精品解析：山东烟台市芝罘区2025-2026学年高二第二学期期中学业水平诊断数学试卷

2025~2026学年度第二学期期中学业水平诊断 高二数学 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟. 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上. 3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. （ ） A. 45 B. 165 C. 330 D. 7920 2. 已知离散型随机变量的期望，则（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 3. 某班40名同学报名参加8个社团活动，每位同学只能参加其中1个社团，且每个社团招收人数不限，则这40位同学可能的报名结果种数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 5. 关于的一组样本数据，，，，若由这组样本数据得到的经验回归方程为，则的值为（ ） A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 6. 某单位在周一到周五的五天中安排4人值夜班，每天安排1人，每人值夜班至少1次，至多2次，且每个人均不在相邻两天连续值夜班，则该单位可能的值夜班安排种数为（ ） A. 96 B. 108 C. 144 D. 288 7. 设，是同一概率空间中的随机事件，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设离散型随机变量的所有可能取值为1，2，3，4，5，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若服从标准正态分布，则 B. 若，则越小，正态密度曲线越“瘦高” C. 若，且，则 D. 若，且，则 10. 连续抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有1，2，3，4，5，6的骰子两次，分别记录两次骰子正面朝上的点数，表示事件“第一次正面朝上的点数为2”，表示事件“第二次正面朝上的点数为偶数”，表示事件“两次正面朝上的点数之和为6”，表示事件“恰有一次正面朝上的点数不大于3”，则（ ） A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 11. 某校举办象棋比赛，最终有甲、乙、丙、丁四名同学进入决赛，决赛的比赛规则为：四名同学进行单循环比赛（即每名同学都要与其他各名同学进行一局比赛），每名同学胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，且每局比赛中，每名同学胜、平、负的概率均为.若各局比赛结果相互独立，则在比赛结束时，下列结论正确的有（ ） A. 甲同学积分为3分的概率为 B. 甲同学胜2局且乙同学胜2局的概率为 C. 甲同学积分的数学期望为4 D. 四名同学积分总和的方差为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 由数字0，1，2，3组成的没有重复数字的四位数中偶数的个数为______（用数字作答）. 13. 的展开式中的系数为______. 14. 一个正八面体骰子，八个面分别标以数字1，2，3，4，5，6，7，8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间.设事件，事件，若事件满足，，，则满足条件的事件的个数为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. OpenClaw（俗称“龙虾”）是一个以龙虾为图标的开源智能体平台、一种能操作电脑的执行层工具.某单位为了解员工是否喜欢使用OpenClaw，对不同年龄段的100名员工进行了调查统计，得到如下列联表： 年龄 是否喜欢使用OpenClaw 合计 是 否 不超过45岁 40 60 超过45岁 30 合计 100 （1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为“是否喜欢使用OpenClaw”与年龄有关联； （2）若以本次调查的频率估计概率，从该单位所有超过45岁和不超过45岁的员工中各随机抽取1人，求这两人中至少有1人喜欢使用OpenClaw的概率. 参考公式：，其中. 16. 某工厂有一批同型号机器，现从中随机抽取8台该型号机器进行故障率测试，测得故障率如下表所示： 机器编号 1 2 3 4 5 6 7 8 故障率 1.2% 1.8% 0.7% 0.9% 2.5% 2.2% 1.5% 0.8% （1）从这8台机器中任取一台，求该机器故障率小于2%的概率； （2）从表中故障率小于2%的机器中任取3台，用随机变量表示其中故障率小于1%的机器台数，求的分布列和数学期望； （3）以这8台机器中故障率小于2%的频率估计整个工厂所有此类机器中故障率小于2%的概率，现从工厂所有此类机器中随机抽取5台，求其中至少有2台机器故障率小于2%的概率. 17. 电动自行车作为一种绿色、节能的交通工具，受到广大市民的青睐，但随之而来的电动自行车违规停放和充电的问题，已成为城市管理的一大难题.某市为切实消除电动自行车消防安全隐患，决定在各小区建设智能充电桩，并统计了第1个月到6个月的充电桩的建成数量（单位：千个）如下表所示： 第个月 1 2 3 4 5 6 充电桩建成数量（千个） 0.9 1.7 3.2 5 5.3 5.5 根据表中数据，拟使用模型和模型对两个变量，进行拟合. （1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型的拟合程度更好； （2）根据（1）的分析，选取拟合程度更好的模型，求出关于的经验回归方程，并预测到第8个月时，全市的充电桩建成数量. 参考公式：对于一组数据，其相关系数；其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 参考数据：，，令，，，；令，，，. 18. 已知甲盒中有2个白球和3个黑球；乙盒中有2个白球和2个黑球，所有小球除颜色外完全相同.定义一次“双向置换”操作：先从甲盒中随机取出1个球放入乙盒，搅拌均匀后，再从乙盒中随机取出1个球放入甲盒. （1）完成1次“双向置换”后，求甲盒中恰有2个白球的概率； （2）若已连续完成2次“双向置换”. （ⅰ）求此时乙盒中白球个数的分布列和数学期望； （ⅱ）已知此时乙盒中有白球，求乙盒中恰有2个白球的概率. 19. 一商场联合某商品生产商举行有奖竞猜活动，每次活动分为两轮，每位顾客仅限参与一次活动，顾客先进行第一轮竞猜：若顾客成功通过第一轮活动，则获得基础抵扣券，继续参加第二轮；若未通过，活动结束，不获得任何抵扣卷.已知顾客成功通过第一轮的概率为；且在成功通过第一轮的条件下，获得30元基础抵扣券的概率为，获得10元的基础抵扣券的概率为.顾客成功通过第一轮后，可参加第二轮竞猜：若顾客成功通过第二轮活动，则额外获得20元的进阶抵扣券；若未通过，则仅保留已领取的基础抵扣卷.两种抵扣券可叠加使用，且无消费门槛，仅可用于购买本次活动的商品.已知该商品每件的售价为150元，商场单件进货成本为78元，本次活动为商家与生产商的联合促销：所有抵扣卷的总金额由商场和生产商各承担的50%（即顾客每使用1元抵扣卷，商场和生产商各承担0.5元）.商场的单件毛利润定义为：商场单件毛利润=顾客实际支付金额-商场进货成本+生产商承担的抵扣卷成本. （1）在活动规则中，顾客成功通过第二轮活动的概率为，记顾客购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； （2）设顾客甲成功通过了第一轮活动，其成功通过第二轮活动的概率为，已知：若顾客甲通过两轮活动（即同时获得基础卷和进阶卷），则其使用抵扣券购买该商品的概率为；若顾客甲仅通过第一轮、未通过第二轮（仅获得基础卷），则其使用抵扣卷购买该商品的概率为，记两种情况下，顾客甲使用抵扣卷购买一件该商品贡献给商场的毛利润期望（单位：元）为和，若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期中学业水平诊断 高二数学 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟. 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上. 3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. （ ） A. 45 B. 165 C. 330 D. 7920 【答案】C 【解析】 【分析】根据组合数的性质化简即可求值. 【详解】. 2. 已知离散型随机变量的期望，则（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【详解】因为，则. 3. 某班40名同学报名参加8个社团活动，每位同学只能参加其中1个社团，且每个社团招收人数不限，则这40位同学可能的报名结果种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由分步乘法原理计算可得 【详解】由题意可得每位同学有8种选择，根据乘法原理，共有种. 4. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】令，则，即， 令，则，即， 所以. 5. 关于的一组样本数据，，，，若由这组样本数据得到的经验回归方程为，则的值为（ ） A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 【答案】A 【解析】 【详解】已知样本数据，，，， 则，. 则，解得. 6. 某单位在周一到周五的五天中安排4人值夜班，每天安排1人，每人值夜班至少1次，至多2次，且每个人均不在相邻两天连续值夜班，则该单位可能的值夜班安排种数为（ ） A. 96 B. 108 C. 144 D. 288 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，先选出值两天班的人，再选值不相邻的2天，剩下3人各值1天利用分步乘法计数原理即可求得答案． 【详解】五天安排人，每人至少次、至多次，因此总值班次数满足， 即恰好有人值次班，其余人各值次班. 选值次班的人，共种选法； 从天中选个不相邻的天给这个人，总选法为种. 剩余天安排剩余人，每人天，全排列共种排法. 总安排种数. 7. 设，是同一概率空间中的随机事件，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率以及全概率公式求解即可. 【详解】因为满足，所以. 因为，， 所以. 由全概率公式得. . 8. 设离散型随机变量的所有可能取值为1，2，3，4，5，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据依次迭代计算求解. 【详解】当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若服从标准正态分布，则 B. 若，则越小，正态密度曲线越“瘦高” C. 若，且，则 D. 若，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正态分布的曲线以及性质求解即可. 【详解】选项A.标准正态分布为，因此方差，A正确. 选项B.正态分布中，数据越集中在均值附近，正态密度曲线越“瘦高”，因此B正确. 选项C.，对称轴为.由得， 根据对称性，因此，C错误. 选项D.，对称轴为. 若，根据正态分布对称性，则，解得，D正确. 10. 连续抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有1，2，3，4，5，6的骰子两次，分别记录两次骰子正面朝上的点数，表示事件“第一次正面朝上的点数为2”，表示事件“第二次正面朝上的点数为偶数”，表示事件“两次正面朝上的点数之和为6”，表示事件“恰有一次正面朝上的点数不大于3”，则（ ） A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 【答案】AC 【解析】 【分析】根据相互独立事件的定义判断可得； 【详解】根据题意得，，， ，. 选项A.​，​，满足，A正确. 选项B.，，B错误. 选项C.，，满足，C正确. 选项D.，​，D错误. 11. 某校举办象棋比赛，最终有甲、乙、丙、丁四名同学进入决赛，决赛的比赛规则为：四名同学进行单循环比赛（即每名同学都要与其他各名同学进行一局比赛），每名同学胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，且每局比赛中，每名同学胜、平、负的概率均为.若各局比赛结果相互独立，则在比赛结束时，下列结论正确的有（ ） A. 甲同学积分为3分的概率为 B. 甲同学胜2局且乙同学胜2局的概率为 C. 甲同学积分的数学期望为4 D. 四名同学积分总和的方差为 【答案】BCD 【解析】 【分析】分析出甲积3分的情况，再求出概率即可.分析出甲胜2局且乙胜2局的情况，再分析概率即可.根据期望的公式以及线性性求解选项C.根据方差公式求解选项D. 【详解】四人单循环赛，每名选手共进行3局比赛，总共有局比赛，每局胜得3分、平得1分、负得0分，每局胜/平/负概率均为​，各局独立. 选项A.甲积3分有两种情况：1胜2负或3局全平.则概率为， A错误. 选项B.甲胜2局且乙胜2局，分三种情况. 甲胜乙：甲需要在丙丁中再胜1场，乙需要胜丙丁两场，概率为. 乙胜甲：乙需要在丙丁中再胜1场，甲需要胜丙丁两场，概率为. 甲乙平局，概率为 总概率​，B正确. 选项C.甲每局得分的期望为：，甲共3局， 由期望的线性性：，C正确. 选项D.设每局总得分​，总积分，各局独立， 故：平局概率，总得分2；分胜负概率，总得分3. ,.. 因此，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 由数字0，1，2，3组成的没有重复数字的四位数中偶数的个数为______（用数字作答）. 【答案】10 【解析】 【详解】个位为，剩余千位、百位、十位从三个数字全排列，共个； 个位为，不能在千位，因此千位只能从中选个，共种选择， 剩余百位、十位从剩下的个数字全排列，共种排列，因此这类共个. 两类相加，总个数为. 13. 的展开式中的系数为______. 【答案】32 【解析】 【详解】的展开式的通项为. 令，得，展开式中的系数为， 令，得，展开式中的系数为， 令，得，展开式中的系数为. 则的展开式中的系数为. 14. 一个正八面体骰子，八个面分别标以数字1，2，3，4，5，6，7，8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间.设事件，事件，若事件满足，，，则满足条件的事件的个数为______. 【答案】8 【解析】 【分析】计算出，根据条件得到，，故，其中，，则或. 当时，，，，分为，和，两种情况，求出相应的，时，不合要求，从而得到答案. 【详解】事件，事件，故. 又，故，即. 因为，，所以， 故，即. 又，，故，所以. 即，所以，故. 其中，，则或. 若，则， 又，故，，故. 若，，可令或或或； 若，，可令或或或； 事件，事件， 若，则，此时， 此时，故，不合要求，舍去， 综上，满足条件的事件的个数为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. OpenClaw（俗称“龙虾”）是一个以龙虾为图标的开源智能体平台、一种能操作电脑的执行层工具.某单位为了解员工是否喜欢使用OpenClaw，对不同年龄段的100名员工进行了调查统计，得到如下列联表： 年龄 是否喜欢使用OpenClaw 合计 是 否 不超过45岁 40 60 超过45岁 30 合计 100 （1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为“是否喜欢使用OpenClaw”与年龄有关联； （2）若以本次调查的频率估计概率，从该单位所有超过45岁和不超过45岁的员工中各随机抽取1人，求这两人中至少有1人喜欢使用OpenClaw的概率. 参考公式：，其中. 【答案】（1） 年龄 是否喜欢使用OpenClaw 合计 是 否 不超过45岁 40 20 60 超过45岁 10 30 40 合计 50 50 100 认为“是否喜欢使用OpenClaw”与年龄有关联． （2） 【解析】 【分析】（1）通过列联表数据补全表格，再利用卡方检验公式计算统计量，通过与临界值对比，判断出“是否喜欢使用OpenClaw”与年龄存在显著关联，核心是卡方独立性检验的步骤应用． （2）以调查频率估计概率，先分别算出不同年龄段员工喜欢使用OpenClaw的概率，再利用对立事件的概率公式，求出两人中至少有 1 人喜欢使用的概率，关键是对立事件思想的运用． 【小问1详解】 年龄 是否喜欢使用OpenClaw 合计 是 否 不超过45岁 40 20 60 超过45岁 10 30 40 合计 50 50 100 根据卡方检验公式 ，代入： ， 由于 ，故拒绝原假设，认为“是否喜欢使用OpenClaw”与年龄有关联． 【小问2详解】 设从不超过45岁员工中抽到喜欢使用者的概率为 ，从超过45岁员工中抽到喜欢使用者的概率为 ， 则两人中至少有1人喜欢使用的概率为：． 16. 某工厂有一批同型号机器，现从中随机抽取8台该型号机器进行故障率测试，测得故障率如下表所示： 机器编号 1 2 3 4 5 6 7 8 故障率 1.2% 1.8% 0.7% 0.9% 2.5% 2.2% 1.5% 0.8% （1）从这8台机器中任取一台，求该机器故障率小于2%的概率； （2）从表中故障率小于2%的机器中任取3台，用随机变量表示其中故障率小于1%的机器台数，求的分布列和数学期望； （3）以这8台机器中故障率小于2%的频率估计整个工厂所有此类机器中故障率小于2%的概率，现从工厂所有此类机器中随机抽取5台，求其中至少有2台机器故障率小于2%的概率. 【答案】（1） （2）分布列 0 1 2 3 期望为 （3） 【解析】 【小问1详解】 8台机器中，故障率小于2%的机器有6台：． 【小问2详解】 故障率小于2%的机器共6台，其中故障率小于1%的有3台， 的可能取值为，，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 数学期望： 【小问3详解】 设为抽取的5台中故障率小于2%的台数，则， ． 17. 电动自行车作为一种绿色、节能的交通工具，受到广大市民的青睐，但随之而来的电动自行车违规停放和充电的问题，已成为城市管理的一大难题.某市为切实消除电动自行车消防安全隐患，决定在各小区建设智能充电桩，并统计了第1个月到6个月的充电桩的建成数量（单位：千个）如下表所示： 第个月 1 2 3 4 5 6 充电桩建成数量（千个） 0.9 1.7 3.2 5 5.3 5.5 根据表中数据，拟使用模型和模型对两个变量，进行拟合. （1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型的拟合程度更好； （2）根据（1）的分析，选取拟合程度更好的模型，求出关于的经验回归方程，并预测到第8个月时，全市的充电桩建成数量. 参考公式：对于一组数据，其相关系数；其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 参考数据：，，令，，，；令，，，. 【答案】（1）的拟合程度更好. （2）经验回归方程为 ，预测到第8个月时，全市的充电桩建成数量为6400个. 【解析】 【分析】（1）分别计算两个模型的相关系数，再进行比较即可. （2）首先计算均值，求出经验回归方程，再代入计算即可. 【小问1详解】 对于模型，令，代入公式得. 对于模型，令，代入公式得. 因为，所以的拟合程度更好. 【小问2详解】 ，. 根据最小二乘估计 ， . 因此关于的经验回归方程为 . 当时，代入得. 因此预测到第8个月时，全市充电桩建成数量为千个. 18. 已知甲盒中有2个白球和3个黑球；乙盒中有2个白球和2个黑球，所有小球除颜色外完全相同.定义一次“双向置换”操作：先从甲盒中随机取出1个球放入乙盒，搅拌均匀后，再从乙盒中随机取出1个球放入甲盒. （1）完成1次“双向置换”后，求甲盒中恰有2个白球的概率； （2）若已连续完成2次“双向置换”. （ⅰ）求此时乙盒中白球个数的分布列和数学期望； （ⅱ）已知此时乙盒中有白球，求乙盒中恰有2个白球的概率. 【答案】（1） （2） （i）分布列如下： 0 1 2 3 4 ​ ​ ； （ii） 【解析】 【分析】（1）根据甲盒中白球不变，分析出从甲拿出白（黑）球，再从乙拿回白（黑）球，进而求出概率. （2）（i）分析2次“双向置换”之后乙盒的白球个数，再求出相应的概率得到分布列，再求出数学期望. （ii）根据条件概率求解即可. 【小问1详解】 甲盒白球数不变，分两种情况： ①从甲拿出白球，再从乙拿回白球：概率. ​②从甲拿出黑球，再从乙拿回黑球：概率. 故所求概率. 【小问2详解】 （i）总白球数为，次操作后乙盒白球数的可能取值为， 其概率为，，. 设两次操作后乙盒中白球个数为，的可能取值为. ，， ，， . 分布列如下： 0 1 2 3 4 ​ ​ 数学期望：. （ii）由条件概率公式. 19. 一商场联合某商品生产商举行有奖竞猜活动，每次活动分为两轮，每位顾客仅限参与一次活动，顾客先进行第一轮竞猜：若顾客成功通过第一轮活动，则获得基础抵扣券，继续参加第二轮；若未通过，活动结束，不获得任何抵扣卷.已知顾客成功通过第一轮的概率为；且在成功通过第一轮的条件下，获得30元基础抵扣券的概率为，获得10元的基础抵扣券的概率为.顾客成功通过第一轮后，可参加第二轮竞猜：若顾客成功通过第二轮活动，则额外获得20元的进阶抵扣券；若未通过，则仅保留已领取的基础抵扣卷.两种抵扣券可叠加使用，且无消费门槛，仅可用于购买本次活动的商品.已知该商品每件的售价为150元，商场单件进货成本为78元，本次活动为商家与生产商的联合促销：所有抵扣卷的总金额由商场和生产商各承担的50%（即顾客每使用1元抵扣卷，商场和生产商各承担0.5元）.商场的单件毛利润定义为：商场单件毛利润=顾客实际支付金额-商场进货成本+生产商承担的抵扣卷成本. （1）在活动规则中，顾客成功通过第二轮活动的概率为，记顾客购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； （2）设顾客甲成功通过了第一轮活动，其成功通过第二轮活动的概率为，已知：若顾客甲通过两轮活动（即同时获得基础卷和进阶卷），则其使用抵扣券购买该商品的概率为；若顾客甲仅通过第一轮、未通过第二轮（仅获得基础卷），则其使用抵扣卷购买该商品的概率为，记两种情况下，顾客甲使用抵扣卷购买一件该商品贡献给商场的毛利润期望（单位：元）为和，若，求的取值范围. 【答案】（1）分布列见上述，数学期望为. （2） 【解析】 【分析】（1）分析出的可能取值，再求出相应的概率，得到分布列，进而得到数学期望, （2）根据毛利润期望，分别求出，再根据题意列不等式求解即可. 【小问1详解】 顾客实际支付金额的所有可能取值为. . 若顾客通过第一轮、未通过第二轮，基础抵扣10元，则. 若顾客通过第一轮，未通过第二轮且基础30元，或通过两轮且基础10元，. 若顾客通过两轮，基础抵扣30元：. 因此的分布列为： 100 120 140 150 数学期望. 【小问2详解】 设顾客使用的抵扣券总金额为元，则顾客实际支付元，生产商承担元． 由题目给出的定义，商场单件毛利润为 若顾客通过两轮：获得30元基础券时，总抵扣金额为50元，商场单件毛利润为 获得10元基础券时，总抵扣金额为30元，商场单件毛利润为 所以，在顾客购买商品的条件下，商场单件毛利润的期望为 若顾客未购买商品，则其贡献的毛利润为0． 又顾客在通过两轮时购买商品的概率为，因此 若顾客仅通过第一轮、未通过第二轮： 获得30元基础券时，总抵扣金额为30元，商场单件毛利润为 获得10元基础券时，总抵扣金额为10元，商场单件毛利润为 所以，在顾客购买商品的条件下，商场单件毛利润的期望为 又顾客在仅通过第一轮时购买商品的概率为，因此 由，得 即 当时，上式恒成立，所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $