8.4 用因式分解法解一元二次方程-【初中必刷题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(鲁教版 五四制)

该初中数学课件聚焦一元二次方程解法，以因式分解法为核心，通过中考真题导入，衔接基础解法与方法选择知识点，借助例题解析、易错警示及分层练习搭建学习支架，帮助学生逐步掌握解题思路。 其亮点在于分层设计（刷基础、提升、素养）与真题融入，结合运算能力（不同解法训练）、应用意识（直角三角形斜边长问题）及推理意识（十字相乘法步骤教学），助力学生巩固基础并提升综合能力，为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

数 学 八年级下册 LJ 1 2 3 第八章 一元二次方程 4 4 用因式分解法解一元二次 方程 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 1.【2025山东滨州期中】我们解一元二次方程 时，可以运用因式分解法， 将此方程化为，得到两个一元一次方程：， ， 从而得到原方程的解为， ．这种解法体现的数学思想是( ) D A.公理化思想 B.模型思想 C.函数思想 D.转化思想 【解析】由题可知，体现的数学思想是转化思想．故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 2.【2024山东泰安期中】用因式分解法解方程，下列选项中正确的是( ) A A.由，得或 B.由，得或 C.由，得或 D.由，得 【解析】用因式分解法解一元二次方程时，方程的右边为0，才可以达到化为两个 一元一次方程的目的，B、C选项错误；D选项应该是由,得 或 .综上，A选项正确.故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 3.【2024山东威海调研】若是方程的一个较大的根， 是方程 的一个较小的根，则 的值是( ) C A. B. C. D.2 【解析】，，或，解得或 是 方程的一个较大的根，.解方程得 或 是方程的一个较小的根， ， .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9 4.定义一种新运算：， ，则方程 的解是( ) A A.， B.， C.， D.， 【解析】原方程变形为，整理得 ，因式 分解，得，解得， ，故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 5.已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 的两个实数根， 则该直角三角形斜边上的中线长是( ) D A.3 B.4 C.6 D.2.5 【解析】原方程可变形为,则 , 或,解得,, 直角三角形两条直角边的长分别为 3，4， 斜边的长为, 该直角三角形斜边上的中线长为2.5.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 6.方程 的解为________________. ， 【解析】移项得, ，即 ,则或,解得， .故答案为 ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 易错警示 方程两边都含有代数式，不能直接消掉.因为当，即 时，等号也 成立，故 也是一元二次方程的根.应移项后再选择合适的方法解一元二次方程. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 7.已知是一元二次方程的一个实数根，则 ____. 【解析】把代入方程得，即 ，则 ，解得或，， .故答 案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 8.用因式分解法解方程： （1） ； 【解】，， ，则 或，解得， . （2） . 【解】，， ，解得 ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15 知识点2 用合适的方法解一元二次方程 9.【2025浙江台州期中】解方程 ，最合适的方法是 ( ) C A.直接开平方法 B.公式法 C.因式分解法 D.配方法 【解析】，提取公因式 ，得 ，即,解得, ,所以 最合适的方法是因式分解法，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16 10.【2025山东威海质检】关于的方程 ，下列解法完全正确的 是____．（填“甲”“乙”“丙”或“丁”） 甲：两边同时除以 得到 乙：移项得 ， ， 或 ， ， 丁 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 丙：整理得 . ，， ， ， ， ， 丁：整理得 ， 配方得 ， ， ， ， 续表 【解析】由题意知，丁的解法完全正确，故答案为丁. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11.【2025山东泰安调研】用适当的方法解下列方程： （1） ； 【解】，，， . （2） ； 【解】，两边同时加上4，得， ， ，， . （3） ； 【解】，，， ， ，， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 19 （4） ． 【解】 ，移项，得 ， ，或，， ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 提升 1.［中］已知实数，同时满足，，则 的值是 ( ) A A.1 B.1或 C. D. 【解析】， ，② 得，，， .当 时，，方程无实数根，不合题意，舍去. .故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 2.【2024山东德州模拟，中】关于的方程的两个根， 满 足，且，则 的值为( ) C A. B.1 C.3 D.9 【解析】，， 或，， ， ，解得 .故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 3.【2024浙江杭州期末，中】已知，为常数，若方程 的两个根与方 程的两个根相同，则 ____. 【解析】由方程，得，.因为方程 的 两个根与方程的两个根相同，则将代入 ，得 ，解方程，得，，所以.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 4.［较难］如图，已知，，是数轴上异于原点的三个点，且点为 的中点， 点为的中点．若点对应的数是，点对应的数是，则 ___. 6 【解析】是原点，且是的中点， 点表示的数是， 点 表 示的数是是的中点，， ， ,,解得， 点异于原点， ， .故答案为6. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 微专题3 用“十字相乘法”解一元二次方程 5.【2025吉林白城质检，中】【阅读与理解】将 分解因式，我们可以 按下面的方法解 答： ①竖分二次项与常数项：， . ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果需等于多项式中的一次 项） #1.1.3 ， .#1.1.4 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 ③横向写出两因式： . 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法. 根据乘法原理：若，则或，方程 可以这样求解： 方程因式分解得，则或，解得 ， .#1.1.7 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 【解决问题】 （1）二次项系数为1 试用上述方法和原理解下列方程： ① ； 【解】方程因式分解，得，或 ， ， . ② ； 【解】方程因式分解，得，或 ， ， . 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 ③ . 【解】方程因式分解，得，或 ， ， . 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 （2）二次项系数不为1 直接写出方程 的解. 【解】,.方程因式分解，得 ， 或，， . 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 刷素养 6.核心素养 运算能力［较难］阅读下面的例题. 解方程： . 解：①当时，原方程化为，解得或 （不合题意，舍 去）. ②当时，原方程化为，解得或1（不合题意，舍去） 原方程的解是或 . 请参照上述方法解方程 . 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 【解】①当，即时， ，方程化为 ，即，分解因式得，可得 或 ，解得 （舍去）或1. ②当，即时，，方程化为 ，即 ，分解因式得，可得或 ，解 得（舍去）或.综上，原方程的解为或 . 关键点拨 解答此题的关键是进行分类讨论并正确去掉绝对值符号． 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 $