精品解析：江西吉安市五所县二中2025-2026学年高二下学期期中联考数学试卷

江西吉安市五所县二中2025-2026学年下学期高二期中考试联考数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知数列为等差数列，，则（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 16 2. 是的导函数，若的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 3. 在等比数列中，若，前3项和，则公比的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机变量，若，则（ ） A. 88 B. 90 C. 92 D. 94 7. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. 12 D. 21 8. 数列为等比数列，其中，，，为函数的导函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选题）下列求导运算错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 以下是不同成对样本数据的散点图，则下列说法正确的是（ ） A. 图（1）中成对样本数据呈负相关 B. 图（1）中成对样本数据的线性相关程度比图（2）中强 C. 图（1）中成对样本数据的相关系数大于图（2）中成对样本数据的相关系数 D. 若从图（2）样本中抽取一部分，则这部分的相关系数不变 11. 定义为数列的“优值”，已知某数列的“优值”，数列的前项和，则（ ） A. 为等差数列 B. 为递减数列 C. D. 成等差数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则_______. 13. 已知等差数列{}的前n项和是，，，则数列{||}中值最小的项为第___项． 14. 如图，在求解一些函数零点的近似值时，常用牛顿切线法进行求解．牛顿切线法的计算过程如下：设函数的一个零点，先取定一个初值，曲线在处的切线为，记与x轴的交点横坐标为，曲线在处的切线为，记与x轴的交点横坐标为，以此类推，每进行一次切线求解，我们就称之为进行了一次迭代，若进行足够多的迭代次数，就可以得到的近似值，设函数，令．进行三次迭代得到的________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，若 （1）求数列的通项公式. （2）证明:数列为等差数列. 16. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性． 17. 已知数列的首项，的前项和为，且. （1）证明数列是等比数列； （2）令，求函数在点处的导数. 18. 生活中运动对人体健康非常重要，为了了解不同年龄人群篮球运动的情况，随机调查了人，得到如下数据： 年龄 篮球运动情况 合计 经常运动 不经常运动 及以上 以下 合计 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为篮球运动的情况与年龄有关？ （2）某同学进行投篮训练，假设他第一次投中的概率是，后续如果前一次投中，则本次投中的概率为；如果前一次没有投中，则本次投中的概率为.记该同学第次投中的概率为，问： ①求. ②求证：为等比数列,并求出的通项公式. 附：. 19. 已知函数，其中． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若存在两个极值点的取值范围为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西吉安市五所县二中2025-2026学年下学期高二期中考试联考数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知数列为等差数列，，则（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列下标和性质计算可得. 【详解】解：在等差数列中，所以， 所以； 故选：A 2. 是的导函数，若的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用题给导数图像得到的正负情况，再利用导数几何意义即可求得单调性，进而得到的可能图象. 【详解】由的图象可得， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增. 则仅有选项C符合以上要求. 故选：C 3. 在等比数列中，若，前3项和，则公比的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列的首项为，根据题意列出方程组，求解即可. 【详解】解：设等比数列的首项为，公比为， 所以有方程组， 解得或. 故选：C． 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，得，解得，所以函数的单调递增区间为. 5. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导，在上单调递减，等价于在上恒成立，进而根据不等式恒成立问题求解即可. 【详解】因为函数，所以， 又函数在上单调递减， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则在上，，则. 当时，不恒为零，也符合题意， 所以实数的取值范围是. 故选：C 6. 已知随机变量，若，则（ ） A. 88 B. 90 C. 92 D. 94 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性可得. 【详解】因为，所以， 所以. 7. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. 12 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件得出数列为等差数列，即可求出其通项公式，进而求出即可代入求值. 【详解】由得，， 因，则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，则， 故. 故选：A 8. 数列为等比数列，其中，，，为函数的导函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合等比数列的性质可知，再对函数求导，代值即可求解 【详解】为等比数列，，， 则． 由 得， 则． 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选题）下列求导运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，是常数，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 10. 以下是不同成对样本数据的散点图，则下列说法正确的是（ ） A. 图（1）中成对样本数据呈负相关 B. 图（1）中成对样本数据的线性相关程度比图（2）中强 C. 图（1）中成对样本数据的相关系数大于图（2）中成对样本数据的相关系数 D. 若从图（2）样本中抽取一部分，则这部分的相关系数不变 【答案】AB 【解析】 【分析】根据相关系数的定义和意义进行辨析即可. 【详解】对于A：图（1）中，随着增大，整体呈减小趋势，因此成对样本数据呈负相关，A正确； 对于B：图（1）中数据点更贴近直线，线性相关程度比图（2）（数据点分散）强，B正确； 对于C：图（1）的线性相关性强，负相关的相关系数接近−1；图（2）线性相关性弱，相关系数绝对值小（接近 0）. 因此图（1）的相关系数（负数，绝对值大）小于图（2）的相关系数（接近 0），C错误； 对于D：从图（2）中抽取部分样本，数据分布会改变，相关系数会变化，D错误. 故选：AB. 11. 定义为数列的“优值”，已知某数列的“优值”，数列的前项和，则（ ） A. 为等差数列 B. 为递减数列 C. D. 成等差数列 【答案】AC 【解析】 【分析】由新定义可得，以替换，可得，两式作差可得数列的通项公式，然后逐一核对四个选项得答案． 【详解】解：由．得①， 所以当时，②， ①-②得当时，，即当时，， 当时，由①知，满足，所以， 数列是首项为2，公差为1的等差数列，故A正确，B错误． 又，所以，故C正确． 因为，，，所以 ，所以不构成等差数列，故D错误， 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则_______. 【答案】## 【解析】 【分析】直接求导代入即可. 【详解】，. 故答案为：. 13. 已知等差数列{}的前n项和是，，，则数列{||}中值最小的项为第___项． 【答案】10 【解析】 【分析】根据题意判断等差数列{}的，，，由此可判断数列的项的增减情况，进而确定答案. 【详解】由题意得：，∴， ，∴，， ∴，故等差数列{}为递减数列，即公差为负数， 因此的前9项依次递减，从第10项开始依次递增， 由于，∴{||}最小的项是第10项， 故答案为：10 14. 如图，在求解一些函数零点的近似值时，常用牛顿切线法进行求解．牛顿切线法的计算过程如下：设函数的一个零点，先取定一个初值，曲线在处的切线为，记与x轴的交点横坐标为，曲线在处的切线为，记与x轴的交点横坐标为，以此类推，每进行一次切线求解，我们就称之为进行了一次迭代，若进行足够多的迭代次数，就可以得到的近似值，设函数，令．进行三次迭代得到的________． 【答案】 【解析】 【详解】，， ， 曲线在处的切线方程为，化简得 令，即，解得，即 ， 曲线在处的切线方程为，化简得 令，即，解得，即 ， 曲线在处的切线方程为，化简得 令，即，解得，即 进行三次迭代得到的的值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，若 （1）求数列的通项公式. （2）证明:数列为等差数列. 【答案】（1） （2） 由(1)知， ， 所以，又， 故数列是以2为首项，1为公差的等差数列. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前n项求和公式列出方程组，解出公差和首项即可求解； （2）由（1）利用公式法求出等差数列的，可得，进而得，结合等差数列的定义即可判断. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意得，解得， 有， 所以等差数列的通项公式为； 【小问2详解】 略 16. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性． 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）由导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程； （2）求导后，分别在、和的情况下，根据正负得到函数单调性. 【小问1详解】 当时，，则，，又， 在点处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 由题意得：定义域为，； 当时，，在上单调递增； 当时，若，则；若，则； 在上单调递增，在上单调递减； 当时，若，则；若，则； 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 17. 已知数列的首项，的前项和为，且. （1）证明数列是等比数列； （2）令，求函数在点处的导数. 【答案】（1） 因为，所以， 所以， 又，即， 所以数列是公比和首项均为2的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义即可证明； （2）对进行求导，再利用错位相减法即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），所以， 所以， 所以， 设 所以， 所以， 所以， 又，所以. 18. 生活中运动对人体健康非常重要，为了了解不同年龄人群篮球运动的情况，随机调查了人，得到如下数据： 年龄 篮球运动情况 合计 经常运动 不经常运动 及以上 以下 合计 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为篮球运动的情况与年龄有关？ （2）某同学进行投篮训练，假设他第一次投中的概率是，后续如果前一次投中，则本次投中的概率为；如果前一次没有投中，则本次投中的概率为.记该同学第次投中的概率为，问： ①求. ②求证：为等比数列,并求出的通项公式. 附：. 【答案】（1）有关； （2）①； ②第一次投中的概率， 如果前一次投中，则投中的概率为；如果前一次没有投中，则投中的概率为. 所以第次投中的概率. 化简得到，所以， 计算首项，所以为首项是，公比为的等比数列. 所以，的通项公式是. 【解析】 【分析】（1）直接根据独立性检验计算判断可得； （2）①根据条件概率公式计算可得；②根据题意可得递推关系，再用定义证明等比数列，进而可求通项公式. 【小问1详解】 零假设为：篮球运动情况与年龄无关， 由列联表数据可得， 因为，，， 所以根据小概率值的独立性检验，认为不成立， 即认为篮球运动与年龄有关，此推断犯错误的概率不超过. 【小问2详解】 ①； ②略 19. 已知函数，其中． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若存在两个极值点的取值范围为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果； （2）求导后，分类讨论，根据导数的符号可得结果； （3）根据存在两个极值点可得，且，根据单调性可得，将化为，利用比值代换可求出结果. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 所以， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 的定义域是， ，， 令，则． ①当或，即时，恒成立，所以在上单调递增． ②当，即时，由，得或； 由，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减 【小问3详解】 由（2）当时，在上单调递增，此时函数无极值； 当时，有两个极值点，即方程有两个正根， 所以，则在上是减函数．所以， 因为， 所以 ， 令，则， ， 所以在上单调递减， 又，且， 所以， 由， 又在上单调递减， 所以且，所以实数的取值范围为． 【点睛】方法点睛：涉及到双变量的问题一般可以利用比值代换处理，本题中，将化为后，设，化为关于的函数，再利用导数进行处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $