选项错误； D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，且抛物线与直线与y轴的交点相同，故本选项正确． 故选：D． 6.在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，3为半径的圆，一定（ ） A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交 C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相交，与y轴相交 分析：由已知点(2,3)可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设d为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若d<r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d>r，则直线与圆相离． 解：∵点(2,3)到x轴的距离是3，等于半径， 到y轴的距离是2，小于半径， ∴圆与y轴相交，与x轴相切． 故选B． 1． 填空题 7.计算：______． 分析：根据积的乘方的逆运算与平方差公式先将算式变形为，再用完全平方公式求解即可． 解： 故答案为： 8．把化成只含有正整数指数幂的形式为______． 分析：根据负整数指数幂的定义（a≠0）变形即可． 解:把化成只含有正整数指数幂的形式为： 9．关于x的方程x(x-1)+3(x-1)=0的解是________． 解:x(x-1)+3(x-1)=0 ， （x-1）（x+3）=0， 解得x1=-3，x2=1． 10．在实数范围内因式分解3x²-4xy-2y2=______. 解: 11.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请　　队参赛． 分析:本题可设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加（x﹣1）场比赛，则共有场比赛，可以列出一个一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可得所求的结果． 解：∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛， ∴共7×4＝28场比赛． 设比赛组织者应邀请x队参赛， 则由题意可列方程为：＝28． 解得：x1＝8，x2＝﹣7（舍去）， 所以比赛组织者应邀请8队参赛． 故答案为：8． 12.方程x﹣＝2的根是 ． 分析：将已知方程适当变形，再两边平方，化为一元二次方程，即可解出x的值，最后代入原方程检验． 解：方程变形为：x﹣2＝， 两边平方得：x2﹣4x+4＝2x﹣1， 整理得：x2﹣6x+5＝0， 解得x1＝1，x2＝5， 当x1＝1时，左边＝1﹣＝0，右边＝2， 左边≠右边， ∴x1＝1是增根， 当x2＝5时，左边＝5﹣＝2，右边＝2， 左边＝右边， ∴x2＝5是原方程的根， 13.从2，6，8这三个数中任选两个组成两位数．在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能被4整除的概率是　　． 分析：根据树状图法求出概率即可． 解：根据题意画出树状图： 由树状图可知： 所有等可能的结果有6种：26，28，62，68，82，86， 恰好能被4整除的有2种：28，68． 所以恰好能被4整除的概率是：＝． 故答案为：． 14．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，AD和BE交于点G，设，，那么向量用向量、表示为 解：∵，， ∴， ∵AD，BE是△ABC的中线， ∴G是△ABC的重心， ∴BG＝BE， ∴＝， 故选A． 1 学科网（北京）股份有限公司 15．如图正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知△ABC的边BC＝16cm，高AH为10cm，则正方形DEFG的边长为 ___cm． 分析：如图，由题意易得DG∥BC，DG=DE=MH，设MH=DG=xcm，则有△ADG∽△ABC，进而可得，即为，最后求解即可． 解：如图， ∵四边形DEFG是正方形，AH⊥BC， ∴DG∥BC，DG=DE=MH， ∴AM⊥DG， ∵DG∥BC， ∴△ADG∽△ABC， ∴， 设MH=DG=xcm，BC＝16cm，高AH为10cm， ∴，解得：； 故答案为． 16.为了调查A学校2400名学生的某一周阅读课外书籍的时间t(单位：时)，一个数学课外活动小组随机调查了A学校120名学生该周阅读课外书籍的时间t(单位：时)，并绘制成如图所示的频率分布直方图(列频数分布表时，执行了“每个小组可含最小值，不含最大值”的约定)．请根据以上信息，估计A学校该周阅读课外书籍的时间位于8≤t＜10之间的学生人数大约为____人． 解：组距是2， 的频率是， 学校共有2400名学生， 学校该周阅读课外书籍的时间位于之间的学生人数大约为：2400÷0.25=600（人 17．若抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A（m，0），B（n，0），与y轴交于点C（0，c），则称△ABC为“抛物三角形”，特别地，当mnc＜0时，称△ABC为“正抛物三角形”；当mnc＞0时，称△ABC为倒抛物三角形，那么，当△ABC为倒抛物三角形时，a，c应分别满足条件____． 答案：a<0，c>0 分析：根据m、n关于y轴对称，则mn<0，则c的符号即可确定，然后根据抛物线与x轴有交点，则可以确定开口方向，从而确定a的符号． 解：∵抛物线y=ax2+c的对称轴是y轴， ∴A（m，0）、B（n，0）关于y轴对称， ∴mn<0， 又∵mnc<0， ∴c>0，即抛物线与y轴的正半轴相交， 又∵抛物线y=ax2+c与x轴交于点A（m，0）、B（n，0）， ∴函数开口向下， ∴a<0． 故答案是：a<0，c>0． 18．如图，在中，，，，点在边上，联结，将绕着点旋转，使得点与边的中点重合，点的对应点是点，联结，则______． 分析：如图，延长交于 过作于 求解 由旋转的性质可得：求解 证明 证明 结合 求解 证明 再利用相似三角形的性质求解 从而可得答案. 解：如图，延长交于 过作于 是的中点， 由旋转的性质可得： 故答案为：3 三．解答题（本大题共7分，满分78分） 19.解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上． ， 解：由①得x≤1； 由②得x＞﹣1； 数轴表示为： 所以，原不等式组的解集是﹣1＜x≤1． 20.解方程组：． 解： 由②得：（x+2y）2＝9， 即：x+2y＝3或x+2y＝﹣3 所以原方程组可化为；． 解方程组；得； 解方程组．得． ∴原方程组的解是得；得． 21．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D是边AC的中点，CE⊥BD交AB于点E． （1）求tan∠ACE的值； （2）求AE：EB．[来源:学科网] 【分析】（1）首先证明∠ACE=∠CBD在△BCD中，BC=3，CD=AC=2，∠BCD=90°，得tan∠CBD=，即可解决问题； （2）过A作AC的垂线交CE的延长线于P，利用平行线的性质列出比例式即可解决问题； 解：（1）由∠ACB=90°，CE⊥BD， 得∠ACE=∠CBD 在△BCD中，BC=3，CD=AC=2，∠BCD=90°， 得tan∠CBD=， 即tan∠ACE=， （2）过A作AC的垂线交CE的延长线于P， 则在△CAP中，CA=4，∠CAP=90°，tan∠ACP=， 得AP=， 又∠ACB=90°，∠CAP=90°，得BC∥AP， 得AE：EB=AP：BC=8：9． 22．如图，是一个手机的支架，由底座、连杆和托架组成（连杆始终在同一平面内)，连杆垂直于底座且长度为厘米，连杆的长度为厘米，连杆的长度可以进行伸缩调整． （1）如图，当连杆在一条直线上，且连杆的长度为厘米,时，求点到底座的高度（计算结果保留一位小数） （2）如图，如果保持不变，转动连杆，使得，假如时为最佳视线状态，求最佳视线状态时连杆的长度（计算结果保留一位小数）(参考数据：） 分析：（1）过点作，交的延长线于点，先求解 再利用 求解，从而可得答案； （2）作，垂足分别为，证明：四边形为矩形，求解：，从而可得的长度，再利用，利用锐角三角函数可得答案． 解：（1）过点作，交的延长线于点 ， 到底面高度为； （2）作，垂足分别为 ， 四边形为矩形， ， ， ， ， 的长度为． 23．如图，在中，点、分别在边、上，，，与交于点，且． 求证：（1）； （2）． 分析： （1）根据题意证明△AFE∽△BFD，即可得到∠FDB=∠AEF，故可求解； （2）根据题意证明△AEF∽△CBA，得到,再得到AB=CD，故可求解． 证明：（1）∵ ∴ ∵∠BFD=∠AFE ∴△AFE∽△BFD ∴∠FDB=∠AEF， ∴180°-∠FDB=180°-∠AEF， 即 （2）∵ ∴180°-∠ADC-∠C=180°-∠BED-∠C 即∠DAC=∠EBC ∵BE=CE, ∴∠C=∠DAC=∠EBC ∵AD=AB， ∴∠ADB=∠ABD ∵∠ADB=∠C+∠DAC，∠ABD=∠ABE+∠EBC， ∴∠ABE=∠DAC=∠C=∠EBC ∵∠AEB=∠C+∠EBC ∴∠BEA=∠ABE+∠EBC=∠ABC ∴△AEF∽△CBA， ∴ ∴ ∵∠C=∠DAC ∴CD=AD ∵AB=AD ∴AB=CD ∴． 24．已知在平面直角坐标系xOy（如图）中，抛物线y＝+bx﹣4经过点A（4，0），与y轴交于点C，点B与点A关于这条抛物线的对称轴对称． （1）求这条抛物线的解析式并求出点B的坐标； （2）连结AC、BC，点P在y轴上，使得当A、C、P为顶点的三角形与△ABC相似时，求点P的坐标； （3）连结AC、BC，点D在直线AC上且tan∠BDC＝3，求点D的坐标． 分析：（1）把A点坐标代入抛物线解析式求解即可得到抛物线解析式，从而得到抛物线的对称轴，再根据点B与点A关于这条抛物线的对称轴对称，即可求出B点坐标； （2）先求出C点坐标，从而求出OA=4，OB=2，OC=4，OA=OC，AB=6，，，∠ACO=∠CAO=45°，然后证明∠BCA=∠OCB+∠ACO＜90°，得到△ABC是锐角三角形，即可推出点P必须在y轴正半轴，设P点坐标为（0，m），则OP=m，，再由∠ACO=∠CAO=45°，得到△CPA∽△ABC或△CAP∽△ABC，由此利用相似三角形的性质进行求解即可； （3）连接BD，过点B作BE⊥AC于E，先求出，再由，得到，则， 然后求出直线AC的解析式为，设D点坐标为（t，t-4），则即，解方程即可． 【解析】 解：（1）∵抛物线经过A（4，0）， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点B与点A关于这条抛物线的对称轴对称， ∴点B的坐标为（-2，0）； （2）令得， ∴C点坐标为（0，-4）， ∵A（4，0），B（-2，0）， ∴OA=4，OB=2，OC=4， ∴OA=OC，AB=6， ∵∠BOC=∠AOC=90°， ∴，，∠ACO=∠CAO=45°， 设P点坐标为（0，m）， ∵OB＜OC， ∴∠OCB＜∠OBC，即∠OCB＜45°， ∴∠BCA=∠OCB+∠ACO＜90°，即△ABC是锐角三角形， ∵以A、C、P为顶点的三角形与△ABC相似， ∴点P必须在y轴正半轴， ∴OP=m， ∴， ∵∠ACO=∠CAO=45°， ∴△CPA∽△ABC或△CAP∽△ABC， 当△CPA∽△ABC时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴P点坐标为（0，2）； 当△CAP∽△ABC时， ∴，即 ∴， ∴， ∴， ∴P点坐标为（0，）； 综上所述，当P点坐标为（0，2）或（0，）时，使得当A、C、P为顶点的三角形与△ABC相似； （3）如图所示，连接BD，过点B作BE⊥AC于E， ∴∠BEA=∠BEC=90°， ∵∠BAE=45°， ∴∠ABE=90°-∠BAE=45°， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线AC的解析式为， ∴， ∴， ∴直线AC的解析式为， 设D点坐标为（t，t-4）， ∴即， 解得或（此时D与C重合，舍去）， ∴D点坐标为（2，-2）． 25.如图，在直角中，，，，点是的中点，点是边上的动点，交射线于点． （1）求的长； （2）连接，当时，求的长； （3）连接，当和相似时，请直接写出的长． 分析; （1）直接根据勾股定理求出的长度即可； （2）过点作,垂足为，容易证得,设，根据相似的性质可求出的值即可得出结果； （3）由（2）得，设，根据相似的性质可求出的值，在解题时要注意分类讨论． 解：（1）∵在直角中，，，， ∴； （2）过点作,垂足为， ∵, ∴, ∴， 设， ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴， 化简，得， 解得：(负值舍去), ∴； （3）由（2）得， 设， ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, 当和相似时，有两种情况： ①, ∴, 即，解得， ∴； ②, ∴, 即，解得， ∴， 综上： 当和相似时，的长为或． $