精品解析：山东省淄博市沂源县2025-2026学年九年级下学期4月期中数学试题

山东省淄博市沂源县2025-2026学年九年级下学期4月期中 数学试题 本试卷分第I卷和第II卷两部分．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、班级、考场/考试号填写在答题卡和试卷规定的位置上，并准确填写、涂黑考号． 2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能写在试卷上． 3．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；需要在答题卡上作图时，可用2B铅笔，但必须把所画线条加黑． 4．评分以答题卡上的答案为依据，答案不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改、不按以上要求作答的答案无效，不允许使用计算器． 5．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在2，，，四个数中，最小的数是（ ） A. B. 2 C. D. 2. 未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年1月29号《哪吒之魔童闹海》在我国首映，截止3月10号全球累计票房已超过149亿元，目前位列全球影史票房第6名．其中149亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列几何体中，俯视图与主视图形状相同的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 2 6. 为增强学生体质，感受中国的传统文化，某学校将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间．下面图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟）：55，57，65，55，65，70，65，78，68，70．对这组数据判断正确的是（ ） A. 方差为3 B. 平均数为65 C. 众数为65 D. 中位数为67.5 8. 如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图象上．若直线的函数表达式为，则k值为（ ） A. 6 B. 12 C. 16 D. 24 9. 如图，在矩形中，，，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交，于M，N两点；再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点F；再以B为圆心，的长为半径画弧，交射线于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“方形点”，例如： ，，．．．都是“方形点”．下列结论： ①直线上存在“方形点”； ②抛物线上的2个“方形点”之间的距离是； ③若二次函数的图象上有且只有一个“方形点”，当时，二次函数的最小值为，最大值为，则实数的取值范围是； 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本大题共5小题，每小题，共20分，只要求填写最后结果． 11. 因式分解：=___． 12. 已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 13. 习近平总书记强调“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有前途，民族就有希望”．如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，则阴影部分的面积为________．（计算结果保留） 14. 张华和王亮平时的耐力与速度相差无几，李老师设计了一个赛跑方案，赛跑的全过程如图所示，甲，乙分别代表张华和王亮距起点的距离与出发时间的关系．当两人相距时，出发的时间是___________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形．．直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将，绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为_______ 三、解答题：本大题共8小题，共90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）化简分式：，并求值（请从小字和小丽的对话中确定，的值）． 17. 如图，四边形是菱形，点、分别在边、的延长线上，且．连接、． 求证：． 18. 为加强法制和安全教育，某学校印发了上级主管部门的“法治和安全等知识”学习材料．经过一段时间的学习，同学们都表示有了提高，为了解具体情况，学校开展了一次全校性竞赛活动，王老师抽取了这次竞赛中部分同学的成绩，并绘制了下面不完整的统计图表． 参赛成绩 人数 m 15 n 40 级别 及格 中等 良好 优秀 请根据所给的信息解答下列问题： （1）王老师抽取了_______名学生的参赛成绩； （2）将条形统计图补充完整； （3）若该校有1600名学生，请估计竞赛成绩在良好以上（）的学生有多少人？ （4）在本次竞赛中，学校发现六（1）班、七（4）班的成绩不理想，要求这两个班加强学习一段时间后，再由电脑随机从A，B，C，D四套试卷中给每班派发一套试卷进行测试，请用列表或画树状图的方法求出两个班同时选中同一套试卷的概率． 19. 新能源汽车有着动力强、油耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车店决定采购新能源甲型和乙型两款汽车，已知每辆甲型汽车的进价是每辆乙型汽车进价的1.2倍，若用2400万元购进甲型汽车的数量比用1800万元购进乙型汽车的数量多20辆． （1）求每辆甲型汽车和乙型汽车的进价分别为多少万元？ （2）该汽车4S店决定购进甲型汽车和乙型汽车共100辆，要求购进的甲型汽车不少于乙型汽车的1.5倍，问购进乙型汽车多少辆时，可使投资总额最少？最少投资总额是多少万元？ 20. 如图，在平面直角坐标中，点是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于、两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象回答，当时，的取值范围为______； （3）轴上有一点，当以点、、、为顶点的四边形的面积为时，求点的坐标． 21. 如图，，，，是上的四点，是直径，，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 22. 二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，点E是第三象限内的抛物线上的动点，过点E作轴，交x轴于点D，四边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出E点坐标； （3）如图2，点P是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点Q，在x轴上有一点，连接，在抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得，若存在，请求出点H的坐标． 23. （一）模型呈现（1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （二）模型体验（2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______； （三）模型拓展（3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程： （四）模型应用（4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省淄博市沂源县2025-2026学年九年级下学期4月期中 数学试题 本试卷分第I卷和第II卷两部分．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、班级、考场/考试号填写在答题卡和试卷规定的位置上，并准确填写、涂黑考号． 2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能写在试卷上． 3．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；需要在答题卡上作图时，可用2B铅笔，但必须把所画线条加黑． 4．评分以答题卡上的答案为依据，答案不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改、不按以上要求作答的答案无效，不允许使用计算器． 5．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在2，，，四个数中，最小的数是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，利用实数的大小比较，正数大于0，0大于负数，负数比较大小，绝对值大的反而小． 【详解】解：，， ∴， ∴在2，，，四个数中，， ∴最小的数是， 故选：A． 2. 未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合,这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A，不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； B，是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； C，不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； D，是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选D． 3. 2025年1月29号《哪吒之魔童闹海》在我国首映，截止3月10号全球累计票房已超过149亿元，目前位列全球影史票房第6名．其中149亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：亿， ， 故选：． 4. 下列几何体中，俯视图与主视图形状相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是从上面往下面看到的图形，主视图是从正面看到的图形，据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、的俯视图与主视图分别是带圆心的圆和三角形，故该选项是错误的； B、的俯视图与主视图分别是圆和长方形，故该选项是错误的； C、的俯视图与主视图都是正方形，故该选项是正确的； D、的俯视图与主视图分别是长方形和梯形，故该选项是错误的； 故选：C． 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方运算，合并同类项，同底数幂的乘法运，乘法分配律，理解相关知识是解答关键． 利用积的乘方和幂的乘方的运算法则来求解A；根据合并同类项来求解B；根据同底数幂相乘，底数不变指数相加来求解C；根据乘法分配律来求解D． 【详解】解：A．，此项计算正确，符合题意； B．不是同类项，不能合并，此项错误，不符合题意； C．，此项计算错误，不符合题意； D．，此项计算错误，不符合题意． 故选：A． 6. 为增强学生体质，感受中国的传统文化，某学校将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间．下面图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质及三角形的外角性质，熟记“两直线平行，同位角相等”及三角形的外角性质是解题的关键． 作辅助线，延长交于点，直接利用平行线的性质得出，进而利用三角形的外角性质得出答案． 【详解】解：如图所示：延长交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 7. 某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟）：55，57，65，55，65，70，65，78，68，70．对这组数据判断正确的是（ ） A. 方差为3 B. 平均数为65 C. 众数为65 D. 中位数为67.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均数、方差、众数、中位数，根据平均数、方差、众数、中位数的定义计算即可得解． 【详解】解：数据排序为：55，55，57，65，65，65，68，70，70，78， 数据出现的次数最多，故众数为65，故C正确； 中间位置的两个数为65，65，故中位数为，故D错误； 平均数为，故B错误； 方差为，故A错误； 故选：C． 8. 如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图象上．若直线的函数表达式为，则k值为（ ） A. 6 B. 12 C. 16 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】解方程求得，，得到，，过作轴于，过作轴于，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，设，，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到结论． 【详解】解：在中，令，则， 令，则， ，， ，， 过作轴于，过作轴于， 四边形是正方形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 设，， ，， ，， 点，点在反比例函数图象上， ， ，（不合题意舍去）， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 9. 如图，在矩形中，，，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交，于M，N两点；再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点F；再以B为圆心，的长为半径画弧，交射线于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图—角平分线，角平分线的性质和勾股定理．根据题意判断出BE为的平分线是解题关键． 过点F作于Q．由勾股定理可求出．根据题意可判定BE为的平分线，又可得出，从而可得出，，进而可求出．设，则，在中，根据勾股定理可列出关于x的等式，求出x，即得出FC的长，再利用勾股定理可求出BF的长，从而可求出EF的长． 【详解】如图，过点F作于Q ． ∵，， ∴． 根据题意可知为的平分线，， ∴，， ， ∴． ∴． 设，则． ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 10. 在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“方形点”，例如： ，，．．．都是“方形点”．下列结论： ①直线上存在“方形点”； ②抛物线上的2个“方形点”之间的距离是； ③若二次函数的图象上有且只有一个“方形点”，当时，二次函数的最小值为，最大值为，则实数的取值范围是； 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查新定义，一次函数图象性质，二次函数图象性质，二次函数最值，一元二次方程根的判别式．理解新定义和掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．把代入求解，得到“方形点”坐标，即可判定①；把代入抛物线求解，得到“方形点”坐标，再根据两点间距离公式求出“方形点”间的距离即可判定②；先根据二次函数的图象上有且只有一个“方形点”，求出a、c值，从而得出二次函数解析式，然后根据二次函数的最值求出m的取值范围，即可判定③． 【详解】解：①把代入，得 解得：， ∴直线上存在“方形点”，故①正确； ②把代入抛物线，得 解得：，， ∴抛物线上的2个“方形点”为和， ∴这2个“方形点”之间的距离是，故②不正确； ③把代入抛物线，得 ， 整理，得， ∵二次函数的图象上有且只有一个“方形点” ∴，解得：， ∴抛物线， ∵当时，二次函数的最小值为，最大值为， ∴，解得：， 故③错误， ∴正确的有①，共1个， 故选：B． 二、填空题：本大题共5小题，每小题，共20分，只要求填写最后结果． 11. 因式分解：=___． 【答案】 【解析】 【分析】根据提公因式法和公式法因式分解． 【详解】解：原式 ． 12. 已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 【答案】2029 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，熟练掌握一元二次方程的解和根与系数关系是关键． 先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再将变形为，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2029． 13. 习近平总书记强调“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有前途，民族就有希望”．如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，则阴影部分的面积为________．（计算结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形面积，解题的关键是掌握扇形面积公式．根据扇形面积公式，求出大扇形和小扇形的面积，最后根据即可求解． 【详解】解：根据题意可得：，， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 张华和王亮平时的耐力与速度相差无几，李老师设计了一个赛跑方案，赛跑的全过程如图所示，甲，乙分别代表张华和王亮距起点的距离与出发时间的关系．当两人相距时，出发的时间是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，分王亮提速前，王亮提速追上甲之前和王亮提速追上甲之后，三种情况列出方程进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：张华的速度为：； 王亮提速前的速度为：，提速后的速度为：； 王亮追上张华所用时间为：，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得； 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：（舍去）； 综上：或； 故答案为：或． 15. 如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形．．直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将，绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为_______ 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了点的坐标变化规律．根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， ， 将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点顺时针旋转得到等腰三角形，且， ， 依此规律， ∴每4次循环一周， ， ， ∴点与、、同在一个象限内， 、、的横坐标分别为、、，纵坐标分别为、、 ∴点， 故答案为：． 三、解答题：本大题共8小题，共90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）化简分式：，并求值（请从小字和小丽的对话中确定，的值）． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化简，然后算乘法，最后算加减法即可； （2）先化简，然后计算加法，再根据图可知，，最后将、的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） 由图可得，，， ∴原式． 17. 如图，四边形是菱形，点、分别在边、的延长线上，且．连接、． 求证：． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC=CD，∠ADC=∠ABC， ∴∠CDF=∠CBE， 在△BEC和△DFC中， ， ∴△BEC≌△DFC（SAS）， ∴CE=CF． 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到BC=CD，∠ADC=∠ABC，根据SAS证明△BEC≌△DFC，可得CE=CF． 【详解】略 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据菱形得到判定全等的条件． 18. 为加强法制和安全教育，某学校印发了上级主管部门的“法治和安全等知识”学习材料．经过一段时间的学习，同学们都表示有了提高，为了解具体情况，学校开展了一次全校性竞赛活动，王老师抽取了这次竞赛中部分同学的成绩，并绘制了下面不完整的统计图表． 参赛成绩 人数 m 15 n 40 级别 及格 中等 良好 优秀 请根据所给的信息解答下列问题： （1）王老师抽取了_______名学生的参赛成绩； （2）将条形统计图补充完整； （3）若该校有1600名学生，请估计竞赛成绩在良好以上（）的学生有多少人？ （4）在本次竞赛中，学校发现六（1）班、七（4）班的成绩不理想，要求这两个班加强学习一段时间后，再由电脑随机从A，B，C，D四套试卷中给每班派发一套试卷进行测试，请用列表或画树状图的方法求出两个班同时选中同一套试卷的概率． 【答案】（1）100 （2） 补图如下： ； （3）1200人 （4） 【解析】 【分析】（1）利用优秀人数÷优秀人数所占百分比即可； （2）分别求出及格人数与良好人数，补画条形图即可； （3）先求出样本中良好以上的百分比，再用样本的百分比×该校总人数计算即可； （4）画树状图，列举所有等可能情况，从中找出满足条件的情况，利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：， ∴王老师抽取了100名学生的参赛成绩， 故答案为：100； 【小问2详解】 解：及格人数为， 良好人数为， 补图略 【小问3详解】 解： ∴估计竞赛成绩在良好以上（）的学生有1200人； 【小问4详解】 解：画树状图如下， 由树状图可知，共有16种等可能的情况，其中两班都考同一试卷的情况有4种， ∴两个班同时选中同一套试卷的概率为． 【点睛】本题考查从条形图与扇形图获取信息与处理信息，样本容量，画条形图，用样本的百分比含量估计总体中的数量，画树状图求概率，掌握从条形图与扇形图获取信息与处理信息，样本容量，画条形图，用样本的百分比含量估计总体中的数量，画树状图求概率是解题关键． 19. 新能源汽车有着动力强、油耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车店决定采购新能源甲型和乙型两款汽车，已知每辆甲型汽车的进价是每辆乙型汽车进价的1.2倍，若用2400万元购进甲型汽车的数量比用1800万元购进乙型汽车的数量多20辆． （1）求每辆甲型汽车和乙型汽车的进价分别为多少万元？ （2）该汽车4S店决定购进甲型汽车和乙型汽车共100辆，要求购进的甲型汽车不少于乙型汽车的1.5倍，问购进乙型汽车多少辆时，可使投资总额最少？最少投资总额是多少万元？ 【答案】（1）每辆甲型汽车和乙型汽车的进价分别为10万元和12万元 （2）购进乙型汽车40辆时，可使投资总额最少，为万元． 【解析】 【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式和一次函数的实际应用： （1）设每辆乙型汽车的进价为万元，根据用2400万元购进甲型汽车的数量比用1800万元购进乙型汽车的数量多20辆，列出分式方程进行求解即可； （2）设购进乙型汽车辆时，可使投资总额最少，根据要求购进的甲型汽车不少于乙型汽车的1.5倍，列列出不等式求出的范围，设投资总额为万元，列出一次函数解析式，求出最小值即可． 【小问1详解】 解：设每辆乙型汽车的进价为万元，由题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴； 答：每辆甲型汽车和乙型汽车的进价分别为10万元和12万元； 【小问2详解】 设购进乙型汽车辆时，可使投资总额最少，由题意，得：， 解得：， 设投资总额为万元，则：， ∴随着的增大而减小， ∴当时，有最小值，为：； 答：购进乙型汽车40辆时，可使投资总额最少，为万元． 20. 如图，在平面直角坐标中，点是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于、两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象回答，当时，的取值范围为______； （3）轴上有一点，当以点、、、为顶点的四边形的面积为时，求点的坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）或； （3）点的坐标或． 【解析】 【分析】（）把代入得，可得反比例函数的解析式为，然后求出，最后把，代入求出解析式即可； （）根据函数图象即可得到不等式的解集； （）由得，当时，，当时，，求出，，然后分当时，和当时，两种情况可得关于的一元一次方程，然后解方程即可； 本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，解一元一次方程，正确地求出函数的解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴， 把，代入得，， ∴， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由图象得，当时，即时，的取值范围为或， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：设， 由得，当时，，当时，， ∴，， 当时， ， ∴， ∴点的坐标为， 当时， ， ∴， ∴点的坐标为， 综上可知：点的坐标或． 21. 如图，，，，是上的四点，是直径，，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接 ，并延长交 于 ． ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 又 ， ， 是 的半径．， 是 的切线； （2）． 【解析】 【分析】（1）通过连接辅助线 并延长交 于 ，利用圆中弦、角的关系（等弦对等圆心角、等腰三角形性质、三角形内角和 ），结合中位线平行关系及切线判定定理（半径垂直于直线则直线为切线 ）来证明 是切线； （2）依据（1）中得到的垂直、矩形关系，借助勾股定理，设半径列方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得 ，，． 四边形 是矩形， ， 在 中，， ， ， ，即 ， 在 中，， 即 ， 解得 的半径 ． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质（等弦对等圆心角、等腰三角形性质 ）、三角形中位线定理、切线的判定定理、矩形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握圆的性质、切线判定及勾股定理建立方程求解是解题的关键． 22. 二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，点E是第三象限内的抛物线上的动点，过点E作轴，交x轴于点D，四边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出E点坐标； （3）如图2，点P是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点Q，在x轴上有一点，连接，在抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得，若存在，请求出点H的坐标． 【答案】（1） （2）存在， （3）存在，H的坐标为或 【解析】 【分析】（1）把，分别代入抛物线，确定解析式即可； （2）设，则，则， 则，根据抛物线的性质解答即可． （3）取点，过点R作轴，交于点M，确定，连接并延长交对称轴直线于点，确定一个位置；过点C作轴，过点N作轴，二线交于点G，则四边形是矩形，在上取一点，使得，则，连接并延长交对称轴直线于点，确定第二个位置，解答即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数经过点， ∴将代入表达式， 得， 解得， ； 【小问2详解】 解：对于二次函数，当时，， ， 设， 轴， ， ， ， ， ∴当时，四边形面积最大，最大值为6， 此时E点坐标为； 【小问3详解】 解：存在， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，将代入直线的解析式得：， 解得， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴， ∴， 取点，过点R作轴，交于点M， 则， ∴， 连接并延长交对称轴直线于点， 根据题意，，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴点符合题意， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， 故； 过点C作轴，过点N作轴，二线交于点G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在上取一点，使得， 则， ∴， 连接并延长交对称轴直线于点， 根据题意，，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴点符合题意， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， 故； 综上所述，符合题意的点H坐标有，． 23. （一）模型呈现（1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （二）模型体验（2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______； （三）模型拓展（3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程： （四）模型应用（4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度． 【答案】（1）； （2）； （3）解：；理由如下， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （4）当时 【解析】 【分析】（一）由全等三角形的性质可得结论； （二）由全等三角形的性质得对应相等的线段，经过等量代换即可求出； （三）证明，得，由，得，进而可得结论： （四）在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为．由矩形性质及勾股定理证明，求出，证明，进而证明，为等腰三角形， 设，则，解直角三角形求出，，设，，证明，得，由二次函数的性质即可求解． 【详解】（一）解：， ， 故答案为： （二）解：四边形的周长为，， ， ， 的周长为，， ， ， ， 故答案为：； （三）略 （四）解：在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为． 在矩形中，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， 为等腰三角形， ， 设，则， ， ， ，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴，， 设，， ， ， ， 即， ，对称轴为直线， 当时，， 即当时，． 【点睛】本题主要涉及全等三角形的判定与性质、“一线三等角”模型等数学概念，利用“一线三等角”模型及全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而得出对应边相等；构造“一线三等角”模型，结合三角函数和相似三角形的性质及二次函数的性质，求解线段的最值及相应长度是正确解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $