8.4用因式分解法解一元二次方程 同步自主达标测试题 2025-2026学年鲁教版（五四制）（2012）八年级数学下册

2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册《8.4用因式分解法解一元二次方程》同步达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．方程的根是（  ） A．，1 B． C．0， D．0，1 2．用因式分解法解下列方程，正确的是（ ） A．，则或 B．，则或 C．，则或 D．，则 3．若一元二次方程的两根分别是，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 4．关于的一元二次方程的一个解是0，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 5．已知实数x、y满足，则的值是（    ） A．3 B． C．1 D．3或 6．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程的根，求这个三角形的周长等于（   ） A．11 B．14 C．10 D．11或14 7．关于的一元二次方程的两根分别为，3，则关于的一元二次方程的两根分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 8．已知三边分别为a、b、c，其中，，c是一元二次方程的一个根，则的面积是（    ）． A．12或 B．24或 C．24或 D．12或 二、填空题（满分24分） 9．小明在解方程时，只得出一个根，则被漏掉的一个根是____________． 10．已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则它的另一个根是________． 11．若最简二次根式和是可以合并的二次根式，则_______． 12．已知，如果等式成立，那么可取的值有__________个． 13．若关于x的方程的解是，则关于y的方程的解是______ 14．若正数a是关于x的一元二次方程的一个实数根，是关于x的一元二次方程的一个实数根，则a的值为______． 15．若直角三角形的两边长a，b是一元二次方程 的两个根，则这个直角三角形的第三边长为_________． 16．菱形的两条对角线相交于点O，若菱形的边长是的一个根，且，该菱形的面积是________． 三、解答题（满分72分） 17．选择适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．当m为何值时，关于x的方程在实数范围内无解？ 19．已知代数式，当代数式A的值比B的值大2时，求x的值． 20．关于的一元二次方程有实数根．求的取值范围；如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 21．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 22．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同根方程”．例如，和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同根方程”． (1)请判断一元二次方程与是否属于“同根方程”，说明理由； (2)关于的一元二次方程与为“同根方程”，求的值． 23．阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)． (2)． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程， 利用两因式的积为零，则这两个因式至少有一个为零可得． 【详解】解：∵ ∴或 解得：或 故选C． 2．B 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程的方法． 根据因式分解法解一元二次方程的步骤逐一判断即可． 【详解】解：A中，，右边不是0，无法得出或，此选项错误，不符合题意； B中，，则或，此选项正确，符合题意； C中，，不一定是或，此选项错误，不符合题意； D中，，则或，此选项错误，不符合题意； 故选：B． 3．D 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．利用因式分解法解方程，由此即可得． 【详解】解：A、的两根分别是，则此项不符合题意； B、的两根分别是，则此项不符合题意； C、的两根分别是，则此项不符合题意； D、的两根分别是，则此项符合题意； 故选：D． 4．A 【分析】本题考查一元二次方程的定义、一元二次方程的解及解一元二次方程，根据一元二次方程的定义得出是解题的关键． 把代入方程得，，求得或，再根据，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是0， ∴把代入得，， ∴ 解得或， ∵，即， ∴． 故选：A． 5．A 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，由条件可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得：或， ∵， ∴． 故选：A 6．B 【分析】本题考查了解一元二次方程，整理方程得，根据三角形三边的关系得到三角形第三边的长为，然后计算三角形的周长． 【详解】解：， 则， 则或， 所以，， 因为，所以舍去， 所以三角形第三边的长为， 所以三角形的周长， 故选：B． 7．C 【分析】本题主要考查解一元二次方程，由题意知或，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根分别为，3， 一元二次方程中，或， 则关于的一元二次方程中，或， 解得，， 故选：C． 8．C 【分析】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质、勾股定理及其逆定理、三角形面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由c是一元二次方程的一个根，可得或，再分2种情况讨论：①；②，再利用等腰三角形的性质、勾股定理及其逆定理、三角形面积公式即可求解． 【详解】解： ， 解得：，， ∵c是一元二次方程的一个根， ∴或， ①当时，则， 如图，作于点， 则， ∴， ∴； ②当时， 则， ∴是直角三角形， ∴； 综上，的面积是24或； 故选：C． 9． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ∴或， ∴或， ∴被漏掉的一个根是， 故答案为：． 10． 【分析】主要考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解的意义和解一元二次方程的方法是解题的关键． 把代入，得到关于k的方程，再求解即可求得k值，然后用因式分解法求解方程即可． 【详解】解：把代入， 得：， 解得：， 设另一个根为x，则 ， 解得或， 故答案为：． 11．或/或4 【分析】本题考查了同类二次根式的定义和解一元二次方程，熟练掌握定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，得，解方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：或． 12．4 【分析】本题主要考查了零指数幂性质，一元一次方程，一元二次方程解法，掌握任何不等于0的0次幂为1，底数为的偶次方为1，底数为1的任何次方为1是解题关键． 根据零指数幂的性质，得出或底数是－1指数是偶数或，解方程求出x，验证底数不为0即可． 【详解】解：∵， 分三种情况讨论： ∴或且指数为偶数或， （1）当时， ∴， 当时， ∴； （2）且指数为偶数时， 解得或， 当时，不符合题意舍去； 当时，， 所以； （3）当时， 因式分解得 解得 所以x可能的值有或0或或2，共4个. 故答案为：4. 13．， 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程的解是，，可得出关于的方程为或，解之即可得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程的解是，， ∴关于的方程的解为或， 解得：或， ∴关于y的方程的解为，． 故答案为：，．． 14．7 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的知识，解一元二次方程，解答本题的关键是求出m的值，此题难度一般；首先根据题意得到①和②，根据①②求出m的值，进而解一元二次方程可求出a的值． 【详解】解：正数a是关于x的一元二次方程的一个根， ①， 关于x的方程一元二次方程的一个根， ②， 由①②可得， ， 或， 是正数， ， 故答案为： 15．5或 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解一元二次方程求得直角三角形的两边长，分两种情况讨论求得即可． 【详解】解：∴， ， ∴或， 解得 当3 和4 为直角边长时，第三边长 ； 当4为斜边长时，第三边长 故这个直角三角形的第三边长为5 或 ． 故答案为：5或． 16．24 【分析】本题考查了菱形的性质，解一元二次方程-因式分解法，一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用解一元二次方程-因式分解法，求出，然后利用三角形的三边关系进行判断，再利用菱形的性质及勾股定理即可解答． 【详解】解：， ， 或， ， 当菱形边长是3时， ， 不能组成三角形； 该菱形的边长是5， 如图，连接，交于点O， ∵菱形中，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：24 17．(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程的常用解法有：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）先移项，把二次项系数化为1，再直接开平方法解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ∴， ∴或， ∴，． （2）解： 移项得：， ∴， 开平方得：，． （3）解： ∵，，， ∴， ∴， ∴，． （4）解： 移项得：， ∴， ∴或， 解得：，． 18． 或 【分析】本题考查了分式方程的解，一元二次方程根的判别式，掌握方程和不等式的解法是解答本题的关键. 把分式方程化为整式方程，根据分式方程无解，得出m的取值范围即可． 【详解】解：， 方程去分母得：， 整理得：， ∵方程无实数解， ∴， 解得：； 当，时分式方程无意义， 把代入得， 把代入得； 综上分析可知：当或时方程无实数解. 19． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵代数式A的值比B的值大2， ∴， ∴， 解得． 20．；的值为 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 利用判别式的意义得到，然后解不等式即可；利用前面的结论得到的最大整数为2，解方程解得，把和分别代入一元二次方程求出对应的，同时满足． 【详解】解：， 根据题意得， 解得； ∵是符合条件的最大整数， ∴， 方程变形为， 解得：， ∵一元二次方程与方程有一个相同的根， ∴当时，，解得； 当时，，解得， 而， ∴的值为． 21．(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的根的定义、根的判别式及解一元二次方程，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）由方程有两个实数根，利用根的判别式得到关于的不等式，解不等式求得的取值范围即可； （2）根据一元二次方程的根的定义得出，代入，得到关于的一元二次方程，解方程求出的值，根据（1）中所得的取值范围，确定的值即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：． （2）解：∵是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， 由（1）可知，， ∴． 22．(1)这两个方程是“同根方程”，见解析 (2)的值为1或4 【分析】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，从而完成求解． （1）结合题意，通过求解一元二次方程，即可得到答案； （2）首先求解，得；结合题意，将分别代入，从而计算得的值；再经检验符合的值是否符合题意，从而完成求解． 【详解】（1）解：这两个方程是“同根方程”， 理由：解，得，， 解，得，， 一元二次方程与有且只有一个相同的实数根， 这两个一元二次方程为“同根方程”； （2）解：解，得，， 一元二次方程与为“同根方程”， 当相同的实数根为时，将代入，得，解得，此时一元二次方程的另一个根为，符合题意； 当相同的实数根为时，将代入，得，解得，此时一元二次方程的另一个根为，符合题意； 综上，的值为1或4． 23．(1) ，，， (2) ，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程的方法，熟练运用换元法降次是解题的关键． （1）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程； （2）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 原方程的解为，，，； （2）解：原方程为， 即， 设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 对于，即， ， ， 对于，即， ， ， 原方程的解为，，． $