河北邯郸市大名县第一中学2025-2026学年高三下学期5月阶段检测数学试题

**基本信息** 高三数学阶段检测卷涵盖集合、函数、概率统计等核心知识，以新能源汽车调查、立体几何翻折等真实情境设计问题，融合数学抽象与运算能力，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、复数、直线平行条件|基础概念辨析，如集合交集与充分必要条件判断| |多选|3/18|函数奇偶性、解三角形、向量|多选项分层考查，如结合函数性质与三角形外接圆| |填空|3/15|导数切线、排列组合、圆锥曲线综合|创新情境，如抛物线切线与数列递推结合| |解答|5/77|概率统计（2×2列联表）、立体几何（面面垂直）、数列（错位相减）、圆锥曲线（定点）、导数（极值证明）|综合应用，如新能源汽车偏好调查的条件概率计算、导数极值点偏移证明，体现数学思维与数据分析素养|

2025-2026学年高三下学期5月阶段检测数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合M＝{﹣1，0，1}，集合N＝{x∈R|x2＝2x}，则M∩N＝（　　） A．{0，1} B．{﹣1，0} C．{0} D．∅ 2．设z＝2﹣i（其中i为虚数单位），则（　　） A． B． C． D． 3．设a∈R，则“a＝2”是“直线l1：ax+6y﹣1＝0与直线l2：x+（a+1）y+4＝0平行”的（　　） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若函数f（x）＝tan（ωx+φ）（ω＞0，φ＞0）图象的一个对称中心为，且最小正周期为，则该函数的解析式可能为（　　） A． B． C． D． 5．某中学校园十佳歌手比赛中，7位评委对某歌手的评分分别为8.5，8.6，8.8，9.2，9.4，9.5，9.7，记为数组A，将数组A中去掉一个最高分和一个最低分后保留的5个有效评分记为数组B，对这两个数组进行比较，有（　　） A．极差相同 B．方差相同 C．60%分位数相同 D．平均数相同 6．若（x﹣2）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a3+a1＝（　　） A．﹣41 B．41 C．﹣40 D．40 7．已知a＞0，b∈R，若关于x的不等式（ax﹣1）（x2+bx﹣1）≥0在（0，+∞）上恒成立，2a﹣b的最小值是（　　） A．0 B．1 C． D．2 8．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上异于实轴端点的动点，若，则C的离心率e的取值范围为（　　） A．（1，2） B．（2，3） C．（1，3） D．（1，4） 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．设函数f（x）的定义域为R，且f（3x+2）为奇函数，f（x+1）为偶函数，则（　　） A．f（﹣2）＝0 B． C．f（3）＝0 D．f（4）＝0 10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的是（　　） A． B．若b＝4，则△ABC外接圆半径 C．若a＝2，c＝3，则△ABC的面积为 D．若c＝2，△ABC有两解，则 11．已知点P在△ABC所在的平面内，λ∈R，则下列命题正确的是（　　） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则动点P的轨迹经过△ABC的内心 D．若，则动点P的轨迹经过△ABC的外心 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．曲线y＝（x+2）ex在点（0，2）处的切线方程为　 　 ． 13．某中学艺术节第二章节目中有4个节目已排，现在要紧急插入2个节目，并要求这2个节目不相邻，并且原来的4个节目顺序不变，则排列的种数为　 　 ． 14．抛物线x2＝2py（p＞0）与椭圆有相同的焦点，F1，F2分别是椭圆的上、下焦点，P是椭圆上的任一点，I是△PF1F2的内心，PI交y轴于M，且，点是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴的交点为（xn+1，0），若x2＝8，则x2024＝　 　 ． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．我国新能源汽车保有量达到3140万辆，占汽车总量的8.9%．某市调查了1000名汽车驾驶员对新能源汽车的偏好程度，调查结果如下： 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 女性驾驶员 100 400 合计 400 1000 （1）请根据所给数据，完成上面的2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为偏好燃油汽车或新能源汽车与驾驶员的性别有关； （2）用频率估计概率，在所有参加调查的驾驶员中按男性和女性进行分层抽样，随机抽取10名驾驶员，再从这10名驾驶员中随机抽取2人进行问卷调查． （ⅰ）抽取的2人中，求在有女性驾驶员参加问卷调查的条件下，恰有1名男性驾驶员也参加问卷调查的概率； （ⅱ）记抽取的2人中，来自女性驾驶员且偏好新能源汽车的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附： P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16．平面四边形是指在同一个平面内，由四条线段首尾顺次连接围成的封闭图形，它有四个顶点、四条边和四个内角．如图1，在平面四边形ABCD中，，AD＝1，∠A＝90°，CD＝2，，将△BCD沿BD折起，形成如图2所示的三棱锥C﹣DAB，且． （1）证明：平面ACD⊥平面ABD． （2）在三棱锥C﹣DAB中，点E，F，G分别为线段AB，BD，AD的中点． （i）证明：AD∥平面CEF． （ii）设，求平面GEF与平面QGE夹角的余弦值的取值范围． 17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an+1（n∈N*）． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn＝3n﹣1，令cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn； （3）若dn，求数列{dn}的前n项和Qn． 18．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的右焦点为，且a2+b2＝9，直线x＝2与椭圆相交于A、B，A为上方的交点． （1）求椭圆的方程； （2）过点A作两条互相垂直的直线，分别与椭圆相交于P，Q，证明：直线PQ过定点； （3）在△APQ中，过点A作PQ的垂线，垂足为H，是否存在H，使H到左顶点的距离最小？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 19．已知函数f（x）＝xlnx+mx． （1）若m＝﹣2，求f（x）的极值； （2）若对任意x∈（0，+∞），f（x）都成立，求实数m的取值范围； （3）若h（x）＝f（x）x2﹣（m+1）x有两个极值点x1，x2，且x2＞2x1，求证：mx1x2＞e3． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B B D C D C 二．多选题 题号 9 10 11 答案 AD ABD ABD 三．填空题 12．3x﹣y+2＝0． 13．20． 14．． 四．解答题 15．解：（1）2×2列联表为： 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 300 300 600 女性驾驶员 100 300 400 合计 400 600 1000 则， 所以有99.9%的把握认为偏好燃油汽车或新能源汽车与驾驶员的性别有关； （2）（i）抽取10名驾驶员中，女性驾驶员有（人），男性驾驶员有6人， 记有女性驾驶员参加问卷调查的事件为A，恰有1名男性驾驶员也参加问卷调查的事件为B， 此时，， 所以； （ii）用频率估计概率，女性驾驶员且偏好新能源汽车的概率为，偏好燃油汽车的概率为， 易知X的所有可能取值为0，1，2， 被抽取的4名女性驾驶员恰有k人参加问卷调查的事件为Dk（k＝0，1，2）， 此时， 参加问卷调查的女性驾驶员中偏好新能源汽车的人数恰好为m人的事件为事件Mm（m＝0，1，2）， 此时，， ，，， 所以P（X＝0）＝P（D0）P（M0|D0）+P（D1）P（M0|D1）+P（D2）P（M0|D2） ， P（X＝1）＝P（D1）P（M1|D1）+P（D2）P（M1|D2）， ， 则X的分布列为： X 0 1 2 P 故E（X）＝012． 16．（1）证明：在平面四边形ABCD中，，AD＝1，∠A＝90°，所以BD＝2， 在△BCD中，由余弦定理知，BC2＝BD2+CD2﹣2BD•CDcos∠BDC＝4+4﹣26， 翻折后，，AB，BC， 所以AC2+AB2＝BC2，即AC⊥AB， 又AD⊥AB，AC∩AD＝A，AC、AD⊂平面ACD， 所以AB⊥平面ACD， 而AB⊂平面ABD， 所以平面ACD⊥平面ABD． （2）（i）证明：因为E，F分别为线段AB，BD的中点， 所以EF∥AD， 又EF⊂平面CEF，AD⊄平面CEF， 所以AD∥平面CEF． （ii）解：在三棱锥C﹣DAB中，AD＝1，AC，CD＝2， 所以AD2+AC2＝CD2，即AD⊥AC， 由（1）知AC⊥AB， 而AB∩AD＝A，AB、AD⊂平面ABD， 所以AC⊥平面ABD， 又AD⊥AB， 故以A为原点，AB，AD，AC所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（0，0，0），C（0，0，），D（0，1，0），G（0，，0），E（，0，0），F（，，0）， 而λ（0，1，0）， 则（0，，）+λ（0，1，0）＝（0，，），（，，0）， 设平面QGE的法向量为（x，y，z），则， 取x＝1，则y，z，所以（1，，）， 易知平面GEF的一个法向量为（0，0，1）， 设平面GEF与平面QGE夹角为θ， 则cosθ＝|cos，|， 因为， 所以∈（64，144），cosθ∈（，）， 故平面GEF与平面QGE夹角的余弦值的取值范围为（，）． 17．解：（1）设等差数列{an}的公差为d， 由a2n＝2an+1，可得a1+（2n﹣1）d＝2a1+2（n﹣1）d+1，可得a1﹣d+1＝0①， 由S4＝4S2，可得，整理可得2a1＝d②， 联立①②可得a1＝1，d＝2，所以an＝a1+（n﹣1）d＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1． （2）因为，则， 所以， 3Tn＝1•31+3•32+…+（2n﹣3）•3n﹣1+（2n﹣1）•3n④， ③﹣④得﹣2Tn＝1+2×（31+32+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）•3n ， 所以． （3）由（1）知an＝2n﹣1，所以， 则． 18．（1）解：由题意知，，解得， 所以椭圆的方程为． （2）证明：把x＝2代入椭圆方程.，有，解得y＝±1， 因为A为上方的交点，所以A（2，1）， 由题意知，直线PQ的斜率存在， 设直线PQ的方程为y＝kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2）， 联立，得（1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣6＝0， 所以，x1x2， 因为， 所以（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）＝0， 所以（x1﹣2）（x2﹣2）+（kx1+m﹣1）（kx2+m﹣1）＝0， 整理得（k2+1）x1x2+（km﹣k﹣2）（x1+x2）+m2﹣2m+5＝0， 所以（k2+1）•（km﹣k﹣2）•m2﹣2m+5＝0， 化简得3m2+8km+4k2﹣2m﹣1＝0，即（3m+2k+1）（m+2k﹣1）＝0， 当m+2k﹣1＝0时，m＝1﹣2k，直线PQ的方程为y＝kx+1﹣2k＝k（x﹣2）+1，恒过点A（2，1），不符合题意； 当3m+2k+1＝0，m，直线PQ的方程为y＝kxk（x），恒过点（，）， 综上所述，直线PQ过定点（，）． （3）解：设直线PQ过定点G（，）， 由题意知AH⊥PQ，A（2，1）， 则点H在以AG为直径的圆上，其中圆心为AG的中点M（，），半径为r＝|GM|， 所以点H的轨迹方程为， 设椭圆的左顶点为N（，0）， 则|HN|≥|MN|﹣r，当且仅当M，H，N三点共线时，等号成立， 所以存在点H满足题意，且H到左顶点的最小距离为． 19．解：（1）当m＝﹣2时，代入得f（x）＝xlnx﹣2x； f'（x）＝lnx﹣1，令f'（x）＝0，解得x＝e，则： 当x∈（0，e）时，f′（x）＜0；当x∈（e，+∞）时，f'（x）＞0． 即f（x）在区间（0，e）上单调递减，在区间（e，+∞）上单调递增， 所以f（x）在x＝e时取极小值f（e）＝﹣e． 故f（x）的极小值为﹣e． （2）因为对任意x∈（0，+∞），f（x）都成立，则xlnx+mx都成立，即： lnx+m都成立，得mlnx恒成立． 故原式等价于求函数t（x）lnx的最大值， 令t（x）lnx，x∈（0，+∞），则t'（x）， 令t'（x）＝0，解得x． 当（0，）时，t'（x）＞0；当（，+∞）时，t'（x）＜0． 所以t（x）在区间（0，）时单调递增，在区间（，+∞）时单调递减， 所以t（x）在x时取得极大值也是最大值t（）＝0，所以m≥0， 故m的取值范围为[0，+∞）． （3）证明：因为， 则，x＞0， 因为h（x）有两个极值点x1，x2，所以h'（x）有两个零点x1，x2，即方程有两个根x1x2， 令，则Q（x）的图像的图像有两个交点， 又，令Q'（x）＝0，解得x＝e； 令Q'（x）＞0，得0＜x＜e；令Q'（x）＜0，得x＞e， 所以Q（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减， 则，又当0＜x＜1时，lnx＜0，则Q（x）＜0； 当x＞1时，lnx＞0，则Q（x）＞0； 当x趋于无穷大时，y＝lnx的增长速率远小于y＝x的增长速率，所以Q（x）趋于0， 作出Q（x）的图像，如图所示： 所以，则m＞e， 又，则， 故， 因为x2＞2x1＞0，令，则t＞2， 令， 则lnx1x2＝q（t），， 令u（t）＝（t﹣1）2+2（t﹣1）﹣2tlnt，则u'（t）＝2（t﹣lnt﹣1）， 令λ（t）＝2（t﹣lnt﹣1），t＞1，则， 所以λ（t）在（1，+∞）上单调递增，则λ（t）＞λ（1）＝0， 所以u‘（t）＞0，所以u（t）在（1，+∞）上单调递增， 则u（t）＞u（1）＝0，故当t＞2时，u（t）＞0，t（t﹣1）2＞0， 所以，1所以q（t）在（2，+∞）上单调递增， 又23＝8＞e2，则ln23＞lne2，所以3ln2＞2，所以q（t）＞q（2）＝3ln2＞2， 故lnx1x2＝q（t）＞2，所以， 又m＞e，所以． 学科网（北京）股份有限公司 $