6.2.3 向量的数乘运算 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.3 向量的数乘运算 温州科技高级中学 张明 李邦河院士说：“根据我上大学以后搞数学研究的经验，数学根本上是玩概念，不是玩技巧。技巧不足道也！” 但如果向量仅停留在概念的层面上，那是没有多大意义的。 我们知道数能进行运算，因为有了运算使数的威力无穷。那么向量是否也像数一样能进行运算呢？人们从向量的物理背景及数的运算中得到启发，向量也引进运算。 本节我们就来研究平面向量的运算，探索其运算性质，体会向量运算的作用。 这节课我们来研究向量的数乘。 向量的数乘就是一个实数与向量相乘。这是个新东西，以前没有的。那向量的数乘到底是个什么东西呢？ 同学们，我们学习向量的数乘方法就是类比，类比式的运算。 思考：3、-3是什么东西？ 答：容易知道它们依旧是向量，那大小与方向如何？其实也不难理解。 定义 文字意义 几何意义 3a 3 -3a -（a+a+a) 结果：3a的相反数 -3 3的相反向量 答：隐含的意义不同，结果都记住 。 注：如果规定某个东西，这说明这个东西本来是没有的。 1、规定 2、。 3、问、-3、-3 隐含的意义相同吗？如果相同结果一样吗？ 湖南省长沙市一中卫星远程学校 一般地，实数λ与向量的积是一个向量， 这种运算叫做向量的数乘运算，记作λ， 它的长度和方向规定如下： (1) |λ|=|λ| || (2) 当λ>0时,λ的方向与方向相同； 当λ<0时,λ的方向与方向相反； 特别地，当λ=0或=时, λ= 由(1)、(2)知(-1) 定义: 1、实数乘法运算律同学们还记得吗？ 设a、b为实数，则： 问：如果把实数a、b改为 运算律还成立吗？为什么？如何验证？ 答：还成立，因为世界是和谐的，虽然有时候无奇不有。如果不满足，世界的和谐美被破坏掉，令人不舒服。用特殊値法验证。令 等于简单的数字。但越高维是越奇异，比如四元数。大家百度四元数。 湖南省长沙市一中卫星远程学校 实数与向量积的运算律 设实数，那么 特别的我们有 (- 对于任意向量以及任意有 (1) (2)( (3)= 让3，此式就是 （-3） 我们上幻灯片讲过。 例5 计算 （-3） (2)3( 解： 原式=3+2 原式=2 =- 例6 如图，▱ABCD的两条对角线相交于点M，且,,用和 解：▱ABCD中， 由平行四边形的两条对角线互相平分，得 , , 如果 共线，用数乘角度你能得到什么结论？ ①问学习数学是记住定理然后去套吗？ 答：不是记住定理去套，而是要深刻理解定理的本质。 答：先分类讨论： ①,则0且唯一。 ② ③ ④，则，=0 6、定理：向量 湖南省长沙市一中卫星远程学校 例7 如图，已知任意两个非零向量,试作.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？ 解：分别作向量怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A、B、C三点共线, 事实上，因为 = = 而 = =2 于是 所以，A，B，C三点共线。 例8已知：点D 是线段 BC 的中点， 求证： 证明：因为D是BC边上的中点， A C B D 湖南省长沙市一中卫星远程学校 （ C ） (1) A B C D 练习： 湖南省长沙市一中卫星远程学校 例9 已知，是两个不共线的向量，向量, 解：由为非零向量。由向量, 可知存在实数,使得， 即 由,必有==0.否则，不妨设0，则.由两个向量共线的充要条件知，共线，与已知矛盾。 由 因此，当向量,共线时， 最后给老师的秘籍： 例：用向量证明三角形中位线定理。 A M B C N 证此题，希望老师去看一本书。 张景中、彭翕成.绕来绕去的向量法[M]北京.科学出版社.2013.03 我把一小部分内容复制过来，内容在下一张幻灯片中。 湖南省长沙市一中卫星远程学校 例4：如图，D和E是 某教材提供的证明：因为D和E是，所以DE，。又DE= 这种解法要求学生具备“三角形中位线定理”这一预备知识；更让人不解的是，向量在这里根本没起到任何作用，仅仅用来解释平面几何中已学过的知识， 纯粹是“为向量而向量”,就是把几何法翻译成向量法。 新证：=+=+ $