2026年 中考数学二轮复习《二次函数综合压轴题》常考热点题型分类专题提升训练

2026年春九年级数学中考二轮复习《二次函数综合压轴题》 常考热点题型分类专题提升训练（附答案） 一、二次函数与线段、周长问题综合 1．如图，抛物线经过、两点，对称轴与x轴交于点C． (1)求该抛物线和直线的解析式； (2)设抛物线与直线相交于点D，求D点的坐标； (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标及最小周长；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知抛物线与轴相交于，两点，交轴于点， (1)求抛物线解析式，并求出该抛物线对称轴及顶点坐标． (2)若点是抛物线对称轴上的一点，求周长的最小值． (3)如图，是线段上一动点（端点除外），过作，交于点，连接．求面积的最大值 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于，两点，与轴交于点． (1)直接写出的值和，两点的坐标； (2)如图（1），点是抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图（2），点，是抛物线对称轴上两点，直线，分别交抛物线于点，，设点，的纵坐标分别为，，，求点到直线的距离的最大值． 4．在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过两点，点P为第一象限抛物线上不与点B重合的一动点，作轴于点D，交直线于点C，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当点C为中点时，求m的值； (3)令． ①求d关于m的函数解析式； ②当d随m的增大而减小时，请直接写出m的取值范围． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求a，b的值； (2)点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，交于点E，作轴，交于点F，点M是y轴上一动点，点N是直线上一动点，连接，，．当的周长取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线绕原点O旋转得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点G，点H是新抛物线上一动点，当时，请写出所有符合条件的点H的坐标及其中一种情况的求解过程． 二、二次函数与图形面积问题综合 6．如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求出点的坐标； (3)在第二象限内的抛物线上，是否存在点，使的面积是面积的一半？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，二次函数的图象与x轴交于点，两点，与y轴交于点C，点C与点D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过B，D． (1)求二次函数的解析式及点C的坐标； (2)结合图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围； (3)若点P是直线上方抛物线上的一个动点，连接、，当点P在什么位置时，面积最大，求出此时面积的最大值以及点P坐标； (4)若点E（不在x轴上）是直线上一动点，过点E作轴于点F交抛物线于点H，且点E，F，H三点中有两点关于第三点成中心对称，直接写出点E的横坐标． 8．如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线与抛物线交于两点（点在点的左下方），其中点的坐标为． (1)求该抛物线的表达式． (2)直线为抛物线的对称轴． ①在直线上找到一点，使得的周长最小，求出点的坐标； ②如图2，是抛物线上的动点（在线段上方），求四边形面积的最大值． 9．抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点M，P为抛物线上不重合的两动点，连接与y轴交于点H，与直线交于点D，且点H为的中点．设点M的横坐标为m（，且，）． ①求证：； ②如图2，点N在抛物线上，其横坐标为．连接与交于点E．直线能平分的面积吗？如能，请求出此时m的值；如不能，请说明理由． 10．已知，如图在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，， (1)求a的值； (2)连接，点Q为上方抛物线上一点，，求点Q坐标； (3)在（2）的条件下，点P在第一象限的抛物线上，连接交y轴于点D，连接并延长交抛物线于点L，连接交y轴于点E，于点K，将绕点E逆时针旋转得到线段，连接，若，求的面积． 三、二次函数与角度问题综合 11．如图，直线与抛物线交于两点，直线与y轴交于点C． (1)求抛物线与直线的解析式； (2)点P在抛物线上，直线交x轴于Q，连接，当的面积是面积的2倍时，求点P的坐标； (3)点M为坐标轴上的动点，当时，直接写出点M的坐标． 12．已知抛物线，且与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，若点P在抛物线上运动（P点异于点A）． ①当的面积等于的面积时，求点P的坐标； ②当时，求直线的解析式． 13．如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D． (1)求A，B，C的坐标（用m的代数式或数字表示） (2)若，求m的值． (3)若面积为3，点P为二次函数的图像上一点，满足，则点P的坐标为____________． 14．如图，二次函数与轴相交于点，（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线的顶点为点． (1)请求出点，，的坐标； (2)如图（1），连接，，点为抛物线上一点，使，求点的坐标； (3)如图（2），过定点的直线与抛物线相交于，两点（点在轴左侧，点在轴右侧），过点的直线与抛物线交于点，则直线必过定点的坐标为________（请直接写出答案） 15．如图1，已知抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)如图2，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点M，作轴交于点，求的边上的高的最大值； (3)如图3，连接、，在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 四、二次函数与相似三角形综合 16．如图，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式和对称轴； (2)如图1，若点是第四象限内抛物线上的一个动点，当点运动到何处时，的面积恰好为面积的一半？求出此时点的坐标： (3)如图2，点是抛物线的顶点，直线交轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)点在轴上，直线将的面积分成两部分，请求出点的坐标； (3)如图，作轴于点，点是上方的抛物线上一点，是上一点，是否存在点使得与相似？若存在，请直接写出坐标；若不存在，请说明理由． 18．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，若该抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且其顶点为点，连接，，． ①求证：； ②若点是轴上一点，以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 19．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为的中点，直线交抛物线于点，且点坐标为，点坐标为． (1)求这条抛物线对应的函数关系式； (2)连接，试判断与的位置关系，并说明理由； (3)连接交直线于点，在直线上，是否存在这样的点不与点重合，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，已知抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，对称轴是直线，直线与抛物线的对称轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是直线下方的抛物线上一动点，连接、．求的面积最大值及此时点的坐标； (3)点为轴上一动点． ①若的垂直平分线交于点，交抛物线于、两点，且点在第三象限，当线段时，求点的坐标； ②若点是直线上一点，当与相似时，请直接写出点的坐标． 参考答案 1．(1)， (2) (3)，最小周长为 【分析】（1）将点A、点B的坐标代入可得出抛物线的解析式，从而得出点C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式； （2）联立直线与抛物线的解析式即可求解； （3）由点A、点B是定点，则长度固定，只需满足最小即可，找点A关于抛物线对称轴的对称点为，连接与对称轴交于点Q，即为所要找的点Q，求出坐标即可，且最小周长为． 【详解】（1）解：把、代入抛物线得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为， ∵对称轴与x轴交于点C， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入得， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：联立直线与抛物线的解析式得 解得，， ∴D点的坐标为． （3）解：存在点Q，使得的周长最小． 如图，点A关于抛物线对称轴的对称点为，连接与对称轴交于点Q，连接，则取得最小值，即的周长最小值为， 设， ∵，抛物线对称轴为， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴的周长最小值为． 2．(1)抛物线的解析式为：，对称轴是直线，顶点坐标是 (2) (3)面积的最大值为3． 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式，即可求解； （2）轴对称的性质可知，从而得到的周长，进而得到当点A、C、M在同一条直线上时可取得最小值，为的长，即当点A、C、M在同一条直线上时，周长的最小，为，即可求解； （3）设，则，可得，，然后根据，可得，过点P作，可得，可得到的面积，然后根据二次函数的性质即可求得面积的最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于，两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴， ∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是； （2）解：∵点M在对称轴上，A、B关于对称轴对称， ∴， ∴的周长， 如图，当点A、C、M在同一条直线上时，可取得最小值，为的长， 即当点A、C、M在同一条直线上时，周长的最小，为， 对于， 当时，， ∴点， ∵，点， ∴， ∴周长的最小值为：； （3）解：设，则， ∵，， ∴，， ， ∴， ，即， 解得：， 如图，过点P作， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 的面积 ， ∵， ∴当时，面积的最大值为3． 3．(1)，， (2)或 (3) 【分析】（1）将代入求出，得到抛物线，然后令求出，； （2）根据题意分两种情况讨论：点E在x轴上方和点E在x轴下方，然后分别求出所在直线表达式，然后和抛物线联立求解即可； （3）首先得到，，可得所在直线的表达式为，所在直线的表达式为，然后分别于抛物线联立求出，，然后结合表示出所在直线表达式，设，得到，然后求出所在直线过定点，进而求解即可． 【详解】（1）解：将代入得， 解得 ∴抛物线 ∴当时， 解得或 ∴，； （2）解：如图，当点E在x轴上方时，设与y轴交于点F， ∵抛物线 ∴当时， ∴，即 ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴所在直线表达式为 与抛物线联立得， 解得或 ∴将代入得， ∴； 如图，当点E在x轴下方时，设与y轴交于点F， 同理可得，所在直线表达式为 与抛物线联立得， 解得或 ∴将代入得， ∴； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：∵ ∴抛物线对称轴为直线 ∵设点，的纵坐标分别为，， ∴， ∵ ∴可得所在直线的表达式为，所在直线的表达式为， ∴联立和得， 整理得， ∴，即 ∴ 将代入得， ∴ 同理可得， ∴可得所在直线表达式为 ∵ ∴所在直线表达式为 设 ∴ ∴当时，即时， ∴所在直线过定点 ∵是定点 ∴当时，点到直线的距离取得最大值 ∵ ∴点到直线的距离的最大值为． 4．(1) (2) (3)①；②或 【分析】本题考查了二次函数综合． （1）用待定系数法即可解答； （2）求出直线解析式，设，则， 根据轴于点D，点C为中点，列出等式，即可解答； （3）①先求出抛物线与x轴正半轴的交点坐标，再进行分类讨论即可；②根据①中的解析式，结合二次函数的增减性进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设直线解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∵轴于点D，点C为中点， ∴， 解得：（负值舍去）； （3）解：①当时， 解得：（负值舍去）， ∴抛物线交x轴正半轴于点， 设，则， ， 当时，，， ； 当时，，， ； 当时，，， ， 综上：； ②当时，， 开口向下，对称轴为直线， ∴当d随m的增大而减小； 当时，； 开口向上，对称轴为直线， ∴当d随m的增大而减小，不符合题意，舍去； 当时，， 开口向下，对称轴为直线， ∴当时，d随m的增大而减小． 综上：或． 5．(1)， (2) (3)或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为，证明是等腰直角三角形，得，，可知周长，则当最大时的周长最大，设，则，得出，求出当时取得最大，此时的周长最大，此时，作点关于轴的对称点，连接，作原点关于直线的对称点，连接，，分别求出，，求长即可； （3）先求出新抛物线解析式为，设新抛物线与轴交于点R，证明，得出，当点H在轴左侧时，过点R作，交轴于点Q，过点Q作于点S，得出，，利用勾股定理求出，求出直线的解析式为， 则直线的解析式为，与新抛物线解析式联立即可求解；当点H在轴右侧时，设此时H为，利用对称性得出直线的解析式为，与新抛物线解析式联立即可求解． 【详解】（1）解：将、代入抛物线， 得方程组， 解得； （2）解：由（1）得抛物线解析式为， 令，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴周长， ∴当最大时的周长最大， 设， 则， ∴， ∵二次项次数，对称轴为直线， ∴当时取得最大，此时的周长最大， 此时，即， 作点关于轴的对称点，连接， 则， 则， 作原点关于直线的对称点，连接，， 则， 则， 当、、共线时，取得最小值， 连接，交于点，连接， 由对称性可知，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：原抛物线解析式为， 顶点坐标为， ∵将该抛物线绕原点O旋转得到新抛物线， ∴新抛物线的二次项系数是，顶点坐标为， ∴新抛物线解析式为， 当时，， ∴， 设新抛物线与轴交于点R， 当时，， 解得，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， 当点H在轴左侧时， 如图，过点R作，交轴于点Q，过点Q作于点S， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，即，即， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，（点H在轴左侧，故舍）， ∴； 当点H在轴右侧时，设此时H为， 由， 可知直线和直线关于y轴对称， 则直线的解析式为， 联立， 解得：，（点H在轴右侧，故舍）， ∴， 综上，满足条件的为或． 6．(1) (2)，点位置见解析 (3)不存在点，使的面积是面积的一半，理由见解析 【分析】（1）把代入，可求出的值，即可求出抛物线的解析式； （2）连接，交对称轴于，连接，根据二次函数的轴对称性得出当、、三点在同一条直线上时，的值最小，根据抛物线解析式可求出对称轴为直线，，，利用待定系数法可求出直线的解析式为，把代入即可求出点坐标； （3）过点作轴，交于，设，则，可得，根据的面积是面积的一半可列方程，根据一元二次方程根的判别式得出，可得该方程无实数根，即可得出不存在点，使的面积是面积的一半． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点、，点的坐标为， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，连接，交对称轴于，连接，点即为所求． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与轴交于点、， ∴点与点关于对称轴对称， ∴， ∴， ∵当、、三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ∴的最小值为， ∵抛物线与轴交于点，与轴交于点、， ∴时，，即， 当时，， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴当时，， ∴点坐标为． （3）解：不存在点，使的面积是面积的一半，理由如下： 如图，过点作轴，交于， 设，则， ∴， ∵，，， ∴， ∵的面积是面积的一半， ∴，即， ∵， ∴该方程无实数根， ∴不存在点，使的面积是面积的一半． 7．(1)； (2)或 (3) (4)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出二次函数的对称轴为，进而得到点D坐标，再利用图象求解即可； （3）先利用待定系数法求出的表达式，设点，过点P作轴于点Q，交于点G，则点G坐标为，进而得到的长，利用进行求解即可； （4）设点，则、，分情况讨论：当①点F和点H关于点成中心对称或②点E和点H关于点成中心对称或③点E和点F的关于点成中心对称点，利用中心对称的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点、代入函数得： ， 解得， 二次函数的解析式为， 当时，， 点C的坐标为； （2）解：由（1）知，二次函数的解析式为， 则对称轴为直线， 点C，与D是二次函数图象上的一对对称点， 点D的坐标为， 由图象可知：一次函数值大于二次函数值的x的取值范围为或； （3）解：设直线的表达式为， 将点、代入得： ， 解得， 直线的表达式为， 设点，过点P作轴于点Q，交于点G， ， ， ， ， 二次函数的图象开口向下， 当时，有最大值，最大值为， 此时， 面积的最大值为，点P坐标为； （4）解：由（3）可知：直线的表达式为， 设点，则、， ①当点F和点H关于点成中心对称时： 根据题意得：， 解得或， 若，则点E、F、H三点重合，不符合题意， ； ②当点E和点H关于点成中心对称时： 根据题意得：， 解得或（舍去）； ③当点E和点F关于点成中心对称时： 根据题意得：， 解得或（舍去）， 综上所述，点E的横坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，中心对称的性质、三角形面积问题，熟练掌握二次函数和一次函数的图象性质、数形结合的思想方法是运用是解题的关键． 8．(1) (2)①；② 【分析】（1）由抛物线与直线都经过轴上的点，可得，再由可得6和是的两个根，根据一元二次方程的根与系数的关系建立方程组即可求解； （2）①由点，点是定点，可得当取得最小值时，周长取得最小值，利用点与点关于抛物线的对称轴对称，连接即可得点的坐标； ②过点作轴，交于点，先求得的最大值，再由四边形面积即可得四边形面积的最大值． 【详解】（1）解：∵点既是抛物线与轴的交点，又是直线与抛物线的交点， ∴点是直线与轴的交点， 令，则， 解得， ∴， ∵点在抛物线的图象上， 令，则， ∴6和是的两个根， ∴， 解得或（舍去）， ∴抛物线的表达式为． （2）解：①由题意可得，当取得最小值时，周长取得最小值， ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴直线与的交点即为点，此时的周长最小， 由（1）知，抛物线的表达式为，对称轴为直线，直线的解析式为， 把代入得，， ∴． ②联立， 解得或， ∴点坐标为， 设点的坐标为，过点作轴，交于点，则 ∴ ， ∴当时，取得最大值， ∴面积最大值， ∴四边形面积的最大值． 9．(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）将A、B两点的坐标值代入抛物线的解析式中，列二元一次方程组，求出、的值，即得到抛物线的解析式． （2）①设的中点为，分别求出直线的解析式，得到，进而可得； ②求出直线的解析式，得到，进而得到，再求出点的坐标，利用两点间的距离公式求出即可． 【详解】（1）解：将A、B两点的坐标值代入抛物线的解析式中， 得， 解得； ∴抛物线的函数解析式为：； （2）①证明：对于抛物线，令，则， ∴， 又， ，则为等腰直角三角形， 取的中点为，连接， 则，， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， 设， 点H为的中点，则， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 又直线的解析式为， ，又， ； ②解：N在抛物线上，其横坐标为， 当，， 故，又， 设直线的解析式为， ，解得， 故直线的解析式为， ， ，相似比为， ， 若直线平分的面积，则， 又 ，， 直线的解析式为，与直线联立， ，解得，即， ， 解得或， 又，则（舍去）， 故． 10．(1) (2) (3) 【分析】（1）抛物线的对称轴为直线，记直线交轴于点，据此求得、，利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式，过Q作轴于M，交于N，设点的坐标为，则点的坐标为，求得，利用三角形面积公式求解即可； （3）过L作y轴垂线交的延长线于Z，设交于点F，过P作轴于G，轴于R，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，记直线交轴于点， ， 由对称性可知：， ， ， ， ， ，， ，， 点坐标， 将、代入二次函数中得， 解得； （2）解：由（1）可知，， 抛物线解析式为，、， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 过Q作轴于M，交于N， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∴点的坐标为； （3）解：过L作y轴垂线交的延长线于Z，设交于点F，过P作轴于G，轴于R，则四边形为矩形， 设点P的横坐标为m，则P点坐标为，则， ∵， ∴，可知， 即，得， 同理过L作轴于U，设L的横坐标为n，则， ，，， ∴， ， ， ， ， 同理， ∴，即， ∴， ， ，， ∴， ，， ， ， 解得，， ，，P点坐标， 由题可知，， ∴， ∴， ，， ∴T在PG上，四边形为矩形， ，， 过C作于Y， 由平行线间距离相等得， ． 11．(1)直线解析式为，抛物线解析式为 (2) (3) 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）由一次函数解析式可得点C坐标，从而可得，由的面积是面积的2倍可得点P到的距离是点Q到的距离的2倍，再分类讨论点P的位置并结合图像求解即可； （3）分别讨论点M在x轴正半轴，y轴负半轴与正半轴三种情况，由长度不变，角度不变可得为弦所对圆周角，从而可得所对圆心角为直角，进而求解即可． 【详解】（1）解：代入得： ，解得：， ∴抛物线解析式． 将代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为． （2）解：①点P在x轴上方时，过点P作x轴平行线，交y轴于点F，交直线于点E， 将代入得， ∴点C坐标为， ∵， ∴C为中点，即， ∴当的面积是面积的2倍时，点P到的距离是点Q到的距离的2倍， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P纵坐标为， 将代入得，解得， ∴点P坐标为或． ②点P在x轴下方时，连接，轴于点K， ∵C为中点， ∴， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴点Q为中点， 又∵， ∴， ∴，即点P纵坐标为， 将代入得，解得∴点P坐标为或． 综上所述，点P坐标为或或或． （3）解：①点M在x轴正半轴上，作轴于点N， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点M坐标为． ②如图，点M在y轴负半轴，作于点G， ∵长度不变，， ∴点A，B，M在同一个圆上， ∵， ∴点G为外接圆圆心， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴点M坐标为， 此时，， 所以是等腰直角三角形，符合题意； ③点M1与点M关于点C对称，则四边形为平行四边形，， ∴点坐标为． ∴点M坐标为或或． 12．(1) (2)①P坐标为或或；② 【分析】（1）由抛物线过点，，运用待定系数法求出a，b的值，从而求得抛物线的解析式； （2）①分两种情况进行讨论，Ⅰ．当点P在x轴的上方时，过点A作，交抛物线于点P，则有，先求出直线的解析式，再求出直线的解析式，最后将直线与抛物线联立，即可求得点P坐标；Ⅱ．当点P在x轴的下方时，由直线向下平移2个单位长度，交抛物线于点，，求出直线的解析式，最后将直线与抛物线联立，即可求得点P坐标；②延长交x轴于点Q，设，先证，再由相似三角形的性质得到，求出点Q坐标，最后求得直线：． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为． （2）①解：Ⅰ．如图，当点P在x轴的上方时，过点A作，交抛物线于点P，则有， ∵抛物线与y轴交于点C， ∴， 设直线：， ∴解得：， ∴直线：， 故设直线：， ∵直线：经过， ∴， 解得：，即直线：， 由解得：或 ∴； Ⅱ．如图，当点P在x轴的下方时， 设直线：与y轴交于点E，则， 则， 由直线向下平移2个单位长度，交抛物线于点，．得， 此时直线：， 由， 解得：或， ∴，， 综上，P坐标为或或； ②解：如图，延长交x轴于点Q， ∵，，， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∴，即， 设直线：， 将，代入中， ∴解得： ∴直线：． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合运用，包括待定系数法求函数解析式，函数相关的图形面积关系，角度存在性问题等，灵活运用相关知识是解题的关键． 13．(1)，， (2) (3) 【分析】（1）分别令和求解即可； （2）如图，过点A作于点E，过点D作轴于点F，根据题意表示出，，，，然后由得到，然后代入求解即可； （3）首先表示出，，然后根据面积为3求出，然后得到，，作点C关于抛物线对称轴对称的点P，证明出，得到，然后由轴对称的性质求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， ∴当时，，整理可得， 解得或， ∴，， 当时，， ∴； （2）解：如图，过点A作于点E，过点D作轴于点F， ∵，， ∴，， ∵， ∴顶点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得，， ∵， ∴或， 解得（舍去）或； （3）解：∵，，， ∴，， ∵面积为3， ∴， ∴， 解得（舍去）或， ∴，， 如图，作点C关于抛物线对称轴对称的点P， 由轴对称可得，，， 又∵， ∴， ∴， ∴点P即为所求， ∵，对称轴为直线， ∴． 14．(1)，， (2)或 (3)． 【分析】（1）求出时x的值可得点A和点B的坐标，求出时y的值可得点C的坐标； （2）把解析式化为顶点式得到点D的坐标，当点在轴上方时，过点作于点，过点向上作交于点 ，由抛物线的对称性可得，，证明得，求出直线的解析式为，联立，求解即可；当点在轴下方时，同理可求得直线的解析式为，联立：，求解即可； （3）设，求出直线，同理可得，直线的解析式为，直线的解析式为，因为直线经过定点，得到，求出直线解析式为，即可求解． 【详解】（1）解：在中，当时，， 解得或， 当时，， ，，； （2）解：∵， ∴顶点的坐标为， ①当点在轴上方时，过点作于点，过点向上作交于点， ，，， ，， 由抛物线的对称性可得， ， ， ， 又∵， ， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为（），将、两点坐标代入得： ， 解得， 直线的解析式为， 联立，解得或， 点的坐标为； ②点在轴下方时， 同理可求得直线的解析式为， 联立，解得或， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或； （3）解：设，，， 设直线的解析式为， 联立得， 由根与系数关系可知，， 直线的解析式为， 同理可得，直线的解析式为， 直线的解析式为， ，即， 直线经过定点， ， 整理得， 将代入中，得， 整理得， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， 直线必过定点． 【点睛】本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标，二次函数综合，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． 15．(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用抛物线经过的点以及对称轴，通过解方程组求出抛物线的解析式； （2）先求出直线的解析式，再设出点的坐标，进而表示出与的长度，得到，是等腰直角三角形，的长度，过点作于，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等腰三角形三线合一可得的长，根据二次函数的性质求出最大值即可； （3）分点在上方和下方两种情况，通过构造全等三角形，利用全等三角形的性质以及角度关系来确定点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的图象与轴交于、两点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴，解得， 抛物线所对应的函数表达式为：． （2）解：点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ， 对于抛物线，令，得， ， 设直线解析式为， 将点，代入得， ，解得， 直线解析式为， 设，则， 令，得， ， ，， ，是等腰直角三角形，， 如图，过点作于，则点是的中点， ， ， 当时，取最大值，最大值为， 即的边上的高的最大值为． （3）解：当点位于上方时，在上取一点D，使得，连接并延长交抛物线于点， ，，， ，， 是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 设直线解析式为， 将点，代入得， ，解得， 直线解析式为， 联立，解得或， ； 当点位于下方时，如图，作轴，作于点，与抛物线的交点为，连接， 对于抛物线， 令，得， 解得或， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ，即， ， 点与点重合， ， 综上所述：或． 16．(1)；对称轴为直线； (2)或 (3)存在，点的坐标为或． 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，进而求出对称轴即可； （2）求出点坐标，进而求出的解析式，设点的坐标是，过点作交于点，表示出的面积，列出方程进行求解即可； （3）连接，求得，再求出的解析式，设点，求得分两种情况讨论，即①当时，②当时，利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：把点，代入，得 ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：抛物线的解析式为， 令，即， 解得，， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， 所以直线的解析式为， 设点的坐标是， 点是第四象限内抛物线上的一个动点， ， 过点作于点，则， ， 的面积， ∵，，， ∴， 由题意，，解得或， ∴当时，；当时，； ∴或； （3）解：， ， 如图，连接， 设的解析式为， 将、代入， 可得， 解得， 直线的解析式为， 令，即，解得， 点的坐标为， ，且， ， ， 设点， 点在线段上， ， 则， ， 分情况讨论： ①当时，有， ， 解得，满足， 则此时， 此时点的坐标为． ②当时，有， ， 解得，满足， 此时， 此时点的坐标为， 点的坐标为或． 17．(1)，点的坐标为； (2)或； (3)N；N 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式是，把二次函数整理成顶点坐标式，可得：，根据解析式可得点的坐标； （2）作点、三等分线段，根据平行线分线段成比例定理可知点、的横坐标是、，用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式可得点、的坐标，用待定系数法求出、的解析式，根据解析式求出点的坐标； （3）设点的坐标是，作，延长交于点，过点作，利用相似三角形的性质可知，点的坐标是，点的坐标是，利用待定系数法求出的解析式，根据点在直线上，即可求出点的坐标；作，作，可证，利用勾股定理求出的长度，根据全等三角形的性质可知的长度，利用相似三角形的性质即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式是； 把二次函数的解析整理，可得：， 抛物线的顶点的坐标为； （2）解：如下图所示，点、是线段的三等分点， 过点作，， 则， ， ， ， 点、的横坐标分别是、， 设直线的解析式是， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时，可得：， 当时，可得：， 点的坐标是，点的坐标是， 点和点在直线上， 直线与轴的交点坐标是， 即点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时，可得：， 解得：， 直线与轴的交点坐标是， 即点的坐标是， 综上所述，点的坐标是或； （3）解：点的坐标或， 设点的坐标是， 如下图所示，作，延长交于点，过点作， 点的坐标是，点的坐标是， ，，， ， ，， ， ， ， ， 点的坐标是， ， ， 在和中，， ， ， 点的坐标是， 即点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点，的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 整理得：， 解得：，(与点重合，舍去)， 当时，， 则， 点的坐标是； 如下图所示，作，作， 则， 当时，， 点的坐标是， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， 解得：， 点的横坐标是， 把代入， 可得：， 点的坐标是， 综上所述，点的坐标或． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、相似三角形的判定和性质． 18．(1) (2)①见解析；②点的坐标为或或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确地求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①求出的坐标，两点间的距离公式结合勾股定理逆定理，即可得出结论；②分点在轴正半轴和负半轴上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点和， ，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）当时，，解得或， 点在点的左侧， 点的坐标为，点的坐标为， 当时，， 点的坐标为； ， 顶点的坐标为， ①由两点间距离得，， ， ，， ， 是直角三角形， ； ②当点在轴正半轴上时，设点坐标为， 以点，，为顶点的三角形与相似， 或， 或， 或， 解得或，此时点的坐标为或； 当点在轴负半轴上时，同理可得点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 19．(1) (2)，理由见解析 (3)点的坐标为． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得点坐标为，利用勾股定理及其逆定理求得为直角三角形，即可得到； （3）求得，推出，得到点与点重合，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵点，，在抛物线上， 则， 解得， ∴这条抛物线对应的函数关系式为； （2）解：，理由如下， 令，则， 解得或 ∴点坐标为， ∵为的中点，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴，即； （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即点符合条件，点与点重合， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理及其逆定理、相似三角形的判定和性质等知识及综合应用知识、解决问题的能力． 20．(1)； (2)最大值为，此时点的坐标为； (3)①；②或或或或或． 【分析】（1）利用对称轴公式即可得出b的值，再利用抛物线与y轴交于点，求出抛物线解析式即可； （2）求出直线的解析式为，连接、，过点作轴交直线于点，设点的坐标为，则点的坐标为，求得，得，根据二次函数的性质得出结论； （3）①过作轴于，求出，，，求得，由垂直平分可得结论；②根据相似三角形的相似条件画出图形即可解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，对称轴是直线， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：对于，当时，， 解得，， ∵点在点左侧， ∴， 设直线的解析式为， 将、代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为． 如图，连接、，过点作轴交直线于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∴． ∵， ∴当时，的面积取最大值，最大值为，此时点的坐标为； （3）①过作轴于，如图： 在中令得，令得，， ∴，，，且对称轴， ∴，直线解析式为， ∵， ∴， ∵轴，由对称性可得，对称轴， ∴，即横坐标为， ∴， ∵垂直平分， ∴ ∴ ②∵，，， ∴， 当与相似时，是直角三角形，且两直角边比为，分三种情况： 为直角顶点，如图3： ∵， ∴若时，则可得，同理， 若，则，可得，同理， 为直角顶点，如图： ， 若，则，，同理可得， 若，则，，同理可得， 为直角顶点，过、作直线的垂线，垂足分别是、，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴，且， ∴，， ∴， ∴， 同理可得， 综上所述，当与相似时，的坐标为：或或或或或 学科网（北京）股份有限公司 $