精品解析：北京市西城区2026届高三5月模拟测试试卷数学

西城区高三模拟测试试卷 数 学 2026.5 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的右顶点到其渐近线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 在平面直角坐标系xOy中，角 以Ox为始边，为 终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上单调递增，设，则函数是（ ） A. 奇函数，且在上单调递增 B. 偶函数，且在上单调递增 C. 奇函数，且在上单调递减 D. 偶函数，且在上单调递减 6. 在长方形 中，，， 是边 上一点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 设函数，若不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体W和平面 ，则“正方体W的8个顶点中存在6个到平面 的距离相等”是“平面 将正方体W分成体积相等的两部分”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 某工厂2023年的年产值为a，这一年工厂制定10年规划，欲通过技术革新、管理优化等手段，促使工厂产值的年平均增长率为x%，以期2033年的年产值达到2023年的4倍.实践中，由于市场环境逐步向好，工厂产值的年增长率超过预期.已知2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，如果从2026年起未来8年（含2026年）的年平均增长率与前2年实际年平均增长率相同，那么2033年工厂的年产值为（ ） A. 6a B. 8a C. 9a D. 12a 10. 已知无穷数列的各项均为正数，且对任意的正整数i，总存在正整数s，t（），满足，则（ ） A. 可能为常数列 B. 可能为等差数列 C. 不可能为等比数列 D. 可能为递减数列 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 在△ABC中，若，，，则最大内角的余弦值为__________. 12. 在的展开式中，常数项为__________.（用数字作答） 13. 已知向量，单位向量，向量满足，则的一个取值为__________. 14. 设函数，集合，其中.若集合M中共有3个元素，则 的取值范围是__________；若集合M中共有4个元素，则这4个元素乘积的最小值为__________. 15. 在物理实验中，当相互垂直的两个简谐振动的频率比为简单整数比时，示波器上会显示出一条“利萨如曲线”.曲线C：是一条常见的“利萨如曲线”.给出以下四个结论： ①若为曲线C上一点，则，； ②曲线C上两点间距离的最大值为； ③曲线C所围成的区域的面积小于3； ④过原点的直线与曲线C最多有3个公共点. 其中，所有正确结论的序号是__________. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，，直线PC与底面ABC所成角的大小为. （1）求证： 平面PAB； （2）求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值. 17. 已知函数，其中. （1）求函数的最小正周期； （2）从条件①、条件②、条件③中选择一个条件作为已知，使得函数存在且唯一确定，当时，求函数的最大值和最小值. 条件①：； 条件②：函数在上单调递减； 条件③：函数为偶函数. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 随着人们生活水平的提高，参观文博馆成为人们外出旅游的一项重要活动.某市2015年到2025年的文博馆接待的成年人和未成年人的参观次数（单位：万人次）统计图如下： 假设各年的参观情况互不影响. （1）在2016年到2025年这10年中任选一年，求这一年与其前一年相比，该市未成年人参观文博馆次数出现增长的概率； （2）从2015年至2020年这6年中任选1年.再从2021年至2025年这5年中任选2年，记选出的3年中该市年参观文博馆总人次超过120万的年数为X，求X的分布列和数学期望； （3）记2015年至2025年该市未成年人和成年人年参观文博馆次数的方差为和、年参观文博馆总人次的方差为，给出，，的大小关系.（结论不要求证明） 19. 已知椭圆（）的左焦点为，点在椭圆C上. （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线与C交于A，B两点，过点A作AP垂直直线MF于点P，记和的面积分别为和，求证：. 20. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）对于，讨论与的大小； （3）当 时，证明：方程存在两个根，，且. 21. 给定正整数n（），记集合或且.对于由中的三个元素组成的子集，若满足对于任意，均为偶数，则称该三元子集具有性质T. （1）在的子集中，写出一个具有性质T的三元子集；（结论不要求证明） （2）证明：在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集； （3）在的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集？说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西城区高三模拟测试试卷 数 学 2026.5 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】集合，集合，检验 中元素是否属于 ： 时，； 时，； 无法表示为（）的形式，故 中仅有，. 选项A：，即 中所有元素都属于 ，不成立. 选项B：，即 中所有元素都不属于 ，不成立. 选项C：，等价于，不成立. 选项D：因为 中存在元素，故并集不等于 ，成立. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法计算方法，求解. 【详解】已知,则. 故选:A. 3. 双曲线的右顶点到其渐近线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到右顶点为，及其中一条渐近线方程，再利用点到直线的距离公式计算． 【详解】解：双曲线，则右顶点为， 由对称性，不妨取其中一条渐近线，方程为，即， 则右顶点到其渐近线的距离为． 4. 在平面直角坐标系xOy中，角 以Ox为始边，为 终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意知为 终边上一点，故， 所以. 5. 已知函数在上单调递增，设，则函数是（ ） A. 奇函数，且在上单调递增 B. 偶函数，且在上单调递增 C. 奇函数，且在上单调递减 D. 偶函数，且在上单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】先根据奇函数和偶函数的定义判断函数的奇偶性，再根据函数单调性的性质判断函数的单调性即可. 【详解】因为，其定义域为，关于原点对称, 所以, 所以 是奇函数，排除选项B和D; 因为在上单调递增，则在上单调递减, 那么在上单调递减, 因为两个减函数的和是减函数，所以在上单调递减， 综上，函数是奇函数，且在上单调递减，所以C正确. 6. 在长方形 中，，，是边 上一点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】取的中点 ，， 所以当时，取得最小值，最小值为 ， 所以的最小值为 . 7. 设函数，若不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的单调性及零点，结合条件分析可得，与的零点相同，可得的关系，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】，定义域为， 因为的解集为，所以在定义域内恒成立， 因为为单调递增函数，且零点为 ， 为单调递增函数，且零点为， 所以要使在定义域内恒成立，只需两函数零点相同，即， 所以，故A、B错误； ， 所以，故C正确，D错误. 8. 已知正方体W和平面 ，则“正方体W的8个顶点中存在6个到平面 的距离相等”是“平面 将正方体W分成体积相等的两部分”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合正方体的结构特征推理判断. 【详解】如图，在正方体中，依次取棱的中点， 则点与点到平面的距离相等，而平面将正方体分成的两部分体积不等； 反之，平面 将正方体W分成体积相等的两部分，平面 必过该正方体的中心， 正方体W的8个顶点中到平面 的距离相等的顶点不一定是6个， 如在正方体中，平面过该正方体的中心， 只有4个顶点或到平面距离相等， 所以“正方体W的8个顶点中存在6个到平面 的距离相等”是“平面 将正方体W分成体积相等的两部分”的既不充分也不必要条件. 9. 某工厂2023年的年产值为a，这一年工厂制定10年规划，欲通过技术革新、管理优化等手段，促使工厂产值的年平均增长率为x%，以期2033年的年产值达到2023年的4倍.实践中，由于市场环境逐步向好，工厂产值的年增长率超过预期.已知2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，如果从2026年起未来8年（含2026年）的年平均增长率与前2年实际年平均增长率相同，那么2033年工厂的年产值为（ ） A. 6a B. 8a C. 9a D. 12a 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定信息，利用年增长率的意义，结合指数运算求解. 【详解】设原规划年平均增长率为，由2023年的年产值为a，10年后（2033年）产值为， 得，即，设实际年平均增长率为， 由2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，得， 即，因此2033年工厂的实际年产值为. 10. 已知无穷数列的各项均为正数，且对任意的正整数i，总存在正整数s，t（），满足，则（ ） A. 可能为常数列 B. 可能为等差数列 C. 不可能为等比数列 D. 可能为递减数列 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，不妨设，可知即可判断；对于B，易知公差不符合题意，再推导也不符合题意即可；对于C，若为等比数列，设，公比为，易知当时可解得即可判断C；对于D，易知为等比数列，，时符合题意． 【详解】对于A，若为常数列，不妨设， 显然，故A不符合题意； 对于B，若为等差数列，设公差为，易知时不符合题意， 当时，数列单调递增，则， ，故当时，不存在正整数s，t使得，故B错误； 对于C，若为等比数列，设，公比为， 若，则， 解得或（舍去）， 即可能为等比数列，当，时， 对任意的正整数i，总有，即即可，故C错误； 对于D，由C易知，为等比数列，，时，单调递减， 对任意的正整数i，总有， 即时，即满足，则可能为递减数列，故D正确． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 在△ABC中，若，，，则最大内角的余弦值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由三角形大边对大角判定边长所对的角 是最大内角，再直接套用余弦定理，把代入式子化简计算，即可求出最大内角的余弦值. 【详解】在 中，三边，，，根据大边对大角. 最长边所对的角 为最大内角. 由余弦定理：. 代入得：. 12. 在的展开式中，常数项为__________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】需先写出二项式展开式的通项公式，令的指数为 0 求出 的值，再代入通项公式计算常数项即可. 【详解】因为二项式 的通项为 ， 又因为，，， 所以 因为常数项要求 的指数为 0，所以，解得， 所以. 13. 已知向量，单位向量，向量满足，则的一个取值为__________. 【答案】0（答案不唯一，取值范围为） 【解析】 【分析】设，，可知点 的轨迹是以点 为圆心，半径的圆，根据数量积的坐标运算结合圆的性质分析求解. 【详解】设，，即，则， 因为，即，可知点 的轨迹是以点 为圆心，半径的圆， 可得，所以的一个取值为0. 14. 设函数，集合，其中.若集合M中共有3个元素，则 的取值范围是__________；若集合M中共有4个元素，则这4个元素乘积的最小值为__________. 【答案】 ①. ②. 140 【解析】 【分析】将方程根的个数转换成函数图象的交点个数，再结合指对数转换和二次函数性质即可求解. 【详解】方程根的个数，可转换成函数图象的交点个数， 如下图： 由函数图象可知，当时，函数图象共有3个交点， 故若集合M中共有3个元素，则 的取值范围是， 若集合M中共有4个元素，由图象可知 的取值范围是， 设4个元素由小到大为， 则，即，得， ，即，得， ，即，得， ，即，得， 所以， 故当时，取得最小值140. 15. 在物理实验中，当相互垂直的两个简谐振动的频率比为简单整数比时，示波器上会显示出一条“利萨如曲线”.曲线C：是一条常见的“利萨如曲线”.给出以下四个结论： ①若为曲线C上一点，则，； ②曲线C上两点间距离的最大值为； ③曲线C所围成的区域的面积小于3； ④过原点的直线与曲线C最多有3个公共点. 其中，所有正确结论的序号是__________. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据方程求的范围判断①，求出曲线上关于原点对称两点距离的最大值判断②，根据第一象限内曲线所围成面积的范围判断③，直线方程与曲线方程联立，由方程解得个数判断④. 【详解】由方程得，所以，解得，即， 又，所以，即，故①正确； 因为曲线C：的图象关于轴对称，关于原点对称， 则关于原点的对称点也在曲线C上，则，代入，可得， 令，则，对称轴方程为， 所以最大值为，即，故②错误； 由曲线关于两坐标轴对称，所以只看第一象限所围成面积，总的面积为， 第一象限中，，当时，，所以这一部分包含在直角三角形内，面积小于等于， 当时，由①知，所以这部分包含在矩形内，面积小于等于， 因此曲线在第一象限内面积，所以曲线所围成区域面积，故③正确； 若直线过原点斜率不存在时，直线方程 ，代入曲线 的方程，可得，解得，所以直线与曲线C的交点为； 当直线斜率存在时，设直线方程为，代入曲线 方程可得，解得 或，若，即时，，可得共有3个交点，若，则只有 一解，即交点只有1个，故④正确. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，，直线PC与底面ABC所成角的大小为. （1）求证： 平面PAB； （2）求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为平面ABC，所以即为直线PC与底面ABC所成的角，即， 在中，，所以，， 又，，所以，则 ， 又平面ABC，平面ABC， 所以， 因为，平面PAB， 所以 平面PAB. （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，可得，可求出各个长度，根据勾股定理，可证 ，根据线面垂直的性质定理，可证，根据线面垂直的判定定理，即可得证. （2）如图建系，求得各点坐标和所需向量坐标，分别求出平面PAC与平面PBC的法向量，根据二面角的向量求法，即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以B为原点，为x，y轴正方向，作垂直于平面ABC为z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设平面PAC的法向量，则， 所以，令，则，所以， 设平面PBC的法向量，则， 所以，令，则，所以， 则， 所以平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为. 17. 已知函数，其中. （1）求函数的最小正周期； （2）从条件①、条件②、条件③中选择一个条件作为已知，使得函数存在且唯一确定，当时，求函数的最大值和最小值. 条件①：； 条件②：函数在上单调递减； 条件③：函数为偶函数. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）选条件①或③：最大值为1，最小值为；不能选条件② 【解析】 【分析】（1）先根据三角恒等变换公式化简可得，进而结合周期公式求解即可； （2）选①：结合题设可得，进而求出，再根据正弦函数的性质求解；选②：由正弦函数的单调性结合题设可得到无解，因此不能选择此条件；选③：先得到，再结合正弦型函数的奇偶性求出，再根据正弦函数的性质求解. 【小问1详解】 由， 则函数的最小正周期为. 【小问2详解】 选条件①：由，则， 所以（舍去）或， 即，又，则，即， 当时，，则， 所以函数的最大值为1，最小值为. 选条件②：当时，， 因为函数在上单调递减， 所以，，无解，则函数不存在，不满足题意； 选条件③：由， 因为为偶函数，所以， 则，又，则，即， 当时，，则， 所以函数的最大值为1，最小值为. 18. 随着人们生活水平的提高，参观文博馆成为人们外出旅游的一项重要活动.某市2015年到2025年的文博馆接待的成年人和未成年人的参观次数（单位：万人次）统计图如下： 假设各年的参观情况互不影响. （1）在2016年到2025年这10年中任选一年，求这一年与其前一年相比，该市未成年人参观文博馆次数出现增长的概率； （2）从2015年至2020年这6年中任选1年.再从2021年至2025年这5年中任选2年，记选出的3年中该市年参观文博馆总人次超过120万的年数为X，求X的分布列和数学期望； （3）记2015年至2025年该市未成年人和成年人年参观文博馆次数的方差为和、年参观文博馆总人次的方差为，给出，，的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） X 0 1 2 3 P ， （3） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求解； （2）确定X的取值，求出每个值相应的概率，即可得分布列和数学期望； （3）根据数据的变化趋势以及波动情况即可得结论. 【小问1详解】 2016年到2025年共10年，依次与前一年比较未成年人参观次数， 其中增长的年份共8年，因此所求概率为； 【小问2详解】 2015-2020年共6年，总人次超过120万的年份有2个，不超过的有4个； 2021-2025年共5年，总人次超过120万的年份有2个，不超过的有3个。 X的可能取值为0，1，2，3，分别计算概率： ，， ，， 故X的分布列为： X 0 1 2 3 P ； 【小问3详解】 未成年人数据：波动较小（22，25，26，29，30，32，14，20，16，32，35），波动范围在14–35； 成年人数据：波动大（62，68，75，86，92，102，48，65，48，108，120），波动范围在48–120，且有明显下降回升， 总人次：波动更大（84，93，...，155），因为两个序列叠加且趋势类似， 由此从数据波动幅度可看出： 总人次波动最大，其次是成年人，最后是未成年人， 故. 19. 已知椭圆（）的左焦点为，点在椭圆C上. （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线与C交于A，B两点，过点A作AP垂直直线MF于点P，记和的面积分别为和，求证：. 【答案】（1） （2） 由题意，直线 的斜率显然存在且不为0， 设直线 的方程为，，， 联立，得， 则，即或， 且，则， 而 ， ，故. 【解析】 【分析】（1）将点代入椭圆方程可得，结合焦点可得，进而结合的关系求解即可； （2）设直线 的方程为，，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得，进而求证即可. 【小问1详解】 由点在椭圆C上，得， 而左焦点为，则，即，解得， 则椭圆C的方程为. 【小问2详解】 略 20. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）对于，讨论与的大小； （3）当 时，证明：方程存在两个根，，且. 【答案】（1） （2）当 时，；当时，；当时， （3） 因为的定义域为，，且 ， 令，解得 ；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 且当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0； 则与有2个交点，所以方程存在两个根，， 不妨设，则，且， 由（2）可知：当 时，， 则，即， 又因为，，且在内单调递减， 则，所以. 【解析】 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义求切线方程； （2）利用作差法可得，构造新函数，，利用导数判断单调性，进而分析符号； （3）利用导数判断的单调性和最值，即可证方程存在两个根，结合（2）中大小关系分析证明. 【小问1详解】 若，则，且， 可得，， 所以曲线在点处的切线方程. 【小问2详解】 由题意可知：的定义域为，则， 可得， 因为，且，则， 令，， 则， 令，，则， 令，解得；令，解得 ； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 即，可知在内单调递增，且， 当 时，则，可得，所以； 当时，则，可得，所以； 当时，则，可得，所以； 综上所述：当 时，；当时，；当时，. 【小问3详解】 略 21. 给定正整数n（），记集合或且.对于由中的三个元素组成的子集，若满足对于任意，均为偶数，则称该三元子集具有性质T. （1）在的子集中，写出一个具有性质T的三元子集；（结论不要求证明） （2）证明：在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集； （3）在的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集？说明理由. 【答案】（1）故答案不唯一，如 （2） 由题意，中共有个元素，故最多能选出个两两交集为空集的三元子集． 将中所有元素的第一个分量求和（一个元素可以看成一个数组， 第一个数字称为第一个分量，以此类推），知其和等于； 同理，所有第二个分量、第三个分量、⋯⋯的和均等于16. 假设能选出10个符合题意的三元子集，由题意，这10个三元子集覆盖了中的30个元素， 且每个三元子集的所有元素的每一个分量数字之和均为偶数． 故中余下的一个元素的每一个分量都是偶数，即只能为． 这与矛盾． 所以在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． （3），理由： 记，其中为偶数．不妨假设 时有意义． 当 时，的三元子集只有一个，且具有性质， 所以在中最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 记中具有性质的三元子集为． 当时，中有个元素，故最多有个两两交集为空集的三元子集． 因为的子集， 和 为两两交集为空集，且具有性质的三元子集（共5个）， 所以在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 设为中上述具有性质的三元子集中的任意一个， 同理，得中有个元素，即最多能有个两两交集为空集的三元子集， 且对于，可以对应构造出4个两两交集为空集，且具有性质的三元子集， 即， ， ， . 又因为为中具有性质的三元子集，且与上述集合的交集为空集， 所以在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 以此类推，得在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 【解析】 【分析】（1）根据集合的新定义直接求解； （2）利用反证法，结合集合的新定义证明即可； （3）分别分析，，中满足条件的子集个数，类比得出结论即可. 【小问1详解】 由题意，或且， 即， 则满足性质T的三元子集不唯一，如. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $