专题6 二次函数与几何综合强化训练（一）～（六）2026年重庆中考数学第二轮复习

二次函数和几何综合强化训练（一） 24．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线与抛物线交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，点和点是直线上的两个动点，，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，抛物线与原抛物线交于点，点为抛物线上一点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25．如图，在等腰三角形中，，点E在直线上，点D是平面内一点，连接. (1)如图1，若，点E在线段上，，连接，将绕点A逆时针旋转至，连接，点D为中点，连接，求出此时的面积； (2)如图2，若，点D在△ABC外部，点E，点F分别是，的中点，连接，将绕点F顺时针旋转至，连接，，，试猜想线段和的数量关系，并证明； (3)如图3，若，若点D是平面内一动点，连接，将沿翻折得，当B，D，Q三点共线时，在线段上取一点N，使，点E是直线上的动点，将绕点E顺时针旋转至，连接，当取最小值时，直接写出的值． 二次函数与几何综合强化训练（二） 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式： (2)过点B作交抛物线于点D，点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点E，连接，点M，N为抛物线对称轴上的动点（点N在点M的下方），且，连接．当面积最大时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 25．在△ABC中，，D为平面内一点，连接，以为边作△ADE ，使得，． (1)如图1，点D在△ABC内，当点E与点C重合时，，，求的值； (2)如图2，，点D在左上方，且B在的延长线上，连接 交于点P，Q为上一点，连接，若，求证： ； (3)如图3，绕点D顺时针旋转恰好与重合，，，连接，点M为线段上靠近E的三等分点，连接，，直线交直线于点N，当面积取最大值时，请直接写出的面积． 二次函数与几何综合强化训练（三） 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点，点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是位于第二象限抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，线段与直线相交于点．连接，线段与直线相交于点．求当取得最大值时点的坐标，当线段在轴上滑动（线段长度保持不变），连接，，求的最小值； (3)若点是轴左侧抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 25．如图，在等腰△ABC中，．       (1)若，点D为的中点，且，求线段的长度； (2)若D为△ABC外一点，连接，，且，点E为延长线上一点，F为上一点，连接，，已知为的平分线，，，且，猜想，，之间的数量关系并证明； (3)如图△ABC中，，．E，F分别为，的动点（均不与顶点重合）且，在直线下方作点P，使，连接，当有最小值时，、、三点共线，在上方取点M，连接，且，点N为直线与直线的交点，当有最大值时，直接写出的面积． 二次函数与几何综合强化训练（四） 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作交于点D，点Q是抛物线对称轴上一动点，连接、，当取得最大值时，求点P的坐标及的最大值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，平移后点P恰好落在y轴上，点K是新抛物线上一动点，点是原抛物线顶点H的对应点，连接，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，若，请直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程． 25．在△ABC和△ADE中，，，，且． (1)如图1，当点在线段上时，连接，若，，求线段的长； (2)如图2，将图1中△ADE绕着点逆时针旋转，使点在△ABC的内部，连接，．线段，相交于点，当时，求证：； (3)如图3，点是点关于的对称点，连接，，在（2）的基础上继续逆时针旋转，过作的平行线，交直线于点，连接，，，若，请直接写出线段的最小值，以及当线段长度最小时的面积． 二次函数与几何综合强化训练（五） 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交y轴于C点，交x轴于A，两点（A在B的左侧），连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，点Q是抛物线对称轴上的一动点，连接，，当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)在（2）中线段长度取得最大值的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点B，且与直线相交于另一点M，点N为新抛物线上的一个动点，当，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 25．在△ABC中，，，点是上一点(点不与点重合)，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． (1)如图1，若，，，连接，求点到的距离； (2)如图2，连接，作的外角平分线交延长线于点，过点作于点，交于点，点是的中点，点是的中点，连接，试猜想线段、与的数量关系，并证明； (3)如图3，若，，点是的中点，点是的中点．将沿所在直线翻折到，连接、．在上取一点，使得，连接、，当取最小值时，请直接写出的面积． 二次函数与几何综合强化训练（六） 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线BC上方抛物线对称轴右侧上一动点，过点P作轴交BC于点M，作轴交抛物线于点N，点E是抛物线对称轴上一动点，点F是y轴上一动点，连接AE，PF，EF，当取得最大值时，求P点坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线BC方向平移后经过点得到抛物线，点G为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点G的坐标，并写出求解点G坐标其中一种情况的过程． 25．如图，已知在中，，点E在直线上，连接，过点C作于点D，交于点F． (1)如图1，若点E在线段上，平分，，，求的长度； (2)如图2，若点E在线段上，，延长至点G，连接，满足，请用等式表示线段，和的数量关系并证明． (3)如图3，若，将沿翻折至△ABC所在平面得到，连接，点P为的中点，连接，在E点运动过程中，当取最大值时，直接写出此时的值． 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数和几何综合强化训练（一) x2+bx+c与x轴交于AB两点，与y轴交于点C,直线y=3x+3 1 2.4 24.如图，抛物线y=- 与抛物线交于点A,D(4,m). 备用图 (1)求该抛物线的表达式： (2)若P是直线AD上方抛物线上一动点，连接PB交AD于点Q,点E和点F是直线AD上的 两个动点，EF=B,连接PE,BF,当%取得最大值时，求点P的坐标及PE+BF的最 BO 小值： (3)将抛物线y=- r+br+c沿射线0D方向平移V2个单位长度得到抛物线y,抛物线y 1 与原抛物线交于点M,点N为抛物线y上一点.若∠NMB-∠DAB=45°，请直接写出所有 符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程， 【答案】1该抛物线的表达式为y=- 4 x2+ x+4: 3 (2)点P的坐标为1,5)，PE+BF的最小值为√53； 6点N的坐标为9)支好)】 【分折们a把=4代入)号+号可得D4到，起=0代入y子+子可作 4 A-2,0),把A-2,0),D4,4代入y=-x2+bx+c,可得b,C,即可得抛物线的表达式 3 (2)设Pmm+4m+4,作PKIx轴，交直线AD于点K,则△POK○aB04,可得 品器可品么。可料当器纸得威大时，点>的标，作学行四 边形EFBG,连接PG,PE+BF=PE+EG≥PG,作GH⊥x轴于点H,根据勾股定理可 得HB,HG,作PT⊥x轴，GTx轴，交于点T,根据勾股定理可得PG,即为PE+BF的 最小值： (3)由平移可得y=+2x+号联立两个抛物线的解新式，可得M15引，作 10 3 MXI‖AD,作BXIy轴，交于点X,作M⊥BX于点I,作ML⊥x轴于点L,则 ∠XMI=∠DAB,可得X6,3 25 ,用待定系数法可得直线MX的解析式，与抛物线y的解析 式联立，可得点N的坐标，在x轴上取点W,使得∠WMB=∠DAB+45°，则 ∠LMW=LDAB,可得W 30 用待定系数法可得直线MW的解析式，与抛物线y的 解析式联立，可得点N的坐标 【详解】(1)解：把x=4代入y=x 3’可得y=4, 4 D(4,4, 把y=0代人y号子可得=2， A-2,0),A0=2, 把A-2,0),D(4,4代入y=-x2+x+c, 3 x-22-2b+0 0=- 3 可得 1 4= ×42+4b+c 3 4 b=- 解得 3, c=4 该抛物线的我达式为y=了十号+4。 3 ②)解：把=0代入y=-x+?x+4,可得4=2，玉三6 3 B(6,0),0B=6, 。124 设Pm,-3m+3m+4 3 作PKx轴，交直线AD于点K,则△PQK∽aBQA, PO PK BO BA' 1 3m+4。 x+3,可得x=- 2.4 加32+2m+4, P2-2m+2m+4-mm2+m+1-m-+y 9, BO 6--2—=16m+8m 216 16 1 4 当m=1时，-m2+-m+4=5, 31 3 :当9取得最大值时，点P的坐标为1,5)， BO 直线AD与y轴的交点记为S, 把x=0代入y +3可得少= 24 3 作平行四边形EFBG,连接PG,则BG=EF=V3,BGEF,EG=BF, .∠GBH=∠SAO,PE+BF=PE+EG≥PG, an∠GBH=tan∠SA0=3=2, 23 作GH⊥x轴于点H,则GH=HB, (后八+8-. 2 HB=3, ÷HG=3x名=2， 3 作PT⊥x轴，GT川x轴，交于点T,则TG=6-3-1=2,PT=5+2=7, 在RtAPTG中，PG=V22+72=√53， :PE+BF的最小值为√53. D (3)解：作DR⊥x轴于点R, D4,4), :.OR=DR=4, .∠R0D=∠RD0=45°， B 抛物线y= 2+行x+4沿射线0D方向平移√2个单位长度，即向右平移1个单位，向上平 4 3 移1个单位，得到抛物线y, y=x-+号x-+41+2+9 3 由+号4=+2+ 得x=1, 10 把=1代入-42号得y=5, .M(1,5), :∠NMB-∠DAB=45°， .∠NMB=∠DAB+45°， 作MXI‖AD,作BX‖y轴，交于点X,作M1⊥BX于点I,作ML⊥x轴于点L,则 ∠XMI=∠DAB, tan ZXMI=tanZDAB-MI=BL=6-1=5,ML=BI-5. 1 210 :∠LMB=90°x=45°，∠IMB=90x=45°，X=5x2= 2 2 33 .∠XMB=∠DAB+45°，BX=5+ 1025 33 :X6,3 5 点N为直线MX与抛物线y的交点， 设直线MX的解析式为y=kx+b, k+b=5 6k+b=3 5, 解得13 b3 213 ∴直线MX的解析式为y=三x+ Γ33 由-3+2x+ 0-2x+3得=3，为=1（点M的横坐标）， 333 23得y=3 把x=3代入y=二x+ 19 3 3 ) 在x轴上取点W,使得LWMB=∠DAB+45°，则LLMW=∠DAB, tan∠LMW=tan∠DAB, mL=5x2=10 3=3 8w0e101=3 3 设直线MW的解析式为y=k2x+b2, k2+b2=5 3布+6=0 . 、3 2 解得 6=2 直线Mw的解析式为y=2x+)一 +子得5=名=1（点M的横华标. ,103 32 37 17 把=2代入y=2+2得=4 2点N的坐标为3，号)2好) 25.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,点E在直线BC上，点D是平面内一点，连 接AD· B B E 图1 图2 图3 a如图1，若∠B4C=60,点E在线段8C上，BE-4C-25,连接，将4E绕点4 逆时针旋转60°至AF,连接FC,点D为AC中点，连接FD,求出此时△ADF的面积； (2)如图2，若∠BAC=120°，点D在ABC外部，点E,点F分别是BC,AD的中点，连 接EF,将EF绕点F顺时针旋转12O°至FH,连接BH,BD,HD,试猜想线段BH和 BD的数量关系，并证明； (3)如图3，若∠BAC=60°，若点D是平面内一动点，连接DC,将△ADC沿AD翻折得 △ADQ,当B,D,Q三点共线时，在线段BQ上取一点N,使BN=2DC,点E是直线 BC上的动点，将AE绕点E顺时针旋转120°至EK,连接KN,当KN取最小值时，直接写 出氵的值， SABCK 【答案】(1)S。ADr= √5 2 (2)猜想： 5BD=BH,理由见解析 B)S2=33+3 S.BCK 8 【分析】(1)过点F作FK⊥AC于点K,证明三角形ABC是等边三角形，再证 BA≌CAF(SAS),在R△CKP中，求出FK的长，最后求出SeAD,F水9目 2 (2)连接AE,过点D作DQ∥AE交EF延长线于点Q,连接HQ,HE,先证 △AEF≌△DQF(AAS),再证△HEB∽△HQD,最后运用相似三角形性质，特殊角的三角函数 值等知识，得出5BD=BH； (3)先证明A,B,C,D四点共圆，再推导出点D在圆⊙0上，在OO上确定一个点F, 连接，CF使得C连接DP,NP,证得FRNLFCD,连接FO,将F0绕 点顺时针旋转60，并将F0缩短子得到F0,则点N在圆00上，运用瓜豆原理得到点K 的运动轨迹，最后得到KV取最小值时，SD=3V3+3 8 【详解】(1)解：如图1，过点F作FK⊥AC于点K, :等腰三角形ABC中，AB=AC,∠BAC=60°， :三角形ABC是等边三角形， BE-4C=26, .BE=2V3,AC=6V5, :将AE绕点A逆时针旋转60°至AF, ,AE=AF,∠EAF=60°， .∠BAC=∠EAF=60°， .LBAC-∠EAC=LEAF-∠EAC,即∠BAE=∠CAF, 在△BAE与CAF中， BA=AC :{∠BAE=∠CAF, AE=AF ,△BAE≌△CAF(SAS, ·BE=CF=2V3,∠ABE=∠ACF=60°， :FK⊥AC, ∠FKC=90°， 在Rt△CKF中， :∠FKC=90°，∠KCF=60°，CF=25, sin∠FCK=sin60°= KF CF' ÷KF=sin60CF=5 x2√5=3， 点D为AC中点，AC=6√5， A0-4c=35 S..FK= 1 - 2 图1 (2)解：箱想：5BD=BH,理由如下 2 如图2，连接AE,过点D作DQ∥AE交EF延长线于点Q,连接HQ,HE, 点F是AD的中点， :AF FD, :D∥AE, ∠AEF=∠DOF, 在△AEF与△DOF中， ∠AEF=∠DQF {∠AFE=∠DFQ, AF=FD .△AEF≌ADOF(AAS), :AE=DO,EF=FO, :将EF绕点F顺时针旋转120°至FH, .EF=FH,∠EFH=120°， :.LHEF=LEHF=30°，EF=FH=FQ,∠HFQ=6O°， .△HFQ是等边三角形， .∠HQF=∠FHQ=∠HFQ=60°， :∠HEF=∠EHF=30°， ∠EHQ=∠EHF+∠FHQ=90°， 在Rt△EHQ中， :∠EHQ=90°，∠HEF=30°， tan∠HEF= HO 3 EH 3 :g5 EH 3 :在等腰三角形ABC中，AB=AC,∠BAC=120°， ∠ABC=30°， :AB=AC,点E是BC的中点， .AE⊥BC,即∠AEB=90°， 在RteAEB中， .∠AEB=90°，∠ABE=30°， .tan∠ABE= AE 3 BE 3 HO AE3 EH BE 3 AE=DO, H№-Dg-5 EH BE 3 设∠AEH=Q,则∠AEF=∠HEQ+∠AEH=30°+a, :DQ∥AE, .∠AEF=∠DQF=30°+a, :∠HQF=60°， .∠HQD=∠HQF+∠FQD=90°+a, LAEB=90°，LAEH=a, :ZHEB ZAEB+ZAEH =90+a, ∴.∠HOD=∠HEB, HoDo EH BE 3 ∴.△HEB∽△HOD, ·∠BHE=∠DH0,HD=Hg-Dg-V BH EH BE 3 ∴.∠BHD=∠EHQ=90°， 在Rt BHD中， :∠BHD=90°， .tan∠HBD= HD3 BH 3 .∠HBD=30°， cos∠HBD=cos30°= BH 3 BD 2 ÷BH=5BD: H E 图2 (3)解：：等腰三角形ABC中，AB=AC,∠BAC=60°， :三角形ABC是等边三角形， 将△ADC沿AD翻折得△ADQ, ,AC=AQ,∠ACD=∠AQD, AB=AC, :AB=AO, .∠ABQ=∠AQB, .∠ABQ=∠AQB=∠ACD, A,B,C,D四点共圆， .∠BDC=LBAC=60°， 设BC=6V3m, 则点D在以O为圆心的圆上，点O为等边ABC的内心， 如图3，作OX⊥BC,连接0C,OB, 则0c=0B,∠B0C=120,Cx=Bx=)8C-3V5m, .∠0XC=90°，L0CX=30°，CX=33m, .0C= CX 33m =6m, cos∠OCX cos30° 如图3，点D在以O为圆心，0C=6m为半径的圆上， 0 图3 如图4，在O0上确定一个点F,连接BF,CF,使得 C号连接DF,NF, BF ·BN-2BF2 DC3'FC3’∠FBN=LFCD, ∴.aFBN∽∠FCD, 图4 :△FBN∽aFCD, .∠BFN=∠CFD, .∠BFC=∠NFD, :∠BFC=∠BAC=60°， .∠BFC=∠NFD=60°. 如图5，连接FO,将FO绕F点顺时针旋转60°，并将F0缩短3得到FO', 即∠0F0'=60°，FO= :∠0F0'=LBFC=60°， BF2 FC3 BF OF ∠O'FB=LOFC, FC OF △0'FB∽a0FC, OB 2 OC3'∠0'BF=L0CF, :0C=6m, 0'B=4m, ,点N在以O为圆心，O'B=4m为半径的圆上， :∠O'BF=∠OCF,∠FBA=∠FCA, .∠0'BF+∠FBA=∠0CF+∠FCA,即∠O'BA=∠OCA=30°， .∠0'BA+∠ABC=30°+60°=90°， .L0'BC=90°，即0'B⊥BC, .0'B⊥BC,0'B=4m. 图5 :点E是直线BC上的动点，将AE绕点E顺时针旋转120°至EK, 点K也在直线上运动， 如图6，设点E运动到BC中点处为E,点E运动到B点处为E2,作出E,E,的对应点K ,K2,连接KK2,则点K在直线KK2上运动， 设直线KK2与BC延长线交于点S,作O'K⊥K,K,于点K,当O,N,K三点共线，且点N 位于OK之间时，KN取最小值， :∠ABK2=∠AE,K1=120°，AB=BK2,AE1=E,K1, “E为BC中点，ABC是等边三角形， :AK,L BC,AE=E K2 =E K, ∠AEK1=120°， ∠K2EK1=60°， △K,E,K1是等边三角形， ∠E,K,K1=60° AK2⊥BC, .∠ESK1=30°， 过点K作KP⊥BC于点P,设OK交BC于点L, KP⊥BC,O'B⊥BC, :炉LK OB OL' :∠B0'N=30°，B0'=0'N, .∠0'BN=∠0'WB=75°， :0'B⊥BC,∠B0'W=30°， ∠0'LB=60°， ∠NBL=∠0'NB-∠0'LB=75°-60°=15°， .∠ABD=∠ABC-∠NBL=60°-15°=45°， ∠ADB=LACB=60°， 如图7，在△ADB中， 作AZ⊥BD于点Z, :AB=BC=6V3m,LAZB=90°，∠ABD=45°， :AZ BZ AB.sin ZABZ =3v6m, AZ=3V6m,∠AZD=90°，∠ADB=60°， ·ZD= AZ =3√2m, tan∠ADB :BD=BZ+ZD=(36+32)m, Sn3BD-亿=27+95m, 0'B=4m,∠0'BL=90°，∠B0'Z=30°， ÷BL=tan∠B0L-OB=45m 3m O'L=BL 8/3 ,BS=2BC=12√5m, sin∠Bo'L3 LS BS-BL=323 m LK=ILS=1613 1 -1, 3 3 O'L 1 LK2 KP KL2 OB OL1' :0'B=4m, :KP =8m, G.S.nc =BC.KP=2413m S82=35+3 8 N S (EB 【点晴】 Z K, 图6 图7 本题考查了等边及等腰三角形的性质与判定，相似三角形及全等三角形的性质与判定，隐圆， 瓜豆线等动点问题，综合难度大. 二次函数与几何综合强化训练（二) 24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ar2+bx+2与x轴交于点A,B(1,0)两点，与y 轴交于点C, 抛物线的对称轴是直线x=-3 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2过点B作BD∥AC交抛物线于点D,点P是射线AC上方抛物线上的一动点，连接DP与 射线AC交于点E,连接BE,BP,点M,N为抛物线对称轴上的动点（点N在点M的下方）， 且MN=1,连接PM,AW,当△PBE面积最大时，求点P的坐标及PM+MN+AN的最小 值 (3)在(2)中△PBE面积取得最大值时，将抛物线y=a2+bx+2沿射线AC方向平移、√5个 单位长度得到新抛物线y,点P为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当 ∠QBA=∠OPP-∠BAC时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐 标的其中一种情况的过程 【答案】(1)y=- x2- x+2 2 2 (21+√13 3-1,3或-1-2V5,-3-3√3 3 【分析】(1)B(1,0)代入抛物线y=a+bx+2,结合抛物线的对称轴是直线x=一弓，建立 方程组求解即可； (2)过P作PF∥y轴交BD于F,过点B作BG∥MN,使BG=MN,连接 BN,PG,GM,则四边形BGMN是平行四边形，BN=GM,求出A-4,0,C(0,2),求出 直线4C解折式y-+2,直线0的解所式为)-方分，联 y=2 22 _123 11 ,解 2x-2 y= 11 5 m-P(=-x+2+7. 3 2，得当x=-2时，SPD最大，由S,ED是定值， S.PBD=SPBE+SEBD,得SAPBE最大，得P(-2,3),当点M在直线PG上时，PB+GM=PG, 最小，由点A与点B关于对称轴对称，得AN=BN,得AN+PM=PG,最小，由G1,I, 得PG=√3，即得PM+MN+AN的最小值是1+√3； 3)设0P5AC交点，可知抛物线y-x+2三1人。 3)2 2x+2)+ 5,向上平移1 个单位长度，再向右平移2个单位长度得到新抛物线，为=r十分+4，PP14C。 得∠OPP=∠OLC,由三角形外角性质得∠QBA=∠AOP,得BQ∥OP,求出OP解析式 ,考0解指式为y-氵当7=时，解得写有21-1小，股@关 x=-1 于x维对格点为Q-1-引：泉出直线20解5式7 、3 联立解得 x=-1-2V5 得 y=-3-35' 0-1-25,-3-35. 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A,B(1,0)两点，与y轴交于点C, 抛物线的对称轴是直线x=一之 3 a+b+2=0 b=-3 2 2 ( 1 a=- 解得： 2 3 b=- 2 抛物线为：y= -1x2-3 +2. 2 (2)解：如图，过P作PF∥y轴，交BD于F,过点B作BG∥MN,使BG=MN,连接 BN,PG,GM, 则四边形BGMN是平行四边形， .BN =GM, 对y=-12 2 2+2, 5x+2=0, 解得x1=-4,x2=1; 令x=0,则y=2. A(-4,0),C(0,2. 设直线AC解析式为y=k+2, 把A-4,0)代入，得-4k+2=0, 解得k=2 1 y=。x+2, 2 :BD∥AC, :设直线BD的解析式为y=2x+b, 把B到L.0)代入，得)+b=0, 解得b=一2' 1 :直线BD的解析式为y=2x一2' 11 123 y=_ x+2 联立{ 22 11 y=2x-2 x=-5 x=1 =-3或=0 解得 .D(-5,-3), 则引 2 2 5mPpw小---4- -1<0, 当x=-2时，SAPD最大， :S,EBD是定值，SPBD=S.PBE+SEBD, SAPBE最大， P(-2,3), 当点M在直线PG上时，PB+GM=PG,最小， :点A与点B关于对称轴对称， :AN =BN, AN+PM=PG,最小， G1,1), PG=V1-(-2]+3-1)2=3, PM+MN+AN的最小值是1+√13. (3)解：设OP与AC交于点L, A-4,0),C(0,2, ·AC=V0A+0C2=25, :将抛物线y=ax2+bx+2沿射线AC方向平移√5个单位长度得到新抛物线y, 抛物线y- 2x+2s 1. 3+25,向上平移1个单位长度，再向右平移2个单 2x+2+8 位长度得到新抛物线y, 即y=x 2+4, 1 :点P为点P的对应点， :PP'll AC, .∠OPP=∠OLC, :∠AOP=∠OLC-∠BAC,且∠QBA=∠OPP'-∠BAC, .∠QBA=∠AOP, .BQ∥OP, 设OP解析式为y=mx, 把P(-2,3)代入，得-2m=3, 4m=-3 2 2t, .OP解析式为y= 设BQ解析式为y=- +n, 把B(1,0)代入，得-3 +n=0, 3 n=2} 33 .BQ解析式为y= 2x+2 V'=- 2 x+4 2 当y=y时，联立 2 33 x+ 2 2 x=-1 x=5 解得 或 y=3 (y=-6 (舍去)， .0-1,3)； 设g关于x轴对称点为Q(-1,-3),直线BQ解析式为y=ax+d, a+d=0 把B(1,0),Q(-1,-3)代入，得 -a+d=-3' 3 a=- 解得 2 3 d=2 :直线B0解析式为y=2-2' 33 1 y'= 33 2x- 2 x=-1+2W5 x=-1-2W5 解得 (舍去)或 y=-3+3v5 y=-3-3V5 0(-1-25,-3-35 故点Q的坐标为-1,3)或-1-2V5,-3-35 o' 【点晴】第(2)小问添加辅助线构造将军饮马模型，第(3)小问∠OBA=∠AOP,点Q在 点B的左面，不合要求的点Q(在点B右面)舍去. 25.在ABC中，AB=AC,D为平面内一点，连接AD,以AD为边作ADE，使得 DE=AD,∠BAC+∠ADE=180°. 图1 图2 图3 (1)如图1，点D在ABC内，当点E与点C重合时，AD=2√5，BC=8,求tanZACB的值： (2)如图2，∠BAC=90°，点D在AB左上方，且B在ED的延长线上，连接EC交DA于点 P,Q为AB上一点，连接P2,若∠EBA-∠AQP=45°，求证：DE=√2PQ+2AP; (3)如图3，AD绕点D顺时针旋转120°恰好与DE重合，AB=9,AD=6,连接CE,点M 为线段CE上靠近E的三等分点，连接AM,BM,直线AM交直线DE于点N,当aABM面 积取最大值时，请直接写出aEMN的面积. 【答案】（红）5+1 2 (2)证明见详解 B)95 14 【分析】(1)过点D作DH⊥BE交BE于点H,先根据题意得出∠DAE=DEA,再根据 ∠BAC+∠ADE=180°设∠DAE=∠DEA=a,则∠ADE=180°-2a,此时 LBAC=180°-(180°-2a=2a,进一步得出点A,D,H三点共线，则AH是△BAE的垂直 平分线，利用勾股定理求得AH=AD+DH=2V5+2,进而求出最终结果； (2)过点B作BMI‖PQ交AD于点M,过点C作CH⊥AD交DA的延长线于点H,利用 “AAS”证明aABD≌aCAH和△DEP≌△HCP,得出相关的线段，利用等腰直角三角形的性质 得出相应的线段之间的关系，进而推导出结果： (3)由题意知，ADE始终绕点A旋转，其运动轨迹为圆，此时点M的运动轨迹同样跟随 ADE的运动轨迹在变化，要使。ABM的面积取最大值，则当AD与AC重合时，此时 △ABM的面积取最大值，过点A作AK⊥DE交DE的延长线于点K,过点M作MH⊥NE交 NE于点H,利用相似三角形的判定与性质，勾股定理及等腰三角形的性质得出相关线段的 长度，并最终求得△MNE的面积. 【详解】(1)解：如图，过点D作DH⊥BE交BE于点H, D B 立 CE) AD=DE, ·ADE是等腰三角形， ∠DAE=DEA, 又：∠BAC+LADE=180°， “设∠DAE=∠DEA=a,则LADE=180°-2a, .∠BAC=180°-180°-2a）=2u, .∠BAD=∠DAE=a,即AD平分∠BAE, 又：BA=AE,DH⊥BE, 点A,D,H三点共线，则AH是△BAE的垂直平分线， :BH=HE=IBE=4, AD=DE=25, .在Rt△DHE中，由勾股定理得，DH=√DE2-CH2=2, .AH=AD+DH=25+2, 在RtAHC中，tan∠ACB=4H_25+2_-5+1 CH 4 2 (2)证明：如图，过点B作BM‖PQ交AD于点M,过点C作CH⊥AD交DA的延长线于 点H, E H M .∠BAC=90°，∠BAC+∠ADE=180°， .∠ADE=90°， 又：DE=AD,AB=AC, :ADE和△BAC是等腰直角三角形， .∠BAC=∠BDA=∠H=90°， ∴.∠DBA+∠DAB=∠DAB+∠CAH=∠CAH+∠HCA, 则∠DAB=∠HCA, 在△ABD和△CAH中， 「∠BDA=∠H=90° ∠DAB=∠HCA, AB=AC :△ABD≌△CAH(AAS, :AD=HC=DE, 在△DEP和△HCP中， [∠EPD=∠CPH ∠EDP=∠H=90°， DE=HC .△DEP≌△HCP(AAS), :CP=EP,DP=HP, ·BMI‖PQ,∠EBA-∠AQP=45°， .∠AQP=∠ABM,∠EBA-∠ABM=LDBM=45°， :∠BDM=90°， ·.△BDM为等腰直角三角形， :BD =DM, DP=HP,DM=BD=AH, ,AP=MP,即点P为MA中点， :DM-12BM= ×2PQ=V2PQ, 2 :DA=2P0+2AP, 即DE=√2PQ+2AP (3)解：由题意知，AD绕点D顺时针旋转120°恰好与DE重合，且ADE始终是顶角为 120°的等腰三角形， :,如图，ADE始终绕点A旋转，其运动轨迹为圆，此时点M的运动轨迹同样跟随ADE的 运动轨迹在变化， 要使△ABM的面积取最大值， :当AD与AC重合时，此时△ABM的面积取最大值， 如图，过点A作AK⊥DE交DE的延长线于点K,过点M作MH⊥NE交NE于点H, Kh.. .∠BAC+∠ADE=180°，∠ADE=120°， .∠BAC=60°， 又：AB=AC, .ABC是等边三角形，AB=BC=AC=9, 又：ADE是顶角为120°的等腰三角形， .AD=DE=6,∠DAE=∠AED=30°， ∴.∠ADK=∠CDE=2∠DAE=60°， 在R1△AKD中，DK=AD=3,由勾股定理得，AK=√AD'-DK=V62-3=35, 在R△AKE中，由勾股定理得，AE=√AK2+KE2=35+92=65, AE25, ZAED=ZDAE =30,4F=23 CE3 KE 3 .△AKEn△ECA,即∠K=∠ACE=90°，∠KAE=∠CEA=60°， CE=3V3,LDEC=LAEC-LAED=60°-30°=30°， :点M为线段CE上靠近E的三等分点， :ME=CE=3, 在RtEMH中，Mh=EM=5, 由勾股定理得， EH=√EM2-MH2 ÷KH=KE-EH=9-3=15, 22 :∠K=∠NHM=90°，∠ANK=∠MNH, .△AKN∽△MHN, 15 “然=Ky -HN '=,即33=KH=2 W一，解得HN=15」 14 2 NE-NH+HE-15318 1427 Sa=号MhNE=lx5xI89W5 2 Γ22714 【点晴】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及等腰 三角形的性质等知识点 二次函数与几何综合强化训练（三） 24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴分别交于A,B两点， 3 与y轴交于点C,点A的坐标是(-4,0)，抛物线的对称轴是直线x=- 2 备用图 (1)求该抛物线的解析式： (2)若点P是位于第二象限抛物线上的一动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D,线段PD与直 线AC相交于点E,连接OP,线段OP与直线4C相交于点F,求当PF取得最大值时点P FO 的坐标，当线段0C在y轴上滑动（线段0C长度保持不变），连接PC,OB,求 PC+C0+OB的最小值： (3)若点P是y轴左侧抛物线上的一动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D.若 ∠0PD=2∠CA0,请直接写出所有符合条件的点P的横坐标，并写出求解点P的横坐标的 其中一种情况的过程. 【答案】(1)y=2 123 t+2 ②)O最大值时，点P的坐标为-23引：PC+C0+0B的最小值为2+而 B点P的横坐标为3-V万或-9-145，见解析 4 4 【分析】(1)待定系数法求出函数解析式即可： (2》求出直线4C的解所式，设点Pmm-m+2-4<m<0),进而得到Dm0。 2 Em,。m+2 求出PE=-m'-2m,证明PEF0CF,得到 PE PF m2-2m 1 m2-m=- (m+2+1,求最值即可，设滑动后O,C的对应 OC OF 2 4 点分别为O,C',将点B向上平移2个单位到点H(L,2),进而得到四边形0'BHC'是平行四 边形，推出PC+C0+OB=PC'+C'O'+0'B=PC'+C'H+2≥PH+2,进行求解即可； (3)在x轴负半轴上取点M,使得MC=MA,连接MC,设点M的坐标为(n,0),在 RtAMOC中，勾股定理求出M点坐标，证明LOPD=∠CM0,进而得到 m<0PD-em2C0-手设P--子+2r0,酸据a<0P0- DP ,列式计 算即可。 【详解】(1)解：：点A的坐标是(-4,0)，对称轴是直线x=- 3 :B(1,0 :将点A-4,0),B(1,0)代入抛物线中，得 [0=16a-4b+2 0=a+b+2 1 a=- 2 解得 3 b2 :该抛物线的解析式为y=-x2- 2 2+2 (2):y=- -2x+2,当x=0时，y=2. 123 .C(0,2), 0C=2, 设直线AC的解析式为y=kx+b, :直线AC经过点A-4,0),C(0,2), 0=-4k1+b 2=b 1 解得长-2， b=2 1 :直线4C的解析式为y=2x+2, 设点Pm, 1 D%,0,Em,2m+2 :PE=-5m2-2m, 2 :DE∥y轴， :△PEFAOCF, ·PEPF OC OF= c0, 1 当m=-2时， 有最大值：此时，点P的坐标为-2,3)： PF 设滑动后O,C的对应点分别为O,C, 2 将点B向上平移2个单位到点H(1,2 O'B CH,O'B=CH, :四边形0'BHC'是平行四边形， .PC+C0+0B=PC'+C'0'+0'B=PC'+C'H +22PH+2, 当且仅当P,C',H三点共线时，PC+C0+OB取得最小值. P-2,3, PC+C"H=PH=V1+2}2+(2-3)2=10, PC+C0+0B的最小值为2+√10； (3)解：点P的横坐标为3-V73或9-45，理由如下： 4 4 如图，在x轴负半轴上取点M,使得MC=MA,连接MC, 1 设点M的坐标为(n,0),则OM=-n,MC=MA=n+4. 在RtAMOC中， OM2+0C2 =MC2, ∴(-n)2+22=(n+4)2, 解得n=-3 :0M=2 3 MA=MC, .∠MAC=∠MCA, :∠CM0=LMAC+∠MCA=2∠CA0, ∠0PD=2∠CA0, L0PD=∠CM0. 在RtaM0C中，tan∠CMO=OC-4 OM3' :tan∠OPD=tan∠CM0=3, 4 段P--子+2<叭 在RtOPD中，tan∠OPD=OD DP -t 4 3, 解得1=-3-V万或9-145 4 4 :点P的横坐标为3-V万或9-45时，∠0PD=2∠C40. 4 4 25.如图，在等腰△ABC中，AB=AC. 图1 图2 图3 (1)若∠BAC=120°，点D为AB的中点，且AC=2√5，求线段DC的长度： (2)若D为△ABC外一点，连接BD,DC,且∠BAC=∠BDC,点E为DB延长线上一点，F 为CD上一点，连接AE,EF,已知AE为∠BEF的平分线，∠ABD=30°， LAFD+LAFE=180°，且∠DFE=∠AEF+∠BAE,猜想BE,EF,AF之间的数量关系并 证明； (3)如图△ABC中，∠BAC=120°，AC=6.E,F分别为AB,BC的动点（均不与顶点重合） 且BF、1 AE2在直线BC下方作点P,使∠PBC=120°，连接PF,当AF+)EC有最小值时， 2 A、F、P三点共线，在BC上方取点M,连接BM,MC且∠BMC=60°，点N为直线BM 与直线4C的交点，当 有最大值时，直接写出△APN的面积. BN 【答案】(1)√21 (2)EF=BE+√2AF,证明见解析 3)9V5-9 【分析】(1)过点C作CW⊥BA延长线于点W,求出∠WCA=30°，则可得AW和WC,再 求出WD,利用勾股定理即可求解： (2)在EF上截取EG=EB,连接AG,作FH⊥AG于点H,证明△AEG≌△AEB，得出 LAGE=∠ABE=150°，则∠AGF=30°，通过导角可推出∠FAG=45°，在Rt△AHF中， Hm=2AP,在R△GHF中，GF=2HF=V2AF,再利用EF=EG+GF即可证明； (3)过点A作AR⊥BC于点R,求出BC=6√5，通过加权逆等线的方法确定BP=3时， AF+二EC有最小值，且A、F、P三点共线，由LBMC=60°构造aCBM的外接圆，可知 圆心为点A,过点M作ML∥BC,交CA延长线于点L,作MK⊥CL于点K,通过证明 MN MLML ∠L=∠ACB=30°，△MNL∽△BNC,得ML=2MK, BN BC 63 则可知当MK有 最大值时，有最大信，即当K与圆心0重合时，MK有最大，延长P8交CL于点S, W 可知LBSC=90°，利用勾股定理求出PS=3+3√3，再利用△MAN∽△BSN求出AN,最后 利用面积公式求解 【详解】(1)解：过点C作CW⊥BA延长线于点W, ∠BAC=120°， D B ∠WAC=60°，∠WCA=90°-∠WAC=30°， :AC=2V3, Aw=号AC=V5,WC=√AC2-Aw=3, :点D为AB的中点，AB=AC, 00=5, :.WD=AW+AD=23, DC=Dm2+wC=25+3=2i: (2)解：猜想EF=BE+√2AF, 证明：在EF上截取EG=EB,连接AG,作FH⊥AG于点H, C ZABD=30°， G 图2 :∠ABE=180°-∠ABD=150°， :AE为∠BEF的平分线， ·∠AEF=∠AEB, EG=EB,AE=AE, :△AEG≌△AEB, .∠AGE=∠ABE=150°， :∠AGF=30°， :∠DFE=∠AEF+∠BAE,∠ABD=∠AEB+∠BAE,∠AEF=∠AEB, .∠DFE=∠ABD=30°， :∠AFD+∠AFE=180°，∠AFD=∠AFE-∠DFE=∠AFE-30°， :∠AFE-30°+∠AFE=180°， :∠AFE=105°， ∠FAG=180°-∠AGF-∠AFE=180°-105°-30°=45°， :FH⊥AG, :在R△AHF中，那=2 AF, 2 在Rt△GHF中，∠AGF=30°，GF=2HF=√2AF, EF=EG+GF, ·EF=BE+V2AF: (3)解：如图，过点A作AR⊥BC于点R, :AB=AC,∠BAC=120°， :∠ABC=∠ACB=30°，BR=CR, “AC=6, 4R=4C=3,CR=5AR=35. BC=2CR=63, 如图，在射线BP上取点Q,使行80-4C-3, E B C. BF 1 F R AE=2 P BF BO 1 AEAC-2 :∠QBC=LBAC=120°， :△BFQ∽△AEC, Fe-Be-1. EC AC2' :FQ=IEC. 22 :AF+)EC=AF+FQ≥A,当且仅当A、F、Q三点共线时取得最小值， 又：此时A、F、P三点共线， :点Q和点P重合，此时如图， E B R P(O 如图，构造aCBM的外接圆⊙O, :∠BMC=60°， :∠B0C=2∠BMC=120°， :0B=0C, :∠0BC=∠0CB=30°， :L0BC=LABC=30°，L0CB=∠ACB=30°， :点O和点A重合， 过点M作ML∥BC,交CA延长线于点L,作MK⊥CL于点K, M A(O) ∠L=∠ACB=30°，△MNL∽△BNC, MN ML ML ML =2MK, BN BC 63 :当ML有最大值时， 有最大值， BN :当MK有最大值时， W 有最大值， BN 当K与圆心O重合时，MK有最大值，此时如图， 延长PB交CL于点S, M L 4(OK0 ∠PBC=120°，∠ACB=30°， B :LBSC=∠PBC-∠ACB=90°， s=8c=35,Cs=Bc-s时-9,45：C5-AC=3, PS=PB+BS=3+33. :MA=AC=6,∠MAC=90°， :∠MAN=∠BSN=90°， :∠SNB=∠MNA, .△MANo△BSN, AN AM 6 SN BS 即3-4N6, 解得：AN=12-6√5，经检验是方程的解， S.PV= 4w-s=x2-656+3=5-9. 二次函数与几何综合强化训练（四） 24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A-6,0),B(1,0)两点， 与y轴交于点C. H (备用图) (1)求抛物线的解析式： (2)连接BC,点P为直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PD∥BC交AC于点D,点Q 是抛物线对称轴上一动点，连接PQ、BQ,当PD取得最大值时，求点P的坐标及 PQ-BQ的最大值； (3)在(2)中PD取得最大值的条件下，将抛物线y=ax2+bx+3沿射线AC方向平移得到新 抛物线y,平移后点P恰好落在y轴上，点K是新抛物线y上一动点，点H'是原抛物线顶 点H的对应点，连接HH',将线段HH'绕着点H'逆时针旋转90°得到线段HH”,若 ∠HH"K=∠CAB+∠OCB,请直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解点K的坐 标的其中一种情况的过程。 【塔】=方- +3 (2)P(-3,6),P0-BQ有最大值35 见解析 【分析】(1)利用待定系数法求解即可： (2)连接AQ,过P作PF⊥x轴交AC于F,过D作DG⊥PF于G,证明△PGD∽aCOB, nG10c得C8股-8C-方反cF-:推号pm-号而F,则 当PF最大时，PD威大：求出直线4C的表达式为y=+3,设P,m-多m m+3, 2 2 则F(mm+3,6<<0,PF=m+3+号，利用=次函数的性质求得PF取最大 1 9 值时的点P坐标；P(-3,6；再根据对称性质得到当A、P、Q三点共线时PQ-BQ取最大 值，进而求解AP即可； 3先根据三次函数图象平移规则得到新榄物线的解所式Y产+↓5 2+ 2，和顶点坐 标以()，口公8》)，再钧造全等三角形求符 如图，过H的EF∥x抽，EH上EF于E,HT⊥EF于E,2上 ,利用锐角三角函数 求得∠HH"K=∠CAB+∠OCB=45°，分当K在直线HH"上方时和当K在直线HH"下方时分 别求解即可. 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-6,0),B(1,0), 1 36a-6b+3=0 a=- 2 a+b+3=0 ，解得 5 b=- 2 :抛物线的解析式为y=-x2-x+3: 2 21 (2)解：连接AQ,过P作PF⊥x轴交AC于F,过D作DG⊥PF于G, 则DG∥AB,PF∥OC,LPGD=∠COB=LCOA=LDGF=90°， :PD∥BC, .∠DPG=∠BCO,LGDF=∠CAO, .△PGDn△COB,ADGF∽△AOC, DG OB 1 GF OC 1 PG OC3'DG OA2 设GF=a,则DG=2a,PG=6a,PF=PG+GF=7a, PD=PG+DG=6@+2a=20a=210PF, 7 则当PF最大时，PD最大， 当x=0时，y=3,则C(0,3), 设直线AC的函数表达式为y=x+t, 1 -6k+t=0 k= 则 t=3 ,解得2， t=3 直线AC的表达式为y=2x+3, 1 1 陵卫肌方加5 -2m+3则Fm2m+36<m<0, PF=-Im 2 2 m+-=a++号 2-5m+3m 1 <0, 2 当a=-3时，PF取最大值，此时m-m+3=刘-3-3x-到+3=6， 2 ·P(-3,6); “点Q是抛物线对称轴上一动点， :.AO=BO, ·PQ-BQ=PQ-AQ≤AP,当A、P、Q三点共线时取等号， :AP=V-6+3)2+(0-62=35, :P0-BQ的最大值为3√5； 3解：将湖物线y三女-)x+3三-个。沿射线4C方向平移得到新抛物 2x+2+ 8 y,平移后点P恰好落在y轴上，且A-6,0),C0,3),P叫-3.6,28 549 :平移方式为将抛物线y=ar+bx+3先向右平移3个单位长度，再向上平移？个单位长度 2 得到新抛物线y, 15 2 如图，过H'的EF∥x轴，EH⊥EF于E,H"℉⊥EF于F, H B .∠HEH'=∠HFH"=90°， 由旋转性质得∠HHH"=90°，HH'=HH", .∠EHH'=∠FHH"=90°-∠EHH,∠HH"H'=45°， △HEH'≌△HFH"(AAS, FF r2 :tan∠CAB= A2'tan∠OCB=OB=1 OC 1 0C-3' 11 tana +tanB .tan(∠CAB+∠OCB)= =tan∠c4B.tan∠ocB=,l,(tana+B= 1-tanatanβ' 23 证明见后面，tan45°=1)， .∠CAB+∠0CB=45° .∠HH"K=∠CAB+∠OCB=45 当K在直线阳上方，K与日重合：别K传》： 当K在直线HH"下方时，∠HH"K=∠HH"H'+∠HH"K=90°=∠HHH",则 HK∥H'H∥AC, 29 线HK的函数解析武为y=)x+9,则女=，×2+q,则9 29 直线HX的函数解析式为y=2x+8' 129 y= x+ 2 8 联立方程组，得 1 y=- +1,15 2t、 2 31 X=- 解得 2 (另一组解不符合题意，已舍去) 29-2√31 y= 8 3129-2V31 .K2 2 8 综上，满足条件的K的坐标为太行)，太 V3129-2V31 2’8 tana tanB 注：证明tana+B)= l-tanotanβ 如图，矩形ABCD中，AD=BC=1,AB=CD,AD∥BC,∠A=∠D=∠C=90°， 设∠CBE=B,∠FBE=a,∠BEF=90°， 则∠DEF=90°-∠CEB=∠CBE=B,∠AFB=∠CBF=a+B, 在Rt△CBE中，CE=BC·tanB=tanB,BE BC 1 cosβcosB 在RIA BEF中，EF=BE:tana=anC cosB, 在RtAEDF中，DE=EF·cosp=tana,DF=DE.tanB=tanatanB, 在Rt△ABF中，AF=AD-DF=1-tanatanB,AB=CD=tana+tanB, tan(a+B)=48=tana+tanB AF-1-tandtanβ 【点晴】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、 二次函数的图象的平移、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判 定与性质、坐标与图形、锐角三角函数等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关 键 25.在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠ADE=90°，AB=AC,DE=DA,且AB>AD. 图1 图2 图3 (1)如图1，当点D在线段AB上时，连接EC,若AC=2√2，AE=3,求线段EC的长： (2)如图2，将图1中ADE绕着点A逆时针旋转，使点D在△ABC的内部，连接BD,CD.线 段AE,BD相交于点F,当LDCB=∠DAC时，求证：BF=DF; (3)如图3，点C是点C关于AB的对称点，连接C'A,C"B,在(2)的基础上继续逆时针旋 转ADE,过B作AD的平行线，交直线EA于点G,连接CG,CG,BD,若BC=2,请 直接写出线段CG的最小值，以及当线段CG长度最小时△ACG的面积. 【答案】(1)√29： (2)证明见解析： (3)CGnin=5-1,SAucG= 5-5 10 【分析】(1)如图1中，过点C作CH⊥AE交EA的延长线于H.则∠CHE=90°，先证明 △ACH是等腰直角三角形，求出AH=CH=2,则EH=5,由勾股定理可得由勾股定理得 CE=VCH2+EH2=√29； (2)如图，过点B作BP∥DE交AE于P,由等腰直角三角形的性质得到 ∠ABC=LACB=∠DAE=∠DEA=45°，证明∠BAP=LACD,进一步证明△BAP≌△ACD, 得到BP=AD,进而推出BP=DE,再证明△BFP≌△DFE,即可证明BF=DF, (3)先求出∠DAG=135°，则由平行线的性质得到∠AGB=135°，进一步推出 ∠ACB+∠AGB=180°，得到A、B、C、G四点共圆且圆心为BC的中点，直径为BC;如 图所示，取BC的中点O,连接OC'交OO于H,过点OM⊥CC'于M,过点H作HN⊥CC' 于N,则点G在以点O为圆心，BC为直径的圆上运动，故当C'、G、O三点共线时，即点 G与点H重合时CG最小，求出AC=√2，由点C是点C关于AB的对称点，得到 CC'=2AC=2√2，BC'=BC=2,∠CBA=∠CBA=45°，由勾股定理得OC=V5,则 CG=CH=5-1:求出OM=5,证明△CHNn△C'OM,求出HN=52-5 2 10 则5w号4cm5-5 10 即当CG最小时，Scc。 【详解】(1)解：如图1中，过点C作CH⊥AE交EA的延长线于H.则∠CHE=90° D B 图1 :∠BAC=∠ADE=90°，DA=DE,AB=AC, ∴.∠DAE=∠ABC=∠ACB=45°， .∠CAH=180°-∠DAE-∠BAC=45°， ·△ACH是等腰直角三角形， ÷AH-CH-5AC-2. 2 .EH AE +AH=5, 在Rt△CEH中，由勾股定理得CE=VCH'+EH2=√29； (2)证明：如图，过点B作BP∥DE交AE于P. :∠BAC=∠ADE=90°，AB=AC,DA=DE, :“△ABC和ADE是等腰直角三角形， .∠ABC=∠ACB=∠DAE=LDEA=45°， :LDCB=∠DAC,LACD=LACB-∠DCB=45°-LDCB, ∠BAP=∠BAC-∠DAE-∠DAC=45°-∠DAC, .∠BAP=∠ACD. BP∥ED, ∠BPE=∠E=45°， :LBPE=LBAP+LABP=45°，∠ABP=∠CAD. AB=AC, △BAP≌△ACD(ASA, .BP=AD. AD DE, :BP=DE, 又：∠BFP=∠DFE, .△BFP≌△DFE(AAS), :BF DF. 图2 (3)解：∠ADE=90,DA=DE, .∠DAE=45°， .∠DAG=180°-∠DAE=135°， :AD∥BG, .∠AGB=∠DAG=135°， :∠BAC=90°，AB=AC, .LACB=∠ABC=45°， ∴.∠ACB+∠AGB=180°， ,A、B、C、G四点共圆且圆心为BC的中点，直径为BC, 如图所示，取BC的中点O,连接OC'交O0于H,过点OM⊥CC'于M,过点H作 HN⊥CC'于N, .点G在以点O为圆心，BC为直径的圆上运动， 当C'、G、0三点共线时，即点G与点H重合时CG最小， BC=2, :4C=5BC=N2, 2 :点C是点C关于AB的对称点， CC'=2AC=2V2,BC'=BC=2,∠CBA=∠CBA=45°， .∠CBC'=90°， ∴在Rt△C'B0中，由勾股定理得0C'=√BC2+0C2=V5, CG最小值=CH=V5-1: :0M⊥AC, AM -CM-74C-V2 2 ∴0M=V0C2-CM2= √ 2 :OM⊥CC',HN⊥CC', OM∥HN, .△C'HN∽△C'OM, HN CH HN 5-1 OM cO,即2 5, ·Hw=5N2-V5 10 SA4cw2AC·HW-5-V5 10 5-V5 :当CG最小时，Sa4cG10 E B 图3 【点晴】本题主要考查了圆外一点到圆上一点距离的最值问题，勾股定理，等腰直角三角形 的性质与判定，相似三角形的性质与判定，垂径定理，四点共圆等等，正确推出点G的运 动轨迹是解题的关键， 二次函数与几何综合强化训练（五) 24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ar2+bx+2(a≠0)过点(1,3)，交y轴于C点， 交x轴于A,B(4,0)两点(A在B的左侧)，连接AC,BC. 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D,点Q是抛物线对称 轴上的一动点，连接PO,BQ,当线段PD长度取得最大值时，求PQ+BQ的最小值； 3)在(2)中线段PD长度取得最大值的条件下，连接PA,将抛物线沿射线CB方向平移得 到新抛物线y,使得新抛物线y经过点B,且与直线CB相交于另一点M,点N为新抛物线 y上的一个动点，当∠PAC+∠BMN=45°，请直接写出所有符合条件的点N的坐标 【答案】(1)y=-1x ++2 2 (2)PQ+BQ的最小值为3√2 ev的坐标为3-2或号】 【分析】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，图象的平移，等腰三 角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识，解决问题的关键是较强计算能力， (1)将B点和(L,3)代入函数解析式，进一步得出结果： (2)作PE⊥AB于E,交BC于F,先推出当PF最大时，PD最大，求得BC的函数解析 式，进而设P点和F点坐标，进而表示出PF的关系式，进一步得出点P坐标；连接AP, 交对称轴于点Q,则PQ+BQ最小，最小值是AP的长，进一步得出结果： (3)先求出平移后的抛物线解析式，可得出∠PAC+∠ACF=∠AF0=45°，进而推出 ∠ACO=∠ABC=∠BMN,当MN∥AB时满足条件，从而得出N坐标；作∠BMN'=∠BMN, 交y于N',交x轴于点W,设W(化，O),根据WB=WM列出方程，从而求得W坐标，进而 求得MW的解析式，求出其与y的交点，从而得出结果。 【详解】(1)解：将(1,3，B4,0)代入y=ax2+bx+2(a≠0) a+b+2=3 16a+4b+2=01 1 a= 2 b= 3 2 12 3 y=- +2+2: (2)解：如图1， 图1 作PE⊥AB于E,交BC于F, .PE∥y轴， ·LPFD=LBCO, :当x=0时，y=2, C(0,2), :0C=2,又0B=4, :.BC=V22+42=25, sin∠PFD=sin ZBC(0= 0B25 BC 5 PD=PE-sin∠pFD=25pF, :当PF最大时，PD最大， C(0,2),B(4,0), :直线BC的解析式为：y= 2x+2, 设Pm5m+之m+2,Fm,二)m+2 1 3 1 ∴.PF=(-二m2+三m+2)-(-m+2)=-二(m-2)2+2, -1<0,0<m<4 、当m=2时，PF最大， 2+22= .P(2,3), 连接AP,交对称轴于点Q,则PQ+BQ最小，最小值是AP的长， 123 由-2+x+2=0得， 2 x=4或x=-1, ÷A(-1,0), .AP=-1-2)2+32=32, :P0+BQ的最小值为：3√2； (3)解：如图2， W M 图2 抛物线y= 33 1 x》+2+号向右半移4个单位，向下平移2个单位后为： 8 1 3 y=-(x 2 42+9 2 8 即：y= -x-+9=-x+ 82 x-14, 21 2 :PE=AE=3,∠AEP=90°， .∠PAE=45°， ∠A0C=90°， ∠AF0=45°， :∠PAC+∠ACF=∠AF0=45°， oc=2'an∠ABc=0C=2-1 tan∠AC0=OA=1 OB42 :∠AC0=∠ABC, LABC+∠PAC=45°， :∠PAC+∠BMN=45°， ∠ABC=∠BMN, 当MN∥AB时，∠ABC=∠BMN, 由题意得， 当C平移到点B,点B(4,0)平移到M, M(8,-2), Nx2-8,-2, 即N(3,-2, 2 作LBMN'=∠BMN,交y于N',交x轴于点W, 设W(t,0), :∠WBM=∠ABC, :∠WBM=∠BMN', :WB =WM .(8-)2+22=(t-4)2, f=13 2 :Mm的解析式为：y=-4x+26 3+4 3 由-4x+26.-1x2+ 11 17 3x+32 x-14得，x=8或x= 2 3 :x3+x7-14=0 231 23 9 N,9 3’91 综上所述：N3,-2)或，19 39 25,在ABC中，∠BAC=Q,AB=AC,点D是BC上一点（点D不与点B重合），连接AD ，将线段AD绕点A逆时针旋转a得到线段AE. B H D 图1 图3 (1)如图1，若a=120°，AB=1,CD=3BD,连接CE,求点E到AC的距离； (2)如图2，连接BE,作∠EBC的外角平分线BF交CA延长线于点F,过点F作FG⊥BE于 点G,交BC于点H,点K是AD的中点，点P是AC的中点，连接KP,试猜想线段BE、 EG与KP的数量关系，并证明； 3)如图3，若a=90°，AB=3,点M是BC的中点，点N是AC的中点.将△ADB沿AD所 在直线翻折到△ADR,连接RN、RM.在RN上取一点Q,使得RQ=2QN,连接OM、 QC,当M0+CQ取最小值时，请直接写出△RMD的面积. 2 【答案】( 8 (2)BE=2(EG-KP); B)9-3V5 8 【分析】(1)先求出BC的长度，结合CD=3BD得到BD的长，再依据旋转性质证明 △BAD≌ACAE,得到CE=BD和∠ACE=∠ABC,最后过E作AC的垂线，在直角三角形 中利用30°角的性质求出点E到AC的距离 (2)先由三角形中位线定理得到KP与CD的数量关系，再根据角平分线性质和全等三角形 判定证明相关线段相等，推导出BE、EG与CE、CB的等量关系，最后结合CE=BD和 2KP=CD,通过线段和差代换得到BE、EG与KP的数量关系. (3)先利用等腰直角三角形和中点性质得到线段的平行与垂直关系，结合翻折性质确定R的 轨迹，再由RQ=2ON通过平行线分线段成比例确定Q的轨迹，利用相似三角形将，CQ转 化为QN,把MQ+,CQ转化为M0+QN,根据两点之间线段最短确定Q的位置，接着通 过三角函数求出相关角度，设BD=DR=x并根据线段和列方程求解x,最后计算△RMD的 面积 【详解】(1)解：如图，过点E作EP⊥AC于点P,EP即为点E到AC的距离. :AB=AC,∠BAC==120°， ∠B=∠4ACB=180°-120 =30°. 2 过点A作AH⊥BC于点H, AB=1, ÷BH=ABc0s30°=5 ,BC=2BH=√5. 2 .CD=3BD, EBD=4BC的 4 由旋转的性质得AD=AE,∠DAE=Q=120°， :∠BAD=∠BAC-∠DAC,∠CAE=∠DAE-∠DAC, .∠BAD=∠CAE. AB=AC 在△BAD和aCAE中， ∠BAD=∠CAE, AD=AE △BAD≌△CAE(SAS), ÷CE=BD= ,∠ACE=∠B=30°. 4 在RtaEPC中，∠EPC=90°，∠ECP=30°， .EP=CE·sin30°= 515 -X- 428 即点E到AC的距离为 8 (2)解：猜想BE=2(KP+EG),证明如下： “点K是AD的中点，点P是AC的中点， KP是△ADC的中位线， CKP=CD,即2KP=CD 由旋转的性质得AD=AE,∠DAE==∠BAC, ∠BAD=∠BAC-∠DAC,∠CAE=∠DAE-∠DAC, ∠BAD=∠CAE. 如图，连接CE,FE. NBH D AB=AC 在△BAD和aCAE中， ∠BAD=∠CAE, AD=AE △BAD≌△CAE(SAS), .BD=CE,∠ACE=∠ABD, 过F作FM⊥CE交CE的延长线于M,FN⊥BC交BC的延长线于N, :BF平分∠EBC的外角，FG⊥BE,FN⊥BC, .FN =FG, FN=FG 在RtaFBN和RtAFBG中， FB=FB' .RtAFBN≌RtAFBG(HL), :BN=BG AB=AC, .∠ABC=∠ACB, 又∠ACE=∠ABC, ∠ACB=∠ACE,即CA平分∠BCE. FN⊥BC,FM⊥CE, :FN FM .FG=FM 同理，RtAFGE≌RtAFME(HL),EG=EM. RtAFNCRtA FMC (HL),CN=CM. BN=BG,BN CN-CB,BG=BE-EG, .BE-EG=CN-CB. 又CB=BD+DC=CE+2KP, .BE-EG=CM -CE-2KP=ME-2KP=EG-2KP, .BE=2(EG-KP. (3)解：：4=90°，AB=AC=3, △ABC是等腰直角三角形，∠ABC=∠ACB=45°，BC=3√2. :M是BC中点，N是AC中点， BN=MC3N2,AN=C=),MN是aABC的中位线，MWA 2 :将△ADB沿AD翻折得到△ADR,由翻折性质得：AR=AB=3,∠DAR=∠DAB,即R在 以A为圆心、3为半径的圆上 如图，过0作QO川AR,交AC于0， “R0=20N,即№_1 NR 3 00 NONO 1 AR NA NR3 0o-号}4R=1,wo= 1 :点Q在以0为圆心、1为半径的圆上， 0C=N0+NC=2, 又：∠Q0N=∠C00, ON 0O 1 000c2 △OQNW∽aOCQ, ow.ce. 二M0+2CQ=M0+ON,由两点之间线段最短，当M、Q、N三点共线时，取最小值， 此时Q在MN上. R :AB⊥AC,MN II AB, .MN⊥AC, 在R&OQ中，ON-,00=1, 由勾股定理得QN=V00-ON- 2 :RQ:QN=21, ÷R0=20N=V5,RN=R0+ON=35 ÷cos∠ARN=RN-V5 AR 2 :∠ARN=30°， :∠BAR=30°，AD平分∠BAR, '∠DAR=∠DAB, .∠BAD=I5°， 在△ABD中，∠BAD=15°，∠ABD=45°， ,∠ADB=∠ADR=120°， ∠MDR=60°. 过R作RK⊥BC于K,设BD=DR=x, 在R1aDKR.巾DK=DRcos∠MDR=,KR=DRs如∠MDR= 2, 在R1aMKR中，KM=KR=5x 2 -x, ÷BD+DK+KM=x+5+5x=32 x= 2 2 2 解得x=3V2-6 2 L1+5x5x=3+52, S.RMD=7- -X= 22 2 8 3+5x6-3N5-9-35 S.RMD 8 8 即aRMD的面积为9-3V5 8 二次函数与几何综合强化训练（六） 1 24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-2r+bx+C与x轴交于4，B(4,0)两点，与 y轴交于点C(0,4. B 图1 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，点P是直线BC上方抛物线对称轴右侧上一动点，过点P作PM∥y轴交BC于 点M,作PN∥x轴交抛物线于点N,点E是抛物线对称轴上一动点，点F是y轴上一动点， 连接AE,PF,EF,当2PM+PN取得最大值时，求P点坐标及AE+EF+PF的最小值； 1 3)将抛物线y=一 x2+bx+c沿射线BC方向平移后经过点(2,2)得到抛物线y,点G为抛 21 物线y上一动点，若2∠CA0-∠GAB=90°，请直接写出所有符合条件的点G的坐标，并写 出求解点G坐标其中一种情况的过程， 1 【答案】(1)y=- ++4 (2221 2 3)G -7+V1933+3V193 -1+V24121+3V241 16 G 4 16 分)把点B4,0,C0,4代入y=产+bx+c,求解即可 (2)求出对称轴为直线=1，直线8C的解折式为y=+4,设P++4 2PM+PW=--3+7,得当2PM+Pw有鼓大值时P3引，作点P关于y轴的对称点 Q,连接BO,FO,BE,得B0=2Z,PF=F0,AE=BE,符ME+EF+PF =BE+EF+FQ≥BQ,得当点E在抛物线对称轴上，点F在Y轴上时，AE+EF+PF=BQ ,AE+EF+PF取得最小值V221: 2 3由)=2+x+4,求出A-2,0,得04=2,0B=0C=4,由平移求曲 y=x+P+作△40C关于直线4C的对称dHC,作4G,1CH交)于点G,4G交 y轴于点E,过点H作HI⊥x轴于点I,过点C作CJ⊥HI于点J,可得 2∠CA0-∠G,4H=90,符合题意.证明AIHC,得W-C-CH-4=2,设 AI=HⅢAH2 H(s,(s<0,1>0),则A1=-2-s,H1=1,由四边形0CJⅡ是矩形，得 16 S=- CJ=01=-5,J=0C=4,.HJ=4-t,求出 5,得H 168 8 5’5 ,设直线CH解析式 t= 5 为心+4，发出-京直线G价折式为子这号-子 x+ 24 21 解得x=1+3,得G -7+V1933+3V193 3 2 ,设点E关于 4 4 16 植的对称点为FQ-》求出直线你的解折式为=子含获立行 -1+V24121+3W241 4 4 16 1 【详解】1)解：把点B4,0,C(0,4)代入y=2+br+c, 得 2×4+4h+c 1 10= 4=c b=1 解得 c=4 跑物线的解析式为y三)2+x+ 2)解：y=++4=x-+号 2 对称轴为直线x=1, :C(0,4), :设直线BC的解析式为y=c+4, B(4,0), .4k+4=0, 解得k=-1, .y=-x+4, 设Px+x+4, :PM=-- x2+x+4--x+4)=-1x+2x,PN=x-2-刘=2x-2, 2PM+w-2+22-2r46x-2--+7 :-1<0, 当x=3时，2PM+PN有最大值， 时引 作点P关于Y轴的对称点Q,连接BQ,FQ,BE, 5 2 则BQ= 4+3)2+ V221 2 PF=FO, :点A,B关于对称轴对称， :AE BE, ∴AE+EF+PF=BE+EF+FQ≥BQ, ·.当点E在抛物线对称轴上，点F在Y轴上时，AE+EF+PF=BQ, 4E+EF+PF取得最小值22I 2 1 （3)解：对y=2+x+4, 0,则7+x+40 解得x=-2或x=4, A-2,0, B4,0),C(0,4, ÷0A=2,0B=0C=4, :抛物线y=-1x2+x+4=- 1 x-+号沿射线8C方向平移后经过点12.2)得到抛物线. :.设抛物线y= +4=x-+号左平移d个单位K度华上平移个单位长 1 经过点(2,2)得到抛物线y, y'=- (x1+d2+2+A 把(2,2)代入， 得2=2-1d+号*d 9 解得d=±2， 取d=2, y=x*+号 :2∠CA0-LGAB=90°， 作△AOC关于直线AC的对称△AHC,作AG,ICH交y于点G,AG交y轴于点E,过 点H作HI⊥x轴于点I,过点C作CJ⊥HI于点J, 则∠AHC=∠AOC=90°，∠CAO=∠CAH,OA=AH=2,OC=CH=4, ∠OAH=2∠CAO,∠G,AH=180°-∠AHC=90°， :∠OAH-∠GAB=∠G1AH, .2∠CA0-∠GAH=90°，符合题意 ∠1=∠J=90°， .∠CHJ+∠HCJ=90°， :∠CHJ+LAHI=90°， ,∠AHI=∠HCJ, .△AIHHJC, 刊_C☒_CH-4=2, AI HI AH 2 设H(s,)(s<0,1>0), 则A1=-2-S,H1=t, :L1=∠J=∠C01=90°， 四边形0C1是矩形， .CJ=01=-s,W=0C=4, .HJ=4-t, 4-t=2(-2-s) -S=2t í16 s=- 解得{ 5 8 1= 5 设直线CH解析式为y=mx+4, 则、16 8 5 +4=】 3 解得m=。 4 3 设直线AG,的解析式为y=二x+n, 4 则2x-2列+m=0, 4 3 解得n= 2 33 :直线AG的解析式为y=二x+ 4 联立得x++-及+ 24+2, 解得x=-7+193或x=7-93 (舍去)， 4 4 -7+V1933+3V193 G 4 16 3 3 对y=二x 4 2， 3 令x=0,则y= 21 设点E关于女辅的对称点为F0引直线的解析式为y= 2 3 则-2e- =0， 2 3 .e=- 4 33 y=4-2 联立得x++--? 2429 解得x=1+24或x=-1-24 .(舍去)， 4 4 -1+√24121+3V241 .G2 4 16 综上，G -7+V1933+3W193 -1+V24121+3V241 4 G2 16 4 16 H B士 0 【点晴】第(2)作轴对称图形，构建最短路径模型；第(3)小题，作轴对称图形，构建相 似三角形 25.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E在直线BC上，连接AE,过点C作 CD⊥AB于点D,AE交CD于点F. 图1 图2 图3 (1)如图1，若点E在线段BC上，AE平分∠CAB,CB=10，,BE=6,求CF的长度； (2)如图2，若点E在线段BC上，∠CEA=45°，延长BC至点G,连接FG,满足 ∠AFD=∠AFG,请用等式表示线段CG,AC和BC的数量关系并证明. B)如图3，若an∠ABC-手，将△4CE沿征翻折至4C所在平面得到4CE,连接BC ,点P为BC'的中点，连接DP,在E点运动过程中，当DP取最大值时，直接写出此时 DP的值， B 【答案】(14； (2)CG=BC-AC,，证明见详解； 39 0 【分析】(1)利用同角的余角相等得到∠ACD=90°-∠BAC=∠ACD=∠B,利用角平分线 的定义和三角形的外角的性质得到∠CFE=∠CAE+∠ACD=∠BAE+∠B=∠CEF,从而得 到CF=CE=CB-BE,从而得解； (2)根据题意可知是aCEA等腰三角形，∠CEA=∠CAE=45°，CA=CE,再利用三角形 的外角的性质证明∠B=LG,过点E作HE⊥BC交CD的延长线于点H,从而证明 △ACB≌△CEH(AAS),△GEF≌△HEF(AAS),得到EG=EH=BC,继而得证； (3)设DC=12a,继而求得DB,BC,AC和BA,结合翻折的性质得到AC=AC',过点 P作PO‖AC'交BA于点O,则点O为BA的中点，且OB=OA=AB,那么，点E在直线 2 BC上运动过程中，始终有AC=AC'=20a,则点C的运动轨迹为以点A为圆心AC为半径 的圆上运动，那么点P的运动轨迹为以点O为圆心OP=】4AC为半径的圆上运动.当DP取 最大值时，则点P、点O和点D共线时，求得此时OD,DP和BC',连接EC',则 ∠ECB=90°，进一步求得cos∠ABC,求得即可BE. 【详解】(1)解：：CD⊥AB,∠ACB=90°， :∠ACD=90°-∠BAC=∠B, 又：AE平分∠CAB,CB=10,BE=6, .∠CAE=∠BAE, :∠CFE=∠CAE+∠ACD=∠BAE+∠B=∠CEF, :CF=CE=CB-BE=10-6=4; (2)解：CG=BC-AC,证明如下： 由(1)得：∠ACD=LB, ∠CEA=45°，∠ACB=90°， ,∠CEA=LCAE=45°，CA=CE, :∠AFD=∠AFG, .∠ACD+∠CAE=∠CEA+∠G=∠G+LCAE, .∠G=LACD, .LB=∠G=LACD, 过点E作HE⊥BC交CD的延长线于点H,如图， H D 图2 则∠H=90°-∠BCD=∠B=∠G,∠GEF=∠HEF=45°， 在△ACB与△CEH中， ∠H=∠B ∠ACB=∠CEH=90° CA=CE △ACB≌△CEH(AAS), :EH =BC, 在△GEF与△HEF中， ∠G=∠H ∠GEF=∠HEF EF=EF △GEF≌△HEF(AAS), :EG=EH, :BC=EG, :.CG=EG-CE=BC-AC, 即CG=BC-AC; (3)解：设DC=12a, tan∠ABC=43 tan∠ABC= DC 4 BD 3' 解得DB=9a, BC=VDB2+DC2=V(9a)}2+12a)2=15a, :tan∠ABC= AC 4 BC=3 解得AC=20a, ·BA=VCB2+AC2=V05a)2+(20a)2=25a, :将△ACE沿AE翻折至△ABC所在平面得到aAC'E, :AC AC'=20a, 过点P作PO‖AC交AB于点O,如图： E B .△B0Pn△BAC', :点P为BC'的中点， OP BO BP 1 AC'AB BC 2 0B=0A=AB=25。 1 2 =2a,op-4c=10a. :点E在直线BC上运动过程中，始终有AC=AC', 点C的运动轨迹为以点A为圆心，AC'=20a为半径的圆上运动， ,点P的运动轨迹为以点O为圆心，OP=10a为半径的圆上运动， 当DP取最大值时，则点P、点O和点D共线时，如图， B E t,00=08-BD-号0，DP=0+0p 2a+10a=27 0, BC'=AB+AC'=25a+20a=45a, 连接EC',则∠ECB=90°， :coS∠ABC= BC 3 BC' BA 5 BE BE=BC' 45a=75a coS∠ABC 5 27 DP 24 BE 75a 50