2026年中考数学复习讲义专题2.4二次函数的图象与性质（题型归纳+核心考点+常考题型）.

专题2.4二次函数的图象与性质中考复习讲义 考点、考情分析 一、核心考点 1.熟练掌握二次函数一般式、顶点式、交点式三种形式，牢记a≠0； 2.掌握a、b、c、△的几何意义，能判断抛物线开口、对称轴、交点个数及基础图像性质； 3.熟知抛物线平移、对称变换规律。掌握二次函数与方程、不等式的数形结合解法； 4.熟练应对函数与几何、动点、面积综合压轴题型，会建立函数模型解决实际最值问题，注意自变量取值范围。 二、考情分析 1. 题型分值：二次函数为中考重点难点，分值约8-14分，覆盖选择、填空、解答全题型，常作为压轴题考查。 2. 难度分布：基础题侧重公式、图象性质基础判断；中档题侧重图象变换、方程不等式综合；难题侧重动点、几何综合、区间最值等压轴问题。 3. 命题特点：核心考查数形结合思想，注重图象与解析式互化，多与几何图形、实际应用综合命题，综合性强、区分度高。 题型归纳 题型1二次函数的定义 题型2二次函数的图象和性质 题型3二次函数图象与各项系数符号 题型4一次函数、二次函数图象综合判断 题型5两个二次函数图象综合判断 题型6根据二次函数的对称性求函数值 题型7二次函数的最值问题 题型8二次函数与x轴交点问题 题型9二次函数与不等式 题型10二次函数图象的平移 题型11二次函数中的线段周长问题 题型12二次函数中的角度问题 题型13二次函数中的面积问题 题型14二次函数与特殊三角形的综合问题 题型15二次函数与特殊四边形的综合问题 题型16二次函数与相似三角形综合问题 考点梳理 考点一、二次函数的相关概念 1.二次函数的定义：一般地，形如 (a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2.二次函数的一般式： (a≠0，其中a，b，c是常数). 3.二次函数的3种特殊形式：（1）当b＝0时， （2）当c＝0时， （3）当b＝0且c＝0时， 考点二、二次函数的常见表达式： 名称 解析式 前提条件 相互联系 一般式 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2) 一般式化为顶点式，交点式，主要运用配方法，因式分解等方法. 顶点式 当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式. 交点式 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式. 考点三、二次函数的图像与性质 一﹑二次函数的图像与性质 图像特征 二次函数的图像是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 图像 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.      【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 易错 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围. 考点四、二次函数的图象变换 1.二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 2.二次函数图象的对称变换 变换方式 变换后 口诀 关于x轴对称 x不变，y变-y 关于y轴对称 y不变，x变-x 关于原点对称 x变-x，y变-y 考点五、二次函数与各项系数之间的关系 1. 二次函数的图像与a，b，c的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向， a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)． a<0 开口向下 b b=0 对称轴是y轴，即=0 左同右异中间0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即 c c=0 图像过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 与x轴有两个交点 的正负决定抛物线与x轴交点个数 与x轴有唯一交点 与x轴没有交点 考点六、二次函数与方程﹑不等式 1. 二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 求二次函数的图像与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程。 因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 与x轴交点个数 图像 与x轴的交点坐标 根的情况 ＞0 抛物线 与x轴交于， 两点 一元二次方程 有两个不相等的实数根 2个交点 ＝0 抛物线与x轴交于这一点 一元二次方程 有两个相等的实数根 1个交点 ＜0 抛物线 与x轴无交点 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 0个交点 二、二次函数与不等式的关系 二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下(）： 图像 有两个交点 有1个交点 无交点 判别式 △＞0 △＝0 △＜0 △＞0 △＝0 △＜0 或 的全体实数 全体实数 无解 无解 或 无实根 或 无实根 无解 无解 或 的全体实数 全体实数 核心考点解析 题型1二次函数的定义 1．下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断各选项，二次函数要求表达式是关于x的整式，且自变量x的最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解：∵二次函数的定义为：形如（，，为常数，且）的函数，等式右边是关于x的整式， A：是反比例函数，右边是分式，不符合定义， B：是一次函数，x最高次数为1，不符合定义， C：，符合二次函数形式，，右边是整式，x最高次数为2，符合定义， D：含分式项，右边不是整式，不符合定义． 2．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，一般的，形如（，，是常数，且）的函数叫做二次函数． 【详解】解：①符合定义，是二次函数． ②符合定义，是二次函数． ③，符合定义，是二次函数． ④不符合定义，不是二次函数． ⑤不符合定义，不是二次函数． ⑥，因为为常数，所以，符合定义，是二次函数． ⑦，符合定义，是二次函数． 综上所述，符合条件的二次函数共个，故选C． 3．已知二次函数，则一次项系数__________ 【答案】 【分析】本题考查二次函数的识别，解题的关键是掌握：形如（、、是常数，）的函数叫做二次函数，其中是自变量，、、分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴一次项系数． 故答案为：． 4．写出下列各函数关系式，并判断它们是什么类型的函数． (1)圆的面积与它的周长之间的关系式； (2)菱形的两条对角线长的和为26cm，求菱形的面积与一对角线长之间的关系式． 【答案】(1)，二次函数 (2)，二次函数 【分析】此题考查列二次函数解析式．根据题意列出函数解析式，并进行判断即可． （1）根据圆面积和周长之间的关系列出函数解析式并判断即可； （2）根据菱形的面积和对角线长之间的关系列出函数解析式并判断即可． 【详解】（1）解：∵，     ∴圆的面积与它的周长之间的函数关系 ，     所以，是的二次函数． （2）解：菱形的另一条对角线的长是，     ，    所以，是的二次函数． 题型2二次函数的图象和性质 1．已知二次函数，那么它的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：∵抛物线 ∴，抛物线开口向上，顶点坐标是． 2．已知二次函数的y与x的部分对应值如表： 下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线；③当时，；④方程有两个相等的实数根．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据图表在平面直角坐标系中画出二次函数的图象，根据图象进行判断即可． 【详解】解：由图表可知，该二次函数的图象如图， ∴抛物线的开口向下，故①正确； ∵与关于抛物线的对称轴对称 ∴对称轴为直线，故②错误； 由函数图像可知，当时，，故③正确； 二次函数与有两个交点， ∴方程有两个不相等的根，故④错误； 综上所述：①③正确，共2个． 故选B． 3．如图，已知抛物线过点和点． (1)求该抛物线的函数关系式； (2)已知点是上方的抛物线上一点，作轴于点，求的最大值； (3)当，函数有最小值为0，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）设，表示出，根据二次函数的性质，即可求解； （3）先求得抛物线对称轴为直线，分，且，，三种情况结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点和点． ∴ 解得： ∴该抛物线的函数关系式为； （2）解：设，，其中， ∴， ∵， ∴的最大值为； （3）解：∵，对称轴为直线， 当时， 解得：， ∵ 在对称轴左侧函数随着的增大而增大，在对称轴右侧函数随着的增大而减小． 故分以下三种情况讨论： ①若，即 则当时，函数有最小值为 ，解得：（舍去） ②若且，即 当时，函数有最小值为， ，解得：． 当时，函数有最小值为， ，解得： ， 或 ③若，即 则当时，函数有最小值为， ，解得：舍）， 综上，的值为或． 4．下列关于抛物线的叙述，正确的是（  ） A．开口向下 B．抛物线的顶点一定在第三象限 C．当时，随的增大而减小 D．与轴正半轴可以相交 【答案】B 【分析】利用二次函数的基本性质，通过配方得到抛物线的顶点坐标和对称轴，利用到二次函数开口方向，增减性，与坐标轴交点坐标，逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：先对抛物线配方得： ∵ ∴抛物线开口向上，A错误． 抛物线顶点坐标为 ∵， ∴ 顶点横坐标小于0，纵坐标小于0，因此顶点在第三象限，B正确． ∵抛物线对称轴为，开口向上， ∴时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，随的增大而增大，C错误． 令，得，抛物线与轴交于，交点在轴负半轴，D错误． 综上，答案选B． 题型3二次函数图象与各项系数符号 1．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为．以下结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向判断的符号，根据对称轴的位置及的符号判断的符号，根据抛物线与轴的交点位置判断的符号，再根据当时，，判断的符号即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上， ，故A选项错误； 对称轴为直线， ， ， ，故B选项错误； 图象过点，对称轴为直线， 图象与轴的另一个交点为， ，故C选项正确； 当时，，即，故D选项错误． 2．已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标，其部分图象如图所示，甲乙丙丁四位同学分别写出了下列结论： 甲：；                乙：； 丙：抛物线的顶点坐标为；        丁：当时，随增大而增大． 其中结论正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】根据抛物线的对称轴和与轴的一个交点坐标，得到另一个交点坐标，再结合图象可知，当时，，当时，，可判断甲、乙结论；根据抛物线的和经过点，可判断丙结论；根据抛物线的增减性，可判断丁结论． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标， 与轴的另一个交点坐标为， 当时，，当时，， ，，甲、乙结论错误； 对称轴为直线， ， ， 抛物线经过点， ， 当时，， 抛物线的顶点坐标为，丙结论正确； 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随增大而增大，丁结论错误． 3．如图，在二次函数的图像中，顶点的纵坐标为1．下列结论：①②③④⑤关于x的一元二次方程无实数根．其中，正确结论的序号是_________． 【答案】①④⑤ 【分析】由抛物线与x轴有两个交点可判断①；由抛物线开口朝下、对称轴在y轴左边、抛物线与y轴交点在正半轴上可判断②；由抛物线在处的函数值小于0，可得，再由对称轴可得可判断③；由抛物线顶点的纵坐标为1可得抛物线与直线只有一个交点可判断④；由抛物线与直线没有交点可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴令，即有两个不相等的实数根， ∴，即，故①正确． 由图象可知：抛物线开口朝下，对称轴在y轴左边，抛物线与y轴交点在正半轴上， ∴，，， ∴， ∴，故②错误． 由图象可知：抛物线在处的函数值小于0， ∴令，即， ∵由图象可知：对称轴， ∴， ∴， ∴，故③错误． ∵抛物线顶点的纵坐标为1， ∴抛物线与直线只有一个交点， ∴令，即有两个相等的实数根， ∴，即，故④正确． ∵抛物线顶点的纵坐标为1，且抛物线开口朝下， ∴抛物线与直线没有交点， ∴令，即无实数根，故⑤正确． 综上所述，正确结论的序号是①④⑤． 4．已知二次函数的图象如图所示，根据图象提供的信息解答问题． (1)请确定的正负． (2)请判断一次函数的图象所经过的象限，并说明理由． 【答案】(1)， (2)经过第二、三、四象限，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，正确根据二次函数图象判断出a、b的符号是解题的关键． （1）由抛物线开口向下可知，抛物线的对称轴在y轴右侧，即，得． （2）根据（1）中结论，，得直线中，，，它即可得答案． 【详解】（1）解：抛物线的开口方向向下， ． ， ． （2）解：， ， 由图可知，， ， ， 一次函数的图象经过第二、三、四象限． 题型4一次函数、二次函数图象综合判断 1．已知一次函数与反比例函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的图象和反比例函数的图象经过的象限，判断出a、b、c的符号，进而确定二次函数的开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点的位置，再结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴二次函数的图象与y轴交于负半轴， ∴四个函数图象中，只有A选项中的函数图象符合题意． 2．在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为，则一次函数与反比例函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的顶点式、一次函数与反比例函数的图象特征；解题的关键是由二次函数顶点坐标确定的符号，进而判断一次函数和反比例函数图象经过的象限．由二次函数的顶点为，得对称轴为直线，即，将顶点坐标代入得；由顶点纵坐标-2为最小值，知抛物线开口向上，即，则，一次函数中，，图象经过第一、二、三象限；反比例函数中，图像在第一、三象限：结合选项图像特征得出正确选项． 【详解】解：二次函数图象的顶点为 可设，即 该二次函数图象的对称轴为 一次函数为，即， 一次函数的图象恒经过定点，排除． 当时，，排除D． 故选A． 3．如图，抛物线与直线交于A、B两点，则的解集是________． 【答案】 【分析】根据图象上一次函数图象在二次函数图象上方部分对应的自变量取值范围即可得解． 【详解】解：由图象可知，当时，一次函数图象在二次函数图象上方， 则的解集是． 4．在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，记点M与点N之间的距离为m，当M与N重合时，． ①若，求t的值； ②若对于，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2)①或；② 【分析】（1）待定系数求解； （2）①联立解析式求解； ②表示出的表达式，然后分情况讨论，利用二次函数的性质确定最值． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点O， ∴； 将代入得， ， ∴； （2）解：①根据题意得，联立， 整理得， 解得或， 即或； ②由①可得直线和抛物线的交点横坐标分别为或， ， 当时，随的增大而减小， ∴当时，取最大值，此时， ∴， ∴； 当时，， ∴当时，取最大值，此时， ∴， ∴； 又∵， ∴． 题型5两个二次函数图象综合判断 1．如图，抛物线与抛物线交于点，过点A作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于B、C两点，若点B是的中点，则（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】先推导出，，得到，进而推导出，将，代入，，可得到，则，即可解答． 【详解】解：抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为， ∵抛物线与抛物线相交于点， ∴由抛物线的对称性可知，， 即， ∴， ∵点B是的中点， ∴，即：， 将，代入，，得 ， 则， ∴， ∴， ∴． 2．抛物线y1＝（x-h）2＋k与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是： ①；②点（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝． A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据题意得：抛物线y1＝（x-h）2＋k与的对称轴分别为直线和，设直线和分别交BC于点M、N，则MN=h+3，根据BC=10，可得MN=5，从而得到h=2，可得得到，进而得到点A（1，3），继而得到，故①错误；根据点（，P）关于对称轴x=2的对称点为，且，可得P＜n＜m，故②正确；根据y1≥y2，可得或，故③错误；分别求出点，可得，故④正确；即可求解． 【详解】解∶ 根据题意得：抛物线y1＝（x-h）2＋k与的对称轴分别为直线和， 如图，设直线和分别交BC于点M、N，则MN=h+3， ∴AM=BM，AN=CN， ∴， ∵BC=10， ∴MN=5， ∴h+3=5， ∴h=2， ∵点B（3，3）， ∴3＝（3-2）2＋k，解得： ， ∴， ∵BC∥x轴， ∴点A、C的纵坐标为3， 令，则， 解得：， ∴点A（1，3）， 把点A（1，3）代入，得： ，解得： ，故①错误； ∵，且对称轴为直线x=2， ∴当x＞2时，y1随x的增大而增大；当x＜2时，y1随x的增大而减小， ∵， ∴， ∵点（，p）关于对称轴x=2的对称点为， ∴p＜n＜m，故②正确； ∵， ∴， ∵y1≥y2， ∴， 整理得：， 解得：或，故③错误； ∵，， 当x=0时，，， ∴点， ∴，故④正确； ∴正确的有②④． 故选：A 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键． 3．已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为_______． 【答案】或 【分析】根据抛物线的图象与系数之间的关系得出，，，即可得出结果． 【详解】解：设这条抛物线的解析式为：， ∵这条抛物线与抛物线的顶点坐标相同， ∴，， 又∵这条抛物线与抛物线形状相同， ∴，即， ∴这条抛物线的解析式为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟记二次函数的性质是解题的关键． 4．在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线G．    (1)求抛物线G的对称轴及其图象与轴的交点坐标； (2)如果抛物线与抛物线G关于轴对称，直接写出抛物线的表达式； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记抛物线G与抛物线围成的封闭区域（不包括边界）为W． ①当时，直接写出区域W内的整点个数； ②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】(1)对称轴，与轴的交点坐标 (2) (3)①；②或 【分析】（1）根据抛物线对称轴公式及其图象与轴的交点坐标求出结果即可； （2）在抛物线G上取点，其关于轴的对称点为，把点代入抛物线G的解析式即可； （3）①当时，在同一平面直角坐标系中画出图象可知；②结合抛物线图象分情况讨论求出其取值范围即可． 【详解】（1）解：抛物线G的对称轴为， 与轴的交点坐标； （2）解：在抛物线G上取点，其关于轴的对称点为， 把点代入抛物线G的解析式得， 抛物线的表达式为； （3）①当时，抛物线G的解析式为， 抛物线的解析式为，在同一平面直角坐标系中图象如图：    从图中可以得出区域W内的整点个数为3； ②当时，如图1， 抛物线经过点（1，－3）时，区域W内恰有5个整点， ∴．解得：， 结合①可得：； 当a＜0时，如图2，抛物线经过点（－1，0）和（1，2）时，区域W内恰有5个整点． 经过点（－1，0）时，， 解得：， 经过点（1，2）时，， 解得：， ∴， 故如果区域W内恰有5个整点，则或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，对称轴及顶点坐标，轴对称图形的概念，解题的关键是运用数形结合、分类讨论的思想方法． 题型6根据二次函数的对称性求函数值 1．二次函数的图象上有两点，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】先求出抛物线的对称轴，结合开口方向，根据点到对称轴的距离即可比较函数值大小． 【详解】∵二次函数解析式为，其中， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵点A横坐标为1，到对称轴的距离为，点B横坐标为4，到对称轴的距离为， 又∵开口向上的抛物线上，点离对称轴越远，对应函数值越大，且， ∴． 2．如图，已知抛物线经过点，且对称轴为直线．给出以下结论：①；②；③；④无论a，b，c取何值，抛物线一定经过点．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】由题意得到抛物线的开口向上，对称轴，判断a，b与0的关系，即可判断①；根据抛物线对称轴方程可得，即可判断②；根据抛物线经过点以及，得到，即可判断③；先根据和得，再根据对称性可知：抛物线过，即可判断④． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， 抛物线的对称轴为直线，即，， ∴，故①正确； ②∵， ∴， 故②不正确； ③∵抛物线（a，b，c为常数，）经过点， ∴， ∵抛物线与y轴交点在负半轴， ∴， ∴，故③正确； ④由对称得：抛物线与x轴另一交点为， ∵， ∴， ∴， ∴无论a，b，c取何值，抛物线一定经过点， 故④正确； 本题正确的有：①③④． 3．已知点是抛物线上一动点． （1）当点M到y轴的距离不大于2时，b的取值范围是________； （2）当点M到直线的距离不大于时，b的取值范围是，则的值为________． 【答案】 或2 【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为直线，根据点M到y轴的距离不大于2，得出，根据二次函数的增减性，求出b的取值范围即可； （2）根据点到直线的距离不大于，得出，即，从而得出，然后根据，求出a的范围，即可得出． 【详解】解：（1）， ∵点M到y轴的距离不大于2， ∴， ∴当时， ， 当时，， 当时，， ∴b的取值范围是. （2）∵点到直线的距离不大于， ∴，即， ∴， 令，代入，即，解得：，， 令，代入，即，解得：，， 如图： 当或时，b的取值范围是， 当时，，，则， 当时，，，则， 综上分析可知，的值为或2； 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的最值，在取值范围内，二次函数的函数值取值范围由端点值和范围内的顶点值决定． 4．已知二次函数（为常数）． (1)若点在该函数图象上，求的值； (2)证明：该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图象上有不重合的两点，，且，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）将代入计算即可； （2）根据根的判别式证明即可； （3）求出对称轴，再根据二次函数的对称性作答即可． 【详解】（1）解：∵点在该函数图象上， ∴， 解得：； （2）证明：∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 即二次函数的图象与轴有两个不同的公共点； （3）解：二次函数的对称轴为直线， ∵该函数图象上有不重合的两点，，且， ∴， 解得：． 题型7二次函数的最值问题 1．已知，，则下列说法正确的是（  ） A． B．当时，的最小值为 C． D．当时，的最小值为 【答案】B 【分析】由已知条件推导出关于的表达式，再将整理为关于的二次函数，结合实数平方的非负性确定的取值范围，最后根据二次函数的性质求的最小值，判断各选项． 【详解】解：∵ ，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， 整理得 ，解得 ，因此选项A、 C错误； 将代入，得， ∵为实数， ∴， 即， 代入，，得， 整理得 ，即， ∴满足该不等式，在的取值范围内， ∵二次函数开口向上，在顶点处取最小值， ∴当时，取得最小值，因此选项B正确，D错误； 故选B． 2．我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了如图所示的“鹊桥”函数的图象，下列结论正确的是（   ） A．图象的对称轴是 B．当且仅当时，随的增大而增大 C．若则 D．若，则（m为任意实数） 【答案】C 【分析】根据图像与轴交点求对称轴排除A，由图像分析函数性质排除B，由对称轴得、代入特殊值判断符号确定C正确，再利用二次函数的最值性质判断不等号方向排除D． 【详解】解：A、由图象可得，图象具有对称性，对称轴是直线， 故选项A错误，不符合题意； B、当或时，函数值随值的增大而增大， 故选项B错误，不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴由图可知，当时，，当或时，， ∴当时，， ∴， ∴， 故选项C正确，符合题意； D、∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， ∵对称轴为直线， ∴当时，， ∴(为任意实数)， ∴， ∵， ∴， ∴抛物线开口向上，有最小值， ∵对称轴为直线， ∴当时，， ∴(为任意实数)， ∴， ∴， 综上，若，则（m为任意实数）， 故选项D错误，不符合题意． 3．已知抛物线，当 时，函数值y的取值范围是_______ 【答案】 【分析】先把函数解析式化为顶点式，计算出当和对应的函数值，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，开口向上， ∴当时有最小值是； 当时，， 当时，， ∴当 时，函数值y的取值范围为． 4．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点 (1)求该抛物线的解析式； (2)设点在抛物线上，点在抛物线上，设． ①求W与的函数关系式； ②当时，W的最小值为3，求m的值． 【答案】(1) (2)① ②或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）①分别表示出，，再根据即可求解； ②求出的对称轴为，再分，，三种情况即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：①∵点在抛物线上，点在抛物线上， ∴，， ∴ ， ∴． ②∵， ∴抛物线对称轴为， 时， 当时，则时，取最小值3， ∴， 解得或（大于1，舍去）； 时， 当时，则时，取最小值3， ∴， 解得或（舍去）； 时， 当时，则时，取最小值3， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，m的值为或． 题型8二次函数与x轴交点问题 1．把二次函数的图象向上平移1个单位长度．如果平移后所得抛物线与x轴有且只有一个公共点，那么m的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据平移规则得到平移后抛物线的解析式，利用抛物线与x轴只有一个公共点时对应一元二次方程的判别式，即可求解的值． 【详解】解：根据二次函数图象平移规则，向上平移1个单位长度后， 所得抛物线的解析式为： ∵平移后抛物线与轴有且只有一个公共点 ∴一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ 化简得， 解得． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的两个交点分别为，．则下列说法正确的是（  ） A．对称轴为直线 B． C．当时，随的增大而增大 D． 【答案】D 【分析】由对称轴公式即可判断A选项；由二次函数图象与抛物线的交点情况得到判别式情况，即可判断B选项；由二次函数图象的增减性即可判断C选项；将点代入二次函数解析式即可判断D选项． 【详解】解：对称轴为直线，故选项A错误； 二次函数的图象与轴有两个交点， ，即，故选项B错误； 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，故选项C错误； 将点代入二次函数，， ，故选项D正确． 3．已知二次函数的图象与坐标轴有且只有2个公共点，则的值为__________． 【答案】0或4/4或0 【分析】根据判别式判断二次函数图象与轴的交点个数，分两种情况讨论图象与坐标轴共有个公共点的情况，分别求解的值． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当二次函数图象与轴只有个交点，与轴交于另一点时，此时共有个公共点， 由， 将代入，得， 化简得，解得． ②当二次函数图象与轴有个交点，且其中一个交点为原点，即原点是二次函数与轴、轴的公共交点，此时共有个公共点， 将代入得： ，即． 此时二次函数解析式为，与坐标轴交点为和，符合条件． 综上，的值为或． 4．二次函数的图象与轴交于点． (1)求证：抛物线与轴总有两个不同交点； (2)若抛物线过点，求函数解析式及顶点坐标； (3)当时，函数最小值为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)函数解析式为，顶点坐标为 或函数解析式为，顶点坐标为 (3)不存在满足条件的实数 【分析】（1）由判别式，即可得证； （2）将点代入抛物线解析式求出，即可求解； （3）根据得到抛物线开口向上，顶点为，函数最小值为，即可求解． 【详解】（1）证明：二次函数， ， 抛物线与轴总有两个不同交点； （2）解：抛物线过点， ， 解得或， 函数解析式为，顶点坐标为 或函数解析式为，顶点坐标为； （3）解：，， 抛物线开口向上，顶点为， 函数最小值为， 当时，不存在满足条件的实数使得函数最小值为． 题型9二次函数与不等式 1．下表中是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值∶ x … 0 1 3 … y … 6 … 下列结论∶① 这个函数图象开口向上；② 抛物线的对称轴为直线；③ 当时，函数值y随x的增大而增大；④ 不等式的解集是或；⑤ 这个函数的最小值等于．其中正确的结论有（  ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式等知识，设出二次函数的解析式，根据表中数据求出函数解析式，然后化成顶点式，根据二次函数的性质即可判断．解题关键是掌握二次函数与方程的关系． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 由题意知：， 解得， ∴二次函数的解析式为， ①函数图象开口向上，故①正确； ②对称轴为直线，故②错误； ③当时，函数值y随x的增大而增大，故③正确； ④方程的解为，， 结合函数增减性可知，不等式的解集是或，故④正确； ⑤这个函数的最小值等于，故⑤正确． 综上所述：正确的是①③④⑤，共4个. 2．如图，直线与抛物线交于两点，且点的横坐标是，点的横坐标是3，则以下结论： ①； ②时，直线与抛物线函数值都随着的增大而增大； ③当时，； ④有可能成为等边三角形； ⑤的解集为； 其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②⑤ C．②③④ D．①②④⑤ 【答案】B 【分析】①根据直线和抛物线的图象和性质求解； ②根据直线和抛物线的图象和性质求解 ③根据直线和抛物线的图象交点求解 ④根据抛物线的对称性进行求解； ⑤根据直线的对称性得出，关于轴对称的直线解析式为，然后确定交点，根据图象交点进行求解． 【详解】解：①∵直线与轴交于正半轴， ∴； ∵抛物线开口向上， ∴； ∴， 故①正确； ②当时，直线与抛物线函数值都随着的增大而增大， 故②正确； ③∵点的横坐标是，点的横坐标是3， ∴由图象可得当时，， 故③错误； ④若为等边三角形，则， ∴点关于轴对称， 则，，与矛盾， ∴不可能成为等边三角形， 故④错误； ⑤直线关于轴对称的直线解析式为， ∵直线与抛物线交于两点，且点的横坐标是，点的横坐标是3， ∴直线与抛物线交于两点，且两点的横坐标是，点的横坐标是2， ∴的解集为， 即的解集为， 故⑤正确； 综上，正确的结论是①②⑤． 3．已知二次函数与一次函数 ，二次函数图象过点，则不等式的解集为_____． 【答案】或 【分析】把代入二次函数解析式可求出，联立两函数解析式可求出它们的交点的横坐标，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的图象过点， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， 联立得，解得或， ∴由函数图象可知，不等式的解集为或． 4．如图，已知二次函数图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的取值范围； (3)当时，利用图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出对应的函数的表达式，再把表达式化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）根据（1）所求可得函数的增减性和对称轴，求出时的函数值，结合顶点坐标即可得到答案； （3）由对称性可得点在该函数的图象上，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点和， ∴， ∴， ∴该二次函数的表达式为， ∴顶点坐标为； （2）解：由（1）得该二次函数的表达式为， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， 当时，，且， ∴当时，函数的最大值小于7， ∵顶点坐标为，即当时，函数的最小值为， ∴当时，； （3）解：由（2）可知，对称轴为直线， ∵， ∴由对称性可知，点在该函数的图象上， 由函数图象可知，当时，或． 题型10二次函数图象的平移 1．在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数）先向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度后，抛物线的顶点坐标为，则，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先将原抛物线配方得到顶点式，确定原顶点坐标，再根据抛物线平移“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律，结合平移后顶点为列方程求解． 【详解】解： ∴原抛物线的顶点坐标为 将抛物线向右平移2个单位长度，向下平移个单位长度后，新顶点坐标为 ∵平移后顶点坐标为 ∴列方程组得： 解得． 2．将二次函数的图象先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，平移后所得图象的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的平移变换，掌握二次函数平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”是解题的关键． 【详解】∵原二次函数解析式为 ， 将图象先向上平移3个单位长度，根据“上加”的规律，得 ， 再将得到的图象向右平移2个单位长度，根据“右减”的规律对自变量x变换，得 ， ∴平移后所得图象的解析式为 ． 3．已知抛物线，将其向右平移n个单位，使平移后所得的抛物线与坐标轴恰好只有两个公共点，那么n的值是______． 【答案】3 【分析】根据题意得出原点在平移后的抛物线上，将代入平移后的抛物线解析式求解即可； 【详解】解：， 原抛物线判别式， 令得， 则原抛物线与轴交点为， 左右平移不改变抛物线的判别式，因此平移后抛物线始终与轴有2个交点，且一定与轴有1个交点， ∵平移后所得的抛物线与坐标轴恰好只有两个公共点，平移后的抛物线与轴恒有两个不同交点，与轴恒有一个交点，要使总共只有两个公共点，则必然是其中一个轴交点与轴交点重合于原点， 即原点在平移后的抛物线上， 抛物线向右平移个单位，平移后解析式为：， 将代入得：， 解得：（舍去）， 因此的值为． 4．如图，在平面直角坐标系中，，，抛物线交轴于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)当时，求的取值范围； (3)连接，若二次函数的图象向上平移个单位长度时，与线段有一个公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围为________． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) (3)或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据二次函数的增减性进行求解即可； （3）分3种情况，求出临界点，即可得出结果. 【详解】（1）解：将，代入，得 解得 ， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：抛物线开口向下，顶点坐标为， 对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ， 时，为此时的函数最小值， 当时，函数最大值为， 当时，的取值范围是； （3）解：二次函数的图象向上平移个单位长度后解析式为， 此时顶点坐标为，当顶点落在线段上时， ，解得， 当函数图象向上移动，经过点时，， 解得， 当函数图象经过点时，， 解得， 当或时，函数图象与线段有一个公共点. 题型11二次函数中的线段周长问题 1．如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴交抛物线于点B，连接．动点P在线段上，连接，则的最小值为（   ） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数，勾股定理等知识，先求出A、B的坐标，然后根据勾股定理求出，根据垂线段最短得出：当时，最小，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解∶当时，， ∴， ∵轴，轴轴， ∴的纵坐标为3，轴， 把代入，得， 解得，， ∴， ∴，， ∴， 当时，最小， 此时， ∴， 即的最小值为2.4， 故选：B． 2．已知二次函数的图象的顶点为，在轴上方的抛物线上有两点，点和点连接．过点作轴的垂线，交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，求出对称轴为直线，过点P和点Q分别作直线的垂线，垂足分别为E、F，则，证明，由相似三角形的性质可得，解方程即可得到答案． 【详解】解；∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线； 如图所示，过点P和点Q分别作直线的垂线，垂足分别为E、F， ∵点和点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得（已检验）， 故选：D． 3．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点，点Q是对称轴上一动点． （1）_________． （2）当的周长最小时，则_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，两点间的距离公式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，由对称性可得，则可得到当P、Q、N三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值；求出直线的表达式为．抛物线的对称轴为直线，则的周长有最小值时，点Q的坐标为，再求出的长即可得到答案．， 【详解】解：（1）∵二次函数的图象与x轴交于点，， ∴ 解得 ， 故答案为：； （2）如图所示，连接， 由对称性可得， ∴的周长， ∵是定值， ∴当P、Q、N三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， 设直线的表达式为， ∴ 解得， 直线的表达式为． 抛物线的表达式为， 此抛物线的对称轴为直线， 在中，当时，， ∴的周长有最小值时，点Q的坐标为， ∴此时 ∵， 当的周长最小时，， 故答案为：． 4．已知抛物线与x轴交于，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点，D为对称轴与x轴的交点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，在x轴的上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点，且为等腰直角三角形． （i）求的面积； （ii）点为该抛物线段上一动点，过点G作轴，与直线相交于点N，直接写出线段取得最大值时p的值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）代入点坐标，待定系数法求解析式即可； （2）（i）先通过对称轴公式求出D的坐标，设出点P的坐标，利用等腰直角三角形的性质，确定的中点与点P和点D的关系，并构建方程求出点P的坐标，即可计算求出各线段长，进而计算出面积； （ii）待定系数法求出直线的解析式，从而表示出点N的坐标，进而用含p的式子表示，得到关于p的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解即可． 【详解】（1）解：代入和，得， 解得， ∴； （2）解：（i）由（1），得抛物线的对称轴为直线， ∴， 如图，设的中点为，则，， 设，则， ∴，， ∵， ∴， 解得，或（不合题意，舍去）， ∴，， ∴， ∴； （ii）设直线：， 代入，，得， 解得， ∴， 由题意，得，， ∴， ∵， 当时，取得最大值． 题型12二次函数中的角度问题 1．已知抛物线与轴负半轴交于点，抛物线的顶点为，对称轴与轴的交点为，当时，的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】先求出抛物线各点坐标，根据C点位置判断a的符号，再构造直角三角形，利用正切定义列方程求解a即可． 【详解】解：∵抛物线， 令，得， 又在轴负半轴， ∴，得， 抛物线与轴交点为，， ∴对称轴为，对称轴与轴交点， 将代入抛物线解析式，得， ∴顶点，． 过作交的延长线于， ∴， 在中，，， 其中， ∵， ∴， 解得． 2．如图，已知抛物线的图象交轴于，两点（点在点左侧），点在第二象限的抛物线上，连接，且，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质，连接，作轴于，先求出，设，则，，求出为等腰直角三角形，得出，即，求出的值即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作轴于， 在中，令，则， 解得：，， ∴， ∵点P是抛物线上一动点， ∴设，则，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， 解得：或， ∵点P在第二象限， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，为坐标原点．点为轴上的动点，当点运动到使时，的长度为______． 【答案】或/或 【分析】连接，在上截取，分类讨论，①当在轴上半轴上时，②当在轴下半轴上时，利用外角的知识及，证明，，继而可分别求出的长度． 【详解】连接， ∵， ∴， 在上截取，则， 在中，， 在中，， ①当在轴上半轴上时，， ∵， ∴， 又∵(同一个角)， ∴， ，即， ； ②当在轴下半轴上时，， ∵ABC=/OM，C+/OAC=45°， ∴， 又∵(同一个角)， ∴， ∴，即， 解得：， 故. 综上可得的长度为或. 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，解答本题的关键是分类讨论点M的位置，利用相似三角形的性质：对应边成比例求出有关线段的长度有一定难度． 4．如图，抛物线，顶点为，该抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)证明为直角三角形； (3)求与的差． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先求出，得到，，求出，，用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出，得到，，，根据勾股定理的逆定理判定即可； （3）求出，推出，，得到． 【详解】（1）解：关于抛物线，当时，， ， ， ， ，， ，， 将，代入得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）证明：由（1）知抛物线的解析式为， ， ，， ，，， ， 是直角三角形； （3）解：直线与轴交于点， ， ， ， ， 由（2）得，，， ， ， ，， ， ． 题型13二次函数中的面积问题 1．如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线段扫过的面积为20（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（   ）   A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接,,则可知图中阴影部分的面积即为平行四边形的面积，由题意易得点、的水平距离即为该平行四边形的高，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接,, ∴阴影部分的面积为平行四边形， ∵，， ∴点的水平距离为， ∴, ∴， ∴抛物线向上平移4个单位长度，则平移后的抛物线解析式为． 2．如图，二次函数的图象交轴于点，点，与轴交于点，下列结论：①；②当时，随的增大而增大；③；④；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．①根据二次函数的图象经过，，可得到对称轴，并将代入解析式得到b、c与a的关系，及从而判断；②由对称轴和函数的图象可以判断；③算出a和c的关系即可；④由题意得到即可判断； 【详解】解：∵二次函数的图象经过，， ∴对称轴， ∴，， ∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∴，， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象开口向上，对称轴， ∴当时，y随x的增大而增大；故②正确； ∵， 当时，， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④错误； 正确的是①②③共3个． 故选：C． 3．直线与抛物线交于、两点，点在抛物线上，若三角形的面积为，求点的坐标____________． 【答案】或或 【分析】作出图象，首先求得线段的长，然后利用面积求得点P的纵坐标，从而求得点P的坐标． 【详解】解：如图， 令， 解得：， ∴， ∴， 设点 ∴， 解得：或4， ∴或， ∴P点的坐标为或或． 4．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点是线段上的动点（与点B，C不重合），连接并延长交抛物线于点，连接，，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)当的面积等于3时，求的值； (3)在点运动过程中，是否存在值使得的面积最大？若存在，求出值；若不存在，请说理由． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)或3 (3)存在， 【分析】（1）将点和点代入中，求出b和c的值即可得抛物线的解析式，进而可得C点的坐标． （2）先利用待定系数法求出的解析式为，过Q点作轴于D点，交于E点，则可得，，，根据即可求出m的值． （3）由（2）知，根据二次函数的性质可知，当时，有最大值，最大值为4． 【详解】（1）解：将点和点代入中， 得， 解得，， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为． （2）解：设直线的解析式为， 把和代入可得， 解得， ∴直线的解析式为， 过Q点作轴于D点，交于E点， ∵Q点在抛物线上，且的横坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵的面积等于3， ∴， ∴， 解得，． （3）解：由（2）知， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为4． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数，以及二次函数与三角形综合，三角形面积求法，待定系数法．在直角坐标系中“三角形的面积=水平宽铅垂高”是常用的方法． 题型14二次函数与特殊三角形的综合问题 1．如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”， 称为“抛物线三角形系数”，若抛物线三角形系数为的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，则b的值（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，待定系数法求二次函数解析式，读懂题目信息，理解“抛物线三角形”的定义是解题的关键．把抛物线三角形系数代入抛物线，令，求出与轴的交点为，，再求出顶点坐标，然后根据等腰直角三角形的斜边上的高线等于斜边的一半列出方程求解即可得到b的值． 【详解】解：∵抛物线三角形系数为， ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， 令，则， 解得， ∴与轴的交点为，， ∵“抛物线三角形”是等腰直角三角形， ∴， ∴或， ∵时，抛物线与x轴只有一个交点， ∴不符合题意， ∴或， 故选：A． 2．如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，过M点作于H点，如图，先确定，设，易得为等腰直角三角形，所以，则或，利用M点纵坐标的表示方法得到即或，然后分别解方程求出m，从而得到M点的坐标． 【详解】解：过M点作于H点，如图， 当时，， ∴， 设， ∴是以为直角的等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴或， 即或， 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 综上所述，M点的坐标为或． 故选：C． 3．在等腰直角三角形中，，点在抛物线上，点在轴上，两点的横坐标分别为1和的值为__________． 【答案】2 【分析】先求得，接着过点作轴于点，过点作轴于点，证明，得到，，那么，结合点坐标得到，然后解方程算得答案即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， 两点的横坐标分别为1和， ∴，， ∴， 如图所示：过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，通过构造“型全等”三角形，结合点在抛物线上的坐标关系建立方程求解是关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与轴交于、两点，与轴交于点． (1)点的坐标为_____，点的坐标为_____． (2)连接，求的面积． (3)线段上有一动点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，当线段最大时求点的坐标． (4)点为轴上一点，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)6 (3)点的坐标为 (4)点的坐标为或或或 【分析】（1）令，解方程，求出的值即可； （2）求出点的坐标，运用三角形面积公式可求解； （3）如图2，运用待定系数法求出直线的解析式．设点P的横坐标为t，从而可以用t的代数式表示出的长，然后利用二次函数的最值性质就可解决问题． （4）由于为等腰三角形，分别以，和三种情况进行讨论，通过边相等建立等量关系，就可以求出点M的坐标． 【详解】（1）解：抛物线方程为，令，得， 解得：，， 由图知，点在点的左侧， ∴，； （2）解：令，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：设直线的解析式为， 把，代入解析式得：， 解得， ∴直线的解析式为， 设点P的横坐标为t，则， 又， ∴， ∴， ∵， ∴二次函数的图象开口向下， ∴当时，取最大值，此时点的坐标为； （4）解：设， ∵，， ∴，，； ∵是等腰三角形， ∴分三种情况讨论： ①当时，， 解得， ∴； ②当时，， 解得或, ∴或； ③当时，， 解得或（不合题意，舍去） ∴, 综上，点的坐标为或或或． 题型15二次函数与特殊四边形的综合问题 1．如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，抛物线经过顶点．若，则菱形的面积为（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和菱形的性质，过点作轴交轴于点，连接，设，根据，求得点的坐标，进而求得菱形的边长，根据菱形的性质，即可求解． 【详解】过点作轴交轴于点，连接， ∵ ∴ ∴，， ∵抛物线经过顶点 ∴设， ∴ ∴ 解得：或（舍去） ∴， ∴, ∵菱形， ∴， 设，则，， 在中， ∴ 解得： ∴ ∴菱形的面积为 故选：A． 2．如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，分别过A，两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质得出，即可解决问题． 【详解】解：分别过点A和点作轴的垂线，垂足分别为和， 将A，两点的横坐标代入函数解析式得， 点坐标为，点坐标为， ∴，，，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 3．如图，正方形的边在轴上，，定义：若某个抛物线上存在一点，使得点到正方形四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形的“友好抛物线”若抛物线是正方形的“友好抛物线”，则的值为__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查正方形的性质，抛物线的性质，确定出到四个点距离相等的点的位置是解题的关键． 到四个点距离都相等的点为的交点，求出点的坐标，将点的坐标代入二次函数解析式，求出的值即可． 【详解】解：连接交于点， 由题意得，抛物线必经过点， 在正方形中，，， ， 则的交点， ∵在抛物线上， ， 整理得，即， 或 解得或． 故答案为：或． 4．在平面直角坐标系中（如图所示），已知某抛物线的表达式为．沿着x轴的正方向看，点M在抛物线的上升部分，设直线与x轴的夹角为． (1)如果，，求该抛物线的表达式； (2)已知点N在抛物线的下降部分，且． ①求的值； ②平移抛物线，使新抛物线的顶点落在线段上，且新抛物线与y轴交于点C．已知点M的纵坐标为1，当四边形是以为腰的等腰梯形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①② 【分析】本题主要考查一次函数性质、二次函数综合、三角函数和坐标系中两点间距离，正确做出辅助线，利用数形思想是解题的关键． （1）以锐角三角函数定义为突破口，由得点 横、纵坐标的比例关系，结合​用勾股定理求出点坐标，再通过待定系数法代入抛物线表达式，即可求出解析式； （2）①通过作平行线拆分，得到两个相等的角，利用的定义列等式，推导出 、 两点的横坐标数量关系，再通过勾股定理计算线段长度，最终求得​的定值； ②先由点纵坐标简化 、坐标，求出直线解析式；再利用等腰梯形 “对边平行、腰长相等” 的性质确定点坐标；最后结合平移后抛物线的顶点式，联立方程求解，即可得到顶点的坐标． 【详解】（1）解：设 ，则 ， ∴， 又，代入， ， 解得，则， ∴． 把代入， ，， ∴抛物线表达式为：． （2）解：①过点作轴（点在点左侧），则轴，设于轴交于点，，过点作于点． 设（，在抛物线上升部分）， ∵轴， ∴， ∵， ∴，即平分． 在中，， 设（，在抛物线下降部分）， 在中，， ∴， ， ∴， 即点坐标为． ∴， ∴． ② ∵点的纵坐标为 1，即， ∴，， 由①的结论，， ∴， 设直线的解析式为， 代入、， ， 两式相减得 ∴​， 代入得， 因此直线的解析式为：． ∵四边形是以为腰的等腰梯形， ∴， 的坡度为， 设（在轴上），的坡度为， 由平行得坡度相等得：， ∴， 即． 设平移后抛物线的顶点为， 则平移后的抛物线为， 抛物线与轴交于， 代入得： ， 又∵在直线上， ∴， 将​，代入得：， 设​，方程简化为，由求根公式得： ， 因在线段上，，， ∴，即， ∴舍去， ∴， 即， ∵等腰梯形两腰相等， ∴，， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 点的坐标为． 题型16二次函数与相似三角形综合问题 1．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，连结，．在轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似，则满足条件的所有点的坐标为（　　） A．， B．， C．，， D．， 【答案】D 【详解】解：设抛物线的对称轴交轴于点，由题可知， ，，，，，，， ∵，，∴，， 又，∴，， 则①当时，，即，， ∴点在点左侧，此时， ②当时，，即，， ∴点在点左侧，此时， 综上，在轴上有两点，，满足题意．故选D． 【点睛】此题主要考查了用待定系数法确定函数解析式的方法、相似三角形的判定和性质、以及等腰三角形的构成情况等重要知识点，要注意的是分类讨论的数学思想，所以考虑问题一定要全面，以免漏解． 2．如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交y轴于点A，过A作轴，交抛物线于点B，连接．点P为抛物线上上方的一个点，连接，作垂足为H，交于点Q．当时，点P的坐标为 _____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题；先求得点，令，求得的长，证明，则，即可求解． 【详解】解：对于，令，则， 故点， 令，解得或， 故点， 故； 设， 轴，， ， ， ， 故， ， 解得． ∴； 故答案为：． 3．在同一平面内，直线与抛物线 交于A、B两点，设 （1） _______； （2）若点，且与不垂直，则k的取值范围是：_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与一次函数图象的交点问题，相似三角形的判定与性质，解题时要能将问题转化成一元二次方程问题解决是关键． （1）将问题转化成一元二次方程问题去解决即可得解． （2）假设与垂直，连接，则，过点N作轴，作于点E，作于点F，证明得，把（1）中相关结论代入求出k的值，然后根据与不垂直可得k的取值范围． 【详解】解：（1）由题意，联列方程组， ∴， ∴， ， ∴满足方程；满足方程， 依据根与系数的关系得，，，，； （2）假设与垂直，连接，则，过点N作轴，作于点E，作于点F， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与不垂直， ∴． 故答案为：（1）；（2）． 4．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点、点C，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标，并求 出周长的最小值； (3)在（2）的条件下，线段上是否存在点E，使以C、P、E为顶点的三角形与三角形相似？若存在写出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在以C、P、E为顶点的三角形与三角形ABC相似，点E的坐标为：， 【分析】（1）将、的坐标代入解析求解即可； （2）连接，由勾股定理得，要使的周长最小，只要最小，则，当且仅当P，B，C三点共线时等号成立，即可求解； （3）分类讨论：当时，当时，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 故二次函数的解析式为； （2）解：令，即， 解得或， 则二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标． 连接， 则， 要使的周长最小，只要最小． 是对称轴上一点，且点A与点C关于对称轴对称， 则， 则，当且仅当P，B，C三点共线时等号成立， 因而与对称轴的交点P就是所求的点． 设直线的解析式为， 根据题意，可得：， 解得， 所以直线的解析式为； 联立，解得， 故所求的点P的坐标为， 此时的周长即为； （3）解：存在． ，， ， ，， ， ，， ， 当时， ， ， 解得：， ； 当时， ， ， 解得：， ， 故E点坐标为：， 综上所述：存在以C、P、E为顶点的三角形与三角形相似，点E的坐标为：，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4二次函数的图象与性质中考复习讲义 考点、考情分析 一、核心考点 1.熟练掌握二次函数一般式、顶点式、交点式三种形式，牢记a≠0； 2.掌握a、b、c、△的几何意义，能判断抛物线开口、对称轴、交点个数及基础图像性质； 3.熟知抛物线平移、对称变换规律。掌握二次函数与方程、不等式的数形结合解法； 4.熟练应对函数与几何、动点、面积综合压轴题型，会建立函数模型解决实际最值问题，注意自变量取值范围。 二、考情分析 1. 题型分值：二次函数为中考重点难点，分值约8-14分，覆盖选择、填空、解答全题型，常作为压轴题考查。 2. 难度分布：基础题侧重公式、图象性质基础判断；中档题侧重图象变换、方程不等式综合；难题侧重动点、几何综合、区间最值等压轴问题。 3. 命题特点：核心考查数形结合思想，注重图象与解析式互化，多与几何图形、实际应用综合命题，综合性强、区分度高。 题型归纳 题型1二次函数的定义 题型2二次函数的图象和性质 题型3二次函数图象与各项系数符号 题型4一次函数、二次函数图象综合判断 题型5两个二次函数图象综合判断 题型6根据二次函数的对称性求函数值 题型7二次函数的最值问题 题型8二次函数与x轴交点问题 题型9二次函数与不等式 题型10二次函数图象的平移 题型11二次函数中的线段周长问题 题型12二次函数中的角度问题 题型13二次函数中的面积问题 题型14二次函数与特殊三角形的综合问题 题型15二次函数与特殊四边形的综合问题 题型16二次函数与相似三角形综合问题 考点梳理 考点一、二次函数的相关概念 1.二次函数的定义：一般地，形如 (a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2.二次函数的一般式： (a≠0，其中a，b，c是常数). 3.二次函数的3种特殊形式：（1）当b＝0时， （2）当c＝0时， （3）当b＝0且c＝0时， 考点二、二次函数的常见表达式： 名称 解析式 前提条件 相互联系 一般式 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2) 一般式化为顶点式，交点式，主要运用配方法，因式分解等方法. 顶点式 当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式. 交点式 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式. 考点三、二次函数的图像与性质 一﹑二次函数的图像与性质 图像特征 二次函数的图像是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 图像 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.      【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 易错 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围. 考点四、二次函数的图象变换 1.二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 2.二次函数图象的对称变换 变换方式 变换后 口诀 关于x轴对称 x不变，y变-y 关于y轴对称 y不变，x变-x 关于原点对称 x变-x，y变-y 考点五、二次函数与各项系数之间的关系 1. 二次函数的图像与a，b，c的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向， a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)． a<0 开口向下 b b=0 对称轴是y轴，即=0 左同右异中间0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即 c c=0 图像过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 与x轴有两个交点 的正负决定抛物线与x轴交点个数 与x轴有唯一交点 与x轴没有交点 考点六、二次函数与方程﹑不等式 1. 二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 求二次函数的图像与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程。 因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 与x轴交点个数 图像 与x轴的交点坐标 根的情况 ＞0 抛物线 与x轴交于， 两点 一元二次方程 有两个不相等的实数根 2个交点 ＝0 抛物线与x轴交于这一点 一元二次方程 有两个相等的实数根 1个交点 ＜0 抛物线 与x轴无交点 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 0个交点 2、二次函数与不等式的关系 二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下(）： 图像 有两个交点 有1个交点 无交点 判别式 △＞0 △＝0 △＜0 △＞0 △＝0 △＜0 或 的全体实数 全体实数 无解 无解 或 无实根 或 无实根 无解 无解 或 的全体实数 全体实数 核心考点解析 题型1二次函数的定义 1．下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．已知二次函数，则一次项系数__________ 4．写出下列各函数关系式，并判断它们是什么类型的函数． (1)圆的面积与它的周长之间的关系式； (2)菱形的两条对角线长的和为26cm，求菱形的面积与一对角线长之间的关系式． 题型2二次函数的图象和性质 1．已知二次函数，那么它的图像大致为（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的y与x的部分对应值如表： 下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线；③当时，；④方程有两个相等的实数根．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，已知抛物线过点和点． (1)求该抛物线的函数关系式； (2)已知点是上方的抛物线上一点，作轴于点，求的最大值； (3)当，函数有最小值为0，求的值． 4．下列关于抛物线的叙述，正确的是（  ） A．开口向下 B．抛物线的顶点一定在第三象限 C．当时，随的增大而减小 D．与轴正半轴可以相交 题型3二次函数图象与各项系数符号 1．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为．以下结论正确的是（  ） A． B． C． D． 2．已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标，其部分图象如图所示，甲乙丙丁四位同学分别写出了下列结论： 甲：；                乙：； 丙：抛物线的顶点坐标为；        丁：当时，随增大而增大． 其中结论正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．如图，在二次函数的图像中，顶点的纵坐标为1．下列结论：①②③④⑤关于x的一元二次方程无实数根．其中，正确结论的序号是_________． 4．已知二次函数的图象如图所示，根据图象提供的信息解答问题． (1)请确定的正负． (2)请判断一次函数的图象所经过的象限，并说明理由． 题型4一次函数、二次函数图象综合判断 1．已知一次函数与反比例函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A．B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为，则一次函数与反比例函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 3．如图，抛物线与直线交于A、B两点，则的解集是________． 4．在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，记点M与点N之间的距离为m，当M与N重合时，． ①若，求t的值； ②若对于，都有，求a的取值范围． 题型5两个二次函数图象综合判断 1．如图，抛物线与抛物线交于点，过点A作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于B、C两点，若点B是的中点，则（   ） A． B．3 C． D．9 2．抛物线y1＝（x-h）2＋k与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是： ①；②点（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝． A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④ 3．已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为_______． 4．在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线G．    (1)求抛物线G的对称轴及其图象与轴的交点坐标； (2)如果抛物线与抛物线G关于轴对称，直接写出抛物线的表达式； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记抛物线G与抛物线围成的封闭区域（不包括边界）为W． ①当时，直接写出区域W内的整点个数； ②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，求的取值范围． 题型6根据二次函数的对称性求函数值 1．二次函数的图象上有两点，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．如图，已知抛物线经过点，且对称轴为直线．给出以下结论：①；②；③；④无论a，b，c取何值，抛物线一定经过点．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 3．已知点是抛物线上一动点． （1）当点M到y轴的距离不大于2时，b的取值范围是________； （2）当点M到直线的距离不大于时，b的取值范围是，则的值为________． 4．已知二次函数（为常数）． (1)若点在该函数图象上，求的值； (2)证明：该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图象上有不重合的两点，，且，直接写出的值． 题型7二次函数的最值问题 1．已知，，则下列说法正确的是（  ） A． B．当时，的最小值为 C． D．当时，的最小值为 2．我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了如图所示的“鹊桥”函数的图象，下列结论正确的是（   ） A．图象的对称轴是 B．当且仅当时，随的增大而增大 C．若则 D．若，则（m为任意实数） 3．已知抛物线，当 时，函数值y的取值范围是_______ 4．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点 (1)求该抛物线的解析式； (2)设点在抛物线上，点在抛物线上，设． ①求W与的函数关系式； ②当时，W的最小值为3，求m的值． 题型8二次函数与x轴交点问题 1．把二次函数的图象向上平移1个单位长度．如果平移后所得抛物线与x轴有且只有一个公共点，那么m的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的两个交点分别为，．则下列说法正确的是（  ） A．对称轴为直线 B． C．当时，随的增大而增大 D． 3．已知二次函数的图象与坐标轴有且只有2个公共点，则的值为__________． 4．二次函数的图象与轴交于点． (1)求证：抛物线与轴总有两个不同交点； (2)若抛物线过点，求函数解析式及顶点坐标； (3)当时，函数最小值为，求的值． 题型9二次函数与不等式 1．下表中是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值∶ x … 0 1 3 … y … 6 … 下列结论∶① 这个函数图象开口向上；② 抛物线的对称轴为直线；③ 当时，函数值y随x的增大而增大；④ 不等式的解集是或；⑤ 这个函数的最小值等于．其中正确的结论有（  ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，直线与抛物线交于两点，且点的横坐标是，点的横坐标是3，则以下结论： ①； ②时，直线与抛物线函数值都随着的增大而增大； ③当时，； ④有可能成为等边三角形； ⑤的解集为； 其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②⑤ C．②③④ D．①②④⑤ 3．已知二次函数与一次函数 ，二次函数图象过点，则不等式的解集为_____． 4．如图，已知二次函数图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的取值范围； (3)当时，利用图象，直接写出的取值范围． 题型10二次函数图象的平移 1．在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数）先向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度后，抛物线的顶点坐标为，则，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．将二次函数的图象先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，平移后所得图象的解析式是（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线，将其向右平移n个单位，使平移后所得的抛物线与坐标轴恰好只有两个公共点，那么n的值是______． 4．如图，在平面直角坐标系中，，，抛物线交轴于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)当时，求的取值范围； (3)连接，若二次函数的图象向上平移个单位长度时，与线段有一个公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围为________． 题型11二次函数中的线段周长问题 1．如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴交抛物线于点B，连接．动点P在线段上，连接，则的最小值为（   ） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 2．已知二次函数的图象的顶点为，在轴上方的抛物线上有两点，点和点连接．过点作轴的垂线，交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点，点Q是对称轴上一动点． （1）_________． （2）当的周长最小时，则_________． 4．已知抛物线与x轴交于，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点，D为对称轴与x轴的交点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，在x轴的上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点，且为等腰直角三角形． （i）求的面积； （ii）点为该抛物线段上一动点，过点G作轴，与直线相交于点N，直接写出线段取得最大值时p的值． 题型12二次函数中的角度问题 1．已知抛物线与轴负半轴交于点，抛物线的顶点为，对称轴与轴的交点为，当时，的值为（   ） A． B．1 C． D．2 2．如图，已知抛物线的图象交轴于，两点（点在点左侧），点在第二象限的抛物线上，连接，且，则点的坐标为______． 3．如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，为坐标原点．点为轴上的动点，当点运动到使时，的长度为______． ∵， ∴， 在上截取，则， 在中，， 在中，， ①当在轴上半轴上时，， 4．如图，抛物线，顶点为，该抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)证明为直角三角形； (3)求与的差． 题型13二次函数中的面积问题 1．如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线段扫过的面积为20（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（   ）   A． B． C． D． 2．如图，二次函数的图象交轴于点，点，与轴交于点，下列结论：①；②当时，随的增大而增大；③；④；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．直线与抛物线交于、两点，点在抛物线上，若三角形的面积为，求点的坐标____________． 4．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点是线段上的动点（与点B，C不重合），连接并延长交抛物线于点，连接，，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)当的面积等于3时，求的值； (3)在点运动过程中，是否存在值使得的面积最大？若存在，求出值；若不存在，请说理由． 题型14二次函数与特殊三角形的综合问题 1．如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”， 称为“抛物线三角形系数”，若抛物线三角形系数为的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，则b的值（    ） A． B． C．2 D．3 2．如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 3．在等腰直角三角形中，，点在抛物线上，点在轴上，两点的横坐标分别为1和的值为__________． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与轴交于、两点，与轴交于点． (1)点的坐标为_____，点的坐标为_____． (2)连接，求的面积． (3)线段上有一动点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，当线段最大时求点的坐标． (4)点为轴上一点，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 题型15二次函数与特殊四边形的综合问题 1．如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，抛物线经过顶点．若，则菱形的面积为（   ） A． B．2 C．4 D． 2．如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，正方形的边在轴上，，定义：若某个抛物线上存在一点，使得点到正方形四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形的“友好抛物线”若抛物线是正方形的“友好抛物线”，则的值为__________． 4．在平面直角坐标系中（如图所示），已知某抛物线的表达式为．沿着x轴的正方向看，点M在抛物线的上升部分，设直线与x轴的夹角为． (1)如果，，求该抛物线的表达式； (2)已知点N在抛物线的下降部分，且． ①求的值； ②平移抛物线，使新抛物线的顶点落在线段上，且新抛物线与y轴交于点C．已知点M的纵坐标为1，当四边形是以为腰的等腰梯形时，求点的坐标． 题型16二次函数与相似三角形综合问题 1．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，连结，．在轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似，则满足条件的所有点的坐标为（　　） A．， B．， C．，， D．， 2．如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交y轴于点A，过A作轴，交抛物线于点B，连接．点P为抛物线上上方的一个点，连接，作垂足为H，交于点Q．当时，点P的坐标为 _____________． 3．在同一平面内，直线与抛物线 交于A、B两点，设 （1） _______； （2）若点，且与不垂直，则k的取值范围是：_______． 4．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点、点C，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标，并求 出周长的最小值； (3)在（2）的条件下，线段上是否存在点E，使以C、P、E为顶点的三角形与三角形相似？若存在写出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $