复数的三角形式及其运算课件-2026届高三数学一轮复习

复数的三角形式及其运算 课 前 预 习 知识点一 复数的三角形式 1.复数的三角形式：一般地，如果非零复数 在复平面内对应点,且 为 向量的模, 是以轴正半轴为始边、射线 为终 边的一个角,则 ,根据任意角余弦、 2.辐角主值：在_______内的辐角称为 的辐角主值,记作______. 正弦的定义可知,.因此______, _______,如 图所示，从而__________________ ________________， 上式的右边称为非零复数的三角形式（对应地, 称为 复数的代数形式）,其中的 称为 的辐角. 课 前 预 习 2 【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）复数的任意两个辐角之间都相差 的整数倍.( ) × [解析] 复数0的辐角为任意值，0的任意两个辐角之间不一定都相差 的整数倍. （2） .( ) √ （3） .( ) √ （4） 是复数的三角形式．( ) × [解析] 中， ，所以 不是复数的三角形式，故错误. 课 前 预 习 3 知识点二 复数三角形式的乘法及其几何意义 1.乘法法则：设, ,则 _________________________________. 文字语言：两个复数,相乘，的模乘以的模等于的模, 的辐角与的辐角之和是 的辐角. 课 前 预 习 4 2.两个复数相乘的几何意义：设, 对应的向量分 别为,,将绕原点旋转___,再将 的模变 为原来的___倍,如果所得向量为,则 对应的复 数即为 ，如图所示. 3.若,则 . 课 前 预 习 5 【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各 复数的辐角的积.( ) × [解析] 两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于 各复数的辐角的和. 课 前 预 习 6 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （2）一个复数与 相乘，其几何意义是把这个复数对应的向量绕原 点沿逆时针方向旋转 .( ) √ （3） .( ) × [解析] . 课 前 预 习 7 知识点三 复数三角形式的除法及其几何意义 1.一般地，如果非零复数,那么 是 的一个辐 角,因此 ,而且 ,所以 ,即 . 课 前 预 习 8 2.除法法则：如果 , ,那么 ___________________________________. 文字语言：两个复数,相除，的模除以的模等于 的 模,的辐角减去的辐角是 的辐角. 课 前 预 习 9 3.两个复数相除的几何意义：设, 对应的向量分 别为,,把 绕原点沿顺时针方向旋转___ （,如果,就要把 绕原点沿逆时针方 向旋转_____）,再把 的模变为原来的___,如果所 得向量为,则对应的复数即为 ，如图. 课 前 预 习 10 【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）若, ,则 .( ) √ （2）若,,则 的辐角主 值是 .( ) √ [解析] 的辐角为，又辐角主值的范围为，所以 的辐角主值是 . 课 前 预 习 11 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （3）若复数的辐角为，则的辐角主值为 .( ) √ [解析] ,所以的辐角为,所以 的辐角主值为 . 课 前 预 习 12 探究点一 复数三角形式的有关概念 例1（1）复数 的一个辐角是( ) A. B. C. D. [解析] 因为 为复数的三角形式，所以 的一个 辐角是 .故选A. √ 课 中 探 究 13 （2）复数 的辐角主值是_ ______． [解析] 由， ，得 ，所以复数 的辐角主值是 . 课 中 探 究 14 变式 [2025·湖南衡阳高一期末]复数 的辐角主值为 ( ) A. B. C. D. [解析] ，所 以的辐角主值为 .故选A. √ 课 中 探 究 15 ［素养小结］ 1.判断复数的三角形式与求解复数的辐角主值时要弄清复数的三角形 式的定义.对于不是以复数的三角形式表示的式子,要根据复数三角形 式的定义将其转化为复数的三角形式,再进一步判断求解. 2.判断复数的三角形式的条件 （1）<m></m>； （2）加号连接； （3）<m></m>在前，<m></m>在后； （4）<m></m> 前后一致，可为任意值. 即“模非负，角相同，余正弦，加号连”. 课 中 探 究 16 探究点二 复数的代数形式与三角形式的互化 ［探索］（1）将复数的代数形式化为三角形式时，一定用辐角主 值吗？ 解：复数的三角形式中，辐角 可以取辐角主 值，也可以取其他辐角. 如 . （2）复数的三角形式 中辐角主值的范围是多少？ 解：复数的三角形式中， 为任意角，若 为 辐角主值，则 . 课 中 探 究 17 例2 将下列复数化为三角形式： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 课 中 探 究 18 例3 把下列复数化为三角形式： （1） ； 解：因为 在复平面内所对应的点在实轴的负半轴上， 所以， ， 所以 . 课 中 探 究 19 例3 把下列复数化为三角形式： （2） ． 解：因为 在复平面内所对应的点在第四象限，所以 ， ， 所以 . 课 中 探 究 20 变式（1）复数 的代数形式为( ) A. B. C. D. [解析] .故选D. √ 课 中 探 究 21 （2）复数 的三角形式是( ) A. B. C. D. √ [解析] .故选C. 课 中 探 究 22 ［素养小结］ （1）将复数<m></m>化为三角形式<m></m> 时，要注意： ①<m></m>. ②<m></m>，<m></m>，其中<m></m> 的终边所在象限与点<m></m>所在象限 相同<m></m>，<m></m> 的终边所在象限与点<m></m>所在象限相同， 当<m></m>，<m></m>时，<m></m>. （2）将复数的三角形式<m></m>化为代数形式 <m></m>时，<m></m> ，<m></m> . 课 中 探 究 23 探究点三 复数乘法运算的三角表示及其几何意义 ［探索］ 两个用三角形式表示的复数相乘,具体如何运算呢? 解：两个用三角形式表示的复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积 的辐角等于各复数的辐角的和. 课 中 探 究 24 例4 已知复数,,求 , 把结果化为代数形式,并作出几何解释. 的4倍,得到一个长度为12,辐角为的向量,即为 所对 应的向量. 解：解 . ,对应的向量分别为,,如图，作出, ,把向 量绕原点按逆时针方向旋转 ,再将其长度伸长为原来 课 中 探 究 25 变式（1）已知复数 , ,求 ，并把结果化为代数形式. 解： . 课 中 探 究 26 （2）已知复数 , ，，求 ， 并把结果化为代数形式. 解： . 课 中 探 究 27 ［素养小结］ 对于两个（或多个）复数相乘,一定要注意其表示形式,符合三角形式 时才可以使用复数三角形式的乘法运算法则.对于运算结果,当不要求 把结果化为代数形式时,也可以用三角形式表示. 课 中 探 究 28 拓展 已知为复数，，，求证： . 证明：设,其中为的模， 为 的辐角， 则,, 则 ， 又,所以 . 课 中 探 究 29 探究点四 复数除法运算的三角表示及其几何意义 ［探索］ 两个用三角形式表示的复数相除,具体如何运算呢? 解：两个用三角形式表示的复数相除,商的模等于被除数的模除以除 数的模,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角. 课 中 探 究 30 例5（1）求 的值； 解： . 课 中 探 究 31 （2）计算 ,并把结果 化为代数形式. 解： . 课 中 探 究 32 变式 写出下列复数的倒数 的模与辐角. （1） ； 解： ， 则的模为，辐角为 . （2） . 解： ， 则的模为，辐角为 . 课 中 探 究 33 ［素养小结］ 对于两个复数相除,一定要注意其表示形式,符合三角形式时才可以使 用复数三角形式的除法运算法则.对于运算结果,当不要求把结果化为 代数形式时,也可以用三角形式表示. 课 中 探 究 34 1.复数 的一个三角形式是( ) A. B. C. D. [解析] .故选B. √ 课 堂 评 价 35 2.复数 的代数形式是( ) A. B. C. D. [解析] , 故选B. √ 课 堂 评 价 36 3.设的辐角主值为 ,则 的辐角主值是( ) A. B. C. D. [解析] , 因为的辐角主值为 ,所以 , 则的辐角主值是 .故选A. √ 课 堂 评 价 37 4. ( ) A. B. C.1 D. [解析] 原式 .故选A. √ 课 堂 评 价 38 5.[2025·云南昭通高二期中]若复数 ，则 ，由此计算 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为 ，所以 .故选A. √ 课 堂 评 价 39 1.（1）复数的代数形式是唯一的，但三角形式不唯一. （2）复数三角形式的特点：非负、同角、加号、前余后正. （3）两个非零复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等. 2.任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差 的 整数倍，但辐角主值只有一个.例如复数的辐角是 ，其中 可以取任何整数.几类特殊复数的辐角主值，一定要在理解的基础 上记熟.如：当为正实数时，有,, , . 新 知 拓 延 40 3.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所 以复数0的辐角也是任意的.不讨论它的辐角主值. 4.与代数形式中有序实数对确定复数 一样，复数的三角形 式实质上是用一个有序实数对来确定一个复数 , 此式即为三角形式.要准确地掌握它，必须注意其下述三个特征：（1） 模；（2）的实部是 ，虚部是 ；（3）它们分别 是同一个角 的余弦与正弦， 与 之间用加号连接. 新 知 拓 延 41 5.需要注意一些含有正弦或余弦的代数形式，将它们转化为三角形式 时要利用诱导公式，如 ，有 ； ； ； . 新 知 拓 延 42 6.两个复数相乘，积的模等于模的积，辐角为两辐角之和，其几何意 义是模的伸缩及对应向量的旋转.当推广到 个复数相乘的时候，就是 ， 特别地，复数的 次幂的模等于这个复数的模的次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的 倍，这个定理就是棣莫弗定理. 新 知 拓 延 43 1.求复数的辐角主值 例1（1）当时,复数 的辐角主值是( ) A. B. C. D. [解析] ,故选B. √ 备 课 素 材 44 （2）[2023·广东实验中学高一期中]复数 的辐角主值为( ) A. B. C. D. [解析] 设复数的辐角为 ，则 ，， 因为，所以当 时，满足要求，， 所以的辐角主值为 .故选A. √ 备 课 素 材 45 2.将复数化为三角形式 求一个非零复数的三角形式，需先求出这个复数的模，然后再找出 复数的一个辐角（比如辐角主值）即可. 例2（1）以下不满足复数 的三角形式的是( ) A. B. C. D. ． √ [解析] ， ， ， .故选C. 备 课 素 材 46 （2） 广东珠海二中高一期中］复数 的三角形 式是( ) A. B. C. D. [解析] .故选C. √ 备 课 素 材 47 例3 欧拉公式 将自然对数的底数，虚数单位 ， 三角函数 , 联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉 为“数学的天桥”.已知复数,满足 ， . （1）求， ； 解：,, . 备 课 素 材 48 例3 欧拉公式 将自然对数的底数，虚数单位 ， 三角函数 , 联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉 为“数学的天桥”.已知复数,满足 ， . （2）若复数是纯虚数，求 的值. 解：且, ， , 复数 是纯虚数， . 备 课 素 材 49 3.复数辐角的性质： 积的辐角等于各复数辐角的和;商的辐角等于被除数的辐角减去除数 的辐角所得的差;一个复数的次幂 的辐角等于这个复数辐角 的 倍. 注意：（1）辐角与辐角主值的区别,特别是解题过程中的不同点.如 下面两个问题： 若 , ,求 的值. 若 , ,求 的值. （3）两个复数相乘,积的辐角主值不一定等于两辐角主值的和;两个 复数相除,商的辐角主值不一定等于两辐角主值的差. 备 课 素 材 50 例4 将 化成代数形式. 解： . 备 课 素 材 51 练习册 52 1.复数 的辐角主值是( ) A. B. C. D. [解析] 因为 ，所以该复数 的辐角主值是 .故选B. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 2.已知复数，则它的共轭复数 的三角形式为( ) A. B. C. D. [解析] 由题可知， ， .故选C. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 3.[2024·江苏盐城高一期末]若 ,则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为，所以 . √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 4. ( ) A. B. C. D. [解析] .故选C. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 5.复数经过 次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数， 则 的值为( ) A.3 B.12 C. D. [解析] 由题意，得 ， 由复数相等的定义，得 则 ，所以 .故选C. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 6.已知，，是 的内角，若 是一个实数，则 是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.形状不能确定 √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 ， 由复数是一个实数，得 ，则 ， 因为 ，所以 ，所以， 解得，所以 是直角三角形.故选C. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.（多选题）下列表示复数 的三角形式中，正确的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于A， ，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C， 不满足复数的三角形式，故C错误； 对于D，，故D正确.故选 . √ √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 8.复数 的一个三角形式是 _ ___________________________________. （答案不唯一） [解析] . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 9.在复平面内（为坐标原点），，分别表示复数， 对应的点，若，则 __. [解析] ，，， . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 10.将下列复数表示为三角形式： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） ； 解：原式 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 10.将下列复数表示为三角形式： （4） . 解：原式 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 11.[2024·湖北武汉华中师大附中高一月考]若复数 为实数,则正 整数 的最小值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] . 由，得,又为正整数,所以正整数 的最小值 为2. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 12.（多选题）设,是复数， , ，则 可能为( ) A. B. C. D. [解析] 因为 , ，所以, ， 所以. 因为所以当 时, ； 当 时， .故选 . √ √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 13.在复平面内，为坐标原点，把复数与对应的向量, 分别 按逆时针方向旋转和后，重合于向量 且模相等，已知 ，则复数 的代数形式是_______________，辐角主值 是___. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 67 [解析] 由题意可知 ， ，所以 ， 所以的辐角主值为 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 14.设复数 ，求证： （1） ， ，1都是1的立方根； 证明： , ， ， 又， ， ，1都是1的立方根. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 69 14.设复数 ，求证： （2） . 证明： ， . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 70 15.瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以 下公式 ，这个公式在复变论中占有非常重要的地 位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，有下列四个结论： ；； ； .其中所有正确结论的编号是( ) A.①②③ B.②④ C.①② D.①③ √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 71 [解析] 因为，所以 ，故①正确 , ，则 ，，故③正确，④错误 ，故②正确.故选A. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 72 16.[2025·山东济南高一期中] 已知复数 可以表示 为三角形式：，其中, 是以 轴非 负半轴为始边，向量（为 对应的向量）所在射线为终边的角. 已知与 的乘积 . （1）试将 写成三角形式； 解： . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 73 16.[2025·山东济南高一期中] 已知复数 可以表示 为三角形式：，其中, 是以 轴非 负半轴为始边，向量（为 对应的向量）所在射线为终边的角. 已知与 的乘积 . （2）当时，求 的最大值和最小值. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 74 解：因为，所以可设 ， 则 ， 因为 ，所以 ， 所以 的最大值为3，最小值为0. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 75 16.[2025·山东济南高一期中] 已知复数 可以表示 为三角形式：，其中, 是以 轴非 负半轴为始边，向量（为 对应的向量）所在射线为终边的角. 已知与 的乘积 . （3）请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式： ， . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 76 解：设 ，则 ， 又 ， 所以 ， . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 77 $