湖南长沙市雅礼中学2026届高三数学模拟卷(一)

**基本信息** 高三数学模拟卷聚焦数学思维与应用能力，通过统计回归分析（腐蚀深度与时间）、立体几何证明等情境化试题，考查逻辑推理与数据观念，适配一模综合能力检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、向量、函数图像、解三角形、概率|结合图像辨析（第4题）、实际航行情境（第5题）考查直观想象| |填空题|3题15分|圆锥体积、函数性质P、椭圆与双曲线离心率|创新定义（第13题性质P）、跨曲线综合（第14题）体现探究性| |解答题|5题77分|统计回归、双曲线、三角函数、立体几何、数列|统计题（15题）培养数据观念，数列探究（19题）发展创新意识，注重逻辑推理与综合应用|

高三模拟卷(一) 数 学 命题人：童继稀 审题人：张鎏 周才凯 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知命题:∀x∈R,x+|x|≥0,则该命题的否定是 A. ∀x∈R,x+|x|<0 B.∀x∈R,x+|x|≤0 C. ∃x∈R,x+|x|≥0 D. ∃x∈R,x+|x|<0 2.已知复数 在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是 A.(-1,0) B.(-3,0) C.(0,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,+∞) 3.已知=(3,2),=(0,-1),若(-2)⊥(k-),则k= A. B. C.0 D. 4.如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-π，π]的大致图象，则该函数是 A. B C. D. 5.一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为25 n mile的圆形区域内.现有一艘货船在小岛中心的正东方向40 n mile处，沿北偏西60°的方向直线航行，则该货船在暗礁区内航行的路程为 A.0 n mile B.15 n mile C.30 n mile D.40 n mile 6.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“祝贺，你排在前两名.”对乙说：“遗憾，你不是第一名.”从这两个回答分析，这5人名次排列的所有可能情况共有 A.36种 B.42种 C.48种 D.54种 7.已知正项等比数列{an}的公比不为1，Tn为其前n项积，若T₇=1,则集合 中的元素个数为 A.13 B.17 C.18 D.20 8.已知曲线y=2ˣ上的点A，和曲线 上的两点 B，C，满足△ABC是等腰直角三角形，且直角边与坐标轴平行，则|AB|= A. B.2 C. D.3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知α,β,γ是三个不同的平面,且α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c,则三条直线a,b,c的位置关系可能是 A.三条直线两两平行 B.有且仅有两条直线平行 C.三条直线相交于同一点 D.有且仅有两条直线相交 10.甲罐中有2个黑球，5个白球，乙罐中有4个黑球，3个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，事件A 表示“由甲罐取出的球是黑球”；再从乙罐中随机取出一球事件B表示“由乙罐取出的球是黑球”，则 C.事件A 与事件B 相互独立 D. 11.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC=3ccosB,则 A. a=4ccos B B. B-C≥30° C. BC边上的中线长为c D.的取值范围是(1,3) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.将一个圆心角为 120°、半径为3 的扇形纸板作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为 . 13.若存在a∈R且a≠0,对任意的x∈R,均有 f(x+a)<f(x)+f(a)恒成立,则称函数 f(x)具有性质 P.请写出一个满足性质 P 的函数是 . 14.已知以原点为中心的椭圆C₁、双曲线C₂，与抛物线 有公共焦点 F，且在第一象限交于同一点 P.若C₂的离心率为2，则 C₁ 的离心率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分13分) 为了得到某种新产品表面的腐蚀刻线，技术员通过实验检测，发现该产品的腐蚀深度y(单位：μm)与腐蚀时间t(单位：s)有关，并收集数据如下表： 腐蚀时间t/s 5 10 15 20 30 40 腐蚀深度 y/μm 5 8 10 13 17 19 (1)根据表中样本数据，计算样本相关系数，并推断它们的线性相关程度； (2)建立y关于t的经验回归方程(系数精确到0.01)；若腐蚀时间为60s，请估计腐蚀深度.参考数据： 参考公式：相关系数 经验回归方程的斜率 截距 16.(本题满分15分) 已知双曲线 过点A(-1,0),且焦距为 (1)求双曲线的方程； (2)过定点(2，0)的直线l与双曲线Γ交于B，C两点，若AB=AC,，求直线 l的方程. 17.(本题满分15分) 已知函数 其中实数ω>0. (1)若f(x)的最小正周期为π,求 f(x)在x=0处的切线方程; (2)若f(x)在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，求ω的取值范围. 18.(本题满分17分) 如图，在三棱台.A'B'C'-ABC中， ,M,N分别为AC,BC的中点，且. (1)证明: (2)证明:平面. (3)若 求平面AB'N与平面ABC 的夹角的正弦值. 19.(本题满分17分) 已知有穷数列 满足 其中a>1,且最后一项 (1)当a=e,且m=2时，求x₁ 的取值范围； (2)当 时，如果m足够大， (i)证明：数列 为单调递减数列； (ii)探究数列 中是否存在连续三项成等差数列.若存在，说明有多少个；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $高三模似卷（一） 数学参考答案 一、二、选择题 题 号 1 2 5 o 10 11 答案 D A A A C B B B AC ABD ACD 5.C【解析】以小岛中心为原点，建立平面直角坐标系，则暗礁分布在圆x2十y=252内，而货船航行路线所在直 线方程为y=一 终40，即x士3y40=0,可得围心(0,0)到这直线的距高d=20,故货船在暗难区内粉 行的路程为2√252-d严=30 n mile. 6.B【解析】分两类：一类为甲排在第一名，共有A=24种，另一类甲排在第二名，共有AA=18种，则这5人 的名次排列所有可能情况数为24十18=42种. 7.B【解析】由T,=aig-1,解得a=g3,则T.=ag→=gm-1m).又g≠1，则T=T,T2=T,T,=T,其 余各项均不相等，可得集合{T6|1≤k≤20}中的元素个数为20一3=17. 2=2+d-1-4 8.B【解析】易知∠A为直角，设点A的横坐标为x,直角边AB长为d,则 由②式变形得 2-d=21-专@， 4=21+告，即2=d青，代入①式整理得2型3动4一2=0，解得d=2,故1AB=2 10.ABD【解折】由题意可得，P(A)=号，P()=号，P(BA)=名，P(BA)=音故A正确： 因为P(B)=PAP(BN十P不P(B①-号×号+号X青员故B正扇： 由P(AB)=号×营-是，PAP(B)=号×员-品可知PAB)≠P(P(B,所以事件A与亭件B不接 立，故C错误； 因为PAB=-言故D正疯 1l.ACD【解析】对于A选项，由已知条件可得sin Bcos C=3 cos Bsin C,则sinA=sin(B+C)=sin Bcos C+ cos Bsin C-4 cos Bsin C,有a=4 ccos B,故A正确； 对于B选项，由sin(B-C)=-sin Beos C-Bsin C--2 os Bsin C,可得sin(B-C=7sinA<号，解得B C≤30°或B-C≥150°（舍，因B是锐角），故B错误； 对于C选项，由余弦定理得b4忧。3C·,化简得2。于2，取C边的中点M.由 2ac cos∠AMB+cas∠AMC=0,解得AM=2B+2-a=,则AM=,故C正确： 4 对于D选项，由a2=2(B-2)>0,可得6>c,即2>1；再由6十c>a,两边平方整理得B-2bc-32<0,两边 同时除以得(2)-2(）-3<0，解符0<<3.综上可得1<<3，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 1222x 3 13.答案不限，例如：f)=2x+1:f)=(号)尸 14.3 【解析】设稀国C导+若-1a>6>0,双南线C后兰-10m>0,>0,不失一极，再授F1,0 F(-1,0,由G的离心率为2，可符m= 数学参考答案(H9)一1 法1：（利用方程）联立C:4r-号-1与C:y=4,可得12r-16x一3=0，解得=号我一言（含， 将x=号代入C方程得y=士6（舍负），即P(号6). 由PF1+1PF-√（受+1）+(6)F+√(-+(62=6，可得a=3:故C的离心率为号 法2：（利用定义）如图，C3的准线为直线x=一1，过点P向直线x=一1作垂线，垂足为H. 0 PFl=a+2 由椭圆和双曲线的定义知 PF,十PF=2a·解得 PF-PF=1, PFI=a-2, 再由抛物线的定义知PH=PF=a-2· 1 在△PFF中，由coS∠PFF= (a+2)'+2-(a-)》a- 2x2(a+ ，解得a=3,故C的离心率为号 a十2 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【解析】根据样本数据，可得t=20,y=12, D2=850,2y-2=144,∑0=0y-y》）=346. ()由相关系数公式，可得=345一≈345=23 V850X1460V34X5.83≈0.9.…6分 说明y与t的线性相关程度非常强，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系。…8分 (2)由最小二乘估计公式6-8部0.41d=y-5i≈12-041×20=3.8 即y关于t的经验回归方程为y=3.8十0.41x.… ……11分 当腐蚀时间为60s时，估计腐蚀深度是3.8十0.41X60=28.4m.…13分 16.【解析】(1)根据题意，a=1,c=√2，则b=c2一a2=1,可得双曲线厂的方程为x2一y2=1.…4分 (2)取线段BC的中点M,则AM⊥BC.…5分 直线BC的斜率显然不为0，设其方程为x=ty十2，联立双曲线方程可得(t一1)y2十4ty十3=0， 由f-1≠0，且4>0，解得≠士1，则十c=兰： …8分 则yw=yB十业=-2E 2 2 21w=w十2=2 …10分 由kAM·k=一1，可得kAM=一t;………12分 t2-1 又kAM= 名对名g=新得0或6，的分 故直线l的方程为x=2或x士√5y一2=0.…15分 17.【解析】由题可知画数f(x)=-sin@r一2sim2%+1=-sinw十COS=√2sin(ax十不） …2分 (1)由T=2红=元，解得w=2. ………4分 此时，fx)=2sim(2x+)且f()=22cos(2x+) 数学参考答案(H9)一2 则f0)=√2sim平=1，f(0)=22cos年=2， 可得f(x)在x=0处的切线方程为y1=2(x一0)，即y=2x十1 …8分 (2)由xe(0,),可得ar+牙∈（于om+), 9分 要使函数f(x)在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零，点，如下图所示： …11分 2π5π 3元 由图可知，受<m十≤3x,解符是<o<},即（骨，] …15分 18.【解析】(1)由MN为△ABC的中位线，可得MN∥AB且MN=2AB,…1分 又AB∥AB且AB'=2AB,则MN∥AB'且MN=AB', 可得四边形NMA'B是平行四边形，所以AM∥B'N.…3分 又A'M寸平面AB'N,B'NC平面AB'N,所以A'M∥平面AB'N. …4分 (2)由(1)可知AM∥BN,而AN⊥BN,则AN⊥AM.… 5分 由BM=Bi+2BC,A衣=BC-BA,可得AN.BM=-号B-BC.B+B 2=-8-0+8=0, 则AN⊥BM,即AN⊥BM.… …7分 由AN⊥A'M,AN⊥BM,且BM∩A'M=M,所以AN⊥平面A'BM, 又ANC平面AB'N,所以平面AB'N⊥平面A'BM.. …9分 (3)法1（综合法）：将AA',BB'延长相交于点P,设AB'∩BA'=G,AN∩BM-H, 则点G,H分别是△PAB,△ABC的重心，且AH=号AN,AG=号AB,可得GH∥BN. 由AN⊥B'N知GH⊥AN,又AN⊥BM,可得∠GHB为平面ABN与平面ABC的夹角.…11分 在Rt△AB'N中，AN=26,B'N=√6，则AB=√30， 在△ABB'中，由余弦定理AB'=BA+BB'-2·BA·BB·cs∠ABB,解得cOS∠ABB'=- 6 在△ABP中，B=(BA+B的)，则BA:=(Bi+B驴)=6，解得BA'=6, 14分 在△BAM中，BM=号AC=23,AM=CC=6,有BA+AM=BM,则△BAM为等腰直角三角形， 又GH,∥AM,则sin∠GHB=sin∠A'MB= 2 …17分 法2（坐标法）：如图，过，点B作之轴⊥平面ABC,建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(4,0,0),B(0,0,0),N(0,2√2,0).… …11分 数学参考答案(H9)一3 设B'(x,y,2),由B'B=B'N=√6，AB=√30， x2+y2+2=6, x=-1, 可得方程组x十(y一22)2十2=6，解得y=2, (x-4)2+y2+z2=30, =3, 即B'(-1W2,W3),有NA=(4,-22,0),NB=(-1,-√2，N3). …13分 设平面AB'N的法向量为n=(x,y,z), n·NA=0,4x-2√2y=0, 则 即 n.NB=0,-x-V2y+3x=0 令x=1,则y=√2，=√3，即n=(1,W2W3). …15分 平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1),由cos(n,m)= n·m 3 √2 n·m √1+2+3X121 设平面ABN平面ABC的夫商为0，则n0=√-（号）-号， 、即平面ABN与平面ABC的夹角的正弦值为号.」 17分 19.【解析】(1)当a=e,且m=2时，x2=lnx1-1,即x1=e+,且x2≤0. 结合函数y=e+I在R上单调递增，可得0<x1=e+中≤e, 即x1的取值范围为(0，e]. 3分 (2)(i)由xm+1一xn=logac一xn一loge,可设函数f(x)=logx一x-log.e, 对r)。11, xIna 令f(x)=0,解得x=na 1 5分 当x(0,a)时x)>0,可得fx)在(0，a)上单拥递增： 当x(a十o)时f)<0,可得f)在(a十e)上单调运减。 …7分 则fo)a=f(品a)=oahe品a 1-2=_ln(lna)+2 In a 当a>e时，ln(lna)+2>0,则f(x)mmx<0,即x+1一xm<0, 证得数列{xm}为单调递减数列.…9分 （ⅱ)假设x,x+1,x+2成等差数列，其中i∈N,则2x+1=x十x+2 又xi+1=logx,一loge,即x:=a+lge=ea', 又x+2=logx+1-log,e,则2x+1=eaH十logx+1-log.e, 变形得Cu十l0gx1一2x+1一l0ge=0.…11分 1 令g(x)=ear十logx-2x-loge,则g'(x)=elna·a'+- -一2 xIn a fa" 1=2eN xIn a 设p(x)=g,则p(r)=a(lna-D, 可得g✉)在(0，a)上单词递减，在（品。中上单调递培， =elna.…13分 Ina 因此，g'(x)≥2e·√elna-2=2e√1na-2≥2e√1ne-2=0,则g(.x)在(0，十o∞)上单调递增， 而limg(x)=-∞，limg(.x)=十∞，可知存在唯一的实数c∈(0，十o∞)，使得g(c)=0.…15分 取=，申=d=lg一ge-h时成等差数到 如果存在j∈N,且j≠i,西，x+1x+2也成等差数列，由以上证明过程可知x=,而由第(1)问数列{x}为 单调递减数列，有x≠x,矛盾. 故数列{xn}中有且仅有一个连续三项成等差数列.……17分 数学参考答案(H9)一4