线性回归方程、独立性检验专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦线性回归方程与独立性检验两大核心模块，通过真实情境案例构建从基础计算到综合应用的训练体系，强化数据观念与统计推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线性回归方程|3例3变式|含回归方程求解、预测、相关系数计算、非线性回归转化及正态分布应用|从线性回归基础（例1-2）到非线性回归（例3），再到结合概率与预测的综合应用（变式3），形成“概念-计算-应用”递进链条| |独立性检验|3例3变式|涵盖列联表补全、卡方检验、分层抽样与分布列、条件概率计算|从基础列联表分析（例1-2）到卡方独立性检验（所有例题），再到统计与概率结合的综合题（变式2第3问），体现“数据整理-推断-决策”逻辑|

统计案例：线性回归方程、独立性检验专项训练 统计案例：线性回归方程、独立性检验专项训练 考点目录 线性回归方程 独立性检验 考点一 线性回归方程 例1．（2026·甘肃·二模）2026年7月1日起，由工业和信息化部制定的《电动汽车用动力蓄电池安全要求》将开始实施，这标志着国家对新能源汽车的安全性提出了更高的要求.某新能源车企为提升产品安全性的同时提高生产效率，对旗下一款车型的核心零部件开展质量检测与生产数据分析，该企业统计了近5个月核心零部件的月生产量（单位：千件）与月检测成本（单位：万元），得到如下数据： 2 3 4 5 6 3.2 4.2 5.1 5.8 6.7 (1)求关于的回归直线方程，并估计月产量达1万件时的月检测成本； (2)该企业对核心零部件的检测采用以下方案：从一批次的该零部件中随机抽取3件进行初检，若初检中不合格零部件数量不超过1件，则判定此批次零部件合格，否则对剩余的产品进行全面复检.若该零部件的不合格率为，且每件零部件的检测结果相互独立，该零部件需要进行复检的概率为，若是关于的函数，求证：函数的图象关于点对称. 参考公式： 【答案】(1)，10.16万元. (2)证明见解析 【分析】（1）根据最小二乘法即可求解； （2）首先根据二项分布的概率公式求出，然后根据函数对称性的定义即可证明. 【详解】（1）由条件可知：， 列出下表 0 1 2 0.1 0.8 1.7 3.6 0.8 0 0.8 3.4 4 1 0 1 4 将以上数据代入公式，可得， 所以， 当时，（万元）， 故可估计月产量达1万件时的月检测成本为10.16万元. （2）设表示3件产品中不合格产品的件数，则， 故， ， ， 又∵函数的定义域为函数的图象关于点对称. 例2．（2026·陕西榆林·三模）下表为品牌新能源汽车2025年月在地区的销售量（单位：百辆）： 月份 1 2 3 4 5 6 销售量 5.1 6.6 7.0 7.6 9.8 若关于的经验回归方程为，且相关系数. (1)求的值（精确到0.01）； (2)求的值（精确到0.1）. 附：，相关系数. 参考数据：，. 【答案】(1)0.86 (2)8.6 【分析】（1）根据相关系数公式、的求解公式，结合题中数据进行求解即可； （2）根据在回归直线上进行求解即可. 【详解】（1）由题意得， ， 所以， 所以， 所以. （2）由（1）知，关于的经验回归方程为， ，， 因为在回归直线上，所以， 所以. 例3．（2026·辽宁沈阳·三模）某农业技术站研究化肥施用量对大棚青菜产量的影响.在一定范围内，施肥量（单位kg/亩）越大，青菜产量（单位kg/亩）越高.实验测得具体数据如下表： 施肥量 2 3 4 5 6 青菜产量 4200 4300 4350 4380 4400 根据散点数据特征，研究人员分析得出产量与施肥量近似满足的关系，取，经计算可知，，，， (1)请根据上述数据，计算得出产量y关于施肥量x的回归方程，并结合常识描述的实际意义，为简化计算，计算过程中、均精确到个位数. (2)若青菜的收购价格为2元/kg，化肥的采购价格为12元/kg，请从利润最大的角度给出大棚的最优施肥量. 参考公式：，. 【答案】(1)，实际意义是当化肥使用量无限增加时，青菜产量的理论上限为/亩 (2)当施肥量为10kg/亩时利润最大 【分析】（1）根据题意，利用回归系数的公式，求得，进而得出回归直线方程，结合的值，得出的实际意义； （2）由利润为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）根据题意，可得， 又由， 所以产量y关于施肥量x的回归方程为， 其中的实际意义是当化肥使用量无限增加时，青菜产量的理论上限为/亩. （2）设利润为元/亩， 当且仅当kg/亩时取等，即当施肥量为10kg/亩时利润最大. 变式1．（2026·广东佛山·二模）近年我国人工智能大模型发展迅猛，其中语言模型（处理、理解和生成人类语言）和多模态模型（处理、理解和生成文本、图像、音视频等）是其中两个重要的领域，某研究机构对2025年某区域的企业发布的所有大模型中随机抽取了14款进行标准化测试，由测试数据得到下面的散点图： (1)用频率估计概率，根据2025年该区域的企业发布大模型的分布情况，估计该区域2026发布的大模型是多模态模型的概率； (2)若t为时间变量，y为分数，根据多模态模型数据（，2，3，4，5，6，表示2025年1月份，表示2025年6月份，…），计算得，，. （i）建立y关于t的线性回归方程； （ii）根据语言模型的数据建立的回归方程为，该区域的某家企业在2026年4月发布了1款标准化测试得分为68分的大模型，定义统计量，Q值越小的大模型发生的可能性越大，则该款大模型更有可能是语言模型还是多模态模型，并说明理由. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）该款大模型更有可能是语言模型. 【分析】(1)依据图示可以得到多模态模型的个数与总数作比值；(2) (i)根据线性回归模型的计算公式代入数据；(ii)分别计算两款模型的值，比较即可； 【详解】（1）由2025年的数据可知，随机抽取了14款大模型，其中多模态模型有6款，用频率估计概率，多模态模型的频率为，所以该区域2026发布的大模型是多模态模型的概率为. （2）(i)  因为，，， 表示2025年1月份，表示2025年6月份，所以 所以， 所以，根据， 所以y关于t的线性回归方程为： (ii) 已知2026年4月，则，计算多模态模型的预测值和残差，，残差为：， 所以.再计算语言模型的预测值和残差，，残差为：，，所以，所以根据值越小的大模型发生的可能性越大，所以该款大模型更有可能是语言模型. 变式2．（2026·四川成都·三模）2025年，我国能源安全保障能力再上新台阶，全口径发电量占全球总发电量的，稳居世界第一，为智能算力的爆发性电力需求持续提供稳定保障.某学习小组收集了2021年至2025年我国全口径发电量相关数据，根据数据制作了如下数据表格和散点图. 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 我国全口径发电量（单位：万亿千瓦时） 8.52 8.85 9.46 10.09 10.58 (1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立关于的经验回归方程，并预测2026年我国全口径发电量. 参考数据：. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，相关系数. 【答案】(1)，可用线性回归模型拟合与的关系 (2)，（万亿千瓦时） 【详解】（1）因为， 所以， 所以 ， 故可用线性回归模型拟合与的关系； （2）， 则， 则经验回归方程为， 令，则， 故预估2026年我国全口径发电量为（万亿千瓦时） 变式3．（2026·广东东莞·二模）为探索“五育融合”育人项目，某市在中小学全面开展志愿服务实践课程，并建立了学生志愿服务日参与情况的常态化统计机制．下表是课程开设后前5个月的数据，其中表示月份编号，表示该月份日平均参与志愿服务的学生人数（单位：万人）. 月份编号 1 2 3 4 5 平均参与人数（单位：万人） 0.5 0.7 1 1.3 1.5 (1)已知与之间线性相关，求关于的经验回归方程，并预测第6个月的日平均参与志愿服务的学生人数； (2)假设第6个月（按30天计）的日参与人数（单位：万人）服从正态分布，并视（1）所求第6个月的日平均参与人数的预测值为的值，预测该月份日参与人数超过1.75万人的天数是否不少于25天. 附：①对于一组数据，其回归直线的斜率 .②若，则 【答案】(1)，（万人） (2)该月日参与人数超过1.75万人的天数不少于25天． 【分析】（1）由已知公式求得线性回归方程，代入回归方程可得预测值； （2）依题意可知，再结合正态分布的对称性计算即可. 【详解】（1）设所求的线性回归方程为， 由题意， ， 所以， 所以 所以. 当时，（万人）. （2）当时，，则， 由正态分布性质，可知. 因为， 所以. 因为， 所以该月日参与人数超过1.75万人的天数不少于25天． 考点二 独立性检验 例1．（2026·重庆北碚·模拟预测） 某高校为调查人们对 AI 知识掌握的熟悉程度与学历是否有关，组织了相关的答题活动， 满分 100 分. 答题完成后， 工作人员从中随机抽取 200 人作为样本，得到如下数据. 人数分数 学历 本科及以下 37 33 12 10 5 3 本科以上 20 20 10 10 30 10 (1)若得分不小于 60 分，则认为对 AI 知识掌握的程度为熟悉，否则为不熟悉； 熟悉程度 学历 合计 本科及以下 本科以上 熟悉 不熟悉 合计 根据样本数据补全上面的 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为熟悉AI程度与参与人员学历有关系. (2)从样本里学历为本科以上的人群中，采用按比例分层随机抽样的方法抽取 10 个人，再从这 10 人中随机抽出 3 人进行访谈，记这 3 人中分数在 的人数为 ，求 的分布列及数学期望. 附：， . 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见解析；熟悉AI程度与参与人员学历有关联； (2)分布列见解析；. 【分析】（1）先根据题意列出列联表，再计算，并判断； （2）先确定的可能取值，再分别求概率，列出分布列，最后求期望. 【详解】（1） 熟悉程度 学历 合计 本科及以下 本科以上 熟悉 30 60 90 不熟悉 70 40 110 合计 100 100 200 零假设为：熟悉AI程度与参与人员学历互相独立，即熟悉AI程度与参与人员学历无关联. 根据列联表中的数据，经计算得 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为熟悉AI程度与参与人员学历有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001. 根据表中数据，熟悉AI的参与人员中，本科及以下和本科以上的频率分别为和， 不熟悉AI的参与人员中，本科及以下和本科以上的频率分别为和， 由可见，在被调查者中，熟悉AI的人中，本科以上学历是本科及以下学历的频率的将近2倍，于是，根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为本科以上学历熟悉AI的概率明显大于本科及以下学历熟悉AI的概率，即本科以上学历更容易熟悉AI. （2）从样本里学历为本科以上的人群中，采用按比例分层随机抽样的方法抽取10个人，这10人中，分数在的人数为3，则可取0，1，2，3； ， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 . 例2．（25-26高三下·江西景德镇·期中）某小区物业为提高服务质量，随机调查了100名男业主和100名女业主，每位业主对该物业的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表： 是否满意性别 满意 不满意 合计 男业主 a 20 100 女业主 c d 100 合计 m 60 200 (1)求a，c，d，m，并判断是否有95％把握认为该小区物业服务评价的差异与男女性别有关？ (2)从小区的业主中任选一人，表示事件“选到的人对该物业的服务不满意”，表示事件“选到的人为男业主”，利用该调查数据，给出，的估计值． 附： α 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)，有关； (2)，. 【分析】（1）由数表信息列式计算，再求出观测值并与临界值比对即可得解. （2）由数表，利用条件概率公式求解. 【详解】（1）由数表得，解得， 零假设：小区男、女业主对该物业服务的评价无差异， 根据数表经计算得， 依据的独立性检验，推断假设不成立，即认为小区男、女业主对该物业服务的评价有差异， 所以有95％把握认为该小区物业服务评价的差异与男女性别有关. （2）依题意，，，， ，， 所以，. 例3．（2026·河北·二模）人工智能大模型已成为新一代数字技术核心，某企业自主研发了人工智能大模型，为了比较其与传统人工智能模型的文本生成效果，随机抽取两种模型各次文本生成效果，已知每次文本生成效果分为有效生成与无效生成两种情况，且部分统计数据如下表. 有效生成 无效生成 合计 模型 模型 合计 (1)完成列联表，并以样本估计总体，频率估计概率，若利用模型随机生成次文本，求该文本生成效果为有效生成的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，判断文本生成效果与模型类型是否有关. 附 【答案】(1) 有效生成 无效生成 合计 模型 模型 合计 (2)文本生成效果与模型类型有关. 【分析】（1）先计算随机生成次为有效生成的频率，再由频率估计概率可； （2）直接由独立性检验计算可得. 【详解】（1）首先补全列联表： 有效生成 无效生成 合计 模型 模型 合计 根据频率估计概率，模型共生成次，其中有效生成次， 因此随机生成次为有效生成的频率为， 根据频率估计概率，利用模型随机生成次文本，该文本生成效果为有效生成的概率. （2）零假设：文本生成效果与模型类型无关. 代入卡方公式计算，令, 因为小概率值对应的临界值，由于，因此不成立. 结论：依据的独立性检验，认为文本生成效果与模型类型有关. 变式1．（2026·河南·模拟预测）新能源汽车越来越受到年轻人的青睐.某品牌新能源汽车有限公司为了了解新能源汽车爱好者对本公司生产的新能源汽车款和款的满意度进行了市场调研，在社会上随机调查了200名新能源爱好者，得到如下列联表： 满意 不满意 合计 新能源汽车A款 80 新能源汽车B款 30 合计 150 200 (1)请完善上述列联表，并判断能否有90%的把握认为新能源汽车的款型对满意度有影响； (2)从这200位新能源爱好者中任选两人，在被调查的两人选择新能源汽车款型一致的条件下，试求他们对该新能源汽车款型均满意的概率. 附：，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 2.07 2.71 3.84 5.024 【答案】(1)列联表见解析，没有 (2) 【分析】（1）根据题设数据完善表格，然后根据公式计算卡方统计量即可； （2）根据条件概率公式计算即可. 【详解】（1）完善列联表如下： 满意 不满意 合计 新能源汽车A款 新能源汽车B款 合计 零假设：新能源汽车的款型对满意度没有影响， ， 根据小概率值的独立性检验，推断成立， 所以没有的把握认为新能源汽车的款型对满意度有影响； （2）记事件为“被调查的两人选择新能源汽车款型一致”，事件为“他们对该新能源汽车款型均满意”，则 ，， 所以， 所以在被调查的两人选择新能源汽车款型一致的条件下，他们对该新能源汽车款型均满意的概率为. 变式2．（2026·河北保定·一模）某市体育局为调研市民体育锻炼情况与健康水平的关联性，随机抽取了120名18岁~60岁市民进行调查．将每周锻炼不少于3次的市民归为“高频锻炼组”，不足3次的归为“低频锻炼组”；体质检测达到《国民体质测定标准》优秀和良好等级的定为“体质达标”，否则为“体质不达标”．调查结果整理为如下不完整的列联表． 体质达标 体质不达标 合计 高频锻炼组 m 15 60 低频锻炼组 25 v u 合计 s t 120 附：，其中． 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 (1)请根据列联表中的数据，写出m，v，s，t，u的值； (2)依据小概率值的独立性检验，分析该市市民体育锻炼频次是否与体质达标有关联； (3)该市计划从抽到的120人中体质不达标市民中抽取部分人员开展“科学健身指导”活动，现按高频锻炼组和低频锻炼组分层，通过分层抽样抽取10人展开指导活动，再从这10人中随机抽取3人进行专项访谈，求抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组的概率． 【答案】(1)，，，，． (2)认为该市市民体育锻炼频次与体质达标有关联 (3)． 【分析】（1）利用列联表中行和、列和与总数之间的关系，通过简单的加减法运算求出的值. （2）根据第（1）问求出的数据，代入卡方公式计算的观测值，并与给定的临界值进行比较，从而判断两个分类变量是否有关联. （3）先求出高频锻炼组和低频锻炼组人数，然后根据分层抽样求出每组应抽取的人数，然后计算抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组的概率. 【详解】（1）由列联表数据关系可知，，，，，，综上，，，，，． （2）零假设：市民体育锻炼频次与体质达标无关联． 根据列联表数据，计算 由于，根据小概率值的独立性检验，判断不成立， 因此，认为该市市民体育锻炼频次与体质达标有关联． （3）体质不达标者，高频锻炼组15人，低频锻炼组35人，按分层抽样抽取10人，则高频锻炼组抽取人数为3人，低频锻炼组抽取人数为7人． 从这10人中随机抽取3人进行专项访谈，事件总数有种， 设“抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组”为事件A，则事件A包含“0人来自高频组”和“一人来自高频组”两种情况． 则． 所以抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组的概率为． 变式3．（25-26高三上·江西南昌·期末）为研究高中生自主刷题与数学成绩提升的关联性，某教研机构随机抽取200名高三学生开展调查，统计数据如下表（单位：人）： 成绩显著提升 成绩未显著提升 合计 坚持自主刷题 90 30 120 未坚持自主刷题 20 60 80 合计 110 90 200 根据上述数据，解答下列问题： (1)依据小概率值的独立性检验，判断能否认为高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升有关？ (2)已知在坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.6；在未坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.3.现从这200名学生中随机抽取1人，发现其数学成绩为优秀，求该学生坚持自主刷题的概率. 附：，其中. 【答案】(1)有关 (2) 【分析】（1）由题意可得，根据独立性检验知识即可得结论； （2）定义事件：设“该学生坚持自主刷题”，则“该学生未坚持自主刷题”，“该学生数学成绩优秀”，根据题意求出的值，结合，求出的值，再由条件概率公式，求解即可. 【详解】（1）假设 ：高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升无关联； 经计算因为， 故依据小概率值的独立性检验，我们推断假设不成立， 即认为高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升有关联，该推断犯错误概率不超过0.001； （2）定义事件：设“该学生坚持自主刷题”， 则“该学生未坚持自主刷题”，“该学生数学成绩优秀”， 则， 所以， 所以 故该学生坚持自主刷题的概率为. 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $统计案例：线性回归方程、独立性检验专项训练 统计案例：线性回归方程、独立性检验专项训练 考点目录 线性回归方程 独立性检验 考点一 线性回归方程 例1．（2026·甘肃·二模）2026年7月1日起，由工业和信息化部制定的《电动汽车用动力蓄电池安全要求》将开始实施，这标志着国家对新能源汽车的安全性提出了更高的要求.某新能源车企为提升产品安全性的同时提高生产效率，对旗下一款车型的核心零部件开展质量检测与生产数据分析，该企业统计了近5个月核心零部件的月生产量（单位：千件）与月检测成本（单位：万元），得到如下数据： 2 3 4 5 6 3.2 4.2 5.1 5.8 6.7 (1)求关于的回归直线方程，并估计月产量达1万件时的月检测成本； (2)该企业对核心零部件的检测采用以下方案：从一批次的该零部件中随机抽取3件进行初检，若初检中不合格零部件数量不超过1件，则判定此批次零部件合格，否则对剩余的产品进行全面复检.若该零部件的不合格率为，且每件零部件的检测结果相互独立，该零部件需要进行复检的概率为，若是关于的函数，求证：函数的图象关于点对称. 参考公式： 例2．（2026·陕西榆林·三模）下表为品牌新能源汽车2025年月在地区的销售量（单位：百辆）： 月份 1 2 3 4 5 6 销售量 5.1 6.6 7.0 7.6 9.8 若关于的经验回归方程为，且相关系数. (1)求的值（精确到0.01）； (2)求的值（精确到0.1）. 附：，相关系数. 参考数据：，. 例3．（2026·辽宁沈阳·三模）某农业技术站研究化肥施用量对大棚青菜产量的影响.在一定范围内，施肥量（单位kg/亩）越大，青菜产量（单位kg/亩）越高.实验测得具体数据如下表： 施肥量 2 3 4 5 6 青菜产量 4200 4300 4350 4380 4400 根据散点数据特征，研究人员分析得出产量与施肥量近似满足的关系，取，经计算可知，，，， (1)请根据上述数据，计算得出产量y关于施肥量x的回归方程，并结合常识描述的实际意义，为简化计算，计算过程中、均精确到个位数. (2)若青菜的收购价格为2元/kg，化肥的采购价格为12元/kg，请从利润最大的角度给出大棚的最优施肥量. 参考公式：，. 变式1．（2026·广东佛山·二模）近年我国人工智能大模型发展迅猛，其中语言模型（处理、理解和生成人类语言）和多模态模型（处理、理解和生成文本、图像、音视频等）是其中两个重要的领域，某研究机构对2025年某区域的企业发布的所有大模型中随机抽取了14款进行标准化测试，由测试数据得到下面的散点图： (1)用频率估计概率，根据2025年该区域的企业发布大模型的分布情况，估计该区域2026发布的大模型是多模态模型的概率； (2)若t为时间变量，y为分数，根据多模态模型数据（，2，3，4，5，6，表示2025年1月份，表示2025年6月份，…），计算得，，. （i）建立y关于t的线性回归方程； （ii）根据语言模型的数据建立的回归方程为，该区域的某家企业在2026年4月发布了1款标准化测试得分为68分的大模型，定义统计量，Q值越小的大模型发生的可能性越大，则该款大模型更有可能是语言模型还是多模态模型，并说明理由. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，. 变式2．（2026·四川成都·三模）2025年，我国能源安全保障能力再上新台阶，全口径发电量占全球总发电量的，稳居世界第一，为智能算力的爆发性电力需求持续提供稳定保障.某学习小组收集了2021年至2025年我国全口径发电量相关数据，根据数据制作了如下数据表格和散点图. 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 我国全口径发电量（单位：万亿千瓦时） 8.52 8.85 9.46 10.09 10.58 (1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立关于的经验回归方程，并预测2026年我国全口径发电量. 参考数据：. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，相关系数. 变式3．（2026·广东东莞·二模）为探索“五育融合”育人项目，某市在中小学全面开展志愿服务实践课程，并建立了学生志愿服务日参与情况的常态化统计机制．下表是课程开设后前5个月的数据，其中表示月份编号，表示该月份日平均参与志愿服务的学生人数（单位：万人）. 月份编号 1 2 3 4 5 平均参与人数（单位：万人） 0.5 0.7 1 1.3 1.5 (1)已知与之间线性相关，求关于的经验回归方程，并预测第6个月的日平均参与志愿服务的学生人数； (2)假设第6个月（按30天计）的日参与人数（单位：万人）服从正态分布，并视（1）所求第6个月的日平均参与人数的预测值为的值，预测该月份日参与人数超过1.75万人的天数是否不少于25天. 附：①对于一组数据，其回归直线的斜率 .②若，则 考点二 独立性检验 例1．（2026·重庆北碚·模拟预测） 某高校为调查人们对 AI 知识掌握的熟悉程度与学历是否有关，组织了相关的答题活动， 满分 100 分. 答题完成后， 工作人员从中随机抽取 200 人作为样本，得到如下数据. 人数分数 学历 本科及以下 37 33 12 10 5 3 本科以上 20 20 10 10 30 10 (1)若得分不小于 60 分，则认为对 AI 知识掌握的程度为熟悉，否则为不熟悉； 熟悉程度 学历 合计 本科及以下 本科以上 熟悉 不熟悉 合计 根据样本数据补全上面的 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为熟悉AI程度与参与人员学历有关系. (2)从样本里学历为本科以上的人群中，采用按比例分层随机抽样的方法抽取 10 个人，再从这 10 人中随机抽出 3 人进行访谈，记这 3 人中分数在 的人数为 ，求 的分布列及数学期望. 附：， . 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 例2．（25-26高三下·江西景德镇·期中）某小区物业为提高服务质量，随机调查了100名男业主和100名女业主，每位业主对该物业的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表： 是否满意性别 满意 不满意 合计 男业主 a 20 100 女业主 c d 100 合计 m 60 200 (1)求a，c，d，m，并判断是否有95％把握认为该小区物业服务评价的差异与男女性别有关？ (2)从小区的业主中任选一人，表示事件“选到的人对该物业的服务不满意”，表示事件“选到的人为男业主”，利用该调查数据，给出，的估计值． 附： α 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 例3．（2026·河北·二模）人工智能大模型已成为新一代数字技术核心，某企业自主研发了人工智能大模型，为了比较其与传统人工智能模型的文本生成效果，随机抽取两种模型各次文本生成效果，已知每次文本生成效果分为有效生成与无效生成两种情况，且部分统计数据如下表. 有效生成 无效生成 合计 模型 模型 合计 (1)完成列联表，并以样本估计总体，频率估计概率，若利用模型随机生成次文本，求该文本生成效果为有效生成的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，判断文本生成效果与模型类型是否有关. 附 变式1．（2026·河南·模拟预测）新能源汽车越来越受到年轻人的青睐.某品牌新能源汽车有限公司为了了解新能源汽车爱好者对本公司生产的新能源汽车款和款的满意度进行了市场调研，在社会上随机调查了200名新能源爱好者，得到如下列联表： 满意 不满意 合计 新能源汽车A款 80 新能源汽车B款 30 合计 150 200 (1)请完善上述列联表，并判断能否有90%的把握认为新能源汽车的款型对满意度有影响； (2)从这200位新能源爱好者中任选两人，在被调查的两人选择新能源汽车款型一致的条件下，试求他们对该新能源汽车款型均满意的概率. 附：，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 2.07 2.71 3.84 5.024 变式2．（2026·河北保定·一模）某市体育局为调研市民体育锻炼情况与健康水平的关联性，随机抽取了120名18岁~60岁市民进行调查．将每周锻炼不少于3次的市民归为“高频锻炼组”，不足3次的归为“低频锻炼组”；体质检测达到《国民体质测定标准》优秀和良好等级的定为“体质达标”，否则为“体质不达标”．调查结果整理为如下不完整的列联表． 体质达标 体质不达标 合计 高频锻炼组 m 15 60 低频锻炼组 25 v u 合计 s t 120 附：，其中． 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 (1)请根据列联表中的数据，写出m，v，s，t，u的值； (2)依据小概率值的独立性检验，分析该市市民体育锻炼频次是否与体质达标有关联； (3)该市计划从抽到的120人中体质不达标市民中抽取部分人员开展“科学健身指导”活动，现按高频锻炼组和低频锻炼组分层，通过分层抽样抽取10人展开指导活动，再从这10人中随机抽取3人进行专项访谈，求抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组的概率． 变式3．（25-26高三上·江西南昌·期末）为研究高中生自主刷题与数学成绩提升的关联性，某教研机构随机抽取200名高三学生开展调查，统计数据如下表（单位：人）： 成绩显著提升 成绩未显著提升 合计 坚持自主刷题 90 30 120 未坚持自主刷题 20 60 80 合计 110 90 200 根据上述数据，解答下列问题： (1)依据小概率值的独立性检验，判断能否认为高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升有关？ (2)已知在坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.6；在未坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.3.现从这200名学生中随机抽取1人，发现其数学成绩为优秀，求该学生坚持自主刷题的概率. 附：，其中. 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $