期末复习：平面向量的数量积复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

期末复习：平面向量的数量积复习讲义 期末复习：平面向量的数量积复习讲义 知识点解析 一、平面向量数量积核心解题原理 1. 两大基础公式 1）定义式 ，为两向量夹角， 2）坐标式 若，则 2. 衍生核心性质 1. 垂直等价： 1. 模长公式： 1. 夹角余弦： 1. 分配律：；数乘可自由进出点乘 1. 不等式： 3. 两类解题思路原理 · 几何法：依靠模、夹角、图形（三角形、平行四边形）套用定义式； · 坐标法：建坐标系赋值坐标，转化代数四则运算，普适性最强。 二、通用标准解题步骤 路线 1：坐标法（首选，绝大多数题型） 1. 建立平面直角坐标系，把所有关键点写出坐标； 1. 拆解目标向量，写出每个向量的坐标表示； 1. 代入坐标数量积公式 展开计算； 1. 求模、夹角、垂直判定、最值都依托计算结果变形推导； 1. 含参数问题化简后解方程/不等式求参数范围。 路线 2：几何定义法（无坐标系、模长夹角清晰时） 1. 梳理已知：、、夹角或图形边长角度； 1. 遇和差向量先展开分配律：； 1. 代入求值； 1. 求模长先平方：，开方得模； 1. 夹角问题套再反求角度。 三、高频细分题型操作逻辑 1. 垂直判定 计算数量积，结果为 0 则垂直，不为 0 则不垂直； 1. 求向量模长 平方展开数量积运算，再开算术平方根； 1. 求两向量夹角 先算数量积与两个模，代入余弦公式，结合得角； 1. 数量积最值（动点问题） 坐标法设动点坐标，把数量积写成一元二次/三角函数式，利用函数单调性、配方求最值； 1. 三角形、平行四边形向量运算 优先分解基底向量，用基底表示所有向量后再做点乘展开。 例题分析 例1．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知向量，都是单位向量，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为都是单位向量，， 所以，所以， 所以. 例2．（25-26高一下·吉林长春·期中）已知是边长为1的正三角形，，是上一点且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量共线基本定理，结合图形求得，再由平面向量数量积的定义与运算律计算即得. 【详解】 因，，则， 故 又三点共线，则， 故，又因为是边长为1的正三角形 所以， . 例3．（2026·湖北·模拟预测·多选）已知点，，，，则（    ） A．三点共线 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，根据向量共线判断即可；对于B，根据向量的模的坐标表示求解即可；对于C，根据垂直关系的向量表示求解即可；对于D，根据向量夹角的计算公式求解即可. 【详解】对于A，，，又为公共点，所以三点共线，故A正确. 对于B，，，所以，故B错误. 对于C，，所以，即，故C正确. 对于D，，，所以，故D正确. 例4．（25-26高一下·陕西渭南·期中·多选）已知向量，，，其中，均为正数，且，则下列说法正确的是（    ） A．与的夹角为钝角 B．向量在上的投影数量为 C． D．的最大值为2 【答案】BCD 【分析】本题综合考查平面向量的数量积运算、投影的定义、向量共线的坐标表示以及基本不等式求最值，结合已知条件逐一分析选项即可. 【详解】选项A，计算两向量的数量积，且两向量不共线， 说明与的夹角为锐角，不是钝角，A错误； 选项B，向量在上的投影数量公式为，代入得，B正确； 选项C，先计算，由， 结合向量共线的坐标性质可得，整理得，C正确； 选项D：已知且，根据基本不等式， 代入得，化简得，当且仅当， 即时取等号，故的最大值为2，D正确。 例5．（25-26高一下·江苏南通·期中）若非零向量，的夹角为，且，，则在上的投影向量为__________． 【答案】 【详解】因为，所以， 解得：，所以， 所以在上的投影向量为. 例6．（2026·山东潍坊·三模）若两个单位向量，满足，则向量与的夹角为________． 【答案】/ 【分析】利用已知条件结合向量数量积运算律求出，再利用向量的数量积及模长求解即可. 【详解】因为，为单位向量，所以. 两边平方，可得，解得. 而， ， . 设向量与的夹角为，， 则，所以. 向量与的夹角为. 例7．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知． (1)若，求； (2)若的夹角为，求； (3)若，求与的夹角． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据向量平行得到两向量的夹角，结合数量积公式计算即可； （2）根据展开即可求解； （3）根据向量垂直，展开后结合数量积的计算公式即可求解. 【详解】（1）若，则与的夹角为或， 所以 或. （2）若的夹角为， 则 ， 所以． （3）若，则，即， 所以 ，即 ，解得， 又，所以． 例8．（25-26高一下·河南·阶段检测）已知平面向量，，且． (1)求在上的投影向量的坐标； (2)若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由向量垂直坐标点积为算出，得到，再求，套用投影向量公式代入求值； （2）先化简两个向量坐标，钝角满足数量积小于且不共线反向，先列式点积不等式求，再由平行条件算出并剔除，合并取值范围． 【详解】（1）因为，所以，解得， 所以，，，， 所以在上的投影向量为 所以在上的投影向量的坐标为． （2），， 因为向量与的夹角是钝角，则，且与不平行， 所以，解得， 又与不平行，则，所以， 所以实数的取值范围为． 变式训练 变式1．（25-26高一下·北京·期中）已知平面向量满足，且，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，得， 而，则. 变式2．（25-26高一下·广东佛山·期中）已知向量在向量上的投影向量为，，则（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】根据投影向量的运算公式进行求解即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为， 所以. 变式3．（25-26高一下·辽宁大连·期中·多选）已知平面向量，，，，且，已知向量与所成的角为，对任意实数恒有，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．若，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】基于推导出，选项A：代入数量积的基本定义公式，结合已知夹角反推向量的模；选项B：计算目标向量的数量积，通过结果是否为零来验证它们是否垂直；选项C：将代数式赋予几何意义，利用“两点之间线段最短”原理求两段距离之和的最小值；选项D：将角度恒定条件转化为动点在定圆上的轨迹（圆周角定理），利用等边三角形外接圆的直径求最大模即可. 【详解】由题意得，不妨设， 原不等式表示当时取最小值， 对于A，设， 为开口向上的二次函数，当时，取最小值，即取最小值， 即，进而，解得，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，， 不妨用点代表向量，点代表向量，点代表向量， 由几何意义可将原式转化为动点到定点的距离之和， 由两点间线段最短，当且仅当点位于线段上时，距离之和取最小值， 即， ，故C正确； 对于D，设坐标原点为，点分别代表向量， 由上知，所以为边长为1的等边三角形，其中为定点， 因为，则有，且的三个内角均为且内接于某圆， 所以点所在的轨迹为与相对的劣弧， 边长为1的等边三角形外接圆半径， 表示点到原点的距离，因为原点恰好也在此圆上， 所以，故D正确. 变式4．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中·多选）对于任意两个非零向量和，下列命题中正确的是（   ） A． B． C． D．向量与向量垂直 【答案】AD 【分析】应用数量积公式计算判断A，C，应用数量积运算律计算判断B，应用垂直数量积为0判断D. 【详解】对于任意两个非零向量和， ，A选项正确； ，不一定是1， 不一定成立，B选项错误； ，不一定是1，不一定成立，C选项错误； ，所以向量与向量垂直，D选项正确； 变式5．（25-26高一下·广东广州·阶段检测）已知，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角是________． 【答案】 【详解】． ， ． 所以，所以． 变式6．（2026·河南·三模）已知向量，，，若与的夹角为钝角，且与的夹角也为钝角，则的取值范围为_____. 【答案】 【分析】分别根据两组向量夹角为钝角的要求，列数量积小于0且排除共线反向的不等式，取交集得到t的取值范围. 【详解】由可得， 由得：，此时与的夹角为. 所以若与的夹角为钝角，则. 因为， 由，得， 由，得，此时与方向相同， 所以若与的夹角为钝角，则. 所以与的夹角为钝角，且与的夹角也为钝角，则. 变式7．（25-26高一下·福建漳州·阶段检测）已知向量，满足，向量的夹角为． (1)求的值； (2)求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的数量积定义和数量积运算律计算即可. （2）根据向量的模的公式计算即可. 【详解】（1）由题意可得，， 则； （2）由已知得 变式8．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）已知向量，． (1)求向量与的夹角的余弦值； (2)当k为何值时，与垂直？ 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）因为，， 所以， ， 设与的夹角为， 则． （2）因为，， 所以， 因为与垂直， 所以，即， 解得． 实战演练 1．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知向量在向量上的投影向量的模为2，且，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】运用向量投影，向量的概念以及向量数量积的计算解决问题. 【详解】向量在向量上的投影向量的模等于， 已知该模为2，，则有 ，解得. 2．（25-26高一下·广东广州·期中）若平面向量共起点时两两夹角相等，且，则（ ） A． B．6 C．3或6 D．或6 【答案】D 【分析】依题意可得夹角为或，再分夹角为和两种情况讨论，结合数量积的运算律即可得解. 【详解】因为平面向量，，共起点时两两夹角相等，所以夹角有两种情况， 即，，两两夹角为或， 当夹角为时，； 当夹角为时，， 则 . 综上所述：或. 3．（25-26高一下·重庆·期中·多选）已知向量，满足：，则（   ） A． B．与夹角的余弦值为 C．在上的投影向量坐标为 D．（）的最小值为1 【答案】AD 【详解】选项A：由，知， 平方可得 ，则成立； 选项B：，故不成立； 选项C：在上的投影向量为，故不成立； 选项D： 所以当时，取得最小值，正确. 4．（25-26高一下·山东青岛·期中·多选）已知向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若夹角为钝角，则 【答案】BC 【分析】对A：借助模长公式计算即可得；对B：借助向量平行性质计算即可得；对C：借助垂直于数量积关系计算即可得；对D：由题意可得且、不共线，计算即可得解. 【详解】对A：，解得，故A错误； 对B：由，则，解得，故B正确； 对C：由，则，解得，故C正确； 对D：若夹角为钝角，则且、不共线， 即有且， 解得且，故D错误. 5．（2026·湖北襄阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，若平面向量，满足，，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量加法的坐标运算及模的坐标表示列式，再利用换元，结合辅助角公式及正弦函数性质求出范围. 【详解】设，由，得， 由，得， 设， 因此 ， 所以的取值范围是. 6（25-26高一下·海南·阶段检测）已知向量，满足，，，则__________． 【答案】 【详解】. 7．（25-26高一下·河北唐山·期中）已知向量与的夹角为60°，，，求： (1)； (2)； (3)若，求实数k的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】(1)已知模长与夹角，利用数量积的定义计算数量积即可； (2)根据模长公式列出计算式，根据向量的乘法运算计算即可； (3)根据向量相乘数量积为0列出关于参数的等式，计算即可． 【详解】（1）因为向量与的夹角为60°，，， 故； （2）因为， 故； （3）因为，故； 整理得：，可得：，． 8．（25-26高一下·重庆·期中）已知向量是同一平面内的三个向量，向量， (1)求向量与的夹角的余弦值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)计算出的坐标，再用向量点积公式和模长公式，直接代入求夹角余弦值； (2)夹角为锐角需同时满足点积大于0和两向量不共线. 【详解】（1）因为向量， 所以， ，， 所以. （2）因为向量， 所以 因为与的夹角为锐角， 所以且两向量不同向， 由，解得， 又因为当时，由解得， 所以实数的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：平面向量的数量积复习讲义 期末复习：平面向量的数量积复习讲义 知识点解析 一、平面向量数量积核心解题原理 1. 两大基础公式 1）定义式 ，为两向量夹角， 2）坐标式 若，则 2. 衍生核心性质 1. 垂直等价： 1. 模长公式： 1. 夹角余弦： 1. 分配律：；数乘可自由进出点乘 1. 不等式： 3. 两类解题思路原理 · 几何法：依靠模、夹角、图形（三角形、平行四边形）套用定义式； · 坐标法：建坐标系赋值坐标，转化代数四则运算，普适性最强。 二、通用标准解题步骤 路线 1：坐标法（首选，绝大多数题型） 1. 建立平面直角坐标系，把所有关键点写出坐标； 1. 拆解目标向量，写出每个向量的坐标表示； 1. 代入坐标数量积公式 展开计算； 1. 求模、夹角、垂直判定、最值都依托计算结果变形推导； 1. 含参数问题化简后解方程/不等式求参数范围。 路线 2：几何定义法（无坐标系、模长夹角清晰时） 1. 梳理已知：、、夹角或图形边长角度； 1. 遇和差向量先展开分配律：； 1. 代入求值； 1. 求模长先平方：，开方得模； 1. 夹角问题套再反求角度。 三、高频细分题型操作逻辑 1. 垂直判定 计算数量积，结果为 0 则垂直，不为 0 则不垂直； 1. 求向量模长 平方展开数量积运算，再开算术平方根； 1. 求两向量夹角 先算数量积与两个模，代入余弦公式，结合得角； 1. 数量积最值（动点问题） 坐标法设动点坐标，把数量积写成一元二次/三角函数式，利用函数单调性、配方求最值； 1. 三角形、平行四边形向量运算 优先分解基底向量，用基底表示所有向量后再做点乘展开。 例题分析 例1．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知向量，都是单位向量，且，则（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·吉林长春·期中）已知是边长为1的正三角形，，是上一点且，则（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·湖北·模拟预测·多选）已知点，，，，则（    ） A．三点共线 B． C． D． 例4．（25-26高一下·陕西渭南·期中·多选）已知向量，，，其中，均为正数，且，则下列说法正确的是（    ） A．与的夹角为钝角 B．向量在上的投影数量为 C． D．的最大值为2 例5．（25-26高一下·江苏南通·期中）若非零向量，的夹角为，且，，则在上的投影向量为__________． 例6．（2026·山东潍坊·三模）若两个单位向量，满足，则向量与的夹角为________． 例7．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知． (1)若，求； (2)若的夹角为，求； (3)若，求与的夹角． 例8．（25-26高一下·河南·阶段检测）已知平面向量，，且． (1)求在上的投影向量的坐标； (2)若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 变式训练 变式1．（25-26高一下·北京·期中）已知平面向量满足，且，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一下·广东佛山·期中）已知向量在向量上的投影向量为，，则（    ） A． B．4 C． D．8 变式3．（25-26高一下·辽宁大连·期中·多选）已知平面向量，，，，且，已知向量与所成的角为，对任意实数恒有，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．若，则的最大值为 变式4．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中·多选）对于任意两个非零向量和，下列命题中正确的是（   ） A． B． C． D．向量与向量垂直 变式5．（25-26高一下·广东广州·阶段检测）已知，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角是________． 变式6．（2026·河南·三模）已知向量，，，若与的夹角为钝角，且与的夹角也为钝角，则的取值范围为_____. 变式7．（25-26高一下·福建漳州·阶段检测）已知向量，满足，向量的夹角为． (1)求的值； (2)求 变式8．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）已知向量，． (1)求向量与的夹角的余弦值； (2)当k为何值时，与垂直？ 实战演练 1．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知向量在向量上的投影向量的模为2，且，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（25-26高一下·广东广州·期中）若平面向量共起点时两两夹角相等，且，则（ ） A． B．6 C．3或6 D．或6 3．（25-26高一下·重庆·期中·多选）已知向量，满足：，则（   ） A． B．与夹角的余弦值为 C．在上的投影向量坐标为 D．（）的最小值为1 4．（25-26高一下·山东青岛·期中·多选）已知向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若夹角为钝角，则 5．（2026·湖北襄阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，若平面向量，满足，，则的取值范围是_____________． 6（25-26高一下·海南·阶段检测）已知向量，满足，，，则__________． 7．（25-26高一下·河北唐山·期中）已知向量与的夹角为60°，，，求： (1)； (2)； (3)若，求实数k的值． 8．（25-26高一下·重庆·期中）已知向量是同一平面内的三个向量，向量， (1)求向量与的夹角的余弦值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $