21.3.2菱形（第2课时）课时分层训练2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

21.3.2菱形（第2课时） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 知识分点练 夯基础 知识点1 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 1．下列四个条件中，能使如图所示的是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 根据一组邻边相等的平行四边形是菱形判断即可． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴当时，是菱形． 故选：B． 2．已知平行四边形，若________，则平行四边形是菱形． 【答案】 【分析】根据菱形的判定定理，已知四边形是平行四边形，只需一组邻边相等即可判定为菱形，据此作答即可. 【详解】解： 四边形是平行四边形，和是平行四边形的一组邻边， ∴当时，平行四边形是菱形. 3．如图，在中，与相交于点，请添加一个条件，使四边形是菱形．添加的条件是_____．（写出符合题意的一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】由一组邻边相等的平行四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形，进行解答． 【详解】解：由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可添加（或或或）； 由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可添加． 4．如图，在平行四边形中，连接，，过点作，与的延长线交于点，连接交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的面积为120，与的和34，求的长（其中）． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，结合，可得，从而可得结论； （2）由菱形的性质可得，，再进一步求解即可. 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形. （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵四边形的面积为120，与的和34， ∴，， ∴，， ∴， ∴. 5．如图，在中，，点为中点，连接，过点作，，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线定理得出，根据条件证明四边形是平行四边形，再根据邻边相等即可得出结论； （2）根据菱形的性质得出，，，进而推出，结合角平分线的性质和等角对等边推出，根据勾股定理和三角形的中线性质求出，，进而求得即可求解． 【详解】（1）证明：在中，，点为中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形，， ，，， ， 平分， ， ， ， 在中，，点为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 知识点2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 6．如图，在中，对角线相交于点，添加一个条件判定是菱形，所添加的条件为____________（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定，在四边形是平行四边形的前提下，可添加邻边相等、对角线相互垂直等；根据菱形的判定条件添加即可． 【详解】解：添加，则是菱形； 故答案为：（答案不唯一）． 7．如图，四边形的对角线互相垂直，且满足，请你添加一个适当的条件__________，使四边形成为菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了菱形的判定， 熟练掌握菱形的判定是关键．添加，根据菱形的判定进行证明即可． 【详解】解：添加条件，使四边形成为菱形． ∵， ∴四边形成为平行四边形， ∵四边形的对角线互相垂直， ∴四边形成为菱形． 故答案为：（答案不唯一） 8．如图，在四边形中，对角线与相交于点O，O是的中点，． (1)请你从以下条件①；②；③中，选择一个条件________（填序号），使得四边形为菱形，并说明理由； (2)请用尺规作图的方法作一个矩形，使为矩形的一条对角线．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)添加①或②；理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，矩形的判定，正确的识别图形是解题的关键． （1）先证明，可得，证明四边形是平行四边形，再根据菱形的判定定理逐一证明即可得到结论； （2）以点B为圆心为半径作弧，再以点C为圆心为半径作弧，交前弧于点E，连接，则四边形是平行四边形，再根据得出四边形是矩形即可； 【详解】（1）解：添加①或②；理由如下： ∵是的中点，． ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ①添加：， ∴四边形是菱形， ②添加：， ∴四边形是菱形， ③添加：， 而，， ∴， ∴四边形是矩形．不是菱形． （2）解：如图，矩形即为所求． 知识点3 四条边相等的四边形是菱形 9．如图，是的角平分线，它的垂直平分线分别交，，于点，，，连接，． (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可证，，证明，根据全等三角形的性质可证，根据四条边都相等的四边形是菱形可证四边形是菱形； （2）过点作，根据菱形的性质和勾股定理分别求出、的长度，再根据线段之间的关系求出的长度． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由如下： 是的垂直平分线， ，，， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：如下图所示，过点作， 则有， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 10．四边形中，是的中垂线，． (1)如图1，求证：四边形是菱形． (2)如图2，是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点，且． ①当时，求的长． ②求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据中垂线的性质可得，，根据等边对等角可得，根据平行线性质得出，进而可得，证明得出，即可得出，根据菱形的判定定理，即可得证； （2）①根据菱形的性质以及勾股定理求得，根据菱形的性质可得，结合，可得，结合轴对称的性质得出，则，进而根据，即可求解； ②过点作于点，连接，根据勾股定理可得，则当取得最小值时，取得最小值，可得当时，取得最小值，根据与关于直线对称，得出，进而根据等面积法求得的长度，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的中垂线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：①如图，设交于点， ∵四边形是菱形，且， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，过点作于点，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，取得最小值， ∴当时，取得最小值， ∵与关于直线对称， ∴此时， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 能力综合练 练思维 11．如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由作图过程可证四边形是菱形，再根据菱形的对角相等且对角线平分对角即可解答． 【详解】解：∵以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点， ∴， ∵分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，即选项A符合题意． 12．按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质及判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 判定出四边形为菱形，再利用菱形的性质求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， 故选：C． 13．在中，已知对角线与交于点，若增加下列一个条件，不能判定一定为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形，对角线与交于点， ∴ ，， 对选项A：∵ ， ∴ ，即，可得平行四边形是矩形，不能判定它是菱形； 对选项B：∵ 一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴ 可判定是菱形； 对选项C：∵ 中， ∴ ，又， ∴ ， ∴ ，可判定是菱形； 对选项D：∵ ，， ∴ 由可得，由勾股定理逆定理得，即，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定是菱形； 综上，不能判定一定为菱形的是选项A． 14．在中，添加下列条件：①；②；③平分；④．能够判定是菱形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】结合平行四边形的性质与菱形的判定定理，逐一分析每个条件能否判定平行四边形为菱形即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 添加条件①可得是矩形，不是菱形； 条件②是平行四边形的固有性质，故添加条件②无法判定其为菱形； 添加条件③平分， 如图， ∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴是菱形； 添加条件④能判定是菱形； 综上，能够判定是菱形的是③④，共2个． 15．如图，在中，，交于点，点，在上，．要使四边形为菱形，还需添加的一个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质，结合菱形的判定定理，对各选项进行分析即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， 选项B由已知可得，不需要添加， ∵， ∴，即， 选项A由已知可得，不需要添加， ∴四边形是平行四边形， 添加选项C，无法证得四边形为菱形， ∵四边形为平行四边形， ∴ ∴． 若添加选项D， ∵， ∴． ∴， ∴四边形为菱形， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 16．如图，E，F分别是的边，上的点，连结，，是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，由垂直平分，垂直平分，得，，则，，由平行四边形的性质得，，则，所以，则，而，可证明四边形是菱形，则，所以，则，由，且，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， ∵是点B关于的对称点，是点D关于的对称点， 垂直平分，垂直平分， ，， ∵，都在对角线上， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ，且，， ， 故选：D． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、轴对称的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 17．如图，在中，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点F，分别以点 F，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点E，连接．若，，则的长为（   ） A．5 B． C．15 D． 【答案】B 【分析】连接，设交于点H，由作图可得，，平分，根据菱形的判定证明四边形是菱形，则，，，在中利用勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，设交于点H． 由作图可得，，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形． ∴，，． 在中，根据勾股定理，得 ， ∴． 18．如图所示，四边形中，于点，，，点为线段上的一个动点过点分别作于点，作于点连接，在点运动过程中，的最小值等于______． 【答案】 【分析】证四边形是菱形，得，连接，由三角形面积关系求出，得当最短时，有最小值，则当时，最短，即可得出答案． 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、最小值问题以及三角形面积等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：，， ，四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形，， ， 连接，如图所示： ， ， 即， ， ， 当最短时，有最小值， 由垂线段最短可知：当时，最短， 当点与点重合时，有最小值，最小值， 故答案为：． 19．如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)96 【分析】（1）根据平行四边形的性质可证，根据垂直平分线的性质可证，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据对角线互相平分的四边形是菱形可证结论成立； （2）根据菱形的性质可知，设、，根据勾股定理可得，利用完全平方公式可以求出，根据菱形的面积公式求出结果即可． 【详解】（1）证明：是的垂直平分线， ，； ∵四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， （）， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ， ∵四边形的周长是40， ∴， 设、， 则有，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 整理可得：， ∴． 20．如图，在中，，D，O分别为的中点，延长至点E，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的两直角边之和为14，之差为2（），求四边形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据题意得出四边形是平行四边形，利用已知条件及菱形的判定即可证明； （2）设，，根据题意建立方程组求解得出，，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵D，O分别为的中点， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：设，， ∵的两直角边之和为14，之差为2（）， ∴ 解得 即，， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴四边形的边长为5． 21．如图，在中，点F为上一点，连接并延长到点E，使，连接，，连接交于点G．若． (1)求证：； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形判定与性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据等边对等角得出，结合得出，根据平行四边形的性质得出，，，根据平行线的性质得出，根据等角对等边得出，然后根据证明即可； （2）连接，证明四边形是平行四边形，得出，，再证明四边形是菱形，然后根据菱形的性质即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接， ∵， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形， ∴平分． 拓展探究练 提素养 22．如图1，中，对角线的中垂线分别交于点E，O，F． (1)连结，请判断四边形的形状，并说明理由： (2)若，连结，求的度数： (3)如图2，连结交于点G，若，，，求的度数和的长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析． (2) (3)， 【分析】（1）由可证，可得，由菱形的判定可求解； （2）由平行四边形的性质可得，由菱形的性质可求，即可求解； （3）由面积关系可求，由勾股定理可求m的长，由面积关系可求的长，由勾股定理可求的长． 【详解】（1）解：四边形是菱形． 理由如下： 在中， ∵， ∴． ∵为中垂线， ∴， ∴． ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：在中， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 由（1）得，四边形是菱形， ∴， ∴； （3）解：在中， ∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ，即， ∴， ∴设，则，， 在中：，即， 在中：， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∵，， 过点A作于点H， ， 解得， 在中，，， ， ， 在Rt中，． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 23．在中，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段． (1)如图1，连接，延长交延长线于点，若，，，求的长； (2)如图2，连接，过点作于点，以为边作，且，连接交延长线于点，若，求证：； (3)如图3，若为等边三角形，，连接，K为线段上一点，且，M为线段上一点，连接，将绕点M顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值为______． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握旋转的性质． （1）根据等边对等角以及三角形内角和定理得出，，进而根据平角的定义得出，根据旋转的性质可得，，进而得出，根据等角对等边即可得证； （2）延长至，使得，证明，，，根据是等腰直角三角形，得出，根据全等三角形的性质可得，即可得证； （3）过点A作于点O，延长到点F，使得，延长到点E，使得，连接，，，先证明，四边形是菱形，继而证明当点M与点B重合时，点N与点F重合；当点M与点C重合时，点N与点E重合；确定当点M在线段上运动时，点N在在线段上运动，根据时，等于，取得最小值为6，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴ ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， （2）证明：如图所示，延长至，使得， 在中， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴ ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ （3）如图，过点A作于点O，延长到点F，使得，延长到点E，使得，连接，，， ∴， ∵为等边三角形，，， ∴，，， ∴，四边形是平行四边形， ∵， ∴，四边形是菱形， ∴，， ， ∴，， ∴当点M与点B重合时，点N与点F重合，， ∴，即， ∵， ∴， ∴当点M与点C重合时，点N与点E重合； ∴当点M在线段上运动时，点N在在线段上运动， 当点M与点B重合时，点N与点F重合，由， 根据垂线段最短，得，当等于时，取得最小值为6． 故答案为：6． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.3.2菱形（第2课时） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 知识分点练 夯基础 知识点1 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 1．下列四个条件中，能使如图所示的是菱形的是（   ） A． B． C． D． 2．已知平行四边形，若________，则平行四边形是菱形． 3．如图，在中，与相交于点，请添加一个条件，使四边形是菱形．添加的条件是_____．（写出符合题意的一个条件即可） 4．如图，在平行四边形中，连接，，过点作，与的延长线交于点，连接交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的面积为120，与的和34，求的长（其中）． 5．如图，在中，，点为中点，连接，过点作，，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，，求菱形的面积． 知识点2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 6．如图，在中，对角线相交于点，添加一个条件判定是菱形，所添加的条件为____________（写出一个即可） 7．如图，四边形的对角线互相垂直，且满足，请你添加一个适当的条件__________，使四边形成为菱形． 8．如图，在四边形中，对角线与相交于点O，O是的中点，． (1)请你从以下条件①；②；③中，选择一个条件________（填序号），使得四边形为菱形，并说明理由； (2)请用尺规作图的方法作一个矩形，使为矩形的一条对角线．（保留作图痕迹，不写作法） 知识点3 四条边相等的四边形是菱形 9．如图，是的角平分线，它的垂直平分线分别交，，于点，，，连接，． (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，，求的长． 10．四边形中，是的中垂线，． (1)如图1，求证：四边形是菱形． (2)如图2，是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点，且． ①当时，求的长． ②求的最小值． 能力综合练 练思维 11．如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 13．在中，已知对角线与交于点，若增加下列一个条件，不能判定一定为菱形的是（    ） A． B． C． D． 14．在中，添加下列条件：①；②；③平分；④．能够判定是菱形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．如图，在中，，交于点，点，在上，．要使四边形为菱形，还需添加的一个条件是（     ） A． B． C． D． 16．如图，E，F分别是的边，上的点，连结，，是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 17．如图，在中，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点F，分别以点 F，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点E，连接．若，，则的长为（   ） A．5 B． C．15 D． 18．如图所示，四边形中，于点，，，点为线段上的一个动点过点分别作于点，作于点连接，在点运动过程中，的最小值等于______． 19．如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形的面积． 20．如图，在中，，D，O分别为的中点，延长至点E，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的两直角边之和为14，之差为2（），求四边形的边长． 21．如图，在中，点F为上一点，连接并延长到点E，使，连接，，连接交于点G．若． (1)求证：； (2)若，求证：平分． 拓展探究练 提素养 22．如图1，中，对角线的中垂线分别交于点E，O，F． (1)连结，请判断四边形的形状，并说明理由： (2)若，连结，求的度数： (3)如图2，连结交于点G，若，，，求的度数和的长． 23．在中，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段． (1)如图1，连接，延长交延长线于点，若，，，求的长； (2)如图2，连接，过点作于点，以为边作，且，连接交延长线于点，若，求证：； (3)如图3，若为等边三角形，，连接，K为线段上一点，且，M为线段上一点，连接，将绕点M顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值为______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $