精品解析：2026年湖北省宜昌市夷陵区官庄初级中学 九年级数学试题

九年级数学试题 一、选择题（在各小题给出的四个进项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号．本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图所示，a、b、表示有理数，则、、的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴上的各数右边的数总比左边的大进行比较即可． 【详解】因为数轴上的数右边的总比左边的大， 所以从左到右把各字母用“＜”连接为：b<a<c． 故选C． 【点睛】考查的是数轴的特点及有理数的大小比较，由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 2. 下列立体图形的俯视图为圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据各个几何体的俯视图的形状进行判断即可． 本题考查简单几何体的三视图，掌握各种几何体三视图的形状是正确判断的前提． 【详解】解：选项中只有球的俯视图是圆， 故选：B． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂相除，完全平方公式，积的乘方，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、与不是同类项，不能直接相减，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 4. 一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积，结合选项判断正确答案. 【详解】解：对于方程 ，设其根为和， 根据根与系数的关系： ∴，； 故选：D 5. 如图，直线，若∠1＝52°，则∠2的度数为（ ） A. 152° B. 138° C. 128° D. 142° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由邻补角的定义即可得出结论． 【详解】解：∵直线ab，∠1=52°， ∴∠2=180°52°=128°． 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等． 6. 如图，是一个可以自由转动的转盘，转动该转盘，当转盘停止时，指针落在的区域可能性最大的是（ ） A. 红色区域 B. 黑色区域 C. 黄色区域 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何概率的定义，面积越大，指针指向该区域的可能性越大． 【详解】解：∵ 黑色区域在转盘中所占的面积最大，  ∴ 指针落在黑色区域的可能性最大， 故选：B． 7. 如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为（　　） A. 30米 B. 32米 C. 36米 D. 48米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，关键是由三角形中位线定理得到． 【详解】解：∵D、E分别是、中点， ∴是的中位线， ∴， ∵米， ∴米， ∴A、B两点间的距离为32米． 故选：B 8. 某种蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用此电源时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则当时，R的值是（ ） A. 2.4 B. 5 C. 12 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，先将代入求出反比例函数解析式，再将代入解析式，求出对应的R的值． 【详解】解：设电流I与电阻R的解析式为， 将代入，得：， 解得， 当时，， 故选A． 9. 如图，在中，以为直径的经过点C，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，画射线分别交弦、劣弧于点D、E，连接．下列结论正确的是（ ）． A. B. C. 点D为弦中点 D. 点E为劣弧的中点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作图、圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据作图推出，得出，即可作答． 【详解】解：由作图可知， ∴，即点为劣弧的中点． 故选：D． 10. 已知二次函数的图象如下图所示，对称轴为直线，经过点，下列结论：①，②，③对任意实数，都有，④当时，随的增大而增大，其中，正确的结论有（） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】由图象可得，当时，，得到，即可判断结论①；根据二次函数图象的对称轴为直线，经过点，得到图象与x轴的另一交点为，因此，又当时，，由①②即可判断结论②；根据二次函数的最大值为，即可判断结论③；根据函数的增减性即可判断结论④． 【详解】解：由图象可得，当时，， ∴，故结论①错误； ∵二次函数图象的对称轴为直线，经过点， ∴图象与x轴的另一交点为， ∴， 由图象可得，当时，， 由①②得， ∴，故结论②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴二次函数的最大值为， ∴对任意实数，都有， ∴，故结论③正确； ∵当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴结论④错误． 综上所述，正确的结论是②③，共2个． 二、填空题（请将答案写在答题卡上指定位置．本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，二次根式的被开方数为非负数求解即可． 本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：二次根式有意义， 故， 故， 故答案为：. 12. 化简的结果为____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据同分母分式的减法法则计算，再对分子因式分解，约分后即可得到结果． 【详解】解：． 13. 中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远，《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著，实验中学拟从这4部数学名著中选择两部作为校本课程“数学文化”的学习内容，则学校恰好选中《周髀算经》的概率为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：设4本名著分别为、、、，列表如下： 由表可知，共有种等可能的结果，其中学校恰好选中《周髀算经》的结果有种，   学校恰好选中《周髀算经》的概率为 14. 已知点和是反比例函数（为常数，）图象上的两点，当时，，则的值可以是_____．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据给定的x与y的大小关系判断反比例函数比例系数的符号，得到k的取值范围，即可写出符合条件的k值． 【详解】解：∵当时，， ∴ 在时，随的增大而减小， 根据反比例函数的性质，可得反比例函数的比例系数， 解得， ∴ 可以取任意小于的数， ∴ 的值可以是1（答案不唯一）． 15. 如图，在中，，点是边的中点，连接，将沿翻折至，交于点，连接．若，则（1）的长为____；（2）的面积为___． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据折叠的性质和中点的定义得出，可得是等边三角形，求出，，利用锐角三角函数求出和，证明利用相似三角形的性质求出，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：由折叠得，，，，， 点是边的中点， ， ， ，即是等边三角形， ， ， ，， ， 在中，，， 则，； ， ， ， ，即， ， ，则， ，， 的面积为：． 三、解答题（本题共9小题，共5分，请将答案写在答题卡上指定的位置） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、实数的运算．先根据零指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值、绝对值的定义计算，再合并即可． 【详解】解： ． 17. 如图，在中，是对角线上的两点，连接．若______，则四边形是平行四边形．请从；；这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】 选择， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 选择，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 选择无法得出四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，根据；；逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】略 18. 如图，湖中一古亭，湖边一古柳，一沉静，一飘逸、碧波荡漾，相映成趣．某活动小组赏湖之余，为了测量古亭与古柳间的距离，在古柳A处测得古亭B位于北偏东60°，他们向南走50m到达D点，测得古亭B位于北偏东45°，求古亭与古柳之间的距离AB的长（参考数据：，，结果精确到1m）． 【答案】古亭与古柳之间的距离的长约为 【解析】 【分析】过点作的垂线，交延长线于点，设，则，分别在和中，解直角三角形求出的长，再建立方程，解方程可得的值，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作的垂线，交延长线于点， 由题意得：， 设，则， 在中，， 在中，，， 则， 解得， 则， 答：古亭与古柳之间的距离的长约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． 19. 2025年11月25日搭载神舟二十二号飞船的长征二号遥二十二运载火箭成功发射，我国航天再添辉煌，让我们看到了科技进步的力量．实验中学为了了解本校学生对航天科技的关注程度，组织八、九年级学生进行航天科普知识竞赛（满分100分），并分别从两个年级中随机抽取了20名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为四组：），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的成绩是：． 九年级20名学生的成绩在组中的数据是：． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 89 90 九年级 89 92 九年级抽取学生的竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________；__________，__________； （2）根据以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好？请说明理由；（写一条） （3）若该校八年级有500人，九年级有600人，且得分在90分及以上为优秀，请估计这两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生人数． 【答案】（1），， （2）八年级的成绩更好， 理由为： 因为八年级成绩的中位数为，九年级成绩的中位数为，由于，所以八年级的成绩更好； （3）两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生人数为人 【解析】 【分析】本题考查统计图的应用、众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键． （1）先求出九年级C组占比，进而即可得出m的值，根据众数和中位数的定义即可得出a、b的值； （2）可从平均数、众数、中位数角度分析解答； （3）利用样本估计总体解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 在八年级的成绩中出现次，次数最多， 故； 九年级成绩中D组人数为人， 中位数应是排列后居于第位和位数据的平均数，即； 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：人， 答：两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生人数为人． 20. 把正整数1，2，3，4，……排成如下一个数表． （1）2026在第______行，第_____列； （2）第行第3列的数是_____（用含的代数式表示） （3）嘉嘉和淇淇玩数学游戏，嘉嘉对淇淇说：“你从数表中挑一个数，按如图所示的程序计算，只要你告诉我所得的数在第几行，我就知道你挑的数在第几行．”你认为嘉嘉说得有道理吗？请说明理由． 【答案】（1）254，2 （2） （3）解：有道理，理由如下： 根据计算程序，可得：， 所以当知道数y在第几行时，则x必在它的上一行， 所以嘉嘉说得有道理． 【解析】 【分析】（1）从图中可以得出规律，每一行共有8个数，每行最后的数是8的倍数，从而可进一步得出答案； （2）由题意可知第n行第8列是，然后可以进一步推出答案； （3）按照程序写出代数式，再化简即可得出答案. 【小问1详解】 解：由图中可以得出规律，每一行共有8个数，每行最后的数是8的倍数， ∵， ∴2026在第254行，第2列； 【小问2详解】 解：第n行第3列的数是：； 【小问3详解】 略 21. 如图，内接于，点D为的中点，连接、，平分交于点E． （1）求证：； （2）如图2，若经过点O，过点D作的切线交的延长线于点F，若，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵平分交于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，得，则，因为，所以，即可证明，则； （2）证明，得，得，证明是等边三角形，得，，再证明，得，，由勾股定理得，求出，，从而求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵点D为的中点， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的切线， ∴，即， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、角平分线定义、切线的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、求扇形面积等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 22. 跨学科主题学习活动中，小明同学对“小球在水平轨道上滚动距离随运动时间变化的关系”开展深入探究，小明先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务． 【设计实验方案】 如图1，一个黑色小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到水平木板A点处开始，用仪器测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s），滚动距离y（单位：cm）的数据． 【收集数据】 运动时间x/s 0 2 4 6 8 10 … 滚动距离y/cm 0 26 48 66 80 90 … 【建立模型】 根据表格中的数值，在图2的平面直角坐标系中描点，连线，通过观察图象发现，可以用二次函数近似的表示y与x的函数关系． （1）直接写出y与x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； 【应用模型】 （2）求小球在水平木板上滚动的最大距离； （3）若小球到达木板A点处的同时，在前方cm处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，则小球能否追上小车？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）能追上小车， 根据题意，小车运动的路程为：， 则， 解这个方程，得，． 由（2）可知，当时小球停止运动，， 所以当时小球能追上小车． 【解析】 【分析】（1）根据数据特征判断函数类型，利用距离与时间为点的坐标得二次函数关系式； （2）根据二次函数有最大值，求出顶点式即可求解； （3）通过分析黑色小球与小车的位置关系，建立方程，求解并验证是否符合实际运动情况，判断能否追上及对应的时间． 【小问1详解】 解：根据题意，设二次函数的表达式为经过，， 则， 解得, 则y与x的函数关系式． 【小问2详解】 由（1）可知， 所以当时，y 取最大值，最大值为98． 答：小球在水平木板上滚动的最大距离是cm． 【小问3详解】 略 23. 如图，在正方形．中，点在边上，连接，将四边形沿直线折叠，点的对应点分别为点的延长线分别与延长线交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若为的中点，证明：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，分别交于点，求的值． 【答案】（1）证明：四边形是正方形， ， ， 四边形沿直线折叠， ， ， ；； （2）证明：连接，如图： ∵四边形是正方形， ， 四边形沿直线折叠， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ∴； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，根据折叠的性质得到，从而得到，即可得出结论． （2）连接，证明，得到，再根据是的中点，即可得出结论； （3）连接，交于，设，则， 设，先证明，得到，根据勾股定理得到，从而得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图2，连接，交于， 设，则， 设， ∵， ， ， ， 在Rt中，， ， （舍去）或， ， 由（1）知，， ， ， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ． 24. 二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过两点． （1）如图，求二次函数的表达式； （2）如图，点为该二次函数在第一象限内图象上的一点，连接与直线相交于点，连接，若，求点的坐标； （3）定义：若点满足，则称点为“阶融合点”．例如：满足，则称点为一个“阶融合点”．如图，将二次函数的图象轴左侧部分沿过点且垂直于轴的直线翻折，将二次函数的图象第四象限内部分沿轴向上翻折，与二次函数在第一象限内的图象组成新的函数图象（如图中实线部分），若函数图象上有且只有个“阶融合点”，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）点的坐标为或； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数对称轴公式和已知点的坐标列方程组，求解得到，从而确定二次函数的表达式为； （2）先求出点坐标及直线的解析式，先由且两三角形同高，推得线段比；再分别过作轴的平行线，交于两点，利用平行线性质证，得到；接着由点坐标求出点坐标与的长度，设出点坐标并表示出点坐标与的长度；最后代入比例关系列方程求解，再算出对应纵坐标，得到点的坐标； （3）通过分析直线过分段函数的关键点时的值，以及直线与相切时的值，确定出“阶融合点”只有个时的取值范围． 【小问1详解】 解：二次函数，对称轴为直线，且过点， 根据对称轴公式和点坐标列方程：， 解得， 因此二次函数表达式为：； 【小问2详解】 解：∵二次函数的图象与轴交于点， ∴时，，得， 由（）得，，对称轴， ∴， 直线经过两点，设直线的解析式为， ， ∴直线的解析式为， ∵，和同高（到直线的高）， ∴，即， 如图，分别过作轴的平行线，交于两点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 将代入， 得：， ∴， ∴， 设， 则， ， ∵，即， ∴， 解得：， 当时，； 当时，； 因此点的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵“阶融合点”，满足， ∴， ①当过时，； 过时，， 由图可得：当直线与的交点只有个； ②当与相切时：， 整理，得， ， ， ∴时，直线与的交点只有个； 综上，若函数图象上有且只有个“阶融合点”，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 一、选择题（在各小题给出的四个进项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号．本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图所示，a、b、表示有理数，则、、的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 2. 下列立体图形的俯视图为圆的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，若∠1＝52°，则∠2的度数为（ ） A. 152° B. 138° C. 128° D. 142° 6. 如图，是一个可以自由转动的转盘，转动该转盘，当转盘停止时，指针落在的区域可能性最大的是（ ） A. 红色区域 B. 黑色区域 C. 黄色区域 D. 不能确定 7. 如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为（　　） A. 30米 B. 32米 C. 36米 D. 48米 8. 某种蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用此电源时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则当时，R的值是（ ） A. 2.4 B. 5 C. 12 D. 60 9. 如图，在中，以为直径的经过点C，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，画射线分别交弦、劣弧于点D、E，连接．下列结论正确的是（ ）． A. B. C. 点D为弦中点 D. 点E为劣弧的中点 10. 已知二次函数的图象如下图所示，对称轴为直线，经过点，下列结论：①，②，③对任意实数，都有，④当时，随的增大而增大，其中，正确的结论有（） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（请将答案写在答题卡上指定位置．本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 12. 化简的结果为____． 13. 中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远，《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著，实验中学拟从这4部数学名著中选择两部作为校本课程“数学文化”的学习内容，则学校恰好选中《周髀算经》的概率为_____． 14. 已知点和是反比例函数（为常数，）图象上的两点，当时，，则的值可以是_____．（只写一个） 15. 如图，在中，，点是边的中点，连接，将沿翻折至，交于点，连接．若，则（1）的长为____；（2）的面积为___． 三、解答题（本题共9小题，共5分，请将答案写在答题卡上指定的位置） 16. 计算： 17. 如图，在中，是对角线上的两点，连接．若______，则四边形是平行四边形．请从；；这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 18. 如图，湖中一古亭，湖边一古柳，一沉静，一飘逸、碧波荡漾，相映成趣．某活动小组赏湖之余，为了测量古亭与古柳间的距离，在古柳A处测得古亭B位于北偏东60°，他们向南走50m到达D点，测得古亭B位于北偏东45°，求古亭与古柳之间的距离AB的长（参考数据：，，结果精确到1m）． 19. 2025年11月25日搭载神舟二十二号飞船的长征二号遥二十二运载火箭成功发射，我国航天再添辉煌，让我们看到了科技进步的力量．实验中学为了了解本校学生对航天科技的关注程度，组织八、九年级学生进行航天科普知识竞赛（满分100分），并分别从两个年级中随机抽取了20名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为四组：），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的成绩是：． 九年级20名学生的成绩在组中的数据是：． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 89 90 九年级 89 92 九年级抽取学生的竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________；__________，__________； （2）根据以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好？请说明理由；（写一条） （3）若该校八年级有500人，九年级有600人，且得分在90分及以上为优秀，请估计这两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生人数． 20. 把正整数1，2，3，4，……排成如下一个数表． （1）2026在第______行，第_____列； （2）第行第3列的数是_____（用含的代数式表示） （3）嘉嘉和淇淇玩数学游戏，嘉嘉对淇淇说：“你从数表中挑一个数，按如图所示的程序计算，只要你告诉我所得的数在第几行，我就知道你挑的数在第几行．”你认为嘉嘉说得有道理吗？请说明理由． 21. 如图，内接于，点D为的中点，连接、，平分交于点E． （1）求证：； （2）如图2，若经过点O，过点D作的切线交的延长线于点F，若，求阴影部分的面积． 22. 跨学科主题学习活动中，小明同学对“小球在水平轨道上滚动距离随运动时间变化的关系”开展深入探究，小明先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务． 【设计实验方案】 如图1，一个黑色小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到水平木板A点处开始，用仪器测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s），滚动距离y（单位：cm）的数据． 【收集数据】 运动时间x/s 0 2 4 6 8 10 … 滚动距离y/cm 0 26 48 66 80 90 … 【建立模型】 根据表格中的数值，在图2的平面直角坐标系中描点，连线，通过观察图象发现，可以用二次函数近似的表示y与x的函数关系． （1）直接写出y与x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； 【应用模型】 （2）求小球在水平木板上滚动的最大距离； （3）若小球到达木板A点处的同时，在前方cm处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，则小球能否追上小车？请说明理由． 23. 如图，在正方形．中，点在边上，连接，将四边形沿直线折叠，点的对应点分别为点的延长线分别与延长线交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若为的中点，证明：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，分别交于点，求的值． 24. 二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过两点． （1）如图，求二次函数的表达式； （2）如图，点为该二次函数在第一象限内图象上的一点，连接与直线相交于点，连接，若，求点的坐标； （3）定义：若点满足，则称点为“阶融合点”．例如：满足，则称点为一个“阶融合点”．如图，将二次函数的图象轴左侧部分沿过点且垂直于轴的直线翻折，将二次函数的图象第四象限内部分沿轴向上翻折，与二次函数在第一象限内的图象组成新的函数图象（如图中实线部分），若函数图象上有且只有个“阶融合点”，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $