祖暅原理与几何体的体积 课件-2027届高三数学一轮复习

祖暅原理与几何体的体积 1 知识点一 祖暅原理 1.祖暅原理 幂势既同,则积不容异. 含义：夹在________________的两个几何体,如果被_______________ _____的任意平面所截,两个截面的面积________,那么这两个几何体 的体积__________. 两个平行平面间 平行于这两个 平面 总相等 一定相等 2.祖暅原理的应用 __________、______的两个柱体或锥体,体积相等. 等底面积 等高 课 前 预 习 2 【诊断分析】 （1）柱体的体积可以转化为长方体的体积吗? 解：可以.依据柱体的定义、性质和祖暅原理可知,柱体的体积可以转 化为长方体的体积. （2）祖暅原理用来解决什么问题? 解：祖暅原理提供了求不规则几何体体积的一种方法. 课 前 预 习 3 知识点二 柱体、锥体、台体的体积公式 几何体 体积公式 说明 柱体 为柱体的________, 为柱体的____ 锥体 为锥体的________, 为锥体的____ 台体 , 分别为台体的 ________________, 为台体的____ 底面积 高 底面积 高 上、下底面面积 高 课 前 预 习 4 【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）底面积相等、高相等的一个三棱柱与一个四棱柱的体积不相等. ( ) × （2）锥体的体积是等底面积、等高的柱体的体积的三分之一.( ) √ 课 前 预 习 5 2.用变化的观点分析圆台与圆柱、圆锥之间的相互联系，你能发现三 者的体积公式之间的关系吗? 解：圆柱和圆锥是圆台的特殊情形，当圆台的上、下底面半径接近 相等时，圆台接近于圆柱，圆台的体积公式变为圆柱的体积公式； 当圆台的上底面半径接近于零时，圆台接近于圆锥，圆台的体积公 式变为圆锥的体积公式. . 课 前 预 习 6 知识点三 球的体积 如果球的半径为，那么球的体积计算公式为 _ ____. 课 前 预 习 7 【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） 球是曲面几何体,其体积公式不能推导出来.( ) × 2.将一个气球（看作一个球）的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来 的几倍？ 解：设气球原来的半径为，则气球原来的体积 ， 气球的半径扩大1倍后，半径变为 ，则气球扩大后的体积 ， 所以将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的8倍. 课 前 预 习 8 知识点四 组合体 1.概念：由简单几何体组合而成的几何体一般称为组合体.常见的组 合体大多是由柱、锥、台、球等几何体组成的. 2.求组合体的体积（或表面积）时，只需要算出其中每个几何体的体 积（或表面积），然后再处理即可. 课 前 预 习 9 探究点一 多面体的体积 例1（1）[2025·山西阳泉高一期中] 中国国家馆以“城市发展中的中 华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶 百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的 正四棱台，若， ，侧面面积为 ，则该正四棱台的体积为_ ____. 课 中 探 究 10 [解析] 取正四棱台 的上、下底面的 中心分别为，，棱，的中点分别为， ， 连接，，，，则， 分别是正四 棱台 的高和斜高. 依题意,解得 ， 在直角梯形中，，，， ， 则 ， 所以正四棱台 的体积 . 课 中 探 究 11 （2）如图，在长方体 中， , ，求四棱锥 的体积. 解：连接，如图所示,则 ， 又 ，所以 . 课 中 探 究 12 变式（1）如图，该几何体为“四角反棱台”，它是由 两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面 正方形的四个顶点在下底面的射影为下底面正方形各 边的中点.若下底面正方形的边长为2，“四角反棱台” 高为 ，则该几何体的体积为( ) A. B. C. D.20 √ 课 中 探 究 13 [解析] 如图，把几何体补全为长方体，则 ， ， 所以该几何体的体积 . 课 中 探 究 14 （2）如图所示，在三棱柱中，， 分 别为，的中点，平面 将三棱柱分成体积 为（三棱台的体积）， 的两部分， 那么 ( ) A. B. C. D. [解析] 设三棱柱的高为，底面面积为，体积为，则 ， 因为,分别为,的中点，所以 ，所以 ，则 ， 所以 .故选B. √ 课 中 探 究 15 ［素养小结］ 求几何体体积的常用方法： 课 中 探 究 16 探究点二 旋转体的体积 例2 已知一圆锥的侧面展开图是一个中心角为直角的扇形，若该圆 锥的侧面积为 ，则该圆锥的体积为( ) A. B. C. D. [解析] 设圆锥的底面圆半径为，母线长为，高为 ，因为圆锥的侧 面展开图是一个圆心角为 的扇形，所以，得 . 因为该圆锥的侧面积为 ，所以 ，所以 ， 则，所以底面圆的面积 ，圆锥的高 ，故圆锥的体积 .故选A. √ 课 中 探 究 17 变式 如图，圆台的高为3，轴截面中母线与底面直径 的夹角为 ，轴截面中一条对角线垂直于腰，求圆台的体积. 课 中 探 究 18 解：设上、下底面半径，母线长分别为，， ， 作于点 ，则， ， ， . ，，， ， . 课 中 探 究 19 ［素养小结］ 旋转体体积问题的求解技巧： 一是借助旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题;二是利用三角 形全等、相似等关系求出所需的量. 课 中 探 究 20 拓展 如图所示，有一块扇形铁皮 , , ，要剪下来一个扇环 ，作圆台形容器的侧面，并且在余下的扇 形内剪下一块与其相切的圆 使它恰好作圆 台形容器的下底面（大底面）.试求： （1） 的长； 课 中 探 究 21 解：如图所示，设与圆相切于点，连接, ， 设圆台的上、下底面半径分别为， . , . 在中，，， ， . 课 中 探 究 22 （2）容器的容积. 解： 由（1）知， ，则圆台的高 ， 圆台的体积，即容器的容积为 . 拓展 如图所示，有一块扇形铁皮 , , ，要剪下来一个扇环 ，作圆台形容器的侧面，并且在余下的扇 形内剪下一块与其相切的圆 使它恰好作圆 台形容器的下底面（大底面）.试求： 课 中 探 究 23 探究点三 球的体积 例3（1）用一个平面截球，截面是半径为1的圆，球心 到截面的 距离为，则球 的体积为( ) A. B. C. D. [解析] 设截面圆的圆心为，为截面圆周上任一点，连接 ， ，，则，， ， 即球的半径为， 球的体积 . √ 课 中 探 究 24 （2）[2024·浙江金华一中高一期中]已知三棱锥 的三条侧棱 ，，两两互相垂直，且， ，则此三 棱锥外接球的体积为( ) A. B. C. D. √ 课 中 探 究 25 [解析] 因为三棱锥的三条侧棱，， 两两互相垂直， 所以三棱锥的外接球就是以,, 为长、宽、高的长方体的外接球， 因为,, ，所以长方体的体对角线长为 ，所以外接球的直径是 ，半径为 ，所以所求外接球的体积 ．故选A. 课 中 探 究 26 变式 如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱 柱容器，正三棱柱的棱长都为 ，将一个球放 在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水 面时，测得水深为 ，如果不计容器的厚度， 则球的体积为( ) A. B. C. D. √ 课 中 探 究 27 [解析] 设球的半径为 ，正三棱柱底面三角形的内切圆的 半径为，则 ， 解得，所以，解得 ， 所以球的体积 .故选D. 课 中 探 究 28 ［素养小结］ 计算球的体积、表面积的关键是求出球的半径，另外球还有如下性 质：①用一个平面去截球，截面是圆面；②球心和截面圆心的连线 垂直于截面；③球心到截面的距离<m></m>与球的半径<m></m>以及截面圆的半径 <m></m>之间满足<m></m>. 课 中 探 究 29 探究点四 简单组合体的体积 例4 某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥 ，下半部分是长方体 ，正 四棱锥的高为1，, ，则该 组合体的体积为___. [解析] 因为该组合体的上半部分是正四棱锥，下半部分是 长方体 ，正四棱锥的高为1，, ， 所以该组合体的体积 . 课 中 探 究 30 变式 [2024·山东菏泽外国语学校高一月考]三星堆遗址祭祀区4号坑发现了玉琮， 一种内圆外方的筒型玉器（如图①），是古人用于祭祀的礼器．假定某玉琮中 间内空，形状对称，如图②所示，圆筒内径长，外径长，筒高 ， 中部为棱长是 的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则 该玉琮的体积为 ( ) A. B. C. D. √ 课 中 探 究 31 [解析] 由题可知，该玉琮的体积 ， 故选A. 课 中 探 究 32 ［素养小结］ 求组合体体积的方法： （1）分析组合体的结构特征：弄清组合体的组成形式,找准常见几何 体的关键量. （2）选择计算方法：依据组合体的组成形式,选择合适的计算方法， 常用“切割”“补形”等方法求解. （3）计算求值：依据计算方法与常见几何体的体积公式计算求解. 课 中 探 究 33 1.以边长为2的正方形的一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何 体的体积为( ) A. B. C. D. [解析] 以边长为2的正方形的一边所在直线为轴旋转一周所得几何体 是底面半径为2，高为2的圆柱，所以所得到的几何体的体积 .故选B. √ 课 堂 评 价 34 2.如图所示,在正方体 中,四棱锥 的体积占正方体体积的( ) A. B. C. D.不确定 [解析] 四棱锥 的高与正方体的高相等, 底面与正方体的底面重合,根据柱体和锥体的体积 公式得,四棱锥的体积占正方体体积的 , 故选B. √ 课 堂 评 价 35 3.小明有一卷纸，纸非常的薄且紧紧缠绕着一个圆柱体 轴心卷成一卷，它的整体外貌如图所示，卷纸的直径为 ，轴的直径为，当小明用掉 的纸后，剩下的 这卷纸的直径最接近于（参考数据： ） ( ) A. B. C. D. √ 课 堂 评 价 36 [解析] 设小明用掉 的纸后，剩下的这卷纸的直径为 ，卷纸高为 ， 则由题可知 ， 解得，则 ， 所以剩下的这卷纸的直径最接近于 .故选B. 课 堂 评 价 37 4.若两个球的表面积之比为 ，则其体积之比为( ) A. B. C. D. [解析] 设两个球的半径分别为，，则有 ， ， 两个球的体积之比为 . 故选A. √ 课 堂 评 价 38 5.如图所示，多面体中，已知平面 是边长为3的正方 形，，，到平面 的距离为2，则该多面体的 体积 _ __. 课 堂 评 价 39 [解析] 如图，连接,, ，则 ， ， ， . 故 . 课 堂 评 价 40 1.祖暅原理的理解 （1）两个几何体夹在两个平行平面之间． （2）几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截得两个截面的 面积总相等． 以上两个条件缺一不可，否则结论不成立． 新 知 拓 延 41 2.空间几何体的体积公式 （1）柱体、锥体、台体体积公式中的高为几何体的高,即为点到面或 面到面的距离. （2）台体的体积公式,当（为上底面面积， 为下底面面积） 时,为柱体的体积公式,当 时,为锥体的体积公式. （3）柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 . 新 知 拓 延 42 3.球的体积公式的推导 作球，将球的表面分成 个小网格，把球心与每一个小网格的顶 点连接起来，整个球体被分割成 个“准锥体”． 当 无限增大时，每一个小锥体“曲”的底面几乎变成“平”的，此时， 每个“准锥体”就近似于棱锥，从而可得球的体积公式 . 新 知 拓 延 43 1.求简单几何体的体积,一是要掌握这些几何体体积的计算公式,二是 要分清所求几何体的类型,或者所求几何体是由哪些简单几何体组成 的,然后用公式求解. 例1 在一个封闭的正三棱柱内有一个体积为 的球.若 ，，则 的最大值是( ) A. B. C. D. [解析] 因为正三角形 的边长为6，所以其内切圆的半径 ，所以在封闭的正三棱柱 内的球的半径的 最大值为，所以其体积的最大值为 ，故选D. √ 备 课 素 材 44 2.等体积变换能够以体积为中间媒介,计算相关元素.特别对于三棱锥, 可置换底面、置换顶点,有较大的灵活性.若技巧运用得当,可使解题过 程简化. 备 课 素 材 45 例2（1）如图，在长方体中， 为 的中点，设三棱锥的体积为 ，四棱锥 的体积为，则 的值为( ) A.1 B. C. D. [解析] ， 则 . √ 备 课 素 材 46 （2）将两个半径为1的小铁球熔化后制作成一个大球,则这个大球的 半径 为____. [解析] 两个小铁球的体积之和为, 由题意得 ,解得 . 备 课 素 材 47 3.“割补法”是求不规则几何体体积的基本方法,通过割补能使不规则 几何体成为规则几何体,利用规则几何体的体积公式求出其体积,然后 加上或减去“割”或“补”的那部分体积即得原几何体的体积.“割补法” 也体现了化归与转化的数学思想在立体几何中的应用. 备 课 素 材 48 例3 如图，在六面体 中，平面平面 ，四边 形与四边形 是两个全等 的矩形，， ， 平面， ， A.288 B.376 C.448 D.600 ，，则六面体 的体积为 ( ) √ 备 课 素 材 49 [解析] 将六面体 补成如图所 示的长方体 . 在长方体中， ， ，则长方体 的体积 . 直三棱柱 的体积 ， 直三棱柱 的体积 ， 备 课 素 材 50 三棱锥 的体积 ， 故六面体 的体积为 . 故选B. 备 课 素 材 1.现有三个旋转体，第一个旋转体是半径为2的半球，其体积为 ； 第二个旋转体是底面半径为2，高为的圆柱，其体积为 ；第三个 旋转体是上、下底面半径分别为1，2，且高为3的圆台，其体积为 ， 则，， 的大小关系为( ) A. B. C. D. [解析] ， , ，所以 .故选B. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 2.如图，正方体 的棱长为4，动点 ，在棱上，且，动点在棱 上，则 三棱锥 的体积( ) A.与点， 的位置有关 B.与点 的位置有关 C.与点，， 的位置均有关 D.与点，， 的位置均无关，是定值 √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 [解析] ， 所以三棱锥的体积为定值，与点， ， 的位置均无关. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 3.斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有，图 ①②是北京故宫太和殿斗拱实物图，图③是斗拱构件之一的斗的直 观图，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个长相 等，宽和高分别为原长方体一半的小长方体）组成.若棱台两底面面 积分别是，，高为 ，长方体形凹槽的高为 ，那么这个斗的体积是( ) A. B. C. D. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 [解析] 由题意得棱台的体积 长方体形凹槽是指长方体去掉一个长相等，宽和高分别为原长方体一半的小长方体， 长方体凹槽的体积是原长方体体积的 ， 则长方体形凹槽的体积， 这个斗的体积 .故选C. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 4.[2024·陕西西安高一期中]球的大圆面积增大为原来的4倍，那么球 的体积增大为原来的( ) A.4倍 B.8倍 C.16倍 D.32倍 [解析] 设原来球的半径为，则原来球的大圆面积 ，原来 球的体积. 设增大后球的半径为 ,因为增大后球的大圆面积增大为原来的4倍， 即增大后球的大圆面积 ,所以，即 ， 则增大后球的体积，又 ， 所以球的体积增大为原来的8倍.故选B. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 5.如图所示,四棱锥的底面 为平 行四边形,,若三棱锥 的体积为 ,三棱锥的体积为,则 的值为( ) A. B. C. D. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 [解析] 设四棱锥的高为,底面 的面积 为,则 . ,所以,所以,所以 , 故选B. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 6.某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案 （即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜 需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏”由一个圆锥体和一个四棱 柱相通连接而成.某次计时前如图①所示， 已知圆锥体底面半径是，高是； 四棱柱底面边长为和 ，液体高度是 .计时结束后如图②所示，此时液体所形 成的圆台的上底面半径为，下底面半径为 ，则此时“沙漏”中液体的高度为( ) A. B. C. D. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 [解析] 由已知可得液体的体积为， 如图，易知 ，因为圆锥的底面半径是， 高是 ，所以圆锥的体积为 ， 计时结束后，圆锥中没有液体的部分的体积为 . 设计时结束后，“沙漏”中液体的高度为，则， 即 ，解得，所以计时结束后，“沙漏”中液体的高度为 .故选D. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 7.17世纪30年代，意大利数学家卡瓦列利在 《不可分量几何学》一书中介绍了利用平面图 形旋转计算球体体积的方法.如图， 是一个 A. B. C. D. 半圆，圆心为，四边形是半圆的外切矩形.以直线 为轴将 该平面图形旋转一周，记、阴影部分、半圆 所形成的几 何体的体积分别为，， ，则下列说法正确的是( ) √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 [解析] 以直线 为轴将该平面图形旋转一 周， 所形成的几何体为一个圆锥，底面 直径为为半圆半径，则 ， 高，则. 半圆 所形成的几何体为一个半球，则. 以直线 为轴将该平面图形旋转一周，长方形形成的几何体为 圆柱，其体积为 ，则. 故，， . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 8.（多选题）某班级到一工厂参加社会实践，加 工出如图所示的圆台，在轴截面 中， ，且 ，则下列说 法正确的有( ) A. B.该圆台轴截面的面积为 C.该圆台的体积为 D.沿着该圆台表面，从点到的中点的最短距离为 √ √ √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 [解析] 由已知及题图知 且 ，所以 ，故A错误； 圆台的高 ， 所以圆台轴截面 的面积 ，故B正确； 圆台的体积 ， 故C正确； 将圆台一半侧面展开，如图中环形，为 的中点， 而圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形且 ， 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 ，所以在 中， ，所以点到 的中点 的最短距离为,故D正确.故选 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知正四棱锥的底面边长为，高与斜高的夹角为 ，则该 正四棱锥的表面积与体积分别为________，_________. [解析] 设正四棱锥的高为 ，斜高为. 如图所示，设为正方形的中心， 为 的中点，连接,,. 在 中， ，， ，，即，， ， . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 67 10.某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外 层的形状分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底 面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端 剪去，剪去部分和接头忽略不计.已知圆柱的底面周长为 ，高为，圆锥的母线长为 ． （1）求这种“笼具”的体积； 解：设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，高为 ， 则 ，故， ， 所以“笼具”的体积 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 10.某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外 层的形状分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底 面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端 剪去，剪去部分和接头忽略不计.已知圆柱的底面周长为 ，高为，圆锥的母线长为 ． （2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平 方米8元，共需多少元？ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 69 解：圆柱的侧面积 ， 圆柱的底面积 ， 圆锥的侧面积 ， 故“笼具”的表面积 ． 故制造50个这样的“笼具”的总造价为 （元）. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 70 11.如图，在棱长为 的正方体内有两个球 , 相外切，两球又分别与正方体内切，则两 球体积之和的最小值为( ) A. B. C. D. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 71 [解析] 如图，设球，的半径分别为,，球心 和在正方体体对角线上，过,分别作, 的垂线，垂足分别为, ， ,即 ,即，所以， 故两球体积之和 , 由二次函数性质可知，当且仅当时，取得最小值 . 故选A. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 72 12.（多选题）已知三棱柱中，，， 分别是棱 ，，的中点，记三棱柱的体积为 ，则 ( ) A.三棱锥的体积为 B.四棱锥的体积为 C.多面体的体积为 D.多面体的体积为 √ √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 73 [解析] 对于A，设三棱柱的底面积为，高为 ，则三棱柱 的体积，因为，，分别是棱，， 的中点，所以 ，则三棱锥 的体积为，故A错误； 对于B，如图①,因为 ，，，所以, ，则四边形 为平行四边形， 所以， 则 ，故B正确； ① 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 74 对于C，如图②,因为 ，且棱柱上、下底面平行，， 分别是棱，的中点，所以线段,, 的延长线交于一点， 则几何体为三棱台，且 ，则 ， 所以 ，故C正确； ② 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 75 对于D，因为 ，所以 ， 则 ，故D错误.故选 . ③ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.[2025·杭州高一期中] 已知三棱锥的底面 是等腰直角 三角形， ，且，， ， 则当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为_____. [解析] 因为，所以在的中垂面上，而，则 的轨迹为的中垂面与以为球心， 为半径的球的交线 （不包括与平面的交点），设交线的圆心为， 因为 ，所以到 的中垂面的距离为2，所以交线的半径为 ，因为 ， ， 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 77 ，则，若三棱锥体积最大， 则 到面的距离最大，易得点到面 的最大距离为2， 因为，所以，，则 ， 所以，所以三棱锥外接球球心为 的中点，球的半径为 ，所以球的表面积为. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.如图①，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 ， 将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测 得水深为 .不计容器的厚度. （1）求球的体积. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 79 解：如图，设球的半径为 ，由题可知球心到正方体上 底面中心的距离为 ，且正方体上底面截球所得截 面圆的半径 ， 所以，即 ， 解得 ， 所以球的体积为 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 80 14.如图①，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 ， 将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测 得水深为 .不计容器的厚度. （2）正方体上底面所在平面将球分割成两部分，体积较小的部分称 为“劣球缺”.根据祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的 体积，请根据如图②③所示的示意图，求出本题中“劣球缺”的体积. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 81 解：圆柱体的体积为 ,小圆锥的体积为 .大圆锥的体积为 . 圆台的体积为 ， 则劣球缺的体积为 . 由（1）得， ，则本题中“劣球缺”的体积为 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 82 15.[2025·成都高一期中]如图，某沙漏由上、下两个 圆锥形容器组成，圆锥底面圆的直径和高均为 ， 细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的 A. B. C. D. （细管长度忽略不计）.若细沙全部落入下部后，恰好堆成一个盖住 沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高为( ) √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 83 [解析] 开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高 ， 底面圆的半径 ， . 当细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为，设高为， 则 ，解得 .故选D. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 84 16.[2024·广东揭阳三校高一期中] 如图，一个圆锥挖掉 一个内接正三棱柱 （该棱柱的各个顶点均 在圆锥侧面上），且棱柱侧面 落在圆锥底面上， 已知正三棱柱的底面边长为6，高为8. （1）求挖掉的正三棱柱 的体积； 解：由题意可知，正三棱柱的底面积 ， 且高，故 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 85 16.[2024·广东揭阳三校高一期中] 如图，一个圆锥挖 掉一个内接正三棱柱 （该棱柱的各个顶 点均在圆锥侧面上），且棱柱侧面 落在圆锥 底面上，已知正三棱柱的底面边长为6，高为8. （2）求剩余几何体的体积和表面积. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 86 解：如图，过点,,作圆锥的轴截面 ，分别交 ，于点，连接 , 由题可知底面圆是矩形 的外接圆，连接， . ， 底面圆 的半径为5. ,, ， ，且与 相似， ，即 ， ， 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 87 ， 剩余几何体的体积为 . 圆锥的侧面积为 ， 底面积为 ， 剩余几何体的表面积为 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $