精品解析：江苏连云港市东海县2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试题

2025~2026学年第二学期期中考试 高一数学试题 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点坐标是，则（ ） A. B. 5 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先应用复数的几何意义得出复数，再应用复数加法及模长公式计算求解. 【详解】复数对应的点坐标是，则， 则， 则. 2. 化简，得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用诱导公式及逆用差角正弦公式化简求值即可. 【详解】由，， ∴. 故选：A 3. 设为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的垂直与模长结合充分必要条件的概念判断即可. 【详解】因为为非零向量，若，则， 所以，，则， 反之若，所以， 所以，由于为非零向量，故， 所以，“”是“”的充要条件. 故选：C. 4. 已知向量，，，若，，三点共线，则实数（ ） A. 3 B. C. 2或3 D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】由,，可得，， 若，，三点共线，则，即 解得. 5. 已知，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， 所以，化简可得：， . 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用辅助角公式化简得 ，设，则，进而化简可得，根据二倍角公式即可求解. 【详解】， 设，则， 所以，， 因为， 所以. 故选：A 7. 在中，，是边的中点，是边上靠近的三等分点，与交于点，若，则角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由基底表示，再代入可得，由正弦定理求出，最后由三角形的内角和求角. 【详解】取的中点，连接，因为是边的中点， 所以，又因为，所以， 因为，所以， 所以，， 所以 由可得：，即， 设角的对边分别为，即， 由正弦定理可得：，化简可得：， 因为，所以或（舍去），又因为， 所以. 8. 在中，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式可得，再由正弦定理角化边可得关系，最后利用余弦定理和基本不等式可求得的最小值. 【详解】由可得： ， 所以， 再由正弦定理可得：，则， （当且仅当，即时取等号）， 所以的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设、是方程的两个复数根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据复数范围内的根可得，，结合复数的四则运算以及模长公式求解判断即可. 【详解】由题意得，，不妨设，， 对于A：，所以，A正确. 对于B：，则，B正确. 对于C：，C错误. 对于D： ，D错误. 10. 在表达式有意义的条件下，下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据两角和与差的正弦、余弦、正切公式，结合二倍角公式及三角函数的平方和关系化简求解即可. 【详解】对于A： ，A正确. 对于B： ，B错误. 对于C： ，C正确. 对于D：因为， 所以，即， 所以，D正确. 11. 的角，，所对边分别为，，，若，，则（ ） A. B. 面积的最大值为 C. 外接圆半径为2 D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由同角三角函数的商数关系和正弦定理化简可求得可判断A；由三角形的面积公式和基本不等式可判断B；由正弦定理求出外接圆半径可判断C；由数量积的定义和正弦定理化简，再由正弦函数的性质求最大值可判断D. 【详解】对于A，由可得： ，所以， 则， 即，再由正弦定理可得， 因为，所以， 所以，因为，所以，故A错误； 对于B，由余弦定理可得：， 当且仅当时取等，所以， 面积为，当且仅当时取等， 所以面积的最大值为，故B正确； 对于C：设外接圆半径为，， 则，外接圆半径为2，故C正确； 对于D，由正弦定理可得：， ，当，此时，即时， 取得最大值，为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，， 所以，， 则在上的投影向量的坐标为. 13. 已知，若，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】设，，， 因为， 所以， 所以复数在复平面对应的点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 所以表示到原点的距离， 则最小值为. 14. 在平面凸四边形中，，，，则四边形面积的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】在和中由余弦定理表示出，可得，再求出凸四边形ABCD面积，由此求出的面积的最大值，进而求出的最大值. 【详解】连接，在和中，， ， 所以， 设凸四边形ABCD面积为， 所以， 所以 ， 所以当时，有最大值，即有最大值， 所以S的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，满足，，与的夹角为. （1）求； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将平方求模长； （2）根据垂直关系的向量表示求解. 【小问1详解】 因为，所以， ， ， . 【小问2详解】 由得 ， 解得：. 16. 已知，，.求： （1）的值： （2）的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系结合角的象限，求出、，再代入两角差的正弦公式计算的值，再由倍角公式求出. （2）由两角和的余弦公式求，根据角的范围确定的值. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以， 则， 同理，所以， 所以 ， 所以， 所以. 【小问2详解】 ， 因为，所以，所以. 17. 在中，已知，. （1）求角； （2）求边上的中线的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理角化边可得，再由余弦定理直接求解即可； （2），两边平方化简，由余弦定理得，代入上式化简再结合基本不等式可求得结果. 【小问1详解】 由正弦定理可得：，则， 由余弦定理可得：， 因为，所以. 【小问2详解】 因为， ， 在中，由余弦定理得， 即，所以， 当且仅当时，等号成立，       又因为，则， 故有， 从而，故的最大值为. 18. 在中，，，，点，分别是边和上的动点. （1）求的面积； （2）若点，分别是边和的中点，求； （3）是否存在定点，使为定值？若存在，求出该定值，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在满足，使得为定值. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求出，再由面积公式求解即可； （2）分别求出，再由数量积的运算律求解即可； （3）设，再由数量积的定义化简，当时，即可得出答案. 【小问1详解】 由余弦定理可得：，因为， 所以，所以， 所以的面积为. 【小问2详解】 ， ， 【小问3详解】 设， 则，， ， 若存在定点，使为定值，则其值与无关，故的系数为， 则，即， 解得：，此时， 故存在满足，使得为定值. 19. 已知单位圆的圆心为，点、是单位圆上的两个不同定点.动点在单位圆上，且满足. （1）求； （2）求的取值范围； （3）设直线交直线于点，，，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合数量积的运算律可得. （2）解法二：建系标点，设，结合三角恒等变换可得，结合三角函数分析求解； （3）建系，利用坐标运算可得，结合三角函数最值分析求解. 【小问1详解】 因为， 可得， 又因为为锐角，则，可得. 【小问2详解】 以为原点，以为轴，建立直角坐标系， 则， 可得， 则 ， 且，则， 可得，即， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 因为 ，且三点共线， 直线可表示为，点在直线上， 则，可得， ，， ，则， 可得 ， 可知当时，取得最大值， 此时取得最小值， 所以的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期期中考试 高一数学试题 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点坐标是，则（ ） A. B. 5 C. D. 8 2. 化简，得（ ） A. B. C. D. 3. 设为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量，，，若，，三点共线，则实数（ ） A. 3 B. C. 2或3 D. 或 5. 已知，则（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，是边的中点，是边上靠近的三等分点，与交于点，若，则角等于（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设、是方程的两个复数根，则（ ） A. B. C. D. 10. 在表达式有意义的条件下，下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 的角，，所对边分别为，，，若，，则（ ） A. B. 面积的最大值为 C. 外接圆半径为2 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为__________. 13. 已知，若，则的最小值为__________. 14. 在平面凸四边形中，，，，则四边形面积的最大值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，满足，，与的夹角为. （1）求； （2）若，求实数的值. 16. 已知，，.求： （1）的值： （2）的值. 17. 在中，已知，. （1）求角； （2）求边上的中线的最大值. 18. 在中，，，，点，分别是边和上的动点. （1）求的面积； （2）若点，分别是边和的中点，求； （3）是否存在定点，使为定值？若存在，求出该定值，若不存在，说明理由. 19. 已知单位圆的圆心为，点、是单位圆上的两个不同定点.动点在单位圆上，且满足. （1）求； （2）求的取值范围； （3）设直线交直线于点，，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $