2026年中考数学二轮复习《复杂新定义问题探究》专题训练

**基本信息** 以“文字符号转化-字母替换-画图探索”三阶方法体系为核心，系统整合新定义几何、函数与变换问题，通过22道分层典例构建从概念理解到综合应用的逻辑链条，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |新定义几何|8道|文字转符号+临界位置分析|从基础定义（倍角三角形、邻弦）到性质推导，结合三角形、圆等知识综合应用| |新定义函数|7道|字母替换+方程思想|以“和谐点”“n-精致点”为例，建立函数与方程联系，强化符号意识| |图形变换|7道|画图探索+变换性质|通过旋转相似、自位似轴对称，构建变换前后图形关系，发展空间观念|

2026年中考数学二轮复习《复杂新定义问题探究》 复杂条件如何处理？ 1.尝试把长长的文字描述转化为文字+符号表示 2.后面的每小题再把其中的字母进行“替换” 3.画图探索，任找一个符合条件的点，找出一般状态，然后再找临界位置 1．购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多，因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好．我们把西瓜都看成球形，半径是R，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都是d．已知球的体积公式为VπR3（其中R为球的半径）． （1）西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多少？ （2）买大西瓜划算还是买小西瓜划算？ 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠BAD＝45°，若AC＝4，CD＝1，则△ABC的面积是 　 　 ． 3．定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．若△ABC是“倍角三角形”，∠A＝90°，BC＝4，则△ABC的面积为 　 　 ． 4．定义：在△ABC中，∠C＝30°，我们把∠A的对边与∠C的对边的比叫做∠A的邻弦，记作thiA，即：．如图，若∠A＝45°，则thiA的值为 　 　 ． 四．点与圆的位置关系（共1小题） 5．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”． 如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长． 6．定义：若x，y满足x2＝4y+t，y2＝4x+t且x≠y（t为常数），则称点M（x，y）为“和谐点”． （1）若P（3，m）是“和谐点”，则m＝　 　 ； （2）若双曲线y（﹣3＜x＜﹣1）存在“和谐点”，则k的取值范围 　 　 ． 7．在平面直角坐标系中，给出如下新定义：对于任意一点P（x，y）和给定的正整数n，如果满足|x|+ny＝n（y≥0），则把点P（x，y）称作“n﹣精致点”． （1）P（x，y）是“n﹣精致点”，当n＝1，时，y＝ 　 　 ； （2）在第一象限内，当n＝4时， ①设“4﹣精致点”的横坐标为x，那么纵坐标可以用含x的代数式表示为 　 　 ； ②如图直线l经过（5，0）和（0，﹣5），求出直线l所对应的函数表达式，并判断该直线在第一象限内是否存在“4﹣精致点”．如果有，请求出其“4﹣精致点”的坐标，如果没有，请说明理由； （3）若直线y＝2x+b上存在“4﹣精致点”，请直接写出实数b的取值范围． 8．在平面直角坐标系xOy中，直线l过原点且经过第三、第一象限，l与x轴所夹锐角为n°．对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为Q，若点Q的纵坐标为正数，且△MNQ为等边三角形，则称点P为M，N的n°点． （1）如图1，若点M（2，0），N（4，0），点P为M，N的45°点，连接OP，OQ． ①∠POQ＝　 　 °；②求点P的纵坐标； （2）已知点M（m，0），N（m+t，0）． ①当t＝2时，点P为M，N的60°点，且点P的横坐标为﹣2，则m＝　 　 ； ②当m＝﹣2时，点P为M，N的30°点，且点P的横坐标为2，则t＝　 　 ． 9．（1）将函数y＝﹣x2+2的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与y轴交点的纵坐标是　 　 ． （2）平移函数y＝﹣x2+2的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数y＝kx+2的图象上．设平移后的函数图象的顶点P的横坐标为m，与y轴交点的纵坐标为n，n随m的变化而变化． ①若k＝2，当0≤m≤3时，求n的取值范围． ②设函数y＝kx+2的图象与x轴、y轴的交点分别为A，B，点P在线段AB上．当k取不同值时，下列关于n的变化趋势的描述：（a）n随m的增大而增大；（b）n随m的增大而减小；（c）n随m的增大先增大后减小；（d）n随m的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是　 　． 10．定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P的坐标为（x，y），当x＜0时，点P的变换点P'的坐标为（﹣x，y）；当x≥0时，点P的变换点P'的坐标为（﹣y，x）． 抛物线y＝（x﹣2）2+n与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），顶点为E，点P在该抛物线上．若点P的变换点P'在抛物线的对称轴上，且四边形ECP'D是菱形，则满足该条件所有n值的和为 　 　 ． 11．已知二次函数y＝mx2﹣（m﹣1）x﹣1． （1）求证：这个二次函数的图象一定与x轴有交点； （2）若这个二次函数有最大值0，求m的值； （3）我们定义：若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴正半轴的两个交点的横坐标x1、x2（x1＞x2），满足23，则称这个二次函数与x轴有两个“梦想交点”．如果二次函数y＝mx2﹣（m﹣1）x﹣1与x轴有两个“梦想交点”，求m的取值范围． 12．新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2． （1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标； （2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N． ①当MN＝6a时，求点P的坐标； ②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值． 13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A和线段BC，点P在线段OA的垂直平分线上，对于给定的一个正数k，若点P使得△PBC是以BC为底边的等腰三角形，且∠BPC≥k°，则称点P为点A关于线段BC的k度等腰点． （1）如图1，点A在y轴上，B（2，0），C（8，0），在P1（5，4），P2（5，3），P3（5，2）中，是点A关于线段BC的90度等腰点的是　 　 ； （2）如图2，D（﹣3，3），E（m，0），F（m+2，0），若存在点D关于线段EF的90度等腰点，求m的取值范围； （3）如图3，点M（0，3），N（0，n），点H在x轴正半轴上，满足∠OHM＝30°，点T为y轴上的动点，若存在点T关于线段NH的60度等腰点，直接写出点T的纵坐标t的取值范围（用含n的式子表示）． 14．如图1，在△ABC中，点D在边AB上，点P在边AC上，若满足∠BPD＝∠BAC，则称点P是点D的“和谐点”． （1）如图2，∠BDP+∠BPC＝180°． ①求证：点P是点D的“和谐点”； ②在边AC上还存在某一点Q（不与点P重合），使得点Q也是点D的“和谐点”，请在图2中仅用圆规作图，找出点Q的位置，并写出证明过程．（保留作图痕迹） （2）如图3，以点A为原点，AB为x轴正方向建立平面直角坐标系，已知点B（6，0），C（2，4），点P在线段AC上，且点P是点D的“和谐点”． ①若AD＝1，求出点P的坐标； ②若满足条件的点P恰有2个，直接写出AD长的取值范围是 　 　 ． 15．定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线．例如，如图1，在菱形ABCD中，E是CD的中点，连接AE，BE，则折线AEB叫做菱形ABCD的折中线，折线AEB的长叫做折中线的长． 已知，在菱形ABCD中，AB＝k，E是CD的中点，连接AE，BE． （1）如图1，若∠D＝120°，k＝10，求折中线AEB中较长的AE； （2）如图2，若∠C＝∠AEB，请探究折中线AEB的长与k之间的数量关系式，并说明理由； （3）若k＝10，且折中线AEB中的AE或BE与菱形ABCD的一条对角线相等，求折中线AEB的长． 16．在平面直角坐标系xOy中，对于⊙P的弦AB（非直径）和圆外一点Q，给出如下定义：若弦AB所对的劣弧上存在两点M、N（且不与A、B重合），使直线QM、QN与⊙P相切，则称点Q是⊙P关于AB的“近切点”．已知A（﹣2，0），B（0，2），D（2，0），E（0，﹣2）． （1）若⊙O的半径为2， ①在点P1（﹣3，0），P2（﹣2，1），，中，⊙O关于AB的“近切点”是　 　 ； ②直线l经过点（4，0），且与x轴垂直，点C在⊙O上．若直线l上存在⊙O关于BC的“近切点”，记点C的纵坐标为m，直接写出m的取值范围； （2）若存在半径为3的⊙T，使得对于△DEB上任意一点S，都存在⊙T的长为t的弦FG，满足点S是⊙T关于FG的“近切点”，直接写出t的取值范围． 17．定义：当点P在射线OA上时，把的值叫做点P在射线OA上的射影值；当点P不在射线OA上时，把射线OA上与点P最近点的射影值，叫做点P在射线OA上的射影值．例如：如图（1），△OAB三个顶点均在格点上，BP是OA边上的高，则点P和点B在射线OA上的射影值均为． （1）在△OAB中，下列说法： ①点B在射线OA上的射影值小于1时，则△OAB是锐角三角形； ②点B在射线OA上的射影值等于1时，则△OAB是直角三角形； ③点B在射线OA上的射影值大于1时，则△OAB是钝角三角形． 其中，正确说法的序号是　 　 ． （2）C是射线OA上一点，CA＝OA＝1，以O为圆心，OA为半径画圆，B是⊙O上任意点． ①如图（2），点B在射线OA上的射影值为，求证：直线BC是⊙O的切线． ②如图（3），已知D为线段BC的中点，设点D在射线OA上的射影值为x，点D在射线OB上的射影值为y，直接写出y与x之间的函数关系式． 18．在平面直角坐标系xOy中，对于图形M与图形N给出如下定义：P为图形N上任意一点，将图形M绕点P顺时针旋转90°得到M′，将所有M′组成的图形记作M″，称M″是图形M关于图形N的“关联图形”． （1）已知A（﹣2，0），B（2，0），C（2，t），其中t≠0． ①若t＝1，请在图中画出点A关于线段BC的“关联图形”； ②若点A关于线段BC的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出t的取值范围； （2）对于平面上一条长度为a的线段和一个半径为r的圆，点S在线段关于圆的“关联图形”上，记点S的纵坐标的最大值和最小值的差为d，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出d的取值范围（用含a和r的式子表示）． 19．下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改． 题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？ 解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm， 根据题意，得x•2x＝288． 解这个方程，得x1＝﹣12（不合题意，舍去），x2＝12 所以温室的长为2×12+3+1＝28（m），宽为12+1+1＝14（m） 答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2． 我的结果也正确！ 小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？． 结果为何正确呢？ （1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程： 变化一下会怎样… （2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB＝2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由． 20．在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点P′在线段OP或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（k，θ），其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋转角． （1）填空： ①如图1，将△ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到△ADE，这个旋转相似变换记为A（ 　 　 ，　 　 ）； ②如图2，△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变换A（，90°），得到△ADE，则线段BD的长为 　 　 cm； （2）如图3，分别以锐角三角形ABC的三边AB，BC，CA为边向外作正方形ADEB，BFGC，CHIA，点O1，O2，O3分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用△AO1O3与△ABI，△CIB与△CAO2之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段O1O3与AO2之间的关系． 21．在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图1，先将△ABC以点A为位似中心缩小，得到△ADE，再将△ADE沿过点A的直线l翻折，得到△AFG，则△ABC和△AFG成自位似轴对称． （1）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC，CD⊥AB，垂足为D．下列3对三角形：①△ABC和△ACD；②△BAC和△BCD；③△DAC和△DCB．其中成自位似轴对称的是 　 　 ；（填写所有符合要求的序号） （2）如图3，已知△ABC经过自位似轴对称变换得到△ADE，Q是DE上一点，用直尺和圆规作点P，使P与Q是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； （3）如图4，在△ABC中，D是BC的中点，E为△ABC内一点．∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，连结DE，求证：DE∥AC． ∴△BDE∽△ADC， ∴， ∵AC＝4，CD＝1， ∴4DE＝BE， ∵∠BAD＝45°，∠DEB＝90°， ∴△ABE是等腰直角三角形，即AE＝BE＝4DE， ∴AD＝3DE， ∵在Rt△ACD中，AD， ∴DE， ∴BE＝4DE， ∵∠DEB＝90°， ∴BD， ∴BC， ∴S△ABCAC•BC， 故答案为：． 3．定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．若△ABC是“倍角三角形”，∠A＝90°，BC＝4，则△ABC的面积为 　4或2　 ． 【解答】解：∵△ABC是“倍角三角形”， ∴分四种情况： 当∠A＝2∠B＝90°时， ∴∠B＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵BC＝4， ∴AB＝AC2， ∴△ABC的面积AB•AC224； 当∠A＝2∠C＝90°时，同理可得：△ABC的面积为4； 当∠B＝2∠C时， ∵∠A＝90°， ∴∠B+∠C＝90°， ∵∠B＝2∠C， ∴∠C＝30°，∠B＝60°， ∵BC＝4， ∴ABBC＝2，ACAB＝2， ∴△ABC的面积AB•AC2×22； 当∠C＝2∠B时， ∵∠A＝90°， ∴∠B+∠C＝90°， ∵∠C＝2∠B， ∴∠B＝30°，∠C＝60°， ∵BC＝4， ∴ACBC＝2，ABAC＝2， ∴△ABC的面积AB•AC22＝2； 综上所述：△ABC的面积为4或2， 故答案为：4或2． 三．含30度角的直角三角形（共1小题） 4．定义：在△ABC中，∠C＝30°，我们把∠A的对边与∠C的对边的比叫做∠A的邻弦，记作thiA，即：．如图，若∠A＝45°，则thiA的值为 　　 ． 【解答】解：作BH⊥AC于H， 设BH＝x， ∵∠A＝45°， ∴△ABH是等腰直角三角形， ∴ABBHx， ∵∠C＝30°， ∴BC＝2BH＝2x， ∴thiA． 故答案为：． 四．点与圆的位置关系（共1小题） 5．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”． 如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长． 【解答】解：设OA交⊙O于C，连接B′C，如图2， ∵OA′•OA＝42， 而r＝4，OA＝8， ∴OA′＝2， ∵OB′•OB＝42， ∴OB′＝4，即点B和B′重合， ∵∠BOA＝60°，OB＝OC， ∴△OBC为等边三角形， 而点A′为OC的中点， ∴B′A′⊥OC， 在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′， ∴A′B′＝4sin60°＝2． 五．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题） 6．定义：若x，y满足x2＝4y+t，y2＝4x+t且x≠y（t为常数），则称点M（x，y）为“和谐点”． （1）若P（3，m）是“和谐点”，则m＝　﹣7　 ； （2）若双曲线y（﹣3＜x＜﹣1）存在“和谐点”，则k的取值范围 　3＜k＜4　 ． 【解答】解：（1）∵P（3，m）是“和谐点”， ∴， 消去t得到m2+4m﹣21＝0， 解得m＝﹣7或3， ∵x≠y， ∴m＝﹣7； 故答案为：﹣7； （2）∵双曲线y（﹣3＜x＜﹣1）存在“和谐点”， ∴， ①﹣②得（x）（x）＝﹣4（x）， ∴（x）（x4）＝0， ∵x≠y， ∴x4＝0， 整理得k＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4， ∵﹣3＜x＜﹣1，且x≠﹣2， ∴3＜k＜4． 故答案为：3＜k＜4． 六．一次函数综合题（共2小题） 7．在平面直角坐标系中，给出如下新定义：对于任意一点P（x，y）和给定的正整数n，如果满足|x|+ny＝n（y≥0），则把点P（x，y）称作“n﹣精致点”． （1）P（x，y）是“n﹣精致点”，当n＝1，时，y＝ 　　 ； （2）在第一象限内，当n＝4时， ①设“4﹣精致点”的横坐标为x，那么纵坐标可以用含x的代数式表示为 　1x ； ②如图直线l经过（5，0）和（0，﹣5），求出直线l所对应的函数表达式，并判断该直线在第一象限内是否存在“4﹣精致点”．如果有，请求出其“4﹣精致点”的坐标，如果没有，请说明理由； （3）若直线y＝2x+b上存在“4﹣精致点”，请直接写出实数b的取值范围． 【解答】解：（1）∵n＝1， ∴|x|+y＝1， 当x时，y， 故答案为：； （2）①当n＝4时， ∴|x|+4y＝4， ∵点P在第一象限， ∴x＞0， ∴x+4y＝4， 即y＝1x， 故答案为：1x； ②设直线l的表达式为 y＝kx+b， ∵直线l经过（5，0）和（0，﹣5）， ∴， 解得， 直线l的表达式为 y＝x﹣5； 结论：该直线在第一象限内不存在“4﹣精致点”， 法1：由题意得|x|+ny＝n 在第一象限内有“4﹣精致点”， 可化为， 联立， 解得， 此时交点（，）不在第一象限，即该直线在第一象限内不存在“4﹣精致点”； 法2：如图，直线l与|x|+4y＝4（y≥0）的图象在第一象限没有交点， 即该直线在第一象限内不存在“4﹣精致点”； （3）∵P在y＝2x+b上， ∴设P（m，2m+b）， ∵点P是“4﹣精致点”， ∴， ①当m＜0时， ﹣m+8m+4b＝4， ∴m， ∴2m+bb≥0， 解得b≤8； ②当m≥0时， m+8m+4b＝4， ∴m， ∴2m+bb≥0， 解得b≥﹣8； 综上，﹣8≤b≤8． 8．在平面直角坐标系xOy中，直线l过原点且经过第三、第一象限，l与x轴所夹锐角为n°．对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为Q，若点Q的纵坐标为正数，且△MNQ为等边三角形，则称点P为M，N的n°点． （1）如图1，若点M（2，0），N（4，0），点P为M，N的45°点，连接OP，OQ． ①∠POQ＝　30　 °； ②求点P的纵坐标； （2）已知点M（m，0），N（m+t，0）． ①当t＝2时，点P为M，N的60°点，且点P的横坐标为﹣2，则m＝　6　 ； ②当m＝﹣2时，点P为M，N的30°点，且点P的横坐标为2，则t＝　3或﹣6　 ． 【解答】解：（1）①如图1，过点Q作QE⊥x轴于E，过点P作PF⊥y轴于F， ∵M（2，0），N（4，0）， ∴MN＝2，OM＝2， ∵△MNQ为等边三角形，QE⊥MN， ∴QM＝MN＝2，MEMN＝1，∠QMN＝60°， ∴QE，OE＝OM+ME＝2+1＝3， ∵OM＝QM， ∴∠QOM＝∠OQM＝30°， ∵点P为M，N的45°点， ∴l与x轴所夹锐角为45°， ∵点P关于直线l的对称点为Q， ∴∠POQ＝2×（45°﹣30°）＝30°，OP＝OQ，∠POF＝∠QOE＝30°， 故答案为：30． ②在△POF和△QOE中， ， ∴△POF≌△QOE（AAS）， ∴OF＝OE＝3，PF＝QE， ∴P（，3）； （2）①∵M（m，0），N（m+t，0）， ∴MN＝m+t﹣m＝t， ∴当t＝2时，MN＝2， 如图2，过点Q作QE⊥x轴于E，过点P作PF⊥y轴于F，作PK∥y轴交直线l于K，交x轴于T，连接KQ交x轴于W，连接PQ交直线l于L， ∵点P为M，N的60°点， ∴QE，OE＝m+1，OP＝OQ，∠KOT＝∠LOM＝60°， ∴∠PKO＝30°， ∵P、Q关于直线l对称， ∴PQ⊥l，PK＝QK，∠QKL＝∠PKL＝30°， ∴OK＝4， ∵∠OWK＝∠KOT﹣∠QKL＝60°﹣30°＝30°， ∴∠OWK＝∠QKL， ∴OW＝OK＝4， ∴WE＝OE﹣OW＝m+1﹣4＝m﹣3， 在Rt△WQE中，∵∠QWE＝∠OWK＝30°，QE⊥MN， ∴WQ＝2QE＝2， ∴WE3， ∴m﹣3＝3， ∴m＝6， 故答案为：6． ②∵m＝﹣2， ∴M（﹣2，0）， 如图，分两种情况：当t＞0时，点N1在点M的右侧， ∵x＝2与l的夹角为60°， ∴x＝2关于l的对称线和l的夹角也为60°， ∴∠HTK＝60°， ∴△TOK是等腰三角形， ∴HK＝OH＝2， ∴∠Q1KM＝30°， ∵∠Q1MK＝60°， ∴Q1M⊥Q1K， ∴MK＝2Q1M，即6＝2t， ∴t＝3； 当t＜0时，点N2在点M的左侧， 同理可得：KN2＝2Q2N2，即6﹣t＝﹣2t， ∴t＝﹣6； 综上所述，t＝3或﹣6， 故答案为：3或﹣6． 七．二次函数图象与几何变换（共1小题） 9．（1）将函数y＝﹣x2+2的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与y轴交点的纵坐标是　﹣2　 ． （2）平移函数y＝﹣x2+2的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数y＝kx+2的图象上．设平移后的函数图象的顶点P的横坐标为m，与y轴交点的纵坐标为n，n随m的变化而变化． ①若k＝2，当0≤m≤3时，求n的取值范围． ②设函数y＝kx+2的图象与x轴、y轴的交点分别为A，B，点P在线段AB上．当k取不同值时，下列关于n的变化趋势的描述：（a）n随m的增大而增大；（b）n随m的增大而减小；（c）n随m的增大先增大后减小；（d）n随m的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是　（a）（b）　 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）． 【解答】解：（1）由“左加右减”的原则可知，将函数y＝﹣x2+2的图象向右平移2个单位长度，所得函数的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2， 令x＝0，则y＝﹣2，即平移后的图象与y轴交点的坐标为（0，﹣2）． 故答案为：﹣2； （2）∵平移函数y＝﹣x2+2的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数y＝kx+2的图象上，设平移后的函数图象的顶点P的横坐标为m 则平移后的得到为（m，km+2）， ∴平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣m）2+km+2， 当x＝0时，与y轴交点的纵坐标n＝﹣m2+km+2， ①若k＝2，则n＝﹣m2+2m+2＝﹣（m﹣1）2+3， ∴n是关于m的二次函数，二次函数的开口向下，对称轴为直线m＝1， ∵m＝3时，n＝﹣（3﹣1）2+3＝﹣1，m＝1时，n＝3， ∴当0≤m≤3时，n的取值范围是﹣1≤n≤3； ②∵函数y＝kx+2的图象与x轴、y轴的交点分别为A，B， ∴A（，0），B（0，2）， ∴当k＜0时，0≤m， ∵n＝﹣m2+km+2， ∴对称轴为直线m0， ∴当m时，n随m的增大而减小， ∵m≥0， ∴n随m的增大而减小， 当k＞0时，m≤0， ∵n＝﹣m2+km+2， ∴对称轴为直线m0， ∵m≤0， ∴n随m的增大而增大， 故可能的序号是（a）（b）． 故答案为：（a）（b）． 八．抛物线与x轴的交点（共1小题） 10．定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P的坐标为（x，y），当x＜0时，点P的变换点P'的坐标为（﹣x，y）；当x≥0时，点P的变换点P'的坐标为（﹣y，x）． 抛物线y＝（x﹣2）2+n与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），顶点为E，点P在该抛物线上．若点P的变换点P'在抛物线的对称轴上，且四边形ECP'D是菱形，则满足该条件所有n值的和为 　﹣13　 ． 【解答】解：∵四边形ECP'D是菱形， ∴点E与点P'关于x轴对称． ∵点E的坐标为（2，n）， ∴点P'的坐标为（2，﹣n）． 当点P在y轴左侧时，点P的坐标为（﹣2，﹣n）． 代入y＝（x﹣2）2+n，得﹣n＝（﹣2﹣2）2+n． n＝﹣8． 当点P在y轴右侧时，点P的坐标为（﹣n，﹣2）． 代入y＝（x﹣2）2+n，得﹣2＝（﹣n﹣2）2+n．n1＝﹣2，n2＝﹣3． 综上所述，n的值是n＝﹣8，n＝﹣2，n＝﹣3． ﹣8﹣2﹣3＝﹣13 故答案为：﹣13． 九．二次函数综合题（共2小题） 11．已知二次函数y＝mx2﹣（m﹣1）x﹣1． （1）求证：这个二次函数的图象一定与x轴有交点； （2）若这个二次函数有最大值0，求m的值； （3）我们定义：若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴正半轴的两个交点的横坐标x1、x2（x1＞x2），满足23，则称这个二次函数与x轴有两个“梦想交点”．如果二次函数y＝mx2﹣（m﹣1）x﹣1与x轴有两个“梦想交点”，求m的取值范围． 【解答】解：（1）∵y＝mx2﹣（m﹣1）x﹣1． ∴当y＝0时，mx2﹣（m﹣1）x﹣1＝0． ∴a＝m，b＝﹣（m﹣1），c＝﹣1， ∴Δ＝[﹣（m﹣1）]2﹣4m（﹣1）＝m2﹣2m+1+4m， ∴Δ＝（m+1）2≥0， ∴这个二次函数的图象一定与x轴有交点； （2）∵y＝mx2﹣（m﹣1）x﹣1， ∴y＝m（x）2m﹣1， ∴x时，y的最大值为m﹣1． ∵这个二次函数有最大值为0， ∴m﹣1＝0． 解得：m＝﹣1． 答：二次函数有最大值为0时，m的值为﹣1； （3）∵y＝mx2﹣（m﹣1）x﹣1， ∴当y＝0时， mx2﹣（m﹣1）x﹣1＝0， ∴x＝1或 由题意：2＜﹣m＜3或23 解得：﹣3＜m＜﹣2或m． 综上所述，m的取值范围为：m或﹣3＜m＜﹣2． 12．新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2． （1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标； （2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N． ①当MN＝6a时，求点P的坐标； ②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值． 【解答】解：（1）根据“关联抛物线”的定义可得C2的解析式为：y＝ax2+4ax+4a﹣3， ∵y＝ax2+4ax+4a﹣3＝a（x+2）2﹣3， ∴C2的顶点坐标为（﹣2，﹣3）； （2）①设点P的横坐标为m， ∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N， ∴M（m，4am2+am+4a﹣3），N（m，am2+4am+4a﹣3）， ∴MN＝|4am2+am+4a﹣3﹣（am2+4am+4a﹣3）|＝|3am2﹣3am|， ∵MN＝6a， ∴|3am2﹣3am|＝6a， 解得m＝﹣1或m＝2， ∴P（﹣1，0）或（2，0）． ②∵C2的解析式为：y＝a（x+2）2﹣3， ∴当x＝﹣2时，y＝﹣3， 当x＝a﹣4时，y＝a（a﹣4+2）2﹣3＝a（a﹣2）2﹣3， 当x＝a﹣2时，y＝a（a﹣2+2）2﹣3＝a3﹣3， 根据题意可知，需要分三种情况讨论， Ⅰ、当a﹣4≤﹣2≤a﹣2时，0＜a≤2， 且当0＜a≤1时，函数的最大值为a（a﹣2）2﹣3；函数的最小值为﹣3， ∴a（a﹣2）2﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a＝2或a＝2（舍）； 当1≤a≤2时，函数的最大值为a3﹣3；函数的最小值为﹣3， ∴a3﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a或a（舍）； Ⅱ、当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时，a≥2， 函数的最大值为a3﹣3，函数的最小值为a（a﹣2）2﹣3； ∴a3﹣3﹣[a（a﹣2）2﹣3]＝2a， 解得a（舍）； Ⅲ、当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时，a≤0，不符合题意，舍去； 综上，a的值为2或． 十．三角形综合题（共2小题） 13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A和线段BC，点P在线段OA的垂直平分线上，对于给定的一个正数k，若点P使得△PBC是以BC为底边的等腰三角形，且∠BPC≥k°，则称点P为点A关于线段BC的k度等腰点． （1）如图1，点A在y轴上，B（2，0），C（8，0），在P1（5，4），P2（5，3），P3（5，2）中，是点A关于线段BC的90度等腰点的是P2，P3 ； （2）如图2，D（﹣3，3），E（m，0），F（m+2，0），若存在点D关于线段EF的90度等腰点，求m的取值范围； （3）如图3，点M（0，3），N（0，n），点H在x轴正半轴上，满足∠OHM＝30°，点T为y轴上的动点，若存在点T关于线段NH的60度等腰点，直接写出点T的纵坐标t的取值范围（用含n的式子表示）． 【解答】解：（1）∵B（2，0），C（8，0）， ∴线段BC的对称轴为直线， 设对称轴与x轴的交点为Q， ∴点B，点C到对称轴的距离为QC＝QB＝3， ∵点P使得△PBC是以BC为底边的等腰三角形， ∴点P在对称轴直线x＝5上，点P1（5，4），P2（5，3），P3（5，2）都在对称轴直线x＝5上， 如图， 当QP＝3时，QP＝QC＝QB＝3， 此时△PBC是等腰直角三角形，且∠BPC＝90°，这时点P的坐标为（5，3），恰好是P2（5，3），符合题意； 点P3（5，2）在P2（5，3）下方，连接P3B，P3C． ∵∠BP3Q＞∠BP2Q，∠CP3Q＞∠CP2Q， ∴∠BP3Q+∠CP3Q＞∠BP2Q+∠CP2Q， ∴∠BP3C＞∠BP2C，即∠BP3C＞90°， 故P3（5，2），也符合题意； 点P1（5，4）在P2（5，3）上方，连接P1B，P1C， ∵∠BP1Q＜∠BP2Q，∠CP1Q＜∠CP2Q， ∴∠BP1Q+∠CP1Q＜∠BP2Q+∠CP2Q，即∠BP1C＜∠BP2C， ∴∠BP1C＜90°， 故P1（5，4），不符合题意； 故答案为：P2，P3； （2）设OD的中点为T，过点D作DM⊥x轴于点M， ∵O（0，0），D（﹣3，3）， ∴，TO＝TD，MO＝MD＝3，M（﹣3，0）， ∴直线TM为线段OD的垂直平分线， 设直线TM的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线TM的解析式为y＝x+3， ∴点D关于线段EF的90度等腰点在直线y＝x+3上， ∵E（m，0），F（m+2，0）， 设EF的对称轴与x轴的交点为G， ∴EF＝2，EF的垂直平分线为直线x＝m+1， ∴点E，点F到对称轴的距离为GE＝GF＝1， ∵点P使得△PEF是以EF为底边的等腰三角形，且点D关于线段EF的90度等腰点， ∴点D关于线段EF的90度等腰点在对称轴直线x＝m+1上，且当等腰点到x轴的距离为1时，为直角， ∴点P1（m+1，1），P2（m+1，﹣1）都是等腰点的直角点， ∴1＝m+1+3或﹣1＝m+1+3， 解得m＝﹣3或m＝﹣5， ∴等腰点在点P1（﹣2，1）下方，在P2（﹣4，﹣1）上方，包括这两点， ∴m的取值范围为﹣5≤m≤﹣3， ∵m+1＝﹣3时，E，等腰点，F三点共线， ∴m＝﹣4，此时不符合题意， ∴m的取值范围为﹣5≤m≤﹣3且m≠﹣4； （3）当点N与原点重合时，如图，以NH为边构造等边三角形△CNH，过点C作CG⊥y轴于点G， ∵点M（0，3），点H在x轴正半轴上，满足∠OHM＝30°， ∴OM＝3，MH＝2OM＝6，， 过点C作CF⊥x轴于点F， 则， ∴，四边形CGNF是矩形， ∴， ∵点T为y轴上的动点，存在点T关于线段NH的60度等腰点， ∴NG是OT的一半， ∴T（0，9）， 当N（0，n）向上平移9个单位时，此时N（0，n+9）； 当N（0，n）向下平移9个单位时，此时N（0，n﹣9）； 根据定义得﹣9+n≤t≤9+n， 当t＝n时，T，N，H三点共线，不符合题意，故t≠n， ∴n-9≤t≤n+9且t≠n． 14．如图1，在△ABC中，点D在边AB上，点P在边AC上，若满足∠BPD＝∠BAC，则称点P是点D的“和谐点”． （1）如图2，∠BDP+∠BPC＝180°． ①求证：点P是点D的“和谐点”； ②在边AC上还存在某一点Q（不与点P重合），使得点Q也是点D的“和谐点”，请在图2中仅用圆规作图，找出点Q的位置，并写出证明过程．（保留作图痕迹） （2）如图3，以点A为原点，AB为x轴正方向建立平面直角坐标系，已知点B（6，0），C（2，4），点P在线段AC上，且点P是点D的“和谐点”． ①若AD＝1，求出点P的坐标； ②若满足条件的点P恰有2个，直接写出AD长的取值范围是 　AD　 ． 【解答】（1）①证明：∵∠BDP+∠BPC＝180°，∠BDP＝∠BAC+∠APD， ∴∠BAC+∠APD+∠BPC＝180°， ∵∠APD+∠BPD+∠BPC＝180°， ∴∠BPD＝∠BAC， ∴点P是点D的“和谐点”； ②解：以B为圆心，BP为半径作弧交AC于点Q，点Q即为所求，如图： 连接BQ， ∵∠BDP＝∠BAC+∠APD，∠BPD＝∠BAC， ∴∠BDP＝∠BPD+∠APD， ∵∠APD+∠BPD+∠BPC＝180°， ∴∠BDP+∠BPC＝180°， ∵BP＝BQ， ∴∠BPC＝∠BQP， ∴∠BDP+∠BQP＝180°， ∴B、Q、P、D四点共圆， ∴∠BPD＝∠DQB， ∵∠BPD＝∠BAC， ∴∠DQB＝∠BAC， ∴Q也是点D的“和谐点”； （2）解：①∵∠BPD＝∠BAP，∠PBD＝∠ABP， ∴△PBD∽△ABP， ∴，， ∴BP， ∵C（2，4）， ∴直线AC的表达式为：y＝2x， 设点P的坐标为（x，2x）， ∵点B（6，0）， ∴（x﹣6）2+（2x）2＝30， ∴5x2﹣12x+6＝0， ∴x1，x2， ∴P（，）或（，）； ②当点P与点C重合时，△BDP的外接圆与线段AC恰有两个交点，恰有两个“和谐点”，如图： ∵点B（6，0），C（2，4）， ∴BC4， 由①知△PBD∽△ABP， ∴，即， ∴BD， ∴AD＝AB﹣BD＝6； 当△BDP的外接圆与线段AC恰有一个交点时，如图： 此时△BDP的外接圆与线段AC相切，则AP⊥PB，且PB为直径， ∴∠PDB＝90°， ∵点P的坐标为（x，2x）， ∴AD＝x，PD＝2x，BD＝AB﹣AD＝6﹣x， ∵∠PAD+∠PBD＝90°，∠PAD+∠APD＝90°， ∴∠APD＝∠PBD， ∵∠ADP＝∠PDB＝90°， ∴△ADP∽△PDB， ∴， ∴PD2＝AD•DB，即（2x）2＝x（6﹣x）， ∴x， ∴AD； 综上，若满足条件的点P恰有2个，AD长的取值范围是AD， 故答案为：AD． 十一．四边形综合题（共1小题） 15．定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线．例如，如图1，在菱形ABCD中，E是CD的中点，连接AE，BE，则折线AEB叫做菱形ABCD的折中线，折线AEB的长叫做折中线的长． 已知，在菱形ABCD中，AB＝k，E是CD的中点，连接AE，BE． （1）如图1，若∠D＝120°，k＝10，求折中线AEB中较长的AE； （2）如图2，若∠C＝∠AEB，请探究折中线AEB的长与k之间的数量关系式，并说明理由； （3）若k＝10，且折中线AEB中的AE或BE与菱形ABCD的一条对角线相等，求折中线AEB的长． 【解答】解：（1）如图，连接BD， ， ∵四边形ABCD为菱形， ∴DC∥AB，AB＝BC＝CD＝10，AD∥BC， ∴∠C＝180°﹣∠ADC＝60°， ∴△DBC为等边三角形， ∵E是CD的中点， ∴EB⊥CD，DE＝CE＝5， ∴∠BEC＝90°， ∴， ∵DC∥AB， ∴∠ABE＝∠BEC＝90°， ∴； （2）折中线AEB的长，理由如下： ∵四边形ABCD为菱形， ∴DC∥AB，AB＝BC＝CD＝k， ∴∠CEB＝∠ABE， ∵∠C＝∠AEB， ∴△AEB∽△BCE， ∴， ∵E是CD的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴折中线AEB的长； （3）由已知得折中线AEB中的AE或BE只能与菱形ABCD中较短的对角线相等， 当BE＝BD时，如图，过点B作BG⊥CD于点G，过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于点F， ， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝10， ∵点E为CD的中点， ∴DE＝CE＝5， ∵BG⊥CD，BE＝BD， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵AB∥CD， ∴BG⊥AB， ∵EF⊥AB， ∴四边形BFEG为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴此时折中线AEB的长； 当BE＝AC时，如图，过点C作CF∥BE，交AB的延长线于点F，连接AC交BE于点O， ， ∴四边形BECF是平行四边形， ∴CF＝BE＝AC，CF∥BE， ∴∠CAF＝∠F，∠ABE＝∠F， ∴∠ABE＝∠CAF， ∵AB＝BC， ∴∠CAF＝∠ACB， ∴△ABO∽△ACB， ∴， ∴AC•AO＝AB2＝100， ∵CD∥BF， ∴△ABO∽△CEO ∴， ∴， ∴， ∴， ∵AB＝AB，∠CAF＝∠ABE，AC＝BE， ∴△ABE≌△BAC（SAS）， ∴∠BAE＝∠ABC， ∵AB＝BC，∠ABC＝∠D， ∴∠BAE＝∠ABC＝∠D， ∵CD∥AB， ∴∠AED＝∠BAE， ∴∠AED＝∠D， ∴AE＝AD＝10， ∴折中线AEB的长， 综上所述，折中线AEB的长为或． 十二．圆柱的计算 十三．圆的综合题（共2小题） 16．在平面直角坐标系xOy中，对于⊙P的弦AB（非直径）和圆外一点Q，给出如下定义：若弦AB所对的劣弧上存在两点M、N（且不与A、B重合），使直线QM、QN与⊙P相切，则称点Q是⊙P关于AB的“近切点”．已知A（﹣2，0），B（0，2），D（2，0），E（0，﹣2）． （1）若⊙O的半径为2， ①在点P1（﹣3，0），P2（﹣2，1），，中，⊙O关于AB的“近切点”是P4 ； ②直线l经过点（4，0），且与x轴垂直，点C在⊙O上．若直线l上存在⊙O关于BC的“近切点”，记点C的纵坐标为m，直接写出m的取值范围； （2）若存在半径为3的⊙T，使得对于△DEB上任意一点S，都存在⊙T的长为t的弦FG，满足点S是⊙T关于FG的“近切点”，直接写出t的取值范围． 【解答】解：（1）①如图所示，取点G（﹣2，2），连接AG，BG， ∵A（﹣2，0），B（0，2），G（﹣2，2）， ∴GA⊥OA，GB⊥OB， ∴GA，GB都是⊙O的切线，由“近切点”的定义可知，线段GA，GB与劣弧AB组成的区域（不包括边界）内的点都是⊙O关于AB的“近切点”， ∴由图可知，只有点是⊙O关于AB的“近切点”； 故答案为：P4； ②设RB，RC分别是⊙O的切线，由切线的性质可得OB⊥BR， ∴点R在过点B且垂直于y轴的直线上； 由（1）①可知线段RB，RC和劣弧BC组成的区域（不包括边界）内的点都是⊙O关于BC的“近切点”， ∴当直线上存在⊙O关于BC的“近切点”时，线段RB，RC和劣弧BC组成的区域（不包括边界）与直线l有交点； 如图2﹣1所示，当点R恰好在直线l上时， ∵直线经过点（4，0），且与x轴垂直， ∴点P的横坐标为4， ∴BR＝4， ∵B（0，2）， ∴点R的纵坐标为2， ∴R（4，2）， 由切线长定理可得CR＝BR＝4； 设C（x1，y1）， ∵OC＝OB＝2，CR＝BR＝4， ∴， 解得或， ∴； 如图2﹣2所示，当点R在直线l右侧时，此时线段RB，RC和劣弧BC组成的区域（不包括边界）与直线l一定有交点， ∴此时满足题意，即时满足题意， 又∵“近切点”在劣弧BC上， ∴m＞﹣2， ∴； （2）如图3﹣1所示，设HF，HG是⊙T（半径为3）的切线， 则由（1）可知，线段HF，HG与劣弧FG组成的区域（不包含边界）内的点都是⊙T关于FG的“近切点”， ∴随着弦FG在⊙T上运动时，线段HF，HG与劣弧FG组成的区域（不包含边界）也随着运动， ∴⊙T关于FG的“近切点”是以T为圆心，半径分别为3和TH的长的两个圆组成的圆环（不包括边界）， ∵对于△DEB上任意一点S，都存在⊙T的长为的弦FG，满足点S是⊙T关于FG的“近切点”， ∴当⊙T（半径为3）移动时，△DEB能够整个放进以T为圆心，半径分别为3和TH的长的两个圆组成的圆环（不包括边界）内部， 如图3﹣2所示，当BE恰好与⊙T（半径为3）相切，切点为BE的中点L时，且点D恰好在圆环的外圆上时， 由切线的性质可得TL⊥BE，由三线合一定理可得DL⊥BE， ∴T、L、D三点共线； ∵B（0，2），D（2，0），E（0，﹣2）． ∴L（0，0）， ∴DL＝2， ∴TH＝TD＝TL+DL＝5； 由切线的性质可得HF⊥TF， 由切线长定理可得HF＝HG， ∴， 又∵TF＝TG， ∴HT垂直平分FG， 设HT与FG交于点S，则FG＝2FS， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵FG是⊙T（半径为3）内的一条弦， ∴FG＜6， ∴， 即． 17．定义：当点P在射线OA上时，把的值叫做点P在射线OA上的射影值；当点P不在射线OA上时，把射线OA上与点P最近点的射影值，叫做点P在射线OA上的射影值．例如：如图（1），△OAB三个顶点均在格点上，BP是OA边上的高，则点P和点B在射线OA上的射影值均为． （1）在△OAB中，下列说法： ①点B在射线OA上的射影值小于1时，则△OAB是锐角三角形； ②点B在射线OA上的射影值等于1时，则△OAB是直角三角形； ③点B在射线OA上的射影值大于1时，则△OAB是钝角三角形． 其中，正确说法的序号是　②③　 ． （2）C是射线OA上一点，CA＝OA＝1，以O为圆心，OA为半径画圆，B是⊙O上任意点． ①如图（2），点B在射线OA上的射影值为，求证：直线BC是⊙O的切线． ②如图（3），已知D为线段BC的中点，设点D在射线OA上的射影值为x，点D在射线OB上的射影值为y，直接写出y与x之间的函数关系式． 【解答】（1）解：①点B在射线OA上的射影值小于1时，∠OBA可以是钝角， ∴△OAB不一定是锐角三角形， 故该选项说法错误； ②点B在射线OA上的射影值等于1时，AB⊥OA，∠OAB＝90°，△OAB是直角三角形， 故该选项说法正确； ③点B在射线OA上的射影值大于1时，∠OAB是钝角， ∴△OAB是钝角三角形， 故该选项说法正确； 故答案为：②③； （2）①证明：如图（2），作BH⊥OC于点H， ∵点B在射线OA上的射影值为， ∴， ∵，CA＝OA＝OB＝1， ∴， 又∵∠BOH＝∠COB， ∴△BOH∽△COB， ∴∠BHO＝∠CBO＝90°， ∴BC⊥OB， ∴直线BC是⊙O的切线； ②解：（）．理由如下： 图形是上下对称的，只考虑B在直线OC上及OC上方部分的情形． 过点D作DM⊥OC，作DN⊥OB，如图（3）， 当0°≤∠DOB≤90°时，如图3， 设DM＝h， ∵D为线段BC的中点， ∴S△OBD＝S△ODC， ∴， ∴DN＝2h， ∵CA＝OA＝OB＝1， ∴ ∵在Rt△DON和Rt△DOM中， OD2＝DN2+ON2＝DM2+OM2， ∴4h2+y2＝h2+x2， ∴3h2＝x2﹣y2①， ∵BD2＝CD2， ∴4h2+（1﹣y）2＝h2+（2﹣x）2②， ①②消去h，得； 如图（4），当点N与点O重合时，∠BOD＝90°， ∴OD＝2DM＝2h， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当∠BOD＝0°时， 点B与点A重合，点D与点M重合，点D在AC中点， ∴， ∴； 当90°＜∠BOD≤180°时，ON不存在， ∴y不存在． 综上所述，（）． 十四．几何变换综合题（共1小题） 18．在平面直角坐标系xOy中，对于图形M与图形N给出如下定义：P为图形N上任意一点，将图形M绕点P顺时针旋转90°得到M′，将所有M′组成的图形记作M″，称M″是图形M关于图形N的“关联图形”． （1）已知A（﹣2，0），B（2，0），C（2，t），其中t≠0． ①若t＝1，请在图中画出点A关于线段BC的“关联图形”； ②若点A关于线段BC的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出t的取值范围； （2）对于平面上一条长度为a的线段和一个半径为r的圆，点S在线段关于圆的“关联图形”上，记点S的纵坐标的最大值和最小值的差为d，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出d的取值范围（用含a和r的式子表示）． 【解答】（1）解：①如图所示：线段B'C'即为所求； ②如图： 当t＝2时，点A关于线段BC的“关联图形”与y轴恰有公共点， ∴t≥2时，点A关于线段BC的“关联图形”与y轴有公共点； 当t＝﹣4时，点A关于线段BC的“关联图形”与x轴恰有公共点， ∴t≤﹣4时，点A关于线段BC的“关联图形”与x轴有公共点． 综上所述：t≤﹣4或t≥2； （2）如图， 画出分析图，如图所示，线段AB的长度为a，圆N的半径为r， 点A、B分别绕点N顺时针旋转 90° 得到 N1N2， 分析可知△BNP∽△BNQ且相似比为 ， 可得圆 N1N2 的半径均为 ， ∴随意转动图，可得2r≤d≤2r+a． 十五．相似多边形的性质（共1小题） 19．下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改． 题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？ 解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm， 根据题意，得x•2x＝288． 解这个方程，得x1＝﹣12（不合题意，舍去），x2＝12 所以温室的长为2×12+3+1＝28（m），宽为12+1+1＝14（m） 答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2． 我的结果也正确！ 小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？． 结果为何正确呢？ （1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程： 变化一下会怎样… （2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB＝2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由． 【解答】解：（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由． 在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm．”前补充以下过程： 设温室的宽为xm，则长为2xm． 则矩形蔬菜种植区域的宽为（x﹣1﹣1）m，长为（2x﹣3﹣1）m． ∵， ∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1； （2）要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD， 就要，即， 即， 即2AB﹣2（b+d）＝2AB﹣（a+c）， ∴a+c＝2（b+d）， 即． 十六．相似三角形的判定与性质（共1小题） 20．在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点P′在线段OP或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（k，θ），其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋转角． （1）填空： ①如图1，将△ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到△ADE，这个旋转相似变换记为A（ 　2　 ，　60°　 ）； ②如图2，△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变换A（，90°），得到△ADE，则线段BD的长为 　2　 cm； （2）如图3，分别以锐角三角形ABC的三边AB，BC，CA为边向外作正方形ADEB，BFGC，CHIA，点O1，O2，O3分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用△AO1O3与△ABI，△CIB与△CAO2之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段O1O3与AO2之间的关系． 【解答】解：（1）这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（k，θ），其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋转角．已知1中△ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到△ADE，故可得A（2，60°）． 依题意：①2，60°； ②已知2中△ABC旋转相似变换A（，90°），得到△ADE以及AD， 可推出∠BAD＝90°， 利用勾股定理可求出BD＝2； （2）△AO1O3经过旋转相似变换A（，45°），得到△ABI，此时，线段O1O3变为线段BI； △CIB经过旋转相似变换C（，45°），得到△CAO2，此时，线段BI变为线段AO2． ∵，45°+45°＝90° ∴O1O3＝AO2，O1O3⊥AO2． 十七．作图-相似变换（共1小题） 21．尺规作图：已知△ABC和⊙O，求作△DEF，使△DEF∽△ABC且△DEF内接于⊙O．要求：①用两种不同方法完成；②保留作图痕迹，并写出必要的文字说明． 【解答】解：方法一：如图所示，△DEF即为所求作的三角形． ①在⊙O上取点B′，作弦B′F，作∠FB′D＝∠ABC，交⊙O于D，连接DF， ②作∠FDE＝∠BAC，交⊙O于E，连接EF， 则△DEF∽△ABC． 方法二：如图所示，△DEF即为所求作的三角形． ①作出△ABC的外接圆圆心O′，连接O′A，O′B，O′C， ②以O为圆心，O′A为半径画圆， ③作∠DOE＝∠AO′B，作∠EOF＝∠BO′C， ④连接DE，EF，DF， 则△DEF∽△ABC． 十八．相似形综合题（共1小题） 22．在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图1，先将△ABC以点A为位似中心缩小，得到△ADE，再将△ADE沿过点A的直线l翻折，得到△AFG，则△ABC和△AFG成自位似轴对称． （1）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC，CD⊥AB，垂足为D．下列3对三角形：①△ABC和△ACD；②△BAC和△BCD；③△DAC和△DCB．其中成自位似轴对称的是 　①②　 ；（填写所有符合要求的序号） （2）如图3，已知△ABC经过自位似轴对称变换得到△ADE，Q是DE上一点，用直尺和圆规作点P，使P与Q是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； （3）如图4，在△ABC中，D是BC的中点，E为△ABC内一点．∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，连结DE，求证：DE∥AC． 【解答】（1）解：如图1， 故答案为：①②； （2）解：（方法一）如图3﹣1， （Ⅰ）分别在AE和AD的延长线上截取AC′＝AC，AB′＝AB，连接B′C′， （Ⅱ）作射线AQ，交B′C′于点P′， （Ⅲ）连接BC′，CB′，交于点O，作射线AO， （Ⅳ）作P′P⊥AO，交BC于点P， 则点P就是Q点变换前的对应点， （方法二）如图3﹣2， 以点A为圆心，AE为半径画弧交AC于E′，以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB于D′，以点D′为圆心，DQ为半径画弧，交D′E′于Q′，连接AQ′，延长AQ′，交BC于P， 则点P就是求作的点； （3）证明：如图4， 第1页（共43页） 学科网（北京）股份有限公司 $