精品解析：山东东营市东营区胜利第一初级中学2025-2026学年下学期九年级期中数学试卷

山东省东营市东营区胜利第一初级中学2025-2026学年下学期九年级期中数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 无理数的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值的定义来求解即可． 【详解】解：无理数的绝对值是． 故选：． 【点睛】本题考查了算术平方根，无理数，实数的性质，正确理解负数的绝对值是正数是解答关键． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则、同类二次根式的定义、同底数幂的除法法则以及完全平方公式，逐一分析各选项的计算是否正确，进而选出正确答案． 【详解】解：选项：，计算正确； 选项：与不是同类二次根式，不能合并，计算错误； 选项：，计算错误； 选项：，计算错误； 综上，正确答案为． 3. 七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识，推导出是解题的关键． 由等腰直角三角形的性质得，由，得，而，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，和都是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 4. 七衡六间图是《周髀算经》中描述太阳运行规律和对应二十四节气的示意图，它有7个间隔等分的同心圆，每一圆为一衡，衡与衡之间称为间，每一衡表示一年内太阳在不同时期的运行轨道．最外圈为外衡，代表冬至；最内圈为内衡，代表夏至．七衡六间图不仅是一种天文观测工具，也是古人理解自然规律、制定历法的重要依据．以下是与七衡六间图相关的示意图(不考虑图形中的文字)，其中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A.是中心对称图形，但不是轴对称图形，故符合题意； B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； C.是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意； D.是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意． 5. 某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了运用列表法求概率，根据题意正确列表确定所有等可能结果数和符合题意的结果数是解题的关键． 先用列表法确定所有等可能结果数和符合题意的结果数，然后用概率公式计算即可． 【详解】解：设三款镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”分别用A、B、C表示： 根据题意列表如下： A B C A A，A A，B A，C B B，A B，B B，C C C，A C，B C，C 则共有9种等可能结果，其中甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的结果数为1，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是． 故选A． 6. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2024 D. 2021 【答案】A 【解析】 【分析】先利用根的定义得到关于m的关系式，再结合根与系数的关系得到两根之和，将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】∵ 是方程的根， 代入方程得： ，整理得 ． ∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． ∴． 7. 如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过D作于E，利用圆内接四边形的性质，等边三角形的性质求出，利用弧、弦的关系证明，利用三线合一性质求出，，在中，利用正弦定义求出，最后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解∶过D作于E， ∵是边长为的等边三角形的外接圆， ∴，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，解直角三角形等知识，灵活应用以上知识是解题的关键． 8. 如图，在中，．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交于点．以G为圆心，长为半径画弧，交于点H，连结．则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本作图得到垂直平分，，再根据线段垂直平分线的性质得到，，，于是可对选项进行判断；通过证明为的中位线得到，所以，则可计算出，则，于是可对选项进行判断；通过证明，利用相似比得到，然后利用，设，，得，解之得，再计算出，可对C、D选项进行判断． 【详解】由作法得垂直平分，， ，，，所以选项正确，不符合题意； ，， 为的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ，所以选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ，， ， ， ， 设，，得， 解之得（负舍）， ∴ ∴， ， 故C选项不正确，符合题意； ， ∴． 所以D选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和相似三角形的判定与性质． 9. 如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、动点问题的函数图象、直角三角形的性质以及二次函数和一次函数的性质，熟练掌握分阶段分析动点运动过程并建立函数关系式是解题的关键． 分点在上和点在上两个阶段，分别求出的面积与运动时间的函数关系式，再根据函数关系式判断图象． 【详解】解：当点在上时（）： 过点作于点． ，， ． 又，， ． ． 这是一个二次函数，开口向下，顶点在处，但此阶段，函数在上图象不断上升，当时，． 当点在上时（）, ∵四边形是平行四边形， ，点从到用时秒， 此时在上的运动距离为，方向上的高与上的高相同，即（当时，后续在上时，到的距离不变）． ， ． 这是一个一次函数，随的增大而减小，当时，． 综上，当时，是开口向下的二次函数的一部分，图象不断上升；当时，是一次函数，图象不断下降． 故选：A． 10. 如图，正方形的边长为4，点分别在边上，且，平分，连接，分别交于点，是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】证明，可判定①正确； 连接交于点，点关于直线对称，故的最小值是点与点重合时取得，且为,故的最小值是，故②正确； 先证明，得，可证，故③正确； 根据，故④正确． 【详解】解：①四边形是正方形， ， 又， ，即， ， ， ， ， ， ， ， 又平分， ， 又， ， 则有， 垂直平分，①正确； ②连接交于点，点关于直线对称， 又四边形是正方形， ， 故的最小值是点与点重合时取得，且为， 故的最小值是，故②正确； ③由①可得，， ， ，则， 又， ，故③正确； ④由①知， ， 由②知，，故④正确， 正确的结论有4个． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握性质是解题的关键． 二、填空题（第11题-14题每小题3分，第15-18题每小题3分，共28分） 11. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 12. 把多项式分解因式的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，然后再用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 13. 写出满足不等式组的所有整数解的和_____ ． 【答案】2 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，先解出不等式组的解集，再找出解集内的所有整数解，计算其和即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：，即， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的所有整数解为， 所有整数解的和为：． 14. 如图，在中，，则的面积为_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，过点作交的延长线于点，由可得，得到为等腰直角三角形，即得到，由勾股定理可得，进而得和的长，再根据面积公式即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作交的延长线于点，则， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴. 15. 如图，花园围墙上有一宽的矩形门，量得门框对角线的长为．现准备打掉部分墙体，使其变为以为直径的圆弧形门，则要打掉墙体的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不规则图形面积，涉及勾股定理、含直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、扇形面积公式、圆面积公式及不规则图形面积的间接表示等知识，先利用勾股定理得到矩形长、宽，在判定是等边三角形，求出，间接表示不规则图形面积，代值求解即可得到答案，熟练掌握含直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质及扇形面积公式是解决问题的关键． 【详解】解：，， 在中，由可知，则勾股定理可得， ， 连接交于，如图所示： 由矩形性质可知，则是等边三角形， ， 要打掉墙体的面积是， 故答案为：． 16. 如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点．若，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正切的定义，等腰三角形的性质，由题意，设的边长，，，则小正方形的边长，由等腰三角形的性质可得，从而得出，证明，由相似三角形的性质求出，最后由正切的定义即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”， ∴为直角三角形，， 设的边长，，， ∴小正方形的边长， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 17. 如图，若菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图像过点和菱形的对称中心，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，，设，可得，，求得，过点作于，再利用勾股定理求得，从而可求得点的坐标，再求出即可． 【详解】解：∵菱形的顶点在轴正半轴上，， ∴，， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， 过点作于， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线l的表达式为，点的坐标为，以O为圆心，为半径画弧，交直线l于点，过点作直线l的垂线交x轴于点；以O为圆心，为半径画弧，交直线l于点，过点作直线l的垂线交x轴于点；以O为圆心，为半径画弧，交直线l于点，过点作直线l的垂线交x轴于点；…按照这样的规律进行下去，点的横坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数性质应用，等腰直角三角形的判定与性质及点的坐标规律问题，作轴于点H，依次求出，找出规律即可解决． 【详解】解：作轴于点H， ，……均在直线上， ， ∴， ∵，， ， ∵， ∴， ， ， ∴， 同理，， ∴， 同理，， ， ……， ∴， 即点的横坐标是， 故答案为：． 三、解答题（共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. （1）计算： （2）先化简，再求值：•（1＋）÷，其中x＝2 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）先分别计算立方根、绝对值、特殊角的正切及负整数指数幂，再按照从左到右计算即可； （2）先将括号里转化成同分母分式相加，再把各个多项式分别分解因式，进行化简得到结果，再代入x的值进行分母有理化计算即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 当时，原式 【点睛】本题考查了实数的计算及分式的化简求值，涉及开立方、化简绝对值、特殊角的正切及负整数指数幂的运算和分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． 20. 聚焦“双减”落地，凸显“特色”作业．随着暑假来临，某校为学生制定了四类假期实践作业：A.非遗传承人；B.运动打卡师；C.睡眠科学家；D.今天我当家．某班就“你最喜欢哪一类作业”（必须选且只能选一类）进行调查，通过调查绘制出如下不完整的统计图． 请你根据图中的信息解答下列问题： （1）求该班此次调查的学生人数； （2）求的值，并补全条形统计图； （3）开学后，老师准备在甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名同学进行假期实践类作业分享，请利用树状图或列表的方法求恰好达到“甲”和“乙”两位同学的概率． 【答案】（1）该班此次调查的学生人； （2） ，补全条形图如下： （3）恰好选到“甲”和“乙”两位同学的概率为： 【解析】 【分析】（1）根据非遗传承人的人数和占比求解即可； （2）根据（1）求出的总学生和今天我当家的人数求出，再求出选择“运动打卡师”假期实践作业的人数，进而补全条形统计图即可； （3）根据题意，用树状图法列出所有等可能结果，进而计算概率即可． 【小问1详解】 解：（人）， 答：该班此次调查的学生人； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 选择“运动打卡师”假期实践作业的人数为（人）， 补全条形图略 【小问3详解】 解：把“甲、乙、丙、丁”分别记为， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中恰好选到“甲”和“乙”两位同学的结果有种， ∴恰好选到“甲”和“乙”两位同学的概率为：． 21. 如图，为的直径，点D为上一点，连接，点E是的中点，连接，弦与弦交于点F，点C在的延长线上，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）易得，再根据圆周角可得，则，据此得证； （2）设，则，，进而可得，求出x即可得解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， 设， 在中， ∵， ∴， ∴在中，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 22. 如图1，张老师家的洗手盆上装有一种抬起式水龙头．洗手盆及水龙头示意图如图2，开启前把手与水平线平行，完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，且所成的直线与洗手盆底的夹角为，，． （1）水龙头从闭合到完全开启，求A点上升的高度； （2）求的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】（1）A点上升的高度 （2）的长为 【解析】 【分析】（1）过点A作于G，作于N，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）证明四边形为矩形，得，．解求出，，解，得，由可得结论． 【小问1详解】 解：过点A作于G，作于N， 在中，，， 由题意得，． 答：A点上升的高度． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，． 在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 答：的长为． 23. 某商店购进一批单价为15元的鲁班锁，销售一段时间后发现：若按每个20元的价格销售，每月能卖300个；若按每个25元的价格销售，每月能卖250个．假定每月销售个数是销售价格（单位：元个）的一次函数． （1）试求与之间的函数关系式； （2）在不考虑其他因素的条件下，销售价格应定为每个多少元，能尽快减少库存，且使每月可获利润3000元？ 【答案】（1） （2）30元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用. （1）由待定系数法求解即可； （2）根据每月可获利润3000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 根据题意得：， 解得：， 与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 由题意得：， 解得：，， 由（1）可知，， ， 随的增大而减小， 尽快减少库存， 当时，取最大值， 答：销售价格应定为每个30元，能尽快减少库存，且使每月可获利润3000元． 24. 在中，，点是边上的一个动点，连接． 【问题发现】 （1）如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，，若，则与的数量关系是_______， _______度； 【类比迁移】 （2）如图，将绕点逆时针旋转得到，点在上，且，若，，则与的数量关系是_______， _______度．请证明你的结论； 【拓展应用】 （3）如图，在（2）的条件下，当点在直线上移动时，其他条件不变，取线段的中点，连接，，当是直角三角形时，求线段的长． 【答案】（1）， （2） 解：，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，即：， ，； （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质和等腰直角三角形的性质，通过证明三角形全等，从而得到线段的数量关系和角度； （2）通过证明两边对应成比例且夹角相等，判定三角形相似，结合相似三角形的性质推导线段关系和角度； （3）结合直角三角形斜边中线的性质，得出，再根据等腰直角三角形的特征求出的长度，分点在线段上和在的延长线上两种情况，利用勾股定理列方程求解线段的长． 【小问1详解】 解：由旋转的性质可知：，， 又， ， 即， 在和中： ， ，， 在中， ，， ， ， ； 综上，与的数量关系是，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）知，点是的中点， ， ， ， ， 是直角三角形， ，， ， ， 设，则， ，，， ， ①如图，当点在线段上时， ， ， ， ， ，（舍去）， ②如图，当点在的延长线上时， ， ， ， ， ， ，（舍去）， 综上所述，的长为或． 25. 如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． （1）求二次函数的表达式； （2）点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标； （3）点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）二次函数解析式为 （2） （3）存在，以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）把代入，运用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到，由正切值的计算得到，结合题意，，设，过点作轴于点，代入计算即可求解； （3）根据题意得到二次函数对称轴直线为，设，，且，根据平行四边形的性质得到，对角线的交点的横坐标相等，由此即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：二次函数解析式为， ∴当时，， 因式分解得，， 解得，， ∴， ∴， 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵点Q是抛物线在第三象限上的一点， ∴设，过点作轴于点， ∴，， ∵满足， ∴， ∴， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，，（舍去）， ∴，则， ∴； 【小问3详解】 解：二次函数解析式为， ∴对称轴直线为， 设，，且， 当四边形是平行四边形时， ∴对角线交点的横坐标相等，即， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，存在以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省东营市东营区胜利第一初级中学2025-2026学年下学期九年级期中数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 无理数的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 七衡六间图是《周髀算经》中描述太阳运行规律和对应二十四节气的示意图，它有7个间隔等分的同心圆，每一圆为一衡，衡与衡之间称为间，每一衡表示一年内太阳在不同时期的运行轨道．最外圈为外衡，代表冬至；最内圈为内衡，代表夏至．七衡六间图不仅是一种天文观测工具，也是古人理解自然规律、制定历法的重要依据．以下是与七衡六间图相关的示意图(不考虑图形中的文字)，其中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2024 D. 2021 7. 如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交于点．以G为圆心，长为半径画弧，交于点H，连结．则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为4，点分别在边上，且，平分，连接，分别交于点，是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（第11题-14题每小题3分，第15-18题每小题3分，共28分） 11. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于用科学记数法表示为______． 12. 把多项式分解因式的结果是________． 13. 写出满足不等式组的所有整数解的和_____ ． 14. 如图，在中，，则的面积为_____ ． 15. 如图，花园围墙上有一宽的矩形门，量得门框对角线的长为．现准备打掉部分墙体，使其变为以为直径的圆弧形门，则要打掉墙体的面积是_______． 16. 如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点．若，则的值是________． 17. 如图，若菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图像过点和菱形的对称中心，则的值为__________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线l的表达式为，点的坐标为，以O为圆心，为半径画弧，交直线l于点，过点作直线l的垂线交x轴于点；以O为圆心，为半径画弧，交直线l于点，过点作直线l的垂线交x轴于点；以O为圆心，为半径画弧，交直线l于点，过点作直线l的垂线交x轴于点；…按照这样的规律进行下去，点的横坐标是_________． 三、解答题（共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. （1）计算： （2）先化简，再求值：•（1＋）÷，其中x＝2 20. 聚焦“双减”落地，凸显“特色”作业．随着暑假来临，某校为学生制定了四类假期实践作业：A.非遗传承人；B.运动打卡师；C.睡眠科学家；D.今天我当家．某班就“你最喜欢哪一类作业”（必须选且只能选一类）进行调查，通过调查绘制出如下不完整的统计图． 请你根据图中的信息解答下列问题： （1）求该班此次调查的学生人数； （2）求的值，并补全条形统计图； （3）开学后，老师准备在甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名同学进行假期实践类作业分享，请利用树状图或列表的方法求恰好达到“甲”和“乙”两位同学的概率． 21. 如图，为的直径，点D为上一点，连接，点E是的中点，连接，弦与弦交于点F，点C在的延长线上，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 22. 如图1，张老师家的洗手盆上装有一种抬起式水龙头．洗手盆及水龙头示意图如图2，开启前把手与水平线平行，完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，且所成的直线与洗手盆底的夹角为，，． （1）水龙头从闭合到完全开启，求A点上升的高度； （2）求的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 23. 某商店购进一批单价为15元的鲁班锁，销售一段时间后发现：若按每个20元的价格销售，每月能卖300个；若按每个25元的价格销售，每月能卖250个．假定每月销售个数是销售价格（单位：元个）的一次函数． （1）试求与之间的函数关系式； （2）在不考虑其他因素的条件下，销售价格应定为每个多少元，能尽快减少库存，且使每月可获利润3000元？ 24. 在中，，点是边上的一个动点，连接． 【问题发现】 （1）如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，，若，则与的数量关系是_______， _______度； 【类比迁移】 （2）如图，将绕点逆时针旋转得到，点在上，且，若，，则与的数量关系是_______， _______度．请证明你的结论； 【拓展应用】 （3）如图，在（2）的条件下，当点在直线上移动时，其他条件不变，取线段的中点，连接，，当是直角三角形时，求线段的长． 25. 如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． （1）求二次函数的表达式； （2）点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标； （3）点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $