统计与概率：比赛问题、方案选择问题 专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

统计与概率：比赛问题、方案选择问题专项训练 统计与概率：比赛问题、方案选择问题专项训练 考点目录 比赛问题 方案选择问题 考点一 比赛问题 例1．（2026·江苏镇江·二模）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为． (1)求甲连续打前四局比赛的概率； (2)前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率； (3)如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望． 例2．（2026·河北衡水·二模）为了测试AI象棋软件算法的有效性，棋协组织两位象棋大师甲、乙分别与象棋软件进行比赛.比赛规则如下：在一局比赛中，甲、乙两位象棋大师分别与象棋软件进行一盘比赛，每盘比赛获胜得1分，否则得0分（每盘棋都分胜负、没有平局），每盘棋比赛结果互不影响，各局之间的结果也互不影响.已知象棋大师甲、乙每盘比赛获胜的概率分别为，. (1)设前两局比赛中，两位象棋大师一共得3分为事件，象棋大师甲得2分为事件，求； (2)由于象棋软件受运行时长和散热影响，本次比赛最多进行6局，且当两位象棋大师的总得分与象棋软件的得分相差2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了局，求的分布列及数学期望. 例3．（2026·甘肃定西·模拟预测）甲､乙两位同学进行一场乒乓球比赛，约定采用五局三胜制，当一人赢得三局胜利时，该同学获胜，比赛结束，在每局比赛中，都不会出现平局，且甲同学先发球该局甲获胜的概率为，乙同学先发球该局甲获胜的概率为．经抽签，第一局甲先发球，第二局乙先发球，依次轮流发球． (1)求甲连胜三局的概率． (2)求需要进行第五局比赛的概率． (3)比赛结束时，设甲获胜局数为X，求X的分布列和数学期望． 变式1．（2026·重庆万州·模拟预测）棋手甲利用AI辅助进行对弈训练，每局甲胜的概率为，AI胜的概率为，且，每局胜负相互独立.系统设定若一方连胜3局，则认定该方最终获胜且训练结束. (1)求恰好进行了3局比赛，训练就结束的概率（结果用表示）； (2)记恰好进行局比赛甲最终获胜的概率为，比较与的大小. 变式2．（25-26高二下·河北石家庄·月考）甲、乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜．比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜．在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为．已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为． (1)求第2局比赛甲胜的概率； (2)求比赛结束时甲胜的概率． 变式3．（2026·陕西咸阳·三模）某校举办了一场以“新质生产力·青春创未来”为主题的知识与能力挑战赛.比赛题库中有选择题和填空题两种题型，且数目相同，每次答题从中随机抽取1题进行作答，每次答题（无论对错）后，该题都会被移除，系统会补充1道同题型的新题，使比赛题库中的选择题和填空题的数目始终保持相同.答对1道选择题可获得1分，答对1道填空题可获得2分，若答对，继续从补充题目后的比赛题库中随机抽取1题进行作答；若答错，立即停止答题，比赛结束.已知甲同学答对每道选择题的概率均为，答对每道填空题的概率均为，且每道题答对与否互不影响． (1)记甲同学进行1次答题后的得分为，求的分布列及数学期望； (2)比赛结束前，记甲同学累计得分达到的概率为． （i）求； （ii）求．（用含的式子表达） 考点二 方案选择问题 例1．（2026·北京丰台·二模）某公司为评估员工使用人工智能技术辅助办公的能力，随机抽取了该公司名员工，通过专用系统进行综合评分（满分为100分），得到如下频率分布表. 综合得分 频数 频率 60 0.6 30 (1)求的值； (2)现采用按比例分层抽样的方法从综合得分为和的员工中抽取6人.若从这6名员工中随机选取2人进行座谈，设为选取的2名员工中综合得分不低于60分的人数，求的分布列和数学期望； (3)该公司为了进一步提升员工应用人工智能技术辅助办公的能力，决定聘请某机构对员工进行培训.该机构给出了以下两个方案： 方案一：对该公司所有员工进行培训，保证培训后人均综合得分提高10分； 方案二：只对该公司综合得分低于60分的员工进行培训，保证培训后，原综合得分在的员工人均综合得分提高5分，原综合得分在的员工人均综合得分提高20分. 用样本估计总体.为尽可能提升该公司员工的人均综合得分，应选择哪个方案？（结论不要求证明） 例2．（25-26高三上·宁夏银川·月考）某文创店为推广非遗手作产品，推出消费抽奖优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动规则如下：抽奖箱内放置3个红球和2个白球，每次从箱中随机抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量，求的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元，按活动规则每满300元可参加一次抽奖，剩余金额不足300元不参与抽奖，记顾客B获得的返现总金额为随机变量． ①求顾客B获得返现金额为90元的概率； ②若该文创店同时推出购物享九折的优惠活动（直接减免消费总金额的10%），且两种优惠活动不能同时参加，试通过计算说明顾客B选择哪种优惠方案更划算． 例3．（2026·贵州毕节·二模）某电商公司为研究直播带货中平台流量推广投入x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的关系，统计了最近10场直播带货中平台流量推广投入和销售额数据，计算得：，. (1)求销售额y关于直播带货中平台流量推广投入x的线性回归方程； (2)该公司计划下一场直播投入总额10万元，现有两种方案：方案一：全部用于平台流量推广；方案二：部分用于平台流量推广，部分用于主播佣金激励.其中平台流量推广投入x万元（），主播佣金激励投入（）万元.根据以往经验，主播佣金激励投入t万元的销售额为（）万元；平台流量推广的效果仍符合（1）中的回归方程.比较两种方案，如何分配投入才能使销售额最大？并求出最大销售额. 参考公式：线性回归方程中，，. 变式1．（25-26高二下·山东济宁·期中）某运动品牌店开展店庆促销活动：顾客购物每满200元可抽奖一次.抽奖箱中有3个蓝球、2个红球，每次随机抽取2个球，记录结果后将球放回，返现规则如下： 抽中2个红球：返现40元； 抽中2个蓝球：返现20元； 抽中1蓝1红：返现10元． (1)顾客甲恰好消费200元，设获得返现金额为随机变量，求的分布列与数学期望； (2)顾客乙消费了600元，若该店对购满600元的客户提供两个方案，方案一：参加抽奖活动，方案二：享受九五折优惠，但两种活动不能同时参与.请通过计算判断顾客乙选择哪种方案更优惠． 变式2．（2026·辽宁鞍山·二模）在某次军事演习中，红军参谋部进行战前推演：蓝军拥有两个相同结构的军事基地，每个基地有个重要节点：红军拥有某种型号导弹，对上述每个重要节点单枚命中即可摧毁，且单枚突破防御并命中的概率为．红军的演习任务是发射枚该型号导弹对蓝军军事基地实施打击，完成对蓝军至少一个军事基地的彻底摧毁（即摧毁该基地内的全部重要节点）即为获胜． 现有两种打击方案： 方案一：选择某一军事基地内的个重要节点进行打击，对每个重要节点发射两枚导弹； 方案二：对两个军事基地的各个重要节点进行打击，对每个重要节点发射一枚导弹． 视各枚导弹突破防御并命中目标相互独立，请你帮助红军参谋部进行推演计算： (1)分别求出两种方案中，最终摧毁的重要节点数的期望，并比较期望大小； (2)比较两种方案下红军获胜的概率，判断哪种方案更优． 变式3．（2026·陕西·模拟预测）2026年春节假期期间，某百货商场举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立. 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. (1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； (2)若某顾客消费恰好满1000元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $统计与概率：比赛问题、方案选择问题专项训练 统计与概率：比赛问题、方案选择问题专项训练 考点目录 比赛问题 方案选择问题 考点一 比赛问题 例1．（2026·江苏镇江·二模）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为． (1)求甲连续打前四局比赛的概率； (2)前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率； (3)如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分析甲连续打前四局比赛的情形，利用乘法求出概率即可； （2）利用条件概率求解即可； （3）先分析得分的情况，然后求出对应的概率，列出分布列计算数学期望即可. 【详解】（1）由甲连续打前四局比赛，说明甲在前3局都获胜， 第一局：甲、乙对打，甲胜，概率为， 第二局：甲、丙对打，甲胜，概率为， 第三局：甲、乙对打，甲胜，概率为， 所以甲连续打前四局比赛的概率为：. （2）设事件：前四局中第二局乙获胜，事件：第二局乙获胜，前四局中甲轮空两局， 对于前四局中第二局乙获胜： 即第一局：甲、乙对打，乙胜，概率为， 第二局：乙、丙对打，乙胜，概率为， 所以， 在第二局乙获胜的前提下，甲要轮空两局，只能是第4局甲轮空 第三局：乙、甲对打，乙胜，概率为， 第四局：乙、丙对打，概率为， 所以， 根据条件概率知：. （3）由题意知得分的可能值为：， ， ， ， ， 所以的分布列为： 6 所以得分的数学期望为：. 例2．（2026·河北衡水·二模）为了测试AI象棋软件算法的有效性，棋协组织两位象棋大师甲、乙分别与象棋软件进行比赛.比赛规则如下：在一局比赛中，甲、乙两位象棋大师分别与象棋软件进行一盘比赛，每盘比赛获胜得1分，否则得0分（每盘棋都分胜负、没有平局），每盘棋比赛结果互不影响，各局之间的结果也互不影响.已知象棋大师甲、乙每盘比赛获胜的概率分别为，. (1)设前两局比赛中，两位象棋大师一共得3分为事件，象棋大师甲得2分为事件，求； (2)由于象棋软件受运行时长和散热影响，本次比赛最多进行6局，且当两位象棋大师的总得分与象棋软件的得分相差2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了局，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2) 1 2 3 4 5 6 【详解】（1）已知象棋大师甲、乙每盘比赛获胜的概率分别为， 所以甲连胜两局的概率为，乙两局中胜一局的概率为， 所以， 前两局共得3分分为两种情况： 甲得2分，乙得1分，概率为； 甲得1分，乙得2分，概率为， 所以， 所以 （2）每局结束后，两位大师和AI的总得分可能情况为： 甲乙都输：0分，AI：2分，分差为2分； 甲乙一胜一负：1分，AI：1分，分差为0分； 甲乙都赢：2分，AI：0分，分差为2分； 所以单局结束后继续比赛的情况为，结束比赛的概率为， 所以的可能取值为1,2,3,4,5,6， ， ， 分布列为 1 2 3 4 5 6 . 例3．（2026·甘肃定西·模拟预测）甲､乙两位同学进行一场乒乓球比赛，约定采用五局三胜制，当一人赢得三局胜利时，该同学获胜，比赛结束，在每局比赛中，都不会出现平局，且甲同学先发球该局甲获胜的概率为，乙同学先发球该局甲获胜的概率为．经抽签，第一局甲先发球，第二局乙先发球，依次轮流发球． (1)求甲连胜三局的概率． (2)求需要进行第五局比赛的概率． (3)比赛结束时，设甲获胜局数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) (3)X的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望为 【分析】（1）利用概率的乘法公式计算； （2）分甲发球的两局甲都胜，其余都负、乙发球的两局甲都胜，其余都负、甲发球的两局甲胜一局，乙发球的两局甲胜一局，其余都负三种情况求出概率； （3）根据独立事件和互斥事件结合前两问逐一求出概率，最后利用期望公式求出. 【详解】（1）甲连胜三局的概率． （2）需要进行第五局比赛，说明前四局甲胜两局负两局，有三种情况： 甲发球的两局甲都胜，其余都负，其概率为； 乙发球的两局甲都胜，其余都负，其概率为； 甲发球的两局甲胜一局，乙发球的两局甲胜一局，其余都负，其概率为 ， 故需要进行第五局比赛的概率为． （3）X的所有可能取值为0，1，2，3 ． 的情况是比赛四局，前三局甲胜一局负两局，第四局甲负， 则甲发球胜一局的概率为， 乙发球甲胜一局的概率为， 所以； ； ． 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以． 变式1．（2026·重庆万州·模拟预测）棋手甲利用AI辅助进行对弈训练，每局甲胜的概率为，AI胜的概率为，且，每局胜负相互独立.系统设定若一方连胜3局，则认定该方最终获胜且训练结束. (1)求恰好进行了3局比赛，训练就结束的概率（结果用表示）； (2)记恰好进行局比赛甲最终获胜的概率为，比较与的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）局比赛结束的情况仅包含甲连胜局或连胜局两种互斥情形，直接用互斥事件概率加法公式计算； （2）分别分析甲在第局、第局获胜的比赛序列约束，计算对应概率后作差比较大小，得出结论. 【详解】（1）由条件，3局比赛结束，则可能是甲连胜三局胜，也可能是AI连胜3局胜， 所以恰好进行了3局比赛，训练就结束的概率； （2）恰好进行5局比赛，训练结束，甲最终获胜，则甲在最后三局连胜，第2局输，与第一局无关所以， 若恰好进行6局比赛，训练结束，甲最终获胜，则甲最后三局连胜，第3局应该输，且第1，2局不全输， 所以， 所以，即. 变式2．（25-26高二下·河北石家庄·月考）甲、乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜．比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜．在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为．已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为． (1)求第2局比赛甲胜的概率； (2)求比赛结束时甲胜的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设结合全概率公式可得答案； （2）按结束的局数分类，可能是，分别计算每种局数下甲胜的概率，再求和可得答案. 【详解】（1）设表示甲第局获胜， 由题可得，， 由全概率公式可得：； （2）若，甲获胜对局胜者序列为：甲甲，对应概率为：； 若，甲获胜对局胜者序列为：乙甲甲，对应概率为：； 若，甲获胜对局胜者序列为：甲乙甲甲，对应概率为：； 若，甲获胜对局胜者序列为：乙甲乙甲甲或甲乙甲乙甲， 对应概率为：. 则甲获胜概率为：. 变式3．（2026·陕西咸阳·三模）某校举办了一场以“新质生产力·青春创未来”为主题的知识与能力挑战赛.比赛题库中有选择题和填空题两种题型，且数目相同，每次答题从中随机抽取1题进行作答，每次答题（无论对错）后，该题都会被移除，系统会补充1道同题型的新题，使比赛题库中的选择题和填空题的数目始终保持相同.答对1道选择题可获得1分，答对1道填空题可获得2分，若答对，继续从补充题目后的比赛题库中随机抽取1题进行作答；若答错，立即停止答题，比赛结束.已知甲同学答对每道选择题的概率均为，答对每道填空题的概率均为，且每道题答对与否互不影响． (1)记甲同学进行1次答题后的得分为，求的分布列及数学期望； (2)比赛结束前，记甲同学累计得分达到的概率为． （i）求； （ii）求．（用含的式子表达） 【答案】(1)的分布列为 0 1 2 ，. (2)（i）.（ii）. 【分析】（1）比赛题库中两种题型数目始终相同，所以每次抽到选择题和填空题的概率均为．一次答题后的得分只可能为，分别按“抽到题型”和“答题正误”计算概率，再列分布列并求数学期望． （2）将理解为从开始答题到比赛停止前，累计得分曾经达到的概率．先由“最后一次得分为1分或2分”建立递推关系，再用构造法把二阶递推转化为一阶递推，最后利用等比数列求和得到通项． 【详解】（1）每次抽到选择题和填空题的概率均为.若答错，则得分为0，所以. 若答对选择题，则得1分，所以；若答对填空题，则得2分，所以. 因此的分布列为 0 1 2 所以. （2）记为从开始答题到比赛停止前，累计得分曾经达到的概率． 先求初始两项．要累计得分达到，第一次答题必须抽到并答对选择题，所以． 要累计得分达到，有两种互斥情况：第一次抽到并答对填空题， 或前两次均抽到并答对选择题，第一种情况的概率为，第二种情况的概率为，所以． 当时，若最后一次由分达到分，则最后一次需抽到并答对选择题，这一步发生的概率为； 若最后一次由分达到分，则最后一次需抽到并答对填空题，这一步发生的概率为． 因此． 由递推式得．再由递推式得． 下面用构造法求．由，得． 设，则． 又，所以，即． 设，则．又，所以. 用等比数列求和得，所以． 而也满足此式，因此． 考点二 方案选择问题 例1．（2026·北京丰台·二模）某公司为评估员工使用人工智能技术辅助办公的能力，随机抽取了该公司名员工，通过专用系统进行综合评分（满分为100分），得到如下频率分布表. 综合得分 频数 频率 60 0.6 30 (1)求的值； (2)现采用按比例分层抽样的方法从综合得分为和的员工中抽取6人.若从这6名员工中随机选取2人进行座谈，设为选取的2名员工中综合得分不低于60分的人数，求的分布列和数学期望； (3)该公司为了进一步提升员工应用人工智能技术辅助办公的能力，决定聘请某机构对员工进行培训.该机构给出了以下两个方案： 方案一：对该公司所有员工进行培训，保证培训后人均综合得分提高10分； 方案二：只对该公司综合得分低于60分的员工进行培训，保证培训后，原综合得分在的员工人均综合得分提高5分，原综合得分在的员工人均综合得分提高20分. 用样本估计总体.为尽可能提升该公司员工的人均综合得分，应选择哪个方案？（结论不要求证明） 【答案】(1)； (2)的分布列为 0 1 2 (3)应选择方案二 【分析】（1）根据表格中数据结合频率、频数之间的关系运算求解； （2）分析可知随机变量的可能值为0，1，2，结合超几何分布求分布列和期望； （3）以区间的中间值作为估计值，结合题意分别求两种方案的得分平均数，进而对比分析. 【详解】（1）因为在内频数为60，频率为，则， 且在内频数为30，则， 则在内频数为，频率. （2）因为综合得分为和的人数比为， 则在综合得分为内抽取人数为，在综合得分为内抽取人数为， 可知随机变量的可能值为0，1，2，则有： ，，， 所以的分布列为 0 1 2 的期望为. （3）方案一：该公司员工的人均综合得分； 方案二：该公司员工的人均综合得分； 因为，所以应选择方案二. 例2．（25-26高三上·宁夏银川·月考）某文创店为推广非遗手作产品，推出消费抽奖优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动规则如下：抽奖箱内放置3个红球和2个白球，每次从箱中随机抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量，求的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元，按活动规则每满300元可参加一次抽奖，剩余金额不足300元不参与抽奖，记顾客B获得的返现总金额为随机变量． ①求顾客B获得返现金额为90元的概率； ②若该文创店同时推出购物享九折的优惠活动（直接减免消费总金额的10%），且两种优惠活动不能同时参加，试通过计算说明顾客B选择哪种优惠方案更划算． 【答案】(1) 20 30 50 数学期望为29 (2)①；②选打折 【分析】（1）先求出随机变量的所有取值，再求出其概率，从而可求出分布列，再根据期望公式求期望即可； （2）①顾客B抽奖三次，获得90元返现的情况有两种：三次返现均为30元，或者一次返现50元、两次返现20元，计算这两种情况的概率之和即可； ②对于打折和抽奖，分别算出每种情况的优惠，然后对比即可. 【详解】（1）由题知，随机变量的可能取值为. 则，. 分布列如下： 20 30 50 . （2）①根据题意得消费1000元可以抽3次，返现金额为90元. 获得90元返现的情况有两种：三次抽奖的返现金额均为30元；或其中一次返现50元、两次返现20元. 因此 ②九折省100元，抽奖期望，选打折. 例3．（2026·贵州毕节·二模）某电商公司为研究直播带货中平台流量推广投入x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的关系，统计了最近10场直播带货中平台流量推广投入和销售额数据，计算得：，. (1)求销售额y关于直播带货中平台流量推广投入x的线性回归方程； (2)该公司计划下一场直播投入总额10万元，现有两种方案：方案一：全部用于平台流量推广；方案二：部分用于平台流量推广，部分用于主播佣金激励.其中平台流量推广投入x万元（），主播佣金激励投入（）万元.根据以往经验，主播佣金激励投入t万元的销售额为（）万元；平台流量推广的效果仍符合（1）中的回归方程.比较两种方案，如何分配投入才能使销售额最大？并求出最大销售额. 参考公式：线性回归方程中，，. 【答案】(1) (2)分配6万元投入平台流量推广、4万元投入主播佣金，最大销售额为万元. 【分析】(1)利用公式求解回归系数，即可得回归方程； (2)利用题意比较销售额最大值，可得到最优方案. 【详解】（1）由题意知，样本量 ， ，, 根据公式变形得回归系数： , 则 ， 因此，销售额y关于直播带货中平台流量推广投入x的线性回归方程为：； （2）方案一：全部投入平台流量推广，即代入回归方程得销售额：万元； 方案二：投入万元到流量推广，万元到主播佣金，且， 总销售额为流量销售额加佣金销售额：， 对称轴为 ，在定义域内，最大值为 万元， 因为 ，所以投入6万元到平台流量推广，4万元到主播佣金时销售额最大，最大销售额为76万元。 综上可得：分配6万元投入平台流量推广、4万元投入主播佣金时销售额最大，最大销售额为万元. 变式1．（25-26高二下·山东济宁·期中）某运动品牌店开展店庆促销活动：顾客购物每满200元可抽奖一次.抽奖箱中有3个蓝球、2个红球，每次随机抽取2个球，记录结果后将球放回，返现规则如下： 抽中2个红球：返现40元； 抽中2个蓝球：返现20元； 抽中1蓝1红：返现10元． (1)顾客甲恰好消费200元，设获得返现金额为随机变量，求的分布列与数学期望； (2)顾客乙消费了600元，若该店对购满600元的客户提供两个方案，方案一：参加抽奖活动，方案二：享受九五折优惠，但两种活动不能同时参与.请通过计算判断顾客乙选择哪种方案更优惠． 【答案】(1)随机变量的分布列为 10 20 40 的数学期望 (2)选择方案一更优惠 【分析】（1）分析可知随机变量的可能取值有10，20，40，结合超几何分布求分布列和期望； （2）根据期望的性质分析求两种方案的最终花费，比较大小即可判断. 【详解】（1）由题意可知随机变量的可能取值有10，20，40，则有： ；；； 所以随机变量的分布列为 10 20 40 的数学期望. （2）若选择方案一：此时可以参与3次抽奖，最终花费的期望为元； 若选择方案二：最终花费为元； 因为，所以选择方案一更优惠. 变式2．（2026·辽宁鞍山·二模）在某次军事演习中，红军参谋部进行战前推演：蓝军拥有两个相同结构的军事基地，每个基地有个重要节点：红军拥有某种型号导弹，对上述每个重要节点单枚命中即可摧毁，且单枚突破防御并命中的概率为．红军的演习任务是发射枚该型号导弹对蓝军军事基地实施打击，完成对蓝军至少一个军事基地的彻底摧毁（即摧毁该基地内的全部重要节点）即为获胜． 现有两种打击方案： 方案一：选择某一军事基地内的个重要节点进行打击，对每个重要节点发射两枚导弹； 方案二：对两个军事基地的各个重要节点进行打击，对每个重要节点发射一枚导弹． 视各枚导弹突破防御并命中目标相互独立，请你帮助红军参谋部进行推演计算： (1)分别求出两种方案中，最终摧毁的重要节点数的期望，并比较期望大小； (2)比较两种方案下红军获胜的概率，判断哪种方案更优． 【答案】(1)方案一期望为，方案二期望为，且； (2)方案一获胜概率更大，方案一更优. 【分析】（1）利用二项分布的期望公式分别计算两个方案的期望，再比较大小. （2）方案一：获胜条件等价于被打击的基地被彻底摧毁，计算该基地所有节点均被摧毁的概率即为获胜概率；方案二：分别计算两个基地被彻底摧毁的概率，利用概率加法公式计算至少一个基地被摧毁的概率，进而比较两个方案获胜概率的大小. 【详解】（1）设各导弹命中相互独立，单个节点只要至少被命中一次就会被摧毁： 方案一：仅打击1个基地的个节点，每个节点发射2枚导弹. 单个节点未被摧毁的概率为， 因此单个节点被摧毁的概率为. 设方案一摧毁节点数为，则， 则. 方案二：打击两个基地共个节点，每个节点发射1枚导弹. 单个节点被摧毁的概率为，设方案二摧毁节点数为， 则，. 因为，所以. （2）获胜条件为至少一个基地所有节点全被摧毁，分别计算获胜概率： 方案一：仅打击一个基地，获胜当且仅当该基地所有个节点全被摧毁， 因此获胜概率： 方案二：设分别为第一个、第二个基地全被摧毁，根据题意可得， ， 由，可知只需比较和的大小， 用归纳法证明：对，有， 当时，，不等式成立； 假设时不等式成立，即，则时： ， 作差得：，不等式也成立. 因此对所有，，即， 方案一获胜概率更高，方案一更优. 变式3．（2026·陕西·模拟预测）2026年春节假期期间，某百货商场举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立. 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. (1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； (2)若某顾客消费恰好满1000元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 【答案】(1) (2)该顾客选择第二种抽奖方案更合算，理由见解析 【分析】（1）先求出顾客享受到免单优惠的概率，再根据独立事件的概率乘法公式求解即可. （2）结合离散型随机变量及二项分布的期望公式分别求出方案一、方案二的数学期望，比较即可. 【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需摸出2个红球和1个白球， 设顾客享受到免单优惠为事件，则. 所以两位顾客均享受免单优惠的概率为. （2）若选择方案一，设实际付款金额为，则的可能取值为0，500，700，1000. ，， ，. 所以（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则. 由题意知，，故. 所以（元）. 因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算. 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $