北京市西城区2026届高三5月模拟测试试卷数学

西城区高三模拟测试试卷 数 学 2026.5 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的右顶点到其渐近线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，为终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上单调递增，设，则函数是（ ） A. 奇函数，且在上单调递增 B. 偶函数，且在上单调递增 C. 奇函数，且在上单调递减 D. 偶函数，且在上单调递减 6. 在长方形中，，，是边上一点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 设函数，若不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体W和平面，则“正方体W的8个顶点中存在6个到平面的距离相等”是“平面将正方体W分成体积相等的两部分”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 某工厂2023年的年产值为a，这一年工厂制定10年规划，欲通过技术革新、管理优化等手段，促使工厂产值的年平均增长率为x%，以期2033年的年产值达到2023年的4倍.实践中，由于市场环境逐步向好，工厂产值的年增长率超过预期.已知2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，如果从2026年起未来8年（含2026年）的年平均增长率与前2年实际年平均增长率相同，那么2033年工厂的年产值为（ ） A. 6a B. 8a C. 9a D. 12a 10. 已知无穷数列的各项均为正数，且对任意的正整数i，总存在正整数s，t（），满足，则（ ） A. 可能为常数列 B. 可能为等差数列 C. 不可能为等比数列 D. 可能为递减数列 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 在△ABC中，若，，，则最大内角的余弦值为__________. 12. 在的展开式中，常数项为__________.（用数字作答） 13. 已知向量，单位向量，向量满足，则的一个取值为__________. 14. 设函数，集合，其中.若集合M中共有3个元素，则的取值范围是__________；若集合M中共有4个元素，则这4个元素乘积的最小值为__________. 15. 在物理实验中，当相互垂直的两个简谐振动的频率比为简单整数比时，示波器上会显示出一条“利萨如曲线”.曲线C：是一条常见的“利萨如曲线”.给出以下四个结论： ①若为曲线C上一点，则，； ②曲线C上两点间距离的最大值为； ③曲线C所围成的区域的面积小于3； ④过原点的直线与曲线C最多有3个公共点. 其中，所有正确结论的序号是__________. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，，直线PC与底面ABC所成角的大小为. （1）求证：平面PAB； （2）求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值. 17. 已知函数，其中. （1）求函数的最小正周期； （2）从条件①、条件②、条件③中选择一个条件作为已知，使得函数存在且唯一确定，当时，求函数的最大值和最小值. 条件①：； 条件②：函数在上单调递减； 条件③：函数为偶函数. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 随着人们生活水平的提高，参观文博馆成为人们外出旅游的一项重要活动.某市2015年到2025年的文博馆接待的成年人和未成年人的参观次数（单位：万人次）统计图如下： 假设各年的参观情况互不影响. （1）在2016年到2025年这10年中任选一年，求这一年与其前一年相比，该市未成年人参观文博馆次数出现增长的概率； （2）从2015年至2020年这6年中任选1年.再从2021年至2025年这5年中任选2年，记选出的3年中该市年参观文博馆总人次超过120万的年数为X，求X的分布列和数学期望； （3）记2015年至2025年该市未成年人和成年人年参观文博馆次数的方差为和、年参观文博馆总人次的方差为，给出，，的大小关系.（结论不要求证明） 19. 已知椭圆（）的左焦点为，点在椭圆C上. （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线与C交于A，B两点，过点A作AP垂直直线MF于点P，记和的面积分别为和，求证：. 20. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）对于，讨论与的大小； （3）当时，证明：方程存在两个根，，且. 21. 给定正整数n（），记集合或且.对于由中的三个元素组成的子集，若满足对于任意，均为偶数，则称该三元子集具有性质T. （1）在的子集中，写出一个具有性质T的三元子集；（结论不要求证明） （2）证明：在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集； （3）在的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集？说明理由. 西城区高三模拟测试试卷 数 学 2026.5 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】D 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】0（答案不唯一，取值范围为） 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 140 【15题答案】 【答案】①③④ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【16题答案】 【答案】（1）证明：因为平面ABC，所以即为直线PC与底面ABC所成的角，即， 在中，，所以，， 又，，所以，则， 又平面ABC，平面ABC， 所以， 因为，平面PAB， 所以平面PAB. （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）选条件①或③：最大值为1，最小值为；不能选条件② 【18题答案】 【答案】（1） （2） X 0 1 2 3 P ， （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2） 由题意，直线的斜率显然存在且不为0， 设直线的方程为，，， 联立，得， 则，即或， 且，则， 而 ， ，故. 【20题答案】 【答案】（1） （2）当时，；当时，；当时， （3） 因为的定义域为，，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 且当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0； 则与有2个交点，所以方程存在两个根，， 不妨设，则，且， 由（2）可知：当时，， 则，即， 又因为，，且在内单调递减， 则，所以. 【21题答案】 【答案】（1）故答案不唯一，如 （2） 由题意，中共有个元素，故最多能选出个两两交集为空集的三元子集． 将中所有元素的第一个分量求和（一个元素可以看成一个数组， 第一个数字称为第一个分量，以此类推），知其和等于； 同理，所有第二个分量、第三个分量、⋯⋯的和均等于16. 假设能选出10个符合题意的三元子集，由题意，这10个三元子集覆盖了中的30个元素， 且每个三元子集的所有元素的每一个分量数字之和均为偶数． 故中余下的一个元素的每一个分量都是偶数，即只能为． 这与矛盾． 所以在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． （3），理由： 记，其中为偶数．不妨假设时有意义． 当时，的三元子集只有一个，且具有性质， 所以在中最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 记中具有性质的三元子集为． 当时，中有个元素，故最多有个两两交集为空集的三元子集． 因为的子集， 和 为两两交集为空集，且具有性质的三元子集（共5个）， 所以在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 设为中上述具有性质的三元子集中的任意一个， 同理，得中有个元素，即最多能有个两两交集为空集的三元子集， 且对于，可以对应构造出4个两两交集为空集，且具有性质的三元子集， 即， ， ， . 又因为为中具有性质的三元子集，且与上述集合的交集为空集， 所以在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 以此类推，得在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $