广东省深圳市外国语学校2025-2026学年下学期九年级期中数学试卷

2025-2026学年深圳外国语学校九年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一.选择题（共8小题) 1.解：C能找到这样的一条直线，使直线两芳的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形，符合题 意： A、B、D不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形， 不符合题意： 故逃：C. 2.解：23万=230000=2.3×105. 故选：C 3.故选：C 4,解：过点C作CG∥MN, B M E :∠B=30°，∠1=70°， ∴.∠BEN=40°， .DK∥MN, ∴.CG∥MN∥DK, ∴.∠3=∠ACG,∠BCG=∠2=∠BEWN=40°， 又∠ACB=90°， ∴∠3=∠ACG=90°-∠BCG=50°， 故选：D. 5.解：，抛物线y=-x2+6x-7=-(x-3)2+2, .该函数图象开口向下，故选项A错误，不符合题意 对称轴为直线x=3,故选项B错误，不符合题意： 与y轴的交点坐标为(0，-7)，故选项C错误，不符合题意； 顶点坐标为(3,2)，故选项D正确，符合题意： 故选：D 6.解：设有x人，y辆车， 依题意得： 传=y-2 x-9 2 =y 故选：C 7.解：，正方形ABCD和正方形AB'CD是位似图形， A'B'∥AB, .△A'OB'∽△AOB, 4'-A25 OA=AB=9 ,AA′4 A0= 故选：A 8.解：如图，过点Q作QE⊥AP于点E,过点C作CF⊥AP交延长线于点F,连接AC交弧于点P1, F D E 则∠QEP=∠CFP=90°， 又：∠QPC=90°， ·∠E2P+∠EPQ=∠FPC+∠EPQ=90°， ∴.∠EQP=∠FPC, 山旋转得PC=PQ, ∴.△QPE≌△PCF(AAS), ..EO=PF, ,PF≤PC, ∴.EQ≤PC, .AP+PF≤AP+PC,AP+PC≥AC, 即当点P在P1时，EQ的值最大为CP1长， ,四边形ABCD是正方形， ..AD=API=CD=AB=1, ..AC =VAD2 DCZ=2, ∴.EQ的位最大为CP1=V2-1, △MP0的最大面积是×1×(W反-）=， 2 故选：C 二.填空题（共5小题） 9.解：将x=-2代入原方程得：2a×（-2)-b+5=0, ∴.4a+b=5, ∴.原式=2(4a+b)+2015=2×5+2015=2025. 故答案为：2025. 10.解：，数轴上点A表示的数是-V,到点A的距离为3V2且在点A右侧， .表示的数是-V2+3V2=2V2, ∴.故答案为：2V2. 1I.解：过点B作BH⊥EF,垂足为H,交CD于点G,则BH⊥CD, D B. E ∴.∠BGD=∠BHF=90°， 由题意得：AB=CG=EH=1.6m,AC=BG=2m,CE=GH=10m, .BH=BG+GH=2+10=12(m), .CD=3m, .DG=CD-CG=3-1.6=1.4(m), ∠DBG=∠FBH, .△BDG∽△BFH, DG BG 'FH BH' 诗品 解得：FH=8.4, .EF=FH+EH=8.4+1.6=10(m), ∴.大树的高度EF为10m, 故答案为：10 12.解：如图，作AF⊥x轴，垂足为F,AE⊥y轴，垂足为E, :正比例函数y=ax(a>0)的图象与反比例函数y=空(k>0)的图象交于A,B两点， ..O=OB, ∴.SA4OD=SAB0D,S△BOC=S△AOC, .AC=2AD,SABCD=18, SaBn=CD=号×18=6，S△MBC=子aCD=号×18=12， ∴.S△40D=S△B0D=3,SAB0C=SA40C=6, ∴.SAC0D=3+6=9, ..SAADE = S△COD .S△4DE=1,SAAFC=4, ..S OE=SACOD-SMDE SMFE=9-1-4=4. 反比例函数图象在第一象限， ∴.k=4. 故答案为：4. y 13.解：连接AC,作CQ⊥PD于点Q,则∠PQC=∠DQC=90°， 四边形ABCD是正方形，AD=3, ∴.AB=AD=CD=BC=3,∠ADC=∠ABC=∠BCD=90°， ∴.CA=VAD2+CD=V2CD=3V2,∠ACD=∠CAD=45°， 由翻折得FC=BC,∠FCE=∠BCE=∠BCF, ∴.FC=DC, ∴∠FC2=∠DCg=2∠DCP, ∴∠PCQ=∠FCE+∠FCQO=(∠BCF+∠DCP)=i∠BCD=45°， .∠CP0=∠PCQ=45°， .PO=OC, ∴.PC=√PQ2+QC2=V2QC, 脱-0=i.a0=∠ce=4g∠ie, .△ACPn△DCQ, ∴.∠APC=∠DQC=90°， AE=2BE, .2BE+BE=3, ∴.BE=1, ∴.CE=VBEz+BCz=V12+3z=√10， :∠APE=∠CBE=90°，∠AEP=∠CEB, ∴.△AEP∽△CEB, PE AE BE-CE' 是器 ∠PEB=∠AEC, ∴.△PEB∽△AEC, P、E CA-CE ..BP=BE-CA=1x3V2=3 CE V10 5， 故答案为： 3v5 5 D E B 三.解答题（共6小题） 14.1: 15.解：原式=a+2)-÷ a2-4 a+2 a2+4a+4 =a+2-a÷a+2)(a-2) a+2 (a+2)2 2.a+2 a+2a-2 2 =a-2 当a=V5+2时， 2 225 原式=5+2-2=污=5 16.解：(1)a=(1-20%-10%-品)×100=40， 八年级10名学生的竞赛成绩的巾位数是第5和第6个数据的平均数， b=94+94=94, 2 在七年级10名学生的竞赛成绩中99出现的次数最多， ∴.c=99: 故答案为：40,94,99： (2)八年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由如下： 七、八年级学生的竞赛成绩平均分相同，八年级学生成绩的中位数94高于七年级学生成绩的中位数93： (3),七年级10名学生中，成绩在C,D两组中有6人，八年级10名学生中，成绩在C,D两组中 有7人， .6+7=13（人)， 720x2号=468（人）. 答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀(x≥90)的学生人数是468人. 17.解：(1)设A种型号无人机平均每小时喷洒x公顷地，则B种型号无人机平均每小时喷洒(+2)公 顷地， 4050 题意得：把= xx+21 解得：x=8, 经检验，x=8是原方程的解，且符合题意， .∴.x+2=8+2=10, 答：A种型号无人机平均每小时喷洒8公顷地，B种型号无人机平均每小时唢洒10公顷地： (2)设购买A型无人机m架，则购买B型无人机（20-m)架， 由题意得：8m+10(20-m)≥180， 解得：m≤10， ,A型无人机5万元/架，B型无人机6万元/架， ∴m取最大值时，总成本最低， .m=10, .20-m=20-10=10, 最低成本为：10×5+10×6=110（万元）， 答：购买A型无人机10架，购买B型无人机10架，才能使总成本最低，最低成本为110万元. 18.解：(1)如图，连接OP,作线段OP的垂直平分线，交OP于点M, 再以点M为圆心，PM的长为半径画圆，分别交⊙O于点A,B,迮接PA,PB. 由惯周角定理可得，∠OAP=∠OBP=90°， ,OA,OB为⊙O的半径， ∴.PA,PB为⊙O的切线. 则PA,PB即为所求. A R B (2)连接OA,OB, ,PA,PB为⊙O的两条切线， .OA⊥PA,OB⊥PB, ∴.∠OAP=∠OBP=90°， ∠APB=40°， .∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠APB=140 当点C在优弧AB上时， ∠ACB=210B=70°. 当点C在劣弧AB上时， ∠ACB=180°-2A0B=110°. 综上所述，∠ACB的度数为70°或110. 故答案为：70或110. 19.解：(1)根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：图 象如图所示， v(cm/s) v(cm/s) 12从 160 10 140 120 100 6 80 4 60 40 2 20 可4812162024ts) 24681012141618202224ts) 图2 图3 ①出图2可知，v与1近似一次函数： 故答案为：一次： ②y与1近似二次函数. 故答案为：二次： (2)设v=k1+m, 将1=0，v=12:1=4,v=10代入v=k+m,得， 12=m 10=4k+m 解得k=-克， （m=12 v=-2t+12, 验证：当1=8时，v=-×8+12=8,与表格中的数据一致： 设y=aP+b+c, 将1=0，y=0:1=4,y=44:1=8,y=80代入y=a+b什c,得， (0=c 44=16a+4b+, (80=64a+8b+c 解得， (a=- b=12' c=0 y=-0+126, 验证：当1=12时，y=-×122+12×12=108,与表格中的数据一致。 (3)当弹珠到达水平轨道上A点时，前方B点处有一辆电动小车以4cms的速度向前匀速直线运动. 由(2)可知，y=-寻2+12， 当1=10时，y=-子×102+12×10=95，即小球运动了95cm, 同一时间，电动小车运动的路程为4×10=40cm, ∴.A,B两点间的距离为95-40=55（cm). 枚答案为：55. :C0=青AC,或者B0=吉DE 第20题 当C0=4C时，即品=是， 4 (1)CE=2（2)是，理由见解析 (3)B0的长度为4V2或√2+v√14或4或2+2 .CE=2; 3 同理，当EO= 【分析】 号DE时，CB=2: (1)先证明△AD0~△CB0,得到品 综上，CE=2; 品-品，结合四边形A5CD为卓越四边 （2)四边形BFC是“卓越四边形”，理由如 下： 形”时，C0= 号AC,或者E0=DE,即可 .四边形ABCD是矩形， 得出答案； ∴，∠ADC=∠A=90°，AB=CD,AD‖BC (2)结合矩形的性质∠ADC=∠A=90°，AB =CD,AD‖BC,,设DE=3a,DF=10a tam∠DFE=,AD=BC, ,结合点E是线段CD上靠近点D的四等分点，C 器=品 E=9a,CD=12a,AB=12a,接着通过 瓷-号，得到BC=15a,接着证明△DEM ∴.设DE=3a,DF=10a, :点E是线段CD上靠近点D的四等分点， ∽△CEB,△FMO∽△CBO,推出MO= 器- BO,不妨设ME=b,BE=3b,那么BM=4 b,MO=BO= 号BM=2b,推出E0=b, ∴.CE=9a, .CD=12a, EO=号EB,从而推出四边形BFEC是"卓越 ∴.AB=12a, 四边形”： (3)当0<9<45时，分成D0= 青BD威C .BC=15a, 0=SAC,过B作BHLAC交AC于点H,过 ∴.AD=BC=15a, 点C作CJ⊥AD于点J,过点C作CM⊥AB于 ∴.AF=5a, 点M,设CM交BD于点N,分别讨论即可得出 AD‖BC, 答案；当90°<0<180时，作CL⊥AB于点L .△DEM△CEB ,A0=3AB减C0=号CD,分别i讨论即可 ..De ME 1 E = DM= B BE 3 1 得出答案 DM=点BC= 3×15a-5a, 【详解】 ..FM=FD+DM=10a +5a=15a, 解：（1)，四边形ABCD是正方形，AB=4 AD‖BC, AD‖BC,AD=4, ∴.△FMO∽△CBO, ∴△ADO∽△CEO, 品=品=品， 兴=8=15e=1, BC BO= 15a ..MO=BO, .当四边形AECD为“卓越四边形”时， .ME ∴.AB=BC”=BC=6, E .不妨设ME=b,BE=3b, BH⊥AC， ..BM=4b .AH-CH-TAC-e. M0=B0=号BM=2b, :∠AHB=∠AJC=90°， ..EO=MO-ME=26-b=b, .∠BAH+∠JAH=∠JAH+∠JCA=90 品=品=方 B0=专EB. ∠BAH=∠JCA, ∴.△BAH∽△ACJ, AH ∴四边形BFEC是“卓越四边形”； .BA =号， (3)四边形ABCD是正方形，边长为6， AB=BC=CD=AD=6,∠DAB=90°， 3c- c C万， ∴BD=√AB2+AD2=V62+62=6V2, 3cx 3 当0<0<45时， ..CJ= 6 以A,B,C,D四点为顶点的凸四边形是“卓 .∠CMA=∠BAD=∠AJC=90°， 越四边形”， ∴.四边形AMCJ是矩形， D0=专BD减C0=号4C, 2AM-01-. 当D0=号BD时，D0=号×6V2=2V2, :.BM=AB-AM-6-3 4 此时B0=BD-D0=6V2-2V2=4V2; .四边形ABCD是正方形， 当C0=青AC时，过B作BHLAC交AC于点 ∴.∠ADB=45°， H,过点C作CJ⊥AD于点J,过点C"作CM⊥ AD‖CM, AB于点M,设CM交BD于点N,如图所示： ∴.∠MNB=∠ADB=45°， ∴△MNB是等腰直角三角形， ..MN-MB-6-32, MC=MN+CN=6-是e2+3=9- c2, .∠DAB=∠CMB=90°， .CB2-BM2 ClM2, AD‖C'M, 62-(6-c22=(9-c2)2, ∴.△ADO∽△CNO, ∴.c2=10±2W7, 龈=品=品=， 当c,10+2V7时，MN=MB=6-e2= ∴.C'N=3, 6-是×(10+2V)<0,不符合题意，舍 不妨设C"O=c,那么AC”=3C,AO=2c， 去； ,将边长为6的正方形ABCD绕点B逆时针旋转(0 当8=10-2V7时，MN=MB=6-e2- °<0<180)至正方形A'BCD, 6-是×(10-2=37-3， 2 .BN=VBM2+MN2=3V14-3V2 v3; 2 .DN BD-BN =6V2-3V14-3V2 综上，BO的长度为4V2或2+√14或4或2+2 2 v3. 15V2-3V14 【点睛】 2 本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，旋 ~0N=DN=号×15v23压- 转的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理， 等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识 5V2-V14 点并作出合适的辅助线是解题的关键， B0=BN+0N=3V☑，-3V2+ 2 5√2-V14 2 =V2+V4: 当90°<0<180时，作CLLAB于点L,如图 所示： 以A,B,C,D四点为顶点的凸四边形是“卓 越四边形”， A0= 号AB威C0=CD, 当A0=号AB时，A0=方×6=2，此时B0 =6-A0=6-2=4; 当c0=CD时.品-克 .∠DAB=∠CLA=90, AD‖CL, .△AD0m△LCO, AD=6, ∴.CL=3, BC=6,∠CLB=90°， BL=VBC2-CP=V62-32=3√3， ..AL=AB-BL=6-3V3, 0=专4L=号(6-3v同)=2-3. ∴B0=BL+0=3V3+2-V3.2+22025-2026学年深圳外国语学校九年级（下)期中数学试卷 一.选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1.国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光.以 下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（) DeepSeek B ChatGPT 文心一言 纳米A 2.数据统计显示，深圳市2023年小学一年级入学人数达23万人，创历史坟高峰.数据23万用科学记数 法表示为() A.23×104 B.2.3×104 C.2.3×105 D.0.23×10 3.下列计算正确的是（) A.x5+x5=x10 B.(-a2)3=a6 C.-5÷a3=-a3 D.(a-b)2=a2-b2 4.数学课上，老师让同学们合作探索平行线的特征，小智用直角三角尺和直尺（相对两边缘平行）摆成 图1的形状，直角三角尺三条边与直尺的边缘分别相交成∠1，∠2，∠3（如图2），其中∠A=60°， ∠B=30°，∠C=90°，小慧用量角器测得∠1=70°，请你帮忙算一算，∠3的度数是() T 56 0 2 山n山l山n山山山 图1 图2 A.20° B.30° C.40° D.50° 5.关于抛物线y=-x2+6x-7,下列说法正确的是（) A.开口向上 B.对称轴是直线x=-3 C.与y轴的交点坐标是(0,7) D.顶点坐标是(3,2) 6.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人 共车，两车空：二人共车，九人步.问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3 人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方 程组为() 传=y+2 传=y+2 A. +9=y B. 学-y 后=y-2 D. 后=y-2 C. 0x-9 2=y 倍-9=y 7.平行透视是绘画巾的基本技法.如图，点O是正方形ABCD和正方形A'B'CD的位似中心，若AB=9, AB=5,则 O的值是() D B A. 5 B. 4 c 8.如图，P是以正方形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径的弧BD上的点，连接AP,CP,将线段CP 绕点P顺时针旋转90°后得到线段PQ,连接AQ.若AB=1,则△APQ的最大面积是() A B.2 C.②1 D.②+1 2 2 4 二.填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9.已知x=-2是关于x的方程2ax-b+5=0的解，则8t2b+2015= 10.已知数轴上点A表示的数是-√2，数轴上到点A的距离为3√2且在点4A右侧的点所表示的数 是 11.如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量.他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离 大树10m远的C处，然后沿着大树底部E和竹竿底部C所在水平直线由C点后退2m至A点时，看大 树顶部F视线恰好经过竹竿的顶端D,测得小明的眼晴距地面的高度AB为1.6m,竹竿CD长3m,则 大树的高度EPF为 m. D B. 12.如图，正比例函数y=ax(a>0)的图象与反比例函数y=(k>0)的图象交于A,B两点，过点A的 直线分别与x轴、y轴交于C,D两点.当AC=2AD,SABCD=18时，则k· 13.如图，点E是正方形ABCD边AB上的一点，将△CBE沿直线CE翻折得到△CFE,连接DF并延长 交CE的延长线于点P,连接PA、PB.若AE=2BE,AD=3,则BP=」 D E B C 三.解答题（共7小题，共61分） 14.计算： (-1)2026+20260-()1+V27-2c0s60°： 15.先化简，尊求值：1-2)*平a4其a=5+2. 16.今年某校为确保学生安全，开展防湖水安全知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生 的竞赛成锁（百分制）进行整理、描述和分析（成锁得分用x表示)，共分成四组： A组80≤x<85:B组85≤x<90:C组90≤x<95:D组95≤x≤100： 下而给出部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：99,80,99,86,99,96,90,100,89,82： 八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94,90,94. 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表如下： 年级 七年级 八年级 平均数 92 92 中位数 93 b 众数 c 100 方差 52 50.4 根据以上信总，解答下列问题： （1)直接写出上述图表中a= ,b= ，C三 (2)根据以上数据，你认为该校七，八年级中年级学生掌握防溺水安全知识的较好？请说明理由（从 三个角度分析)： (3)若该校七，八年级共720人参加此次知识竞赛，试估计参加此次竞赛活动成绩优秀(x≥90)的学 生人数是多少？ 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 10% B A 20% D a% 17. 背景 随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于 实际生活，为人们的生活带米了便利 紫材1 某农业公司预购进A,B两种 型号的植保无人机用来喷洒 农药，A型机比B型机平均 每小时少喷洒2公顷农田，A 型机喷洒40公顷农田所用时 间与B型机喷洒50公顷农田 所用时问相等 素材2 若农业公司共购进20架无人机，A型无人机5万元/架，B 型无人机6万元/架. 问题解决 任务1 A,B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ 任务2 若公司要求这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田，那么 该公司如何购买A型和B型无人机，才能使总成本最低？并 求出最低成本. 18.己知：点P是⊙0外一点. (1)尺规作图：如图，过点P作出⊙O的两条切线PA、PB,切点分别为点A、B.(保留作图痕迹， 不要求写作法和证明) (2)在(1)的条件下，若点C在⊙0上（点C不与A、B两点重合），且∠APB=40°，则∠ACB的 度数为 0 19.在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时问变化的关系”开 展深入探究.先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由 静止释放.从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间1 (s)、运动快慢v(cm)、运动路程y(cm)的数据 A 图1 v(cm/s) ↑v(cm/s) 12 160 0 140 120 8 100 6 80 4 60 40 2 20 04812162024 t(s) 24681012141618202224t(s) 图2 图3 【收集整理数据】 运动时间1(s) 0 4 8 12 16 20 运动快慢v(cmls) 12 10 8 6 4 运动路程y(cm) 0 44 80 108 128 140 【数学建模探究】 (1)【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想： (提示：函数图象要画在答题卡上) ①v与t之间的关系可以近似地用 函数表示.（填：“一次”、“二次”或“反比例”） ②y与1之间的关系可以近似地用 函数表示.（填：“一次”、“二次”或“反比例”） (2)【检验】直接写出v与，y与t之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证， (3)【应用】当弹珠到达水平轨道上A点时，前方B点处有一辆电动小车以4cms的速度向前匀速直线 运动.当1=10时，弹珠刚好追上小车，则A,B两点间的距离为 cm 20.(11分)【定义】 若一个四边形对角线的交点是一条对角线的三等分点，那么我们称这个四边形是“卓越四边形”。 如图1，在四边形ABCD中，AC与BD交于点0，M0=号4C,则称四边形MBCD是“卓越 四边形”。 【性质】 (1)如图2，在正方形ABCD中，AB=4,E是BC边上一点，当四边形AECD为“卓越四边 形”时，求CB的长度。 【判定】 (2)如图3，在矩形ABCD中，点E是线段CD上靠近点D的四等分点，点F是AD边上 一点，CF与BE交于点O,若满足但=4， =,tam∠Dg—0” 请你判断四边形BFEC是否为“卓 越四边形”，并说明理由。 【应用】 (3)如图4，将边长为6的正方形ABCD绕点B逆时针旋转0'<日<180)至正方形A'BCD, 若以A,B,C,D四点为顶点的凸四边形是“卓越四边形”，四边形的对角线交于点O,则OB 的长是 D D 小 0 图1 B E 图2 图3 D b D Cr 图4 备用图· 6